南京工业大学线 性 代 数试题(A)卷及答案

第一篇：南京工业大学线 性 代 数试题(A)卷及答案

南京工业大学线 性 代 数试题（A）卷（闭）2007--2008学年

5、设A是3阶矩阵，特征值是12,21,30，对应的特征向量分别是1,2,3，若

P(3,32,1)，则P1AP（）

002011（B）31（A）（C）（D） 2202

2112

三、（11分）计算n阶行列式Dn



003



250

四、(12分)设A

047

0600

0，且有关系式A22AXE2X，求矩阵X.09

T

五、（12分）设向量组1(6,4,1,1,2)，2(1,0,2,3,4)，3(1,4,9,16,22)，TT

4(7,1,0,1,3)T，求该向量组的秩及其一个极大无关组并将其余的向量用该极大无关组线性

表示。

六、（14分）问a，b为何值时，线性方程组

x3x40x1x2

x22x32x41



x2a3x32x4bx3ax413x12x2

有唯一解，无解，有无穷多组解？在有解时，求出其解。

七、（16分）二次型

f(x1,x2,x3)x12ax22x322x1x22x2x32ax1x3的正、负惯性指数都是1，确定二次型f的系数a，并求曲面f1在点（1, 1, 0）的切平面方程。

八、（5分）设A为n阶方阵，E为n阶单位阵，且AA。试证明：r(A)r(EA)n。

南京工业大学线性代数试题（A）卷

试题标准答案

2007--2008学年第二学期使用班级

一、填空题(每题3分，共15分)

001

(1)32（2）AB-BA(3)A

01

（5）4,6；能。

00120

01300

140

（4）r=s, r=s=n, r=s

二、选择题(每题3分,共15分)

1.d.2.c3.c4.b5.c

三、（11分）解：按第一行展开，得到

Dn2Dn1Dn2。。。。。。。5分

于是递推可得

Dn(n1)。。。。。。。11分

四、（12分）由关系式A2AXE2X，得 AE2AX2X, 即

(AE)(AE)2(AE)X。。。。。。。。4分 又可知AE0，即AE可逆。。。。。。。。8分 上式两边左乘(AE)得

1

200



1401X(AE)

0262



00300

。。。。。。。。12分 08

五、(12分)解：以向量1,2,3,4为列构成矩阵A并进行初等行变换：

10

A0

00

01000

050

。。。。。。。6分 01。

0000

所以这个向量组的秩为3，且1,2,4是它的一个极大无关组。且

3152。。。。。。。。。。12分

六、（14分）解：：对增广矩阵进行初等行变换将它化为阶梯形矩阵

10

AR

00

0

1221

。。4分

0a10b1



00a0

i）当a1时，r()r(A)4n，方程组有唯一解。这时再用初等行变换将进一步化为

1000(ab2)/(a1)0100(a2b3)/(a1)

AW 0010(b1)/(a1)

00010

于是方程组的唯一解X即为矩阵W的最后一个列向量。。。。。。。。。。6分ii）当a1，b1时，r()3r(A)2，方程组无解。。。。。。。。8分

iii）当a1，b1时，r()r(A)2n4，方程组有无穷多解。此时将化为简化阶梯形

1

0

AW

000111



121

000

000

则其对应的齐次方程组的基础解系和它本身的一个特解分别为

111

2211，2，X0

100010

非齐次线性方程组的通解为

111221Xk1k 1200010

其中k1，k2为任意实数。。。。。。。。。。14分

11a



a1，由于r(A)pq2，所以

七、（16分）二次型f的矩阵为 A1

a11A(a1)2(a2)0。

（1）若 a1，则r(A)1不合题意，舍去。。。。。。。。。。6分（2）若 a2，由特征多项式



f()AE

121

1(3)(3)1

得A的特征值13,23,30。所以pq1，符合题意。故

f(x1,x2,x3)x122x22x322x1x22x2x34x1x3。。。。12分

（3）对于曲面f(x1,x2,x3)1，由于

f

x1

4,(1,1,0)

fx2

2,(1,1,0)

fx3

2。

(1,1,0)

故切平面方程为 2x1x2x31。。。。16分

八（5分）证明：因为A(EA)0，所以由有关结论可知。。。3分 r(A)r(EA)n。

另一方面，又因为A(EA)E，由和矩阵秩的有关性质，又有

r(A)r(EA)r(E)n。

综上所述，所以

。。。5分 r(A)r(EA)n。

第二篇：2008级线性代数试题和答案 A卷

经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷(A卷)

答案及评分标准

一、填空题（每小题4分、本题共28分）

1111.设A 为n 阶方阵, A为其伴随矩阵, detA, 则detA15A _____ 432.已知1,2均为2维列向量, 矩阵A(212,12), B(1,2).若行列式A6, 则B _____ 3.若r(1,2,,s,)r(1,2,,s)k，r(1,2,,s,)k1,则r(1,2,,s,,)= _____ 4.设A 为5阶方阵, 且r(A)4, 则齐次线性方程组Ax0（A是A的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为

_____

T5.设A(aij)33是实正交矩阵, 且a11=1,b=(1,0,0),则线性方程组Axb的解是

**_____

2226.若使二次型f(x1,x2,x3)x12x24x32x1x22tx1x3为正定的, 则 t 的取值范围是

_____ 7.设3阶方阵A满足A2A3E0, 且0

_____ 答案：（1）(1)n3

（2）-2

（3）

k +（4）

（5）(1,0,0)

（6）tT2（7）3

二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）

1.设A为n阶方阵, B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（）(A)AB

(B)AB

(C)若A0, 则一定有B0

(D)若A0, 则一定有B0 32.设行列式D2050273420202, 则第四行各元素代数余子式之和的值为（）02(A)28

(B)-28

(C)0

(D)336 3.设A为m阶方阵, B为n阶方阵, CB0A, 则 C 等于（）0(A)AB

(B)AB

(C)(1)mnAB

(D)(1)mnAB 4.设n维列向量组1,2,m(mn)线性无关, 则n维列向量组1,2,m线性无关的充分必要条件是（）

(A)向量组1,2,m可由向量组1,2,m线性表示

(B)向量组1,2,m可由向量组1,2,m线性表示

(C)矩阵(1,2,m)与矩阵(1,2,m)等价

(D)向量组1,2,m与向量组1,2,m等价 5．设A、B 为n阶方阵, 且r(A)r(B), 则（）

(A)r(AB)0

(B)r(AB)2r(A)(C)r(AB)r(A)r(B)

(D)r(AB)2r(A)

116.设矩阵A11111111111410,B10010000000000, 则A与B（）00（A）合同且相似

（B）合同但不相似

(C)不合同但相似

（D)不合同且不相似

7．设1,2是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1,2, 则A(12),2线 性无关的充分必要条件是（）

（A）10

（B）20

(C)10

(D)20 答案：CCC CCA A

三、计算题（每小题8分、本题共32分）

a0a1a2anb1d1001．计算n+1阶行列式 Dn1b20d20.bn00dn解 分三种情况讨论：

（1）当d1,d2,,dn全不为0时，D为箭型行列式且 naakbk0a1a2ank1dcbj1dcjnDj0kd10000d20(a0akbk)d1d2dn;k1dk000dn（2）当d1,d2,,dn中只有一个为0时，不妨假设di0，则

aia1ai1a0ai1an0dd1b11c1cDi10ddi1bi1i1baibii0ddi1i10bndnaibid1di1di1dn（3）当d1,d2,,dn中有两个以上为0时，显然D0.n综合以上三种情况，我们有D(aakbk0)d1d2dn;dk0(k1,2,...,n)k1dakibid1d2...di1di1dn;i,di02.设矩阵A满足关系式(2EC1B)ATC1, 其中

12321201B01231200012,C00012, 求A？ 00010001解

在等式(2EC1B)ATC1等号两边同时乘以C, 得A(2CB)1T, 123402CB012312101210012,(2CB)1000001120001dn, A(2CB)1T00121012112000.01x1x22x33x40x3x5x2x112343．设线性方程组 

xxax4x13412x17x210x37x4b（1）问：a, b取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解

设题中线性方程组为Axb.用消元法, 对线性方程组Axb的增广矩阵A施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：

112135A11a1710由此可知：

3247０1－１初等行变换０１００ｂ123２３１０a－１０００００１ ０ｂ－４当b≠4时,r(A)r(A)线性方程组Axb无解;当b=4时, 恒有r(A)r(A)线性方程组Axb有解.若a1,r(A)r(A)3,方程组有无穷多个解，通解为：1171(，0,0)Tk(,,0,1)T

k为任意实数 2222若a1,r(A)r(A)2,方程组有无穷多个解，通解为：

111371(，0,0)Tk1(,,1,0)Tk2(,,0,1)T

k1、k2为任意实数 2222223240121*4．设矩阵A202,Q101,BQAQ, 求B2010E的特征值和特征423123向量.其中A是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵.解

计算A的特征多项式 *32EA24242(8)(1)2.3故A 的特征值为18,231.因为Ai8,若AXX,则A*X*

AX.所以A*的特征值为1,-8,-8.由于BQ1A*Q与A相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以

B2010E的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为B(QX)(QAQ)(QX)QAX11*11*|A|Q1X,我们有矩阵B的属于量为Q1X A的特征向量为Q1X, 因此矩阵B2010E的属于

A2010的特征向第三步 求出A 的全部特征向量

2对于18，求解线性方程组(8EA)x0得特征向量 11.2对于231，求解线性方程组(EA)x0得特征向量

1120,32.10第四步 求出B2010E 的全部特征向量，即计算Q11,Q12,Q13.11131222221111Q111,Q11,Q22,Q31,0111332222综合以上分析我们有：

12矩阵B2010E属于特征值2011的特征向量为k1，k为任意实数

72322属于特征值2002的特征向量为 k12k21,k1、k2为任意实数

032

四、证明题（每题6分，共12分）1.已知向量组1,2,s,s1(s1)线性无关, 向量组1,2,s可表示为iitii1(i1,2,,s), 其中ti是实数.证明1,2,s线性无关.证明

用定义.假设存在 s 个数k1,k2,ks, 使 k11k22kss0, 即

k1(1t12)k2(2t23)ks(stss1)0, 也就是

k11(k1t1k2)2(k2t21k3)3(ks1ts1ks)skstss10.又因为1,2,s,s1(s1)线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即

k10ktk0112

解得 k1k2ks0, 故1,2,s线性无关.ktk0s1s1sksts022.设n 阶矩阵 A 满足AA2E0且AE.证明A相似于对角矩阵.2证

由AA2E0可得(EA)(2EA)0(2EA)(AE)

(1)可得A 的特征值为 1或-2，要证明A相似于对角矩阵，也就是A可以对角化，即要证明A 有n个线性无关的特征向量。

由（1）式有 r(2EA)r(AE)r(2EA)r(EA)n，（2）又(2EA)(AE)E可得r(2EA)r(AE)n

（3）

综合（2）和（3）有r(2EA)r(AE)n，不妨假设r(2EA)r,r(AE)nr,则矩阵2E+A 有 r 个线性无关的列向量，由（1）式中第一个等号知这r 个列向量也是特征值1的特征向量；同理由（1）式中第二个等号可知矩阵 A-E 的n-r 个线性无关的列向量是 特征值-2 的特征向量。于是矩阵A有r+（n-r）=n 个线性无关的特征向量。故A可以对角化.

第三篇：线性代数试题及答案

线性代数习题和答案

第一部分

选择题

(共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12a13a22a23=m，=n，则行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n 1002.设矩阵A=020，则A-1等于（）

0031

3A.00012000

1

B.10001200013

1003

C.010

1002

12D.000010 3013123.设矩阵A=101，A*是A214的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.BC时A=0 D.|A|0时B=C 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A.A =0

C.A0时B=C

A.1 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全为

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（）

A.所有r-1阶子式都不为0

C.至少有一个r阶子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解

12128.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.设λ0是矩阵3是

A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属

0的线性无关的特征向量的个3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

A的特征方程的3重根，A的属于λ

B.k<3

D.k>3 数为k，则必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

A.|A|2必为1

C.A-1=AT

B.|A|必为1

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）

A.A与B相似

B.A与B不等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）

A.23343426

B. 100

C.023035111D.120102

第二部分

非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.111356

.9253611111116.设A=，B=123.则

124A+2B=

.17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=

.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为

.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

.3 / 7

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=

.22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为

.23.设矩阵0106A=133，已知α21082=12是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为

.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为

.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12025.设A=340121，B=1105231（2）|4A|..求（1）ABT；

24026.试计算行列式352112341313.42327.设矩阵A=110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.21301301.，α=28.给定向量组α1=，α，α23=4=22404193试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

12124229.设矩阵A=210333266.23340求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵022A=234432的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x12x223x34x1x24x1x34x2x3，并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其导出组Ax=0的一个

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2线性无关。

337137

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1z22z3z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12022403425.解（1）AB=312110T

86=1810310（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=1203402.121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 352111051234131351105110511311300

/ 7

=5111111 55051162620301040.55550=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1223=1101211143153.164所以

B=(A-2E)-114342353110 A=116412338696.=2212928.解一 2130053213011301

0224011234190131121000100005111200088014140002101, 0110003035112

011000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二

考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 2x1x23x30x3x112 2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解

对矩阵A施行初等行变换

121000A03209602628232

/ 7

212101210328303200000062000217000283=B.31000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.25/525/15经正交标准化，得η

1，η

25/5=5/15=4.05/3λ=-8的一个特征向量为

1/3ξ=13，经单位化得η2

3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩阵为

T=.5/545/152/305/32/31对角矩阵

D=00010.00825/5215/151/3（也可取T=.）

05/32/35/545/152/331.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.y1x12x22x3x1y12设yy22x2x3，即x2y2y3xyy3x333因其系数矩阵C=12011可逆，故此线性变换满秩。0001经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.证

由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而

l0=0.所以η0，η1，η2线性无关。

/ 7，

第四篇：线性代数试题及答案

线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为三阶方阵且A.-108 B.-12 则（D）

C.12 D.108 2.如果方程组A.-2 B.-1 C.1 D.2 有非零解,则 k=（B）

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（D）

A.AB=BA B.C.D.4.设A为四阶矩阵，且则（C）

A.2 B.4 C.8 D.12 5.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是(B)A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）

6.向量组α1，α2，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是（C）

A.α1，α2，…，αs 全是非零向量 B.α1，α2，…，αs 全是零向量

C.α1，α2，…，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D.α1，α2，…，αs 中至少有一个零向量

7.设A为m矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（C）

A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（D）

A.B.秩（A）=秩（B）

C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.E-A=E-B 9.与矩阵A=相似的是（A）

A.B.C.D.10.设有二次型则（C）

A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.若则k=_______1/2____.12.设A=,B=则AB=___________.13.设A=, 则A-1=

14.设A为3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _____1______.15.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___6_________.16.方程组的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __.17.向量组α1 =(1,0,0)α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩阵A=的全部特征向量是.19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=__-16_________.20.矩阵A=所对应的二次型是.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算四阶行列式的值.=

22.设A=,求A.A =

23.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X

(E-BA)

X= =

X==

24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.α1 α2 α4 为极大无关组。

25.求非齐次方程组的通解

通解

26.设A=,求P使为对角矩阵.=

P= =

四、证明题（本大题共1小题,6分）

27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系.证明α1，α1+α2，α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系．（答案~~略）

线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，R，则有AAAB0。（）

2．A，B是同阶方阵，且3．如果4．若

111(AB)BA。（），则A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

（）A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。

（）5．n维向量组1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

001100100010000020100(B)010(C)001(D)（A）2．设向量组（A）（C）

100012001

1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

12,23,31（B）1,2,31 1,2,2132（D）2,3,223）

12(A2E)（AA5E03．设A为n阶方阵，且。则(A)AE(B)EA(C)11(AE)(AE)33(D)

4．设A为mn矩阵，则有（）。

（A）若mn，则Axb有无穷多解；

A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解； A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

B，但|A-B|=0（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；

（C）若（D）若5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）

（A）A与B相似（B）A（C）A=B（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

012nn101．。

2．A为3阶矩阵，且满足A3,则A1=______，3A*。

1021112423421570是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。3．向量组，，14241233444R(A)，Axb的三个解，其中A的秩，则方程组Axb的通解为。=3，4． 已知1,2,3是四元方程组

231A1a15．设503，且秩(A)=2，则a=。

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

121A3421．已知A+B=AB，且221，求矩阵B。2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而AT，求An。

x1x2ax31x1x22x31xax3.已知方程组12x3a2有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

f(x,x22212,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。

2．设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。

2）A是否可相似对角化？为什么？；（7

3）

第五篇：线性代数试题及答案

04184线性代数（经管类）一、二、单选题

1、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做题结果：A 参考答案：D

2、B:d A:abcd C:6 D:0 做题结果：A 参考答案：D

3、B:15 A:18 C:12 D:24 做题结果：A 参考答案：B

4、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做题结果：A 参考答案：D

6、B:15 A:18 C:12 D:24 做题结果：A 参考答案：B 20、B:k A:k-1 C:1 D:k+1 做题结果：A 参考答案：B

21、行列式D如果按照第n列展开是

【

】

A.,C.,D.做题结果：A ,B.参考答案：A

22、关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是

【

】

B:如果行列式不等于0，则方程组A:如果行列式不等于0，则方程组必有

只有零解

无穷多解

C:如果行列式等于0，则方程组必有唯D:如果行列式等于0，则方程组必一解 有零解 做题结果：A

参考答案：B

23、已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，则D的值为。

【

】

B:-7 A:-3 C:3 D:7 做题结果：A 参考答案：A

24、B:1 A:0 C:-2 D:2 做题结果：A 参考答案：C

25、B:d A:abcd C:6 D:0 做题结果：A 参考答案：D

26、A:a≠2

B:a≠0

C:a≠2或a≠0 D:a≠2 且a≠0 做题结果：A 参考答案：D

27、A.,B.,C.,D.做题结果：B

参考答案：B

28、B:16|A| A:-2|A| C:2|A| D:|A| 做题结果：A 参考答案：B

29、下面结论正确的是

【

】

A:含有零元素的矩阵是零矩阵 做题结果：A

B:零矩阵都是方阵

C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵 D:若A，B都是零矩阵，则A=B

参考答案：C 30、设A是n阶方程，λ为实数，下列各式成立的是

【

】

C.做题结果：C ,D.参考答案：C

31、A.,B.,C.,D.做题结果：B

参考答案：

B

32、设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁。【

】

A:A中的4阶子式都不为0

B:A中存在不为0的4阶子式

C:A中的3阶子式都不为0 D:A中存在不为0的3阶子式 做题结果：A

参考答案：D

33、A:a=3，b=-1，c=1，d=3

B:a=-1，b=3，c=1，d=3 C:a=3，b=-1，c=0，d=3 D:a=-1，b=3，c=0，d=3 做题结果：A

参考答案：C

34、设A是m×n矩阵，B是s×t矩阵，且ABC有意义，则C是▁▁矩阵。

A:n×s B:m×t

C:t×m D:s×n

做题结果：A 参考答案：A

35、含有零向量的向量组▁▁▁

【

】

A:可能线性相关

B:必线性相关

C:可能线性无关 D:必线性无关 做题结果：A 参考答案：B

36、对于齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时▁▁▁。

【

A:只能进行行变换

B:只能进行列变换

】

】

【

C:不能进行行变换 D:可以进行行和列变换 做题结果：B

参考答案：A

37、非齐次线性方程组中，系数矩阵A和增广矩阵（A，b）的秩都等于4，A是（）4×6矩阵，则▁▁。

【

】

B:方程组有无穷多解

A:无法确定方程组是否有解 C:方程组有唯一解 做题结果：B

D:方程组无解 参考答案：B

38、n元非齐次线性方程组Ax=b有两个解a、c，则a-c是▁▁▁的解。

【

】

B:Ax=0 A:2Ax=b C:Ax=a D:Ax=c 做题结果：B 参考答案：B

39、设A是m行n列的矩阵,r(A)=r，则下列正确的是

【

】

B:Ax=0的基础解系中的解向量的个A:Ax=0的基础解系中的解向量的个

数不可能为n-r 数可能为n-r C:Ax=0的基础解系中的解向量的个D:Ax-0的基础解系中的解向量的个数一定为n-r 数不确定 做题结果：C

参考答案：C 40、向量组A的任何一个部分组▁▁由该向量组线性表示。

【

】

B:一定不能

A:都能

C:不一定能 D:不确定 做题结果：A 参考答案：A

41、（-1,1）能否表示成（1,0）和（2,0）的线性组合？若能则表出系数为▁▁。【

】

B:不能

A:能，1、1 C:能，-

1、1 D:能，1、-1 做题结果：A 参考答案：B

42、若m×n矩阵C中n个列向量线性无关，则C的秩▁▁▁。

【

】

A:大于m B:大于n C:等于n D:等于m 做题结果：C 参考答案：C

43、下列矩阵中不是二次型的矩阵的是

【

】

A.,B.,C.,D.做题结果：A

44、A.,B.,C.参考答案：C ,D.做题结果：C

参考答案：C

45、B:x=1 A:x=2.5 C:x=-2.5 D:x=0 做题结果：D 参考答案：A

46、B:（-3，0，2）

A:（2，1，1）

C:（1，1，0）D:（0，-1，0）做题结果：B 参考答案：B

47、下列矩阵中不是阶梯形矩阵的是

【

】

A.,B.,C.,D.做题结果：D

参考答案：B

48、B:15 A:14 C:10 D:24 做题结果：D 参考答案：A

49、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做题结果：D 参考答案：C 50、B:-2k A:k-1 C:2k D:k+1 做题结果：B 参考答案：C

51、B:-2k A:k-1 C:2k D:k+1 做题结果：B 参考答案：C

52、关于n个方程的n元非齐次线性方程组的克拉默法则，下列说法正确的是

【

】

B:如果行列式等于0，则方程组只A:如果行列式等于0，则方程组必有

有零解

无穷多解

C:如果行列式不等于0，则方程组必D:如果行列式不等于0，则方程组有唯一解 必有零解 做题结果：A

参考答案：C

53、已知三阶行列D中的第二行元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-

1、1、-2，则D的值为▁▁。【 】

B:-7 A:9 C:-9 D:7 做题结果：A 参考答案：A

54、B:1 A:-1 C:-8 D:8 做题结果：A 参考答案：C

55、A:a=2 B:a=0 C:a=2或a=0 D:a=2且a=0 做题结果：A 参考答案：C

56、A.,B.,C.,D.做题结果：B

57、已知A是三阶矩阵，则|-2A|=▁▁。

A:-2|A| B:8|A| C:2|A| D:-8|A| 做题结果：B 参考答案：D

58、下面结论不正确的是

【

C.参考答案：A

【

】

】做题结果：C 参考答案：A

59、设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是

【

】

B.做题结果：C ,C.,D.参考答案：C 60、A.,B.,C.,D.做题结果：C

参考答案：A 61、设A是3×4矩阵，r（A）=3，则▁▁▁。

【

】

B:A中存在不为0的3阶子式

A:A中的4阶子式都不为0 C:A中的3阶子式都不为0 D:A中存在不为0的4阶子式 做题结果：B

参考答案：B 62、B:a=-2,b=1,c=0,d=-2 A:a=2,b=-1,c=0,d=-2 C:a=2,b=-1,c=0,d=2 D:a=2,b=1,c=0,d=2 做题结果：B

参考答案：D 63、两个向量线性相关，则▁▁▁。

【

】

B:其中一个为零向量

A:对应分量不成比例

C:对应分量成比例 D:两个都不是零向量 做题结果：B

参考答案：C 64、若矩阵A是行最简形矩阵，则▁▁▁。

【

】

B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵

A:矩阵A必没有零行

C:矩阵A必有零行 D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1 做题结果：B

参考答案：D 65、非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。

【

】

B:无法确定方程组是否有解

A:方程组有无穷多解

C:方程组有唯一解 D:方程组无解 做题结果：B

参考答案：A 66、A.,C.,D.做题结果：D

参考答案：B 67、B:Ax=0的基础解系中的解向量的个A:Ax=0的基础解系中的解向量的个

数不可能为2 数可能为2 C:Ax=0的基础解系中的解向量的个D:Ax=0的基础解系中的解向量的个数一定为2 数不确定 做题结果：D

参考答案：C 68、（3,-2）能否表示成（1,0）和（0,1）的线性组合？若能则表出系数为。

B:不能

A:能，2、-3 C: 能，-

3、2 D:能，3、-2 做题结果：B 参考答案：D 69、B:大于n A:等于m C:等于n D:大于m 做题结果：D 参考答案：A 70、下列矩阵中是二次型的矩阵的是

A.,B.,C.,D.做题结果：D

参考答案：

B 71、B:a=-4 A:a=2 C:a=-2 D:a=4 做题结果：D 参考答案：A 72、B:(-3,0,2)A:(-2,0,1)C:(1,1,0)D:(0,-1,3)做题结果：D 参考答案：D 74、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做题结果：B 参考答案：A 75、B:3k A:k-1 C:-3k D:k+1 做题结果：D 参考答案：B 76、关于n个方程的n元非齐次线性方程组的克拉默法则，下列说法不正确的是

【

】

B:如果行列式等于0，则方程组可A:如果行列式等于0，则方程组可能有

能无解

无穷多解

C:如果行列式不等于0，则方程组必有D:如果行列式不等于0，则方程组唯一解 必有零解 做题结果：A

参考答案：D 77、已知三阶行列D中的第二列元素依次为-1、3、2，它们的余子式分别为

1、-

1、2，则D的值为

【

】

B:-7 A:6 C:-6 D:7 做题结果：A 参考答案：C 78、当a=

时，行列式的值为零。

【

】

B:6 A:-6 C:-2 D:2 做题结果：A 参考答案：A 79、行列式的值等于。

【

】

B:0 A:abcd C:d D:6 做题结果：A 参考答案：B 80、行列式≠0的充要条件是

【

】

B:a≠-1或a≠1

A:a≠-1 C:a≠1 D:a≠-1且a≠1

做题结果：A 参考答案：C 81、已知A是三阶矩阵，则ㄧ-3Aㄧ=。

【

】

B:27∣A∣

A:-3∣A∣

C:3∣A∣ D:-27∣A∣ 做题结果：A 参考答案：D 82、下面结论不正确的是

【

】

B:零矩阵都是方阵

A:上三角矩阵都是方阵

C:对称矩阵都是方阵 D:可逆矩阵都是方阵 做题结果：A

参考答案：B 83、设A是2×3矩阵，r(A)=2，则。

【

】

A:A中的2阶子式都不为0

B:A中存在不为0的3阶子式

C:A中的3阶子式都不为0 D:A中存在不为0的2阶子式 做题结果：C

参考答案：D 84、设A是s×t矩阵，B是m×n矩阵，且ACB有意义，则C是

矩阵。

【

】

A:t×m B:m×t

C:n×s D:s×n

做题结果：C 参考答案：A 85、对于含有零向量的向量组，下列说法正确的是

【

A:可能线性相关

B:必线性相关

C:可能线性无关 D:必线性无关 做题结果：C 参考答案：B 86、对于非齐次线性方程组的增广矩阵化为行阶梯型时。

【

】

A:不能进行行变换

B:可以进行行变换和列变换

C:只能进行行变换 D:只能进行列变换 做题结果：A

参考答案：C 87、齐次线性方程组Ax=0中，系数矩阵A的秩等于2，A是3×4矩阵，】 则

。【

】

B:方程组有无穷多解

A:方程组有非零解

C:方程组只有零解 D:方程组有唯一解 做题结果：C

参考答案：A 88、设δ是齐次线性方程组Ax=0的解，λ是任意实数，则λδ是

的解。

【

】

B:Ax=ζ

A:λAx=ζ

C:Ax=λζ D:Ax=0 做题结果：C 参考答案：D 89、设A是4行5列的矩阵，r(A)=4，则下列正确的是

【

】

B:Ax=0的基础解系中的解向量的个A:Ax=0的基础解系中的解向量的个

数不可能为1 数可能为1 C:Ax=0的基础解系中的解向量的个D:Ax=0的基础解系中的解向量的个数一定为1 数不确定 做题结果：A

参考答案：C 90、（-2,3）能否表示成（-1,0）和（2,0）的线性组合？若能则表出系数为

。【

】

B:能，2、3 A:能，-

2、-3 C:能，2、-3 D:不能 做题结果：A 参考答案：D 91、若3×4矩阵C中3个行向量线性无关，则C的秩。

【

】

A:大于3 B:等于3 C:等于4 D:大于4 做题结果：A 参考答案：B 92、已知矩阵有一个特征值为0，则。

【

A:b=-2 B:b=3 C:b=2 D:b=-3 做题结果：B 参考答案：A 93、设β可由向量α1=(0,1,0)，α2=(1,0,0)线性表示，则下列向量中β只能是【

】

A:(3,0,1)B:(-3,0,2)C:(2,3,0)D:(0,-1,2)做题结果：D 参考答案：C 100、行列式D如果按照第n列展开是

【

】

】

A.,B.,C.,D.做题结果：D 101、计算。

【

】

A.,B.,C.,D.做题结果：C 102、【

】

参考答案：A

参考答案：B

A.,B.,C.,D.做题结果：D 103、下列矩阵中不是二次型的矩阵的是

【

】

A.,B.做题结果：D 104、下列矩阵中不是阶梯形矩阵的是

【

】 ,C.,D.参考答案：C

参考答案：C

A.,B.做题结果：D 105、下面结论不正确的是

C.做题结果：D 参考答案：A 106、下列矩阵中是二次型的矩阵的是

【

】

A.,B.做题结果：D ,C.【

】 ,C.,D.参考答案：B ,D.参考答案：

B

107、下列矩阵中是阶梯形矩阵的是

【

】

A.,B.,C.,D.做题结果：D 108、A.,B.,C.,D.做题结果：D 109、A.,B.参考答案：A

参考答案：B ,C.,D.做题结果：D

参考答案：A

110、A.,B.,C.,D.做题结果：D

参考答案：A 111、下列矩阵中不是二次型的矩阵的是

A.,B.,C.,D.做题结果：D

参考答案：C 112、A.,B.,C.,D.做题结果：D 113、下列矩阵中是阶梯型矩阵的是

A.,B.,C.,D.做题结果：C 三、填空题 四、综合题 94、求齐次线性方程组的基础解系与通解。

做题结果： 123 参考答案：

参考答案：D

参考答案：B

95、判定向量组是线性相关还是线性无关，并说明理由： α1=(1,1,1)，α2=(0,2,5)，α3=(1,3,6)

做题结果： 23 参考答案：

96、求齐次线性方程组的基础解系，并写出通解。

做题结果： 123 参考答案：

97、判定向量组是线性相关还是线性无关，并说明理由： α=(1,-1,0)，β=(2,1,1)，γ=(1,3,-1)

做题结果： 123 参考答案：

98、做题结果： 123 参考答案：

99、判定向量组是线性相关还是线性无关，并说明理由：

β1=(-1,3,1),β2=(2,1,0),β3=(1,4,1)做题结果： 123 参考答案：

五、计算题

5、求矩阵的逆矩阵。

做题结果： 123 参考答案：

7、做题结果： 123 参考答案：

8、设矩阵，求出A的所有特征值和特征向量。

做题结果： 123 参考答案：

9、求矩阵的秩。

做题结果： 123 参考答案：

10、求矩阵的逆矩阵。

做题结果： 123 参考答案：

11、用降阶法计算行列式

做题结果： 123 参考答案：

12、已知行列式，写出元素a12的代数余子式A12，并求出A12的值。

做题结果： 123 参考答案：

13、做题结果： 123 参考答案：

14、设矩阵，求出A的所有特征值和特征向量。

做题结果： 123 参考答案：

15、求矩阵的秩。

做题结果： 123 参考答案：

16、用降阶法计算行列式

做题结果： 123 参考答案：

17、已知行列式，写出元素a32的代数余子式A32，并求出A32的值。

做题结果： 123 参考答案：

18、设矩阵，求出A的所有特征值和特征向量。

做题结果： 123 参考答案：

19、求矩阵的秩。

做题结果： 123 参考答案： 73、用降阶法计算行列式

做题结果： 123 参考答案：