立体几何教材分析

第一篇：立体几何教材分析

《数学必修模块2》立体几何教材分析

长沙市二十六中

为了更好地组织实施好本模块的教学，我们高一年级数学备课组成员以问题为载体，主要对如下课题进行了研究：（1）课标中所提倡的教育理念是什么？（2）新课标与原来的教学大纲有什么不同？（3）本模块的教学内容包括哪些，每一部分的教学内容是如何展开和深入的，它需要达到的三维目标是什么？（4）新教材与旧教材比较，在内容和结构特征上都发生了哪些变化？为什么这样变化？它所要达到的目的是什么？（5）如何把握立体几何初步教学难度？

（一）研究体会第一，通过对《数学2》的探索，我们深切体会到它具有如下特色：

1、在内容安排上，通过研读课标和新旧教材的如下对比，我们发现新课程《数学2》中立体几何初步的内容体现了从整体到局部，从具体到抽象的原则，而旧教材这部分的内容遵循的是从局部到整体的原则。

同时在内容的难度要求上，《数学2》与旧教材比较,难度进行了降低,并且引入了合情推理.2、突显“数学探究”和“数学文化”。

3、所选择的素材贴近学生的生活实际，激发了学生学习数学的兴趣，并且在生活中自觉树立起了数学意识，如在第一章空间几何体中，习题1.3A组第5题烟筒的直观图，第6题铁路的铺设，B组第1题奖杯的三视图，教材简单组合体三视图中的矿泉水瓶，纪念碑，杠铃等。

4、注重与各学科之间的融合，主要是与信息技术、物理、化学等学科的融合。通过与其他学科的融合，帮助学生在学习的过程中，自觉树立起了联系的观点，拓展了学生对问题的认识深度和广度，有利于学生体验数学作为基础学科的价值。

5、在教科书中，各节根据需要，开设了“思考”、“观察”和“探究”等栏目，把学生作为学习的主体来编排内容，符合新课程的理念，有利于学生开展自主和合作学习，实现教师教学和学生学习的双重行为方式的转变。

6、在教材中所穿插的“阅读与思考”等内容，能很好地反映数学的历史、数学的应用和发展的最新信息，有利于帮助学生认识数学是人类文化的重要组成部分。

7、在编排方面，在每章均有章头图和引言，作为本章内容的导入，使学生对该章学习的内容产生悬念，发生兴趣，从而初步了解学习该章内容的必要性。

8、增加了教材旁注，并且多处提到解决问题的基本数学思想方法，如直线与平面平行判定定理的旁注：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行，这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）。紧跟着例1完了以后，又指出：今后要证明一条直线与这个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线平行与已知直线平行，就可以断定已知直线与这个平面平行。这有利于提高学生自主学习的能力，使学生不但学会数学，而且会学数学。

第二 根据新课程的特色，我们积极探索和实践，转变教学方式，努力实现新课程理念和编者的意图：

1、认真研读课标，站在一个整体、全局的高度把握好教学的深浅度。

（1）从整套教材来看立体几何教学、学习的要求不是一步到位，而是分阶段，分层次，多角度的。

一共分为三个阶段

第一阶段 必修课程：数学2 立体几何初步

第二阶段 选修系列2：空间向量与立体几何

第三阶段 选修系列3-3，球面上的几何

系列3-5，欧拉公式与闭曲面分类

立体几何的学习也是分层次的：

第一层次：对几何体的认识，依赖于学生的直观感受，不做任何推理的要求。

第二层次：以长方体为载体（包括其它的实物模型、身边的实际例子）对图形（模型）进行观察、实验和说理，引入合情推理。第三层次：严格的推理证明。如线面平行、垂直的性质定理的证明。第四层次：空间向量与了立体几何，用代数的方法研究几何问题。

为此，我们在教学时必须进行分阶段，分层次，多角度地教学，更多地关注学生学习的情感，防止学生对立体几何学习出现畏惧心理，丧失学习的信心。

（2）正确理解立体几何初步中，较容易处理的问题采用合情推理和综合方法处理，而较难处理的问题放在后面采用代数的方法（选修部分-空间向量与立体几何）的目的，一是有利于刚开始把更多的时间和精力放在培养学生空间感和对数学思想方法的掌握上。二是有利于化难为易，改变学生对立体几何的态度，建立起学生学好立体几何的信心。三是有利于加强几何与代数的联系，培养学生数形结合的思想，完善学生对数学的认知结构。

2、在立体几何初步的教学中，注意利用学生身边的实物模型进行教学，遵循由直观到抽象，由感性认识到理性认识，强调平面问题与空间问题的互相转化方法和思想。

3、利用“思考”、“观察”和“探究”等栏目，培养学生自主学习的能力和合作

学习的精神，增强学生尝新的意识。

在本模块的教学和学习中，师生所遇到的困难主要有：

1、教与学的深浅度不好把握；

2、学生的课外辅导用书很多与课标不相符合；

3、整体编排内容覆盖面过广且容量大与课时少之间的矛盾；

4、学生学习方式和方法还不能适应高中新课程的要求；

5、学生用信息技术解决数学问题的能力比较弱。

所采取的克服方法：

关于第1个困难的克服，上述已经谈及。

关于第2个困难的克服，主要是向学生推荐好的资料，有选择的应用资料。关于第3个困难的克服，主要抓住教学内容的本质、重点、难点和关键，正确把握好教学深浅度，有的放矢地授课，培养学生自主学习和探究的能力，其次利用课余时间进行适当辅导。

关于第4个困难的克服，主要是通过开设学习方法讲座，向学生介绍自主学习的方式及方法；介绍高中数学的特点及应采取的学习方法；大力开展研究性学习活动。

关于第5个困难的克服，重要是利用课余时间，加强对学生使用数学软件能力的培训，特别是让学生学会使用《几何画板》。

三 模块反思

（一）经验教训

（1）备课时，认真研读《高中数学课程标准》中有关数学2的相关内容，做到心中有课标，以课标审视教材中所提供的素材是否符合要求，是否需要更换，即树立起正确的教材观：用教材教，而不是教教材，如球的体积和表面积，根据课标要求只需了解公式即可，为此，在处理这一节时，我们应只要求学生初步了解公式导出过程中所隐含的数学思想方法，并不要求理解证明过程。

（2）在教学内容与课时安排上，大胆突破小节与小节之间的框架结构束缚，如在“1.1.1柱、锥、台、球的结构”和“1.1.2简单组合体的结构特征”中，我们是这样安排课时的：第1课时安排学习“柱、锥的结构特征”，在第2课时安排学习“台、球和简单的结构特征”。

（3）抓住内容的本质和重点，有的放矢地授课，培养学生自主学习和探究的能力，如“空间几何体的三视图”，由于来自课改地区的学生以前学过这部分的知识，并且“柱、锥、台、球的三视图”是“简单组合体的三视图”的基础，因此在教学时，前部分的内容主要由教师引导学生完成学习，后一部分的内容则可由学生自主学习完成，教师给予检查反馈。

（4）在“第二章 点、直线、平面之间的位置关系”教学中，注意利用学生身边的实物模型进行教学，遵循由直观到抽象，由感性认识到理性认识，强调平面问题与空间问题之间的互相转化方法和思想，把重点放在引导学生如何学上，使学生的自学能力得到提高。

（5）学习掌握使用信息技术处理问题的方法

如第一章复习参考题B组第3题：你见过如图1所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？

对于教材中的这道题，如果只靠学生的凭空思考，许多学生是无法解决的，为此，老师可以让学生利用几何画板做如下数学实验：如图2所示的正方体，棱长为1，其中、'底面和上底面中心，如果以'为轴，转动正方体。（1）如果跟踪线段

'，那么它留下的轨迹是什么图形？（2）如果跟踪正方体的一条对角线，如C'，那么它留下的轨迹是什么图形？（3）你认为应跟踪哪一条线C

段，它所留下的轨迹才能得到纸篓面？随着正方体的转动和学生不断调整跟踪的线段，可以发现正方体侧面对角线留下的轨迹即是纸篓面。此题也可以在A组第2题的基础上启发学生得出答案。但同样要借助《几何画板》演示，在教具方面，注意黑板、实物模型和多媒体三者之间的合理相互配合使用，发挥各自的优点，一般情况下，重要的定义、定理、数学基本思想方法等在教学的过程中学生后继需要用来帮助解题的内容，则应板书：需要动态演示的可用多媒体（如简单几何体的结构特征）；实物模型则由更有利于学生观察，省去做课件的时间。在教学中注重强调自然语言，数学符号语言和图形语言的使用，特别是图形语言的使用，应让学生养成习惯，图形语言有诸多优点。

（二）三点建议

（1）建议1.3.2球的体积和表面积的公式推导过程，作为学生的阅读材料；

（2）“经过直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面”和“经过两条相交直线，有且只有一个平面”这两个结论，从教学的角度来考虑，我们认为把他们调整为平面公理2的推论更好一些，而不是作为课后的判断题。

（3）通过《数学2》从表那些所选择的素材，编排的内容，结构和设计等方面是比较科学的、合理的，能很好的体现《高中数学课程标准》的要求和理念，但我们认为《课标》在课程安排上普遍感到时间不够用，可弹性差，我们建议做什么事情都不能一刀切，应充分考虑到数学的基础性和重要性，考虑每个学校学生水平的差距性，合理地安排课时，给我们的教学留有一定的弹性。

第二篇：《立体几何初步》教材分析——杨帆

数学必修2第一章立体几何初步章节分析

（杨帆 陕西师范大学 710062）

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的学科，而三维空间是人们生存的现实空间．本章将按照由整体到局部的研究方法，研究“简单几何体、直观图、三视图、空间图形的基本关系和公理、平行关系、垂直关系以及简单几何体的面积和体积”，对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证．

1.教材内容的变化

新课标新增了三视图与三视图和实物图的转换，这些内容与初中阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接，而《旧大纲》中 “直线、平面、简单几何体”没有这部分内容．增加这部分内容的主要目的是通过三视图以及空间几何体与其三视图的互相转化，对空间图形进行整体上的认识，培养和发展学生的空间想象能力、几何直观能力，更全面地把握空间几何体．

新课标也减少了一些内容：如异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离，点到平面的距离，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理，平行平面间的距离，多面体，正多面体．

2.教学目标

2.1知识目标

基础知识：

（1）理解柱、锥、台、球的结构特征；

（2）了解二面角及其平面角的概念；

（3）掌握空间点、直线、与平面之间的位置关系分类（重点）．

基本技能：

（1）理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图；

（2）掌握斜二测画法，能作简单几何体的直观图；

（3）了解柱、锥、台、球表面积和体积的计算公式，并能计算一些简单组合体的表面积和体积；

（4）理解并掌握平行关系和垂直关系的判断和性质（重点）；

（5）能利用公理和基本定理证明简单的几何命题（重点）．

2.2过程目标

（1）培养和发展学生的空间想象力与几何直观能力．

新课程立体几何初步新增加了三视图以及与实物图之间的转换．新增这些内容的目的就是为了让学生更好的认识我们所生活的这个三维空间，能够准确地描述现实世界与图形之间的关系，能从课本还原到现实，来解决生活、生产中的各种问题，发展学生对数学知识的应用意识．例如，平行关系和垂直关系中都是从生活中的平行或垂直关系出发，引入新课，进而进行探究，最后回到生活中来解决实际问题．此外，教师也应注重学生画图能力的培养，特别是立体图形直观图的画法．良好的空间想象能力是学生应该具备的基本数学素养，对于学生更好的生存与发展具有重要意义．

（2）培养学生自主的合情推理与演绎推理能力．

《标准》在立体几何初步部分，要求学生首先通过观察实物模型，空间几何体等，直观认识和理解空间图形的性质以及点、线、面的位置关系，并用数学语言进行表述．这种由一般到特殊，从具体到抽象的推理、归纳、并抽象的过程更易于学生的理论创新．而以往的教材只注重知识的强化和变式应用来锻炼学生的逻辑推理能力，却忽略了知识的发现过程和呈现方式．新课程强调数学的本质，强调数学思维品质的培养．我们可以适当弱化演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发，进行合情推理，转向更全面的教育价值．

2.3情感目标

旧教材将内容去头去尾烧中段呈现给学生，学生既不知道知识“从哪里来，又不知道到哪里去？”，新课程通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，这需要学生从身边的几何实体出发，动手做一做去猜想和验证一些命题．体验定理完整的探究过程，让学生感受到了概念的发是自然形成的，而不是数学家发明出来强加于人的、无用的．

3．知识结构与教学安排

3.1知识结构

3.2课时安排

§1.1简单旋转体

§1.2简单多面体

§2直观图约1课时

§3.1简单组合体的三视图约1课时

§3.2由三视图还原成实物图约1课时

§4.1空间图形的基本关系的认识约1课时

§4.2空间图形的公理约2课时

§5.1平行关系的判定约1课时

§5.2平行关系的性质约2课时

§6.1垂直关系的判定约2课时

§6.2垂直关系的性质约1课时

§7.1简单几何体的侧面积约1课时

§7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积约1课时

§7.3球的表面积和体积约1课时共1课时

4．教学重难点

4.1教学重点

（1）空间中点、线、面的位置关系

立体几何初步要求借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，以空间几何的上述定义和公理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中平行和垂直关系的判定和性质．

（2）三种数学语言：自然语言、图形语言、和符号语言的转化

数学拥有多种语言，这是区别于其他学科的典型特征．学生要学会从图形入手，有序地建立图形、文字、和符号这三种语言之间的联系．特别是在公理或定理教学中，要同时使用三种语言进行描述．培养符号语言的图象化事实上培养了直觉思维的发展，使文字语言符号化培养了思维的逻辑性，文字语言数学化培养了学生的数学应用意识．

4.2教学难点

（1）三视图的认识

三视图属于新课程新增内容，在三视图的教学中，组合体的三视图和依据三视图判别几何体是教学的难点．特别是对于三视图还原为实物图，教师可以实物为对象，如先画出一幅主视图，让学生用萝卜切出满足主视图的几何体，满足条件的几何体可能有很多，教师可以继续限制几何体的左视图，学生继续修改几何体，循序渐进，最后发展通过三视图来切几何体的能力，这个过程对培养学生的空间想象能力至关重要．本节课的教学需要学生动手操作，教师可借此节课培养学生对立体几何的兴趣．

（2）立体几何的证明

标准对立体几何内容是分层设计的．因此，立体几何中的证明也要分层，不能一步到位．本章学习了4条公理，4条判定定理，四条性质定理和1条从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理，标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明．对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明．所以利用几何直观证明是我们培养的重点，要相应弱化形式证明．我们所要求的证明应该是较为简单的命题，即能用定理进行简单推理，而非强调技巧的证明．此处所应用的反证法又是一难点，教师可以逐步引导学生去理解应用．

（3）培养学生形成空间想象能力和几何直观能力（重难点）

5.教学建议

（1）站在全局的角度了解学生，把握新课的定位．

新课改已经由义务教育到高中教育全面推行，很多高中老师却只关心高中的课标变化，而忽略了学生在初中的几何基础，学生学习最重要的因素就是学生已经知道了什么，这样才能了解学生的最近发展区，对学生提出适度的要求，以免造成学生过重的负担或浪费他们的能力．只有立足整体，通过联系初中平面几何中的知识，将其在三维空间中进行推广或演变，将前后知识连结为整体，增强学生知识的系统性．

（2）主次分明，对于课标不要求的点到为止．

本章的重点在第三节到第六节，简单几何体的体积、球的体积和表面积，根据课标要求只需了解公式．在教这一节时，我们只要求学生初步了解公式导出过程中所隐含的数学思想方法，并不要求理解其证明过程．

（3）书中有的旁白是对定义的补充，有的是方法指导，教师不得忽略，要做适当的讲解．

第三篇：必修2《立体几何初步》教材分析与建议

必修2《立体几何初步》教材分析与建议

一．《课程标准》关于《立体几何初步》的表述及教学要求

1、表述：

《普通高中数学课程标准》（以下简称《课程标准》）指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

2、教学要求：

空间几何体

（1）利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图。

（3）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4）完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

点、线、面之间的位置关系

（1）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可作为推理依据的公理和定理：

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

（２）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

◆一个平面过另一个平面的垂直线，则两个平面垂直。

通过直观感知，操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。《标准》与原《大纲》比较，在要求上的主要变化有⑴对于“空间几何体”：

《教学大纲》要求：了解概念，掌握性质；

《课程标准》则要求：认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征。《课程标准》把重点放在了空间想像能力上，对概念、性质则降低了要求。⑵对于“点、线、面之间的位置关系”：

《课程标准》把重点放在了定性研究（平行和垂直）上，定量研究(角和距离)在必修中不作要求（移到选修中），对线、面垂直的判定定理不证明，移到空间向量中再证。分段设计，分层递进。

⑶对知识发生的过程提出了较高的要求：

多处使用了“观察”、“认识”、“画出”、“直观感知、操作确认，归纳”等情感、态度与价值要求的行为动词。对空间几何体的要求是直观感知；对线、面关系则要求操作确认、思辨论证；对判定定理的要求是操作确认、合情推理；对性质定理则要求思辨论证、逻辑推理。(4)不要求用反证法证明简单的问题。

三、新课程教材和大纲教材处理的变化

（1）从整体到局部、具体到抽象大纲教材点、线、面 → 柱、锥、台、球； 课标教材柱、锥、台、球 → 点、线、面。

（2）强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。（3）螺旋上升，分层递进，逐步到位。

呈现上的变化。在内容呈现上，通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明。不是不要证明，而是完善过程,既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。

（5）教学内容增减：

删除（或在选修课内体现的）：

1、异面直线所成的角的计算。

2、直线与平面所成角的计算。

3、三垂线定理及其逆定理。

4、二面角及其平面角的计算。

5、多面体及欧拉公式。

6、原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）。新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）。增加:

1、简单空间图形的三视图；

专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力。

2、台体的表面积和体积等内容。

四、浙江省数学学科关于《立体几何初步》的教学指导建议

第一章 空间几何体(8课时)

难点:如何让学生概括柱、锥、台、球的结构特征。教学建议:

新课标在几何数学中强调几何学习的直观性，强调实物、模型对几何学习的作用。因此对柱、锥、台、球的学习需要从实物图形的感知出发，抽象出其本质特征，来建立多面体、旋转体的概念，进一步研究它们的结构和分类。课外可让学生动手做一做，更直接的感受空间几何图形的特征。如建议学生用纸板或游戏棒或细铁丝（作骨架）做出下列几何体的模型：

⑴正方体；⑵长方体；⑶三棱锥；⑷四棱锥；⑸三棱台。学生通过动手做，亲身体验柱、锥、台的结构特征，必会帮助学生逐步形成空间想像能力。

重点:让学生画出组合体的三视图，用斜二测画法画空间几何体的直观图。难点：识别三视图所表示的空间几何体。教学建议：

1、先让学生明确画好空间图形的必要性。

2、向学生介绍空间图形在平行投影和中心投影下的表现形式，（三视图是正投影的主要应用，斜二侧画法是斜投影的应用）；进而理解画三视图和直观图的基本要求，掌握画三视图和直观图的基本技能，丰富学生的空间想象能力。

在三视图的教学中要通过学生的亲身体验来完成，教师应该充分利用“探究”栏目中提出的问题，让学生在探究中学会三视图的画法，体会三视图的作用，同时要让学生感到三视图缺乏空间图形的立体感，为我们进一步学习直观图的画法埋下伏笔。

为突破本节的难点“识别三视图所表示的空间几何体”，先举例分析根据三视图找对应物体，再由简单图形入手分析识别方法，所选的例题不必太难，注意例题的梯度性。

用斜二测画法画直观图，关键是掌握画水平放置的平面图形，它是画空间几何体直观图的基础。而水平放置的平面图形的画法可以归结为确定点的位置的画法。在平面上确定点的位置我们可以借助直角坐标系来完成，因此画水平放置的直角坐标系是学生首先要掌握的方法。通过例题的教学使学生明确画直观图的基本要求。

教学中可设计用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图及几何体的三视图的问题，让学生动手去画。让学生用所学的投影知识，解答下面的问题：

⑴画水平放置的正六边形的直观图；

⑵画一个五棱柱，其中底面五边形为正五边形，俯视图也 是正五边形； ⑶已知某个简单几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图。

重点：让学生了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积计算公式。难点：球的表面积与体积公式的推导。

教学建议：

1、应从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系。

2、对于课本通过“思考”提出的“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它的表面积”的问题，可以进行探究教学，充分发挥学生的主观能动性，并进一步把它推广到圆台，并最终把他们都统一到圆台的表面积公式下。

3、通过对球的表面积、体积公式的运用，加深学生对公式的认识，突出公式在实际问题解决中的作 第二章：点、直线、平面之间的位置关系（10课时）2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时）

文字语言、符号语言与图形语言的转化；对异面直线的认识。教学建议：

可以先给出一些实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体——长方体模型，有关点、线、面用彩色来突出，让学生仔细的观察；设计一些实例，再给出实物图片，让学生觉得四个公理确实是显而易见的；设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信。

2.2直线、平面平行的判定及其性质（３课时）

重点： 通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理。

难点：性质定理的证明，线线平行、线面平行、面面平行这三种平行关系的联系与应用。

教学建议可以先给出一些实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得直线和平面平行，平面和平面平

行在生活中处处可见；

长方体模型中有关点、线、面最好用彩色来突出，这样显得更直观，让学生仔细的观察“教室”这一长方体模型和其他长方体模型的线面的位置关系，容易得出直线和直面平行的判定定理，平面和平面平行的判定定理以及直线和平面平行的性质定理，平面和平面平行的性质定理；

例题和习题的设计要有意识的考虑长方体、正方体模型以及一些不太规则的图形。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质（３课时）

重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理。难点：性质定理的证明，线线垂直、线面垂直、面面垂直三种关系的联系与应用。教学建议：

1、先做一个小实验，再结合长方体 模型和教室里的有关实物，正确理解 直线和平面垂直的定义。

小实验：如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的直角顶点C与墙角重合，直角边AC所在直线与 墙角所在直线重合，将三角板绕AC转动，在转动过程中，直角边CB与地面紧贴，这就表示，AC与地直垂直。

2、在讲授直线和平面垂直的判定定理时，同《2。2直线、平面平行的判定及其性质》一样，先引导学生观察一个长方体模型（或图形），注重引导学生经历直观感知、操作确认的过程，由此“抽象概括”出直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理，在此基础上，再回到长方体模型教室里的有关实物来理解直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理，将更直观、更深刻。

直线和平面垂直的判定定理和平面垂直的判定定理，只要求学生理解和应用，不要求进行证明。

3、讲清与二面角有关的概念即可，教师不能讲得太多。

4、在讲授直线和平面垂直的性质定理、平面和平面垂直的性质定理时，先引导学生观察长方体模型，注重引导学生经历直观感知、操作确认、思辩论证的过程，从而提高学生的几何的直观能力和几何的论证能力。在此基础上，再回到长方体模型和教室里的有关实物来理解直线和平面垂直的性质定理、平面和平面垂直的性质定理，将更直观、更深刻。

5、本章教学中应重视文字语言、符号语言和图形语言的相互“翻译”转换。

6、在讲完这一节后，应该引导学生把直线和直线垂直、直线和平面垂直、平面和平面垂直这三种垂直关系进行比较。

五、本章教学中应注意的几个问题

1、明确空间几何体的结构的教学目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，发展几何直观能力。从空间几何体的结构特征、画三视图和直观图、度量计算三个角度展开，引导学生认识空间几何体。

2、加强几何直观、合情推理教学，适当进行思辨论证，从几何直观、合情推理、逻辑推理等多角度培养学生空间想象能力。

3、注意从不同角度认识几何体 几何体的分类 ——比较法的应用；

描述几何体结构特征的方法——组成几何体的元素及其位置关系，运用已经认识的结构特征描述简单几何体的结构；

4、充分使用长方体模型，5、注意概念定理的发生发展过程；

6、重视问题表达数学化的教学与练习：借用数学记号，不用或少用汉字；

7、注意内容与呈现的变化。（加强过程，合情推理；从整体到局部，采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算研究几何；内容删多增少，不要过度加深、扩全。）

第四篇：立体几何解题分析

关于高考立体几何复习建议

立体几何是高中数学的重要内容之一。也是高考考查的重要内容，高考对直体几何的考查呈现出比较明显的规律。无论是试题的数量。还是试题的难度，都体现出相对的稳定性。存高考试卷中必有一个立体几何解答题。这个试题一般设有2～3个小问，或证明平行与垂直，或计算角与距离。在突出考查空间想象能力的同时，考查思维能力与运算能力。另外还有1～2个选择题或填空题。这几个小题在考查基础知识的同时，突出考查对图形的理解与想象能力，考查创新意识。从难度来看，立体几何解答题属于中等题，应是大多数同学得分的试题：在选择题、填空题中，近几年考察三视图的题型比较多，对空间想象能力和创新能力要求较高。

一、成绩数据分析

从2012年我校高考成绩数据分析来看，“立体几何”部分占填空1道，大题1道。其中填空题第10题，满分5分，我校得分1.90分，低于同类校0.99分，低于全市校1.07分。解答题第17题，满分13分，我校得分4.68分，低于同类校2.26分，低于全市校2.25分，其中第一问满分4分，我校得分2.71分，低于同类校0.58分，低于全市校0.35分；第二问满分4分，我校得分1.65分，低于同类校1.20分，低于全市校1.03分；第三问满分5分，我校得分0.32分，低于同类校0.48分，低于全市校0.87分。

二、存在问题

在立体几何中，画出空间图形的直观图，对空间图形中位置关系的识别，恰当地变换处理图形，运用空间图形解决问题是学好立体几何的关键，是空间想象能力的核心成分。在高三立体几何复习教学中，我发现学生在画图、识图、用图中存在不少问题。因此，有必要探究个中原因，反思我们的教学。

（1）基本作图能力薄弱

在高三复习中，发现不少学生随手画图，不用直尺；有的学生画出的图形线条不简洁，虚实线不分，缺乏立体感。此外，学生的认知结构中没有储存足够的基本立体几何模型，从而想不到借助基本图形来判断复杂的位置关系。基本作图能力的薄弱影响了学生对图形的观察与分析，制约了识图能力的提高。

（2）数学语言转换能力不强

空间想象能力要求学生能借助图形来反映用文字语言或符号语言所表达的空间图形或位置关系。即从语言或式子中提取关键信息，在头脑中形成空间图形的“表象”，再画出其直观图，就是说先想图，后画图。这里进行了两次转化，一是文字语言或符号语言转化为图形语言，二是空间向平面的转化，而大部分学生就是在转化的过程中出现问题。

（3）识图、用图的能力欠缺

学好立体几何要求学生具有熟练的识图、用图能力，即从复杂的图形中区别出基本图形，并通过对基本图形的分析，识别出基本元素之间的基本关系。学生往往对图形仔细观察不够，推理分析不深，不能克服由空间到平面所产生的错觉，从而不能正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构。

三、反思与建议

对上述存在问题，我认为与老师对作图教学重视不够、示范不够、指导不够，学生的作图、识图、用图训练不够有密切关系。由于高考对作图基本不考，所以有的老师干脆把“斜二测画法”晾在一边，砍掉不教了。在实际教学中，图形教学“草草收场”，习题教学“匆忙登场”；重视解题训练，忽视读图、识图能力培养；重视严密推理，忽视耐心观察而获取感性认识的现象屡见不鲜。针对此种现象我提出下列几点建议与老师们共同探讨：

（1）重视基本作图技能的训练，培养学生的作图能力

立体几何离不开图形，学好立体几何应从图形入手，学会画图、识图、用图。教师首先要高度重视作图教学，把图形教学落实到具体行动上来。要认识到培养空间想象能力，必须过好作图这一基础关，而教学不仅仅是为了考试，而是为了学生的数学素质全面提高和终身的发展，老师们应从这个高度出发，重视图形教学。其次要从最基本的平面图形的直观图、几何体的直观图入手，作好示范、严格要求，引导学生作出一个个漂亮而富有立体感的直观图，丰富学生的美感和想象力。

（2）强化概念教学、夯实空间想象的基础

立体几何图形的特征是通过概念来描述的，对概念的深刻理解是解题的基础，学生只有正确理解了概念，才能在头脑中想象并勾画出相应的几何图形，分

解出解题需要的元素。概念既是思维的基本元素，又是空间想象的出发点。要抓住概念的本质特征和关键要素进行教学弄清概念中包含哪些基本元素，以何种位置关系出现。使学生能多角度多层面透视概念，形成对概念的深刻理解。

（3）突出图形变换和转化的训练，提高学生的图形处理的能力

熟练地对空间图形进行变形处理，是学好立体几何的硬功夫，也是空间想象能力深化的标志。在教学中，我们应该有意识地加强这方面的训练，使学生在运动变化中认识图形，理解图形，使空间图形在学生面前不再僵化、呆板，而变得灵活、有生气。一方面要加强对图形的分割、补全、折叠、展开、剪拼等变形的训练，通过对图形的直观处理为解题提供帮助、使解题过程简洁、明快。另一方面要加强对图形的平移变形处理的训练。

（4）渗透数学思想方法提升空间想象能力

数学思想是对数学知识理性的、本质的、高度抽象的和概括的认识；数学方法是解决和研究数学问题，并达到目的的方法、手段、途径或程序。数学思想方法是数学精髓之所在，是教学的重点。立体几何教学中，我们主要要突出降维思想和类比思维方法的教学。

最后还是要引领学生深刻理解课本知识，强化知识重点、弥补知识弱点和盲点，使知识和能力产生良性迁移，争取达到弄通一题带动一类题的效果，提高课堂教学效益，有效提高学生复习效率，使高考复习更见成效。

王珏

2012．10

第五篇：立体几何题型分析

立体几何题型分析

（一）例

1、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm

解：因为正方体的对角线等于球的直径，求球的体积

所以球的直径

2R=，所以球的半径

R=

2a，所以球的体积V

43R

343

（2a)

3a

跟踪练习：

①已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）

A.16B.20C.24D.32

②一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为。

③一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，则球的体积是，则球的表面积是。④一个正方体的顶点都在球面上，它的球的直径是8cm，正方体的表面积是。⑤一个正方体的顶点都在球面上，它的球的表面积是48cm，正方体的表面积是。

例

2、已知圆锥表面积为am2，且它的侧面展开图是个半圆，求这个圆锥的底面直径。

解：设圆锥的底面直径是2r，母线是l； 依题意：l2r即l2r；所以r2rra 即3r

2a，即r，所以圆锥的底面直径2r

3

(m)

跟踪练习：

①已知圆锥侧面积为2m，且它的侧面展开图是个半圆，则圆锥的底面半径是

②已知圆锥的底面半径为r，侧面展开图是个半圆，则这个圆锥的表面积是，体积是。③已知圆锥的母线长为4 cm，侧面展开图是个半圆，则这个圆锥的表面积是，体积是。

④已知圆锥体积积为

3且它的侧面展开图是个半圆，则这个圆锥的底面直径是，母线长是，例

3、如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的体积是V

底面直径与母线长相等，那么三棱柱的体积是多少？

解：设圆柱底面直径2r，则母线长为2r，r22rV2r3V



即则：3

2)2rV三棱柱V三棱柱

42

所以

V三棱柱

22



4

跟踪练习：①如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的底面半径是2，底面直径与母线长相等，那么三棱柱的体积是多少？

②如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的侧面积是16，底面直径与母线长相等，那么三棱柱的体积是多少？

③如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果三棱柱的底面边长是3，底面直径与母线长相等，那么圆柱的体积是多少？

④如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果三棱柱的体积是9，底面直径与母线长相等，那么圆柱的体积是多少？

例

4、如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比

解：设正方体过一个顶点的三条棱的长分别是a,b,c

则截下的棱锥的体积=

3

2abc

abc，正方体的体积= abc

棱锥的体积与剩下的几何体体积的比=

6abc16

=abc

5abc

跟踪练习：

①将一个正方体截去四个角后得到一个四面体，则这个四面体的体积是正方体体积的几分之几？ ②将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则截去的棱锥的体积是正方体体积几分之几？ ③将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体的体积是正方体体积的几分之几？④一个正方体体积为12，截去四个角后得到一个四面体，则这个四面体的体积是。⑤一个长方体体积为18，沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体的体积是

例

5、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC

如图求它的表面积与体积。解：表面积

=

4，1

2四面体的高h

4a)





a

a

所以体积V

3C

跟踪练习：

①已知三棱锥SABC的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为5，且顶点在底面的射影是底面三角形的中心，.求它的表面积与体积。

①已知三棱锥SABC的底面是等边三角形，侧棱长为5，高是3，且顶点在底面的射影是底面三角形的中心，.求它的表面积与体积。

例

5、已知圆柱的底面直径与高都等于一球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的（2）球的表面积等于圆柱的侧面积

解：（1）设球的半径为R，则圆柱的体积VR2R2R球的体积V球

3；

R

2R

V所以球的体积等于圆柱体积的23

（2）圆柱的侧面积S2R2R4R=球的表面积

跟踪练习：

①已知圆柱的底面直径与高都等于一球的直径，球的体积为

323，则圆柱的表面积是圆柱的体积

②已知圆柱的底面直径与高都等于一球的直径，圆柱的表面积是16，则球的半径是圆柱的体积③一个球的体积是

323

cm，则它的表面积

例

6、已知圆台的上、下底面半径分别是r,R,且侧面面积等于两底面积之和，求圆台的母线长。

解：设圆台的母线长为l，由题意：(Rr)l(Rr)所以l

RrRr

2跟踪练习：①一个三棱柱形容器中盛有水，当底面ABC水平放置时，液面高为12，若侧面AABB水平放置

时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则棱柱的高为

②一个三棱柱形容器中盛有水，水的容积是6，当底面ABC水平放置时，液面高为6，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则棱柱的体积

选择题：

1、下列命题正确的序号是（）⑴空间中到定点的距离等于定长的点的集合是个球面；⑵圆台上、下底

面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；⑶圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的； ⑷圆台的所有平行于底面的截面都是圆；⑸旋转体所有轴截面是全等的轴对称平面图形。A、⑴⑶⑷⑸B、⑴⑶⑷C⑴⑵⑶⑷D⑶⑷⑸

2、下列命题正确的是（）

A 有两个面互相平行；其余各面都是四边形的几何体是棱柱 ；

B 有两个面互相平行；其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

C有两个面互相平行；其余各面都是平行四边形；每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 ；D

用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

3、下列几何体是台体的是（）

A

B

C

D）

①正方体

A．①②

②圆锥

B．①③

③三棱台 C．①④

④正四棱锥 D．②④

5、下列正确命题的序号是（）①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中一定相等； ③相等的线段在直观图中一定相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍然平行。A ①②B ②③C ①④D ①③

6、利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。

以上结论正确的是（）A ①②B ②③C ①④D ①③

7、不共面的四点可以确定平面的个数是（）A、1个`B、2个C、3个D、4个

8、共点的三条直线可以确定平面的个数是（）A、1B、2C、1或3D、49、下列命题：①平面和平面相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且

只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合。正确命题的序号是（）

A、③`B、③④C、①③D、②③④

10、下列命题正确的是（）

A、经过三点确定一个平面；B、经过一条直线和一个点确定一个平面； C、四边形确定一个平面；D、两两相交且不共线的三条直线确定一个平面。