勾股定理的十六种证明方法

第一篇：勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的几种证明方法

我们刚刚学了勾股定理这重要的知识，老师告诉我们，勾股定理的证明方法非常得多，其数量之大足可以撰写出一部书来，我对知识的探求欲望被激发了出来，随即到网络上查找了勾股定理的证明方法，现在我收集到了几种。

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

11a2b24abc24ab22，整理得a2b2c2.这是课本上面为我们提供的毕达哥拉斯的证明方法，我在网络上查阅资料发现：毕达哥拉斯是西方公认的发现勾股定理的数学家，因此，我们可以在外国的一些资料上发现，勾股定理在西方被称为毕达格拉斯定理。

【证法2】（邹元治证明）

1ab2以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴

ab214abc22222.∴ abc.这个证明对我来讲也很好理解，它利用了全等三角形的性质和因式分解的知识，这对于我们初

二的学生来说，是能够领会的。

【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a），以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角

C

1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c

∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.1

24abbac2

2∴.222

∴ abc.赵爽的证明课本上也给出了，它不仅仅是单纯的对勾股定理的证明，更体现了我国古人在知识探求上的不懈努力和卓越成就。

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

ab2以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c

它的面积等于2.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.ab

2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.ab221ab1c2

22.∴ 2

∴ abc.就连美国总统也给出了一种证明，这难道不能说明勾股定理的普遍性么？其中还有一个故事。1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了上面介绍的简洁的证明方法。

【证法5】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点 L.∵ AF = AC，AB = AD，K∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，1

2a

∵ ΔFAB的面积等于2，ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =a.同理可证，矩形MLEB的面积 =b.∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形

222222

∴ cab，即 abc.欧几里德的经典证明方法！！！！！

！！！！！！！！！！！！

！！！！！！！！！！！！！！！！

【证法6】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，∴ΔADC ∽ ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BCBDAB.22222

2∴ ACBCADDBABAB，即 abc.即ACADAB.这个证明非常好啊，郑樑成天和我讲相似三角形，这也是妙处之所在啊！

【证法6】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分

别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.22222

2假设abc，即假设 ACBCAB，则由

ABADBDAB2ABAB==

ABADABBD 22

可知 ACABAD，或者 BCABBD.即 AD：

AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠A = ∠A，∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵ ∠B = ∠B，∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.222

这与作法CD⊥AB矛盾.所以，ACBCAB的假设不能成立.222

∴ abc.与上题有异曲同工之妙！

从上面的六种证明里面，我们不难看出：每一种定理都凝聚了前人的努力与智慧，每一种定理都少不了前人对知识的不懈探究，每一种定理都蕴藏了前人独特的智慧……因此我们今天学习勾股定理，不但要学会利用它进行计算、证明和作图，更要学习和了解它的历史，了解其中体现出来的“形数结合”、“形数统一”的思想方法，这对我们今后的数学发展和科学创新都将具有十分重大的意义。

从这一次论文的写作里面，我不仅学到了许多勾股定理的证明方法，扩展了视野，积累了知识，而且更重要的是，明白了严谨、坚持不懈的数学精神，这对我的今后的学习和生活都将有重要的好的影响。

第二篇：勾股定理证明方法

勾股定理证明方法

勾股定理的种证明方法(部分)

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点p.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCp=90º，BC=BD=a.∴BDpC是一个边长为a的正方形.同理，HpFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作Qp‖BC，交AC于点p.过点B作BM⊥pQ，垂足为M;再过点

F作FN⊥pQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，Qp‖BC，∴∠MpC=90º，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90º，∴BCpM是一个矩形，即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.【证法3】(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90º，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90º,∴∠ABG+∠CBJ=90º,∵∠ABC=90º,∴G,B,I,J在同一直线上，【证法4】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

第三篇：勾股定理证明方法（精选）

勾股定理证明方法

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab/2；

中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化简后便可得： a2+b2=c2

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加

刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法

古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

第四篇：勾股定理五种证明方法

勾股定理五种证明方法

【证法1】

做8

个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

11a2b24abc24ab22，整理得a2b2c2.【

证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab2形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴ ab214abc

22222.∴ abc.【证法3】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为

c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，ABC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则

11a2b2S2ab,c2S2ab22,222∴abc.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.1ab

2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1ab221ab1c2

22.∴ 2

222∴ abc.【证法5】（辛卜松证明）

DD

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD

222abab2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为

部分，则正方形ABCD的面积为

222∴ab2ab2abc,222∴abc.ab214abc222 =2abc.初二（1）

第五篇：勾股定理的证明方法

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角

三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式

化简得。