《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄泛函知识点期末总结

第一篇：《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄泛函知识点期末总结

泛函知识点期末总结

一、关于有界线性算子，算子范数等

1、设 xXC[a,b]，定义X上的线性算子

T：若fC[a,b],(Tf)(t)x(t)f(t),t[a,b]。

求证：T有界，并求||T||。

2、设 XC[a,b],t0[a,b]。定义X上的线性泛函f：若xX,f(x)x(t0)。求证：f有界，并求||f||。

3、设 XC[a,b],t1,t2，tn[a,b],1,2,n,3C（全体复数集），定义X上的线性泛函f: 若xX,f(x)ix(ti)，f有界，并求||f||。

i1

二、关于共轭空间的定义及其求解

三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间

四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1

五、投影定理，投影算子及其性质，六、Hilbert空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子

七、完全规范正交基及其判定定理

八、Banach空间的基本定理及其应用

九、Banach共轭算子的定义及其求法

十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明

十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系

十二、完备度量空间的定义及其应用

十三、压缩映射原理及其应用

十四、hölder 不等式，Minkowski不等式，Schwarz不等式

十五、稠密，可分，完备，柯西序列

十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性

空间

第二篇：实变函数与泛函分析-教学大纲

实变函数与泛函分析教学大纲

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

适用专业：信息技术专业 课程编号： 教学时数：72学时 学 分：4 课程性质：专业核心课

开课系部：数学与计算机科学院 使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版 曹广福.高等教育出版社 参考书

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。

三、考试形式

考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配

第一章 集合与点集 要求

1、掌握集合的势，可数集

2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

主要内容

集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理

重点

集合的势，可数集 课时安排（4学时）

1、集合的势，可数集

2学时

2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

2学时

第二章 Lebesgue测度 要求

1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质

2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

3、熟练掌握可测函数的收敛性

主要内容：

Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性

重点

外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性 课时安排（12学时）

1、外测度、可测集以及它们的性质

4学时

2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

4学时

3、可测函数的收敛性

4学时

第三章

Lebesgue积分 要求：

1、熟练掌握可测函数的积分及性质

2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理

主要内容：

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理

重点

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理 课时安排：（16学时）

1、可测函数的积分及性质

6学时

2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

6学时

3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理

4学时

第四章

L空间 要求：

1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

2、熟悉L空间的内积，标准正交基

3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：

p

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换

重点

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性 课时安排（10学时）

1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

4学时

2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法

4学时

3、卷积与Fourier变换

2学时 pp

第五章 Hilbert空间理论 要求：

1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱

主要内容：

距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。课时安排（16学时）

空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投

1、距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

4学时

2、Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

6学时

3、共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱 6学时

第六章 Banach空间理论 要求：

1、掌握Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

2、熟悉开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

3、熟悉连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach定理

4、弄清弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

主要内容：

范数、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子，开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理，Hahn-Banach定理，弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

重点

Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛

课时安排（14学时）

1、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

4学时

2、开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

6学时

3、连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach

4学时

《实变函数与泛函分析》考试大纲

院 系：数学与计算机科学学院

课程名称：实变函数与泛函分析（第二学期）使用专业：数学与信息科学专业

学 时：72 其中，理论学时：72 实践学时：0 学 分：4

一、设课目的：

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力.二、课程教学内容和教学目标：

通过本门课程的教学，使学生了解函数理论的基本体系，理解实变函数的基本概念、基本原理，使学生较好的掌握集合论基础、Lebesgue测度与Lebesgue积分、线性赋范空间与Hilbert空间的基本理论和有界线性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，为从事中学数学教育提供知识储备.三、课程考核的基本形式、内容和要求：

本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试

（一）形成性考核

形成性考核部分分为：平时考勤（占20%）、作业（占70%）、课堂提问情况（占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。

学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育，严重者应给予扣分处理。

（二）课程期末考试

期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点内容为：集合的势，可数集；外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性；可测函

p数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理；L空间的范数、完备性、收敛性、可分性；距离空间的定义，紧致性，Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱；Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛.四、考核的组织：

本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。课程期末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%，期末考试成绩可占总成绩的70%。

五、教材

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.六、其他有关说明或要求

第三篇：实变函数与泛函分析初步-江苏教育考试院范文

高纲0871

江苏省高等教育自学考试大纲

0201

2实变与泛函分析初步

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

一 课程性质及其设置目的与要求

（一）课程性质与特点

实变函数论是19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的基本内容已成为分析数学各个分支的普遍基础.实变函数主要指自变量取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论，如果说微积分所讨论的函数都是性质“良好”的函数，那么实变函数就是讨论一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，实变函数论是微积分深入与发展，函数的可积性是实变函数论中的主要内容.总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.（二）设置目的与要求

课程内容包括：本课程内容包括集合及其运算，对等与基数，可数集合，不可数集合；度量空间、n维欧氏空间，聚点、内点、界点，开集、闭集、完备集，直线上开集、闭集和完备集的构造；外测度，可测集及其性质；可测函数的定义及其性质，叶果洛夫定理，可测函数构造，依测度收敛；勒贝格积分（L积分）的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理。

本课程设置目的是使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的基础理论，了解一般度量空间上的测度理论，培养学生的分析学知识，加深学生对微积分和函数的认识。

二 课程内容与考核目标

第一章

集合

（一）课程内容

集合的概念及运算，对等与基数，可数集与不可数集。

（二）学习与考核要求

1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等运算的定义和性质（包括无穷多个集的运算）.2、掌握集列的上极限与下极限集的概念及它们用集列的交和并所表示的式子，能够正确写出具体集列的上、下极限集或极限.3、理解一一映照的概念，能够正确写出两个集之间的一一映照.4、掌握对等和基数的定义及性质，掌握基数大小的定义.掌握证明集合对等的两个定理（两个不交集列对等定理和伯恩斯坦定理），能够应用它们来证明集合对等.5、掌握可数集的概念及可数基数a概念.掌握可数基数a 的最小性，掌握可数集运算后的基数定理及各种可数集的实例.6、掌握实数集的不可数性及连续基数c，掌握各种具有连续基数的集.了解没有最大基数的定理并能够正确地证明之.第二章

点集

（一）课程内容

度量空间与n 维欧氏空间，外点、界点、聚点，开集、闭集、完备集，直上开集、闭集、完备集的构造.（二）学习与考核要求

1、理解n 维欧氏空间的概念，掌握邻域概念及邻域的性质.掌握点列收敛的描述（用距离d及用邻域u来描述），掌握两集之距离，一集之直径及n维区间等概念.2、掌握内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念（包括等价命题）.掌握开核、边界、导集、闭包等概念，能够正确写出具体点集的开核、边界、导集及闭包.3、掌握开集、闭集、自密集、完备集等概念（包括等价命题和关系式）并能够对具体集合进行判别.4、掌握开闭集的对偶性定理及保持开闭性的交并运算定理.能够应用于判别具体实例.5、掌握直线上开集、闭集、完备集的构造.6、掌握康托点集的构造及性质（包括非空性、完备性、无处稠密性、无内点、基数为c、测度为零等）.第三章

测度论

（一）课程内容

外测度，可测集，可测集类。

（二）学习与考核要求

1、掌握勒贝格外测度的定义（m* E）及其基本性质（包括非负性，空集外测度规定、单调性和可次可加性等）.能够根据勒贝格外测度的定义来证明性质和验证零测度集.2、了解勒贝格内测度（m* E）概念、勒贝格可测集的第一定义

**mEmEm*（），理解对于区间I有I|I|及mI|I|的结论.了解不可测集的存在性.3、掌握勒贝格可测集的第二定义：

对任意点集T: m*Tm*(TE)m*(TCE)测集的第一、第二、定义的等价性.成立.能够用第二定义证明某些集的可测性.了解可

4、掌握可测集的两个充要条件定理.5、掌握两可测集之并为可测集定理，可列个可测集之并为可测集定理，并能够正确地证明它们.6、掌握两可测集之交为可测集定理，可列个可测集之交为可测集定理.7、掌握递增可测集列

{Sn}之极限可测定理及递减可测集列{Sn}之极限可测定理.并能够正确证明它们,还要能够用反例说明后一个定理中mS1的重要性.8、掌握波雷耳集,集,还是G型集、F型集等概念.能够根据概念正确判别具体集合是G型F型集.G型集、F型集的关系.9、掌握可测集与开集及闭集的关系;可测集与

第四章

可测函数

（一）课程内容

可测函数及性质，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛。

（二）学习与考核要求

1、掌握全体有限实数R上、下确界+∞、-∞的概念，掌握R∪{±∞}内的四则运算的意义及法则.2、掌握可测函数的定义及其等价性定理.3、掌握定义在任意点集E上连续函数的概念及连续函数可测性定理.掌握简单函数的概念及其可测性叙述.4、掌握可测函数的性质（包括可测子集上的可测性，并集上的可测性，函数四则运算及取绝对值的可测性，可测函数列的上、下确界函数的可测性、上、下极限函数可测性、极限函数可测性等）

5、掌握可测函数与简单函数关系定理.6、掌握叶果洛夫定理的引理.7、掌握叶果洛夫定理和鲁津定理，能够对应地写出与某些可测函数的“基本上”相等的连续函数.8、掌握依测度收敛的概念，能够用实例说明依测度收敛与收敛概念的不同性.9、掌握黎斯定理及勒贝格测度收敛定理.掌握依测度收敛在几乎处处意义下的唯一性定理.能够应用相关定理证明一些简单命题.第五章

积分论

（一）课程内容

黎曼积分，勒贝格积分定义及性质，一般可积函数，积分极限定理，富比尼定理。

（二）学习与考核要求

1、掌握可测分划D，关于D的Darboux大和及Darboux小和、有界函数F{x}在E上的上、下积分、在E上的（L）积分概念.掌握有界函数（L）可积的两个充分条件定理.2、掌握有界函数F(x)在[a.b]上（R）可积时（L）积分与（R）积分相等的定理并且能够正确地证明之.3、掌握有界函数的（L）积分的性质（包括和、差、积、商、取绝对值的可积性、可测子集上函数可积性、线性、不等号性质、绝对值放大性质，被积函数几乎处处为零的充分条件及绝对连续性.）

4、掌握一般非负函数（L）积分概念，一般函数（L）积分概念.掌握一般函数积分确定时或可积时的全部性质.能够证明积分绝对连续性.5、掌握（L）可积函数是具有绝对可积性的结论，能够用函数是否（R）绝对可积来判别其是否（L）可积的.6、掌握积分的极限定理（包括L-控制收敛定理和推论，列维定理，L-逐项积分定理，积分可数可加性定理，法都引理、积分号下求偏导定理）并能应用这些定理证明题目.7、理解直积、截面和下方图形等概念及性质.理解截面定理、直积测度定理、非负可测函数积分的几何意义定理及其推论.8、掌握富比尼定理,能够用富比尼定理来检验函数的不可积性.三 有关说明

（一）教材：

自学教材：程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社,2003年。

（二）补充资料

自学和命题以考试大纲为主要依据，但考虑到本课程的定理证明较难，故对本课程参考课本中的主要定理证明不作要求，但定理结论的和定理结论本身的内容必须掌握，并能利用定理来计算和判断一些命题。故须补充一些定理应用的例子和习题。具体内容可以参考下列教材：

赵静辉主编：《实变函数简明教程》，华中理工大学出版社，1996版。

烟台师范学院等九院校编著：《实变函数论简明教程》，山东科学技术出版社，1985版。

（三）自学方法的指导

本课程作为一门专业课程，逻辑性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点：

1、学习前，应仔细阅读课程大纲的第一部分，了解课程的性质、地位和任务，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。

2、所配教材只是一个参考，自学中应结合本课程大纲、补充习题、多做练习，熟练掌握基本概念，能利用基本概念定理计算判断，从而切实提高自身的数学分析问题能力和解决问题能力。

（四）对社会助学的要求

1、应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点。

2、对应考者进行辅导时，除了以指定的教材为基础外，应以考试大纲为依据，注意补充练习，注重提高学生应用概念定理分析问题、解决问题能力的发展。

（五）关于命题和考试的若干规定

1、本大纲各章所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。

2、试题难度结构要合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为3：5：2。

3、本课程考试试卷可能采用的题型有：单项选择题、填空题、简答题、计算题、证明题等题型（见附录题型示例）。

4、考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。

附录：题型举例

选择题 1．设是有理数，则下列正确的是（B）

A． 填空题： [0,1]； Ｂ．[0,1]；

Ｃ．[0,1]；

Ｄ．以上都不正确。

2．康托尔集P的测度为mP 0。集合A简答题：

4．叙述叶果洛夫定理？

[0,1]的测度为mA 0。

参考答案： 设mE,fn是E上一列几乎处处收敛于一个几乎处处有限的函数f的可测函数，则对任意0，存在子集EE,使得fn在E上一致收敛，且m(EE)。计算题： ,1,x[1,2]5．设f(x) 求f(x)dx？

[1,2]0,x[1,2].参考答案：由于m([1,2])0，据L积分的可加性及绝对连续性可得

证明题： [1,2]f(x)dx0dx[1,2]f(x)dx[1,2]f(x)dx[1,2][1,2]1dx0。

6．证明：Ea2b|a,b为可数集。

参考答案：令:a2b(a,b)，其中a2bE,(a,b),显然是单

射，故Ea。另外，显然，Ea。即Ea2b|a,b为可数集。



第四篇：2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3答案

2011年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3

d(Anx,Anx1)

1、设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记ansup

d(x,x1)xz

若an，则映射A有唯一不动点。

n1（第七章：P216，#18）

证明 因n1an，则必有N，使aN1。这样对任意x, x1X,若xx1,则

d(ANx,Anx1)aNd(x,x1)

NNNN这样由压缩映射原理A有不动点x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不动点。AN的不动点是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不动点。

若x’是A的任意一个不动点，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn1x’=…= A x’= x’。这样x’也是A的不动点，由于A的不动点是唯一的，因此x*= x’。即A的不动点也是唯一的。证毕。

2、按范数xmaxj，x1,2,n成赋范线性空间，问Rn的共轭空间是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 记R按范数xmaxi组成赋范线性空间为R，R按范数x性空间为Y，我们来证明X  Y。

定义X 到Y的映射。任意fX，Tffe1,fennnni1ni组成赋范线

，其中ei0,0,1,0,,0i1,2,,n。i对任意xe，fxfefemaxiinnniiiiTfx

于是fTf

nni1i1i1反之，对任意y1nY。定义fX：对任意xe，fx，则

iiiii1i1Tfy。因此T是 X到Y的映射 若y 0,,0，则显然f0，则Tff0。若y1n  0,,0令xnsigne，则

iii1nx 1

因此f fx i1iyTf。从而Tff。于是T是从X 到Y的同构映射。在同构的意义下XY。证毕

3、设X是Hilbert空间，MX，并且 M，证明M最小闭子集。（第九章：265，#6）

是X中包含M的证明：X中包含M的最小X闭子集是Y，若yY，则存在xnspanM，使xny设xM，则y,x limxn,x0，因此yMn闭子空间，且MY，则Y M，从而M，即YM又Y是X中

Y= Y，所以YM。证毕

4、设T为Hilbert空间X上正常算子，TAiB为T的笛卡儿分解，证明：

1T2A2B

222T2T。

（第九章：P265，#15）

证明：（1），因为

ATTTT,B22i及TTTT，得A2B22TTTTTTTTTT442，所以ABTTT。

222T22T2T2TTT，即T2T2。证毕。

45、设T是Hilbert空间X中的有界线性算子，T1，证明：

xTxxxT证明 若Txx，则xxx。

2（第九章：P265,#12）

2Tx,xx,Tx x Tx x‘ 因此，x,TxxTx。由第一节引理1，Tx与x线性相关，设Txx。由x,Txx,x，可得

1，即

Tx。这样，xTxxxTxxxTxxxTxx。

即xTxx xTxx。证毕 

6、用闭图像定理证明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

证明

设T 为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界线性算子。

T1的图像G(T1){(y,T1y)yY}，若(yn,T1yn)(y0,x0)，则

yny0,T1ynx0(n)。

设T1ynxn，则xnx0，Txny0。因为T是连续的，所以Tx0limTxny0，即

nT1y0x0。这样(y0,x0)G(T1)。于是我们证明了G(T1)在Y×X中是闭集，故T1是闭算子。再由闭图像定理，T是有界的，证毕。



17、X为距离空间，A为X中子集，令f(x)infd(x,y),xX,.证明f(x)是X上

yA连续函数。

（第七章：P215，#10）

证明

设d(E,F)o。令 o{x|d(x,E)},G{x|d(x,F)} 22则EO,FG,且OG，事实上，若OG，则有

zOG，所以

〈)存在E中的点x使d(x,z2〈)，F中点y使d(y,z2〈)，于是d(x,y)d(x,z)d(y,z矛盾。证毕 此与d(x,y)d（E，F）

8、设T1是 X1 到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1 到X3的全连续算子。（第 十一章：P319，#10）

证明 若x(x1,x2,xn,)，定义An:Anx(xakj1k1njk)ej： 则An是有界秩算子，且

(AAn)x2jn1k1xak2jk

2kjn1k1(x)(ajk)

k12jk2jn1ak12x

所以AAnjn1ak12jk0(n)。

由本章§3定理2，A是全连续算子。证毕

第五篇：(3修改后)2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3答案

2011年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3

d(Anx,Anx1)

1、设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记ansup

d(x,x1)xz

若an，则映射A有唯一不动点。

n1（第七章：P216，#18）

证明 因n1an，则必有N，使aN1。这样对任意x, x1X,若xx1,则

d(ANx,Anx1)aNd(x,x1)

NNNN这样由压缩映射原理A有不动点x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不动点。AN的不动点是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不动点。

若x’是A的任意一个不动点，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn1x’=…= A x’= x’。这样x’也是A的不动点，由于A的不动点是唯一的，因此x*= x’。即A的不动点也是唯一的。证毕。

2、按范数xmaxj，x1,2,n成赋范线性空间，问Rn的共轭空间是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 记R按范数xmaxi组成赋范线性空间为R，R按范数x性空间为Y，我们来证明X  Y。

定义X 到Y的映射。任意fX，Tffe1,fennnni1ni组成赋范线

，其中ei0,0,1,0,,0i1,2,,n。i对任意xe，fxfefemaxiinnniiiiTfx

于是fTf

nni1i1i1反之，对任意y1nY。定义fX：对任意xe，fx，则

iiiii1i1Tfy。因此T是 X到Y的映射 若y 0,,0，则显然f0，则Tff0。若y1n  0,,0令xnsigne，则

iii1nx 1

因此f fx i1iyTf。从而Tff。于是T是从X 到Y的同构映射。在同构的意义下XY。证毕

3、设X是Hilbert空间，MX，并且 M，证明M最小闭子集。（第九章：265，#6）

是X中包含M的证明：X中包含M的最小X闭子集是Y，若yY，则存在xnspanM，使xny设xM，则y,x limxn,x0，因此yMn闭子空间，且MY，则Y M，从而M，即YM又Y是X中

Y= Y，所以YM。证毕

4、设T为Hilbert空间X上正常算子，TAiB为T的笛卡儿分解，证明：

1T2A2B

222T2T。

（第九章：P265，#15）

证明：（1），因为

ATTTT,B22i及TTTT，得A2B22TTTTTTTTTT442，所以ABTTT。

222T22T2T2TTT，即T2T2。证毕。

45、设T是Hilbert空间X中的有界线性算子，T1，证明：

xTxxxT证明 若Txx，则xxx。

2（第九章：P265,#12）

2Tx,xx,Tx x Tx x‘ 因此，x,TxxTx。由第一节引理1，Tx与x线性相关，设Txx。由x,Txx,x，可得

1，即

Tx。这样，xTxxxTxxxTxxxTxx。

即xTxx xTxx。证毕 

6、用闭图像定理证明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

证明

设T 为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界线性算子。

T1的图像G(T1){(y,T1y)yY}，若(yn,T1yn)(y0,x0)，则

yny0,T1ynx0(n)。

设T1ynxn，则xnx0，Txny0。因为T是连续的，所以Tx0limTxny0，即

nT1y0x0。这样(y0,x0)G(T1)。于是我们证明了G(T1)在Y×X中是闭集，故T1是闭算子。再由闭图像定理，T是有界的，证毕。



17、X为距离空间，A为X中子集，令f(x)infd(x,y),xX,.证明f(x)是X上

yA连续函数。

（第七章：P215，#10）

证明

设d(E,F)o。令 o{x|d(x,E)},G{x|d(x,F)} 22则EO,FG,且OG，事实上，若OG，则有

zOG，所以

〈)存在E中的点x使d(x,z2〈)，F中点y使d(y,z2〈)，于是d(x,y)d(x,z)d(y,z矛盾。证毕 此与d(x,y)d（E，F）

8、设T1是 X1 到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1 到X3的全连续算子。（第 十一章：P319，#10）

证明 设{xn} 是X1 中有界点列。因为T1全连续，所以{T1xn}中必有收敛子列。我们记之为{T1xnk}。又因为T2有界，所以{T2T1xnk}也收敛，因此{T2T1xn}有收敛子列。这就证明了T2T1是全连续算子。证毕。