阿基米德对海伦公式的纯几何首证[本站推荐]

第一篇：阿基米德对海伦公式的纯几何首证[本站推荐]

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阿基米德对海伦公式的纯几何首证

作者：丁位卿

来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第04期

阿基米德（公元前287年—前212年），古希腊数学、物理学家.他对人类的科学做出了巨大的贡献，被后世数学家尊称为“数学之神”，位居世界科学巨人之首（另两位为近代的高斯和牛顿）.据黄家礼的《几何明珠》（文[3]）和现行高中数学教材（必修5）介绍：海伦公式最先由阿基米德发现并首证，遗憾的是其证法已失传，令后世数学家、史学家们困惑不已.笔者刻苦钻研，认真研读了他所能参考的唯一书籍欧几里得的《几何原本》（文[1]）中的有关三角形内切圆和相似三角形等内容并参考海伦对海伦公式的纯几何证法（文[2]）.复原了阿基米德对海伦公式的纯几何首证（借助现代数学符号），供读者参考.复原古人证明已不乏先例：著名数学家吴文俊教授曾根据我国古代几何证明的传统特点.复原了南宋数学家秦九韶“三斜求积”公式（与海伦公式等价）.海伦公式：若已知任一△ABC的三边长为a，b，c.则其面积S=p（p-a）（p-b）（p-c），其中2p=a+b+c.证明 如右图，△ABC的内切圆圆O与三边的切点分别为D、E、F，连OD、OE、OF、OA、OB，并设OD=OE=OF=r，延长DO与圆O交于M，再过M作圆O的切线，分别交CE、CF于P、Q两点，连接OP、OQ.由三角形内切圆性质和作法可得，PE=PM，MQ=QF，并设AD=AE=x，BD=BF=y，CE=CF=z，