尼采的最高肯定公式论文（5篇材料）

第一篇：尼采的最高肯定公式论文

《查拉图斯特拉如是说》（下称《查》）体现了尼采哲学的一贯风格：对真理和生命的热爱。

尼采“永恒轮回”的思想与他对真理的热爱是分不开的——但他这种对真理的爱，或曰追求真理的意志，与《查》中批判的那种“求真的意志”有着根本的不同，两者延伸出来的思想是截然相反的。

尼采的思想中，真理永远是第一位的，他要求事物必须呈现绝对的真，不能有一丝虚假。由此也不难理解，为什么他宁要狄俄尼索斯醉的真实，而不要阿波罗美的梦境。他以孩子般的纯洁，竭尽全力走向真实，竭尽全力去揭示一个本真、原始的宇宙，不搀杂任何自以为是和自欺欺人的成分在内。

而所谓“求真的意志”所求之“真”，仅为“逼真”而已。在心怀“求真的意志”的人眼中，“万事万物均能变成人的想象之物、可视之物和感觉之物”，“世界本身应当变成”他们的“理性”、“形象”、“意志”和“爱”[1]。他们按照自己的意图，自己希望的样子来解释世界——或者说，他们就是在把世界的存在当成解释自己、满足自己的工具——这纯属一厢情愿：灾难在人类的历史中从来都没有停止过。因此，他们把世界看成“不可理喻的”和“非理性的”[2]，他们无法“忍受人生”。

为了摆脱生之痛苦，他们设想出神、上帝，并意欲创造一个彼岸，一个“可以屈尊崇拜的世界”，作为“终极的希冀和陶醉”[3]——与此相对，现实的世界则是一个“永不完美的世界，一个永远矛盾的映象，缺憾的映象”，人是“受苦者”，“对于受苦者来说，无视自己的痛苦和失去自我乃是醉心的乐趣”[4]，他们“蔑视肉体和尘世，他们杜撰天堂之事和对人的解救”，他们“逃避痛苦”，把“幻想投到人的彼岸”，妄图“摆脱肉体和尘世”[5]。

——如此种种，都被尼采视为厌世、奴性、不诚实、忘恩负义和虚无主义，视为对尘世生命的毁谤。

尼采与这种彼岸信仰者是誓不两立的，他的“永恒轮回”与此针锋相对。整个《查》都是“健康的肉体在更诚实更纯洁地说话，这个完美的端正的肉体在叙说着尘世的意义。”[6]

尼采坚决否定“彼岸”的存在，他要把人的眼光拉回现实，拉回到真理上来。信仰彼岸的人渴望宇宙按自己的意图运转，而尼采则迫使自己理解并接受——“肯定”——宇宙的规则，他的永恒轮回思想正是这种“人所能够达到的最高肯定公式”[7]。信仰彼岸的人是弱者，“在软弱灵感的影响下，弱者肯定要胆怯和逃避现实”[8]，而“害怕现实，也就是害怕真理”[9]。尼采，作为向真理和现实敞开的人，则通过永恒轮回学说“肯定消逝和毁灭”，“肯定对立和战争，肯定生成，甚至坚决否定‘存在’”，肯定“万物的绝对和无限重复循环”[10]，继而肯定尘世生存的意义——因为人只能在尘世生存，一切尘世之外的东西都是虚无的，都是主观臆想。如果存在一个意义的话，这意义只能产生于尘世，而不是某种捏造的世界，任何人若想使生存有意义，都只能在尘世寻找，没有任何选择的余地。

既然无可选择，那么一切在尘世之外寻找出路的思想，便都成了的无用的谎言；一切在尘世之外建造天堂或所谓理念的许诺，都是在“不存在”中寻找“存在”的意义——还有比这更虚妄的念头吗？

是时候了！查拉图斯特拉如是说，“真理一旦被隐瞒就会变得有毒”，而真理已经被隐瞒了这么多个世纪！查拉图斯特拉，这永恒轮回的教师如是教导人类：“凡在我们的真理中能打碎的就打碎吧，有些房屋尚需建造！”[11]

上帝死了，同上帝一道被假想出来的东西，也统统死了——它们原本就不曾存在过！

现在，只有尘世摆在眼前，尘世之后，尘世之前，仍然是尘世，万物的一切都只在这里发生，万物在永恒的时间内，演绎着相同的生存游戏，永远也无法从中拔身而出，“万物走了，万物又来，存在之轮永恒运转。万物死了，万物复生，存在之年永不停息”，“万物破碎了，万物又被重新组装起来；存在之同一屋宇永远自我构建。万物分离，万物复又相聚，存在之环永远忠于自己。”[12]

那些心怀希望的人倒霉了，那些渴望奇迹的人倒霉了——永恒轮回的学说最先击碎的，就是他们因之才能“忍受”目前生活的那些幻想——查拉图斯特拉如是教导我们：

“万物永恒轮回，我们也在其中，我们业已存在过无数次了。万物，我们，都是一个样。”

“存在着一个伟大的发展变化之年，存在着伟大之年的怪兽：这个年必然像沙漏计时器一样，一再重新转动，以便重新出发：——

——所以这些年是年年相似的，无论在最伟大之处还是在最渺小之处都年年相似；所以我们在每一伟大之年也是相似的，无论是在最大还是在最渺小之处，我们都年年相似。”

——并无天堂在等着那些希望摆脱现世痛苦的人，那么，或许他们会说：“现在我死，消逝得无影无踪，瞬间化为乌有”，然而如查拉图斯特拉所说，那伟大之年“将再造我！我是属于永恒轮回之因果律的。”“我将回来，与这个太阳、地球，与这只鹰和这条蛇一道回来——但不是进入一种新的人生或更美好的人生：——我永远回到这相似和同一个生活，无论是在最伟大之处和最渺小之处全都雷同……”[13]

这就是查拉图斯特拉——尼采对真理和尘世的肯定，它要求肯定者必须有十二分的诚实和坚强——甚至是“冷酷无情”，因为这真理是“冷酷的真理”，人们只有“不惜精力”，“具备冷酷无情的习惯”，才能“在冷酷的真理中感到精神愉快，思想快乐。”[14]

这真理被尼采作为一种“宿命论的观点”，毫无保留地接受：“把自身视为天命所归，无意‘改变’自身”。他的这种宿命论当然与宗教无关，也不是对命运的消极承受，他的“无意‘改变’”，指的是一种遵循自然规则的“伟大理性”，[15]这种“伟大理性”教导人们不可干超出能力之事：“别要求自己做不大可能的事”，因为“大凡干力不能及之事的人，莫不恶劣地虚伪。”[16]

真相已经大白，上帝、天堂等谎言已被揭穿，因此，那种“把头埋进天堂这类东西的沙堆里”[17]，想跨入彼岸的想法，便无疑是在“要求自己做不大可能的事”了。它不但虚伪，而且会使沙堆中的头颅不自由，在虚幻的缠绕中虚度一生。为此，尼采教导人们：“不要再把头埋进天堂这类东西的沙堆里，而要使头自由，使这尘世头颅为尘世创造意义！”[18]如果我们想要使自己的生存有一个意义，我们只能热爱人世！

尼采由此展开了他对尘世的肯定与赞美：“我要像热爱太阳一样热爱人生、热爱所有深邃的海洋。”[19]我们要成为那些人，“他们首先不是在星球的彼岸寻找一个毁灭和牺牲的理由，而是为尘世而牺牲，使尘世称为超人的尘世。”[20]我们要成为那种高尚者，“他的作为应当像牛一样；他的快乐应是嗅闻大地的气味，而不是对大地的蔑视……他的鸣叫当然是对人间万事的赞美”[21]，“我们也根本不想进入天国：我们是男子汉大丈夫——我们要的是人间天国。”[22]他恳请人们“把飞逝的道德引回人间”，“引回到肉体和生命处：让它赋予大地以意义，人的意义。”[23]

然而，还存在这一种信念：持有它的人即便不把头埋进天堂这种沙堆，也要把头埋进另外一种沙堆，这些人虽无意于彼岸，但也同样虚妄，他们把一切意义都赋予了将来，“把过去的一切曲解为自己的桥梁”[24]。这里暗含一种把痛苦当作“生命的障碍”的想法：过去充满了痛苦，未来或许可以没有它——过去，还有即将成为过去的现在，就这样，在对未来“毫无痛苦”的向往中，在对痛苦的忍耐和克服中度过了……

尼采告诫他们：“痛苦不可当作生命的障碍”，因为“你还会有痛苦的”，[25]万物“如此紧密相连，以至于‘此刻’把一切未来也拉到自己身上”，“万物中凡能运行的事物从这条长路出去，也必定从这条路上回来！”[26]因此，你爱人世，便注定要爱每一刻，因为一切皆同，过去、现在、未来，都是一个意思……

在此，相信读者也不难看出，永恒轮回作为一种对人与世界之关系的全新认识，让人类得见自己的真实处境：人活在世上是值得的，人生的每时每刻都是值得的——或者可以这样说，人只有活在世上才是值得的，人只有意识到每时每刻的平等性，把握每时每刻，才能真正做到有价值地生存！

不幸的是，仅仅作为一种认识，永恒轮回的学说就足以让人痛苦了。把一切幻想拉到地面上来，看似给了人可靠性，实际上却正是对人们久已习惯的可靠性之剥夺。那幻想的彼岸，寄托着人们对永恒存在的最高向往，人们希望能在那里免去一切生老病死、百般无常之苦，以安慰在世间多灾多难的心灵——但永恒轮回取消了这个彼岸，从而取消了从生之无常、生命之“消逝和毁灭”中摆脱出来的可能性。如果说生命像一场灾祸，那么人类注定永远在这灾祸中循环往复，永远无法置身其外。

那统领生之大军的上帝，那流变的万物之外的永恒存在，已经死了！尘世正如人们害怕的那样，“不可理喻”和“非理性”。人们知道万物循环，永恒轮回，每一个过程都永远是一样的。但同时，自己的下一刻具体来说会是什么样子，又因失去了目标，失去了上帝的指引和天堂的参照，而无法预料与解释，一切都充满了偶然性，难以掌握——“他们在自己的道路上失落了自我。而最终，他们还厌倦地发问：‘我们当初为何要走路呢？什么都一样！’”[27]“‘什么都不值得！你们不当有意愿！’有人在他们耳畔这样唠叨，他们就会觉得中听。”[28]“为什么活着？万事皆空！生活——这是徒耗精力；生活——这是燃烧自己而得不到温暖。”[29]——在对人世的厌倦和绝望中，他们开始走向新的信仰，甚至把驴子当成上帝重新祈祷，也有人开始纵情享乐，宁愿这么“白白活着”[30]……

但这一切，查拉图斯特拉都斥之为“古代的胡诌”和“奴性的说教”，它们全出自弱者的心胸，出自那“厌倦制造的招牌和懒惰制造的招牌”[31]——对于沉重的真理，这些人的精神还没能成为一只骆驼，他们的精神还不够强大，尚缺少足够的负载能力。面对真理，面对现实，他们“软弱、躲避和让步”，心中“有这么多的否定”，眼神中“只有这么少的命运在闪光”[32]。

可是，即便强大如查拉图斯特拉，也难以抑制对轮回的厌倦：“为什么？为何目的？向何处？在何地？怎样活？仍旧活着，这岂不愚蠢？”[33]只不过，他的厌倦蕴含着骄傲在内：“人与人是不同的，凡我要的，他们则不能要！”[34]这厌倦来自于崇高之不可得，来自于伟大与渺小之恶劣的相似性：“我曾见过赤裸裸的最伟大之人和最渺小之人：他们二者极为相似——最伟大的人甚至过于人性化了！”“最伟大的也是最渺小的！——这是我对人的厌恶！最渺小的也要永恒轮回！——这是我对一切存在的厌恶！”“你所厌倦的人，亦即小人也是永远轮回的。”“人永远轮回！小人也永远轮回！”“啊，人的极恶是渺小的！啊，人的至善也是渺小的！”“一切都一样，什么都不值得，知识使人窒息。”[35]

——存在着两种病痛：一曰“偶然”，一曰“雷同”，实则为同一个——轮回之命运对人的摆布！

生而没有自主的权利(有的人甚至连自主的愿望也没有)，只在命运的手掌下生生死死。发生的已经发生了，它们的名字叫做“过去如此”和“既已如此”，它们的名字叫做“偶然”，叫做“谜”。

“一切价值均已被创造出来，而一切被创造的价值——便是我。千真万确，不再存在‘我要’！”名叫“你应该”的巨龙如是说，“事物的一切价值——全在我身上闪光。”[36]一切事情都是如此偶然，但其全部意义，其全部价值，又全都是“你应该”的——“你们不当有意愿”。啊，在万物的轮回中，万物的价值都是“应该”如此的，万物皆同，谁也不能越过这种铁的规则！

痛苦由此而生，解救——也应为此而来：“解救人的过往，改造一切‘既已如此’，直到意志说：‘我想要的就是这样！以后还要这样！——’”[37]这里包含着“意志是创造者”的思想，查拉图斯特拉教导人们：“所有的‘过去如此’都是破烂货、谜、残酷的偶然——直到创造意志说：‘我要它如此！’——直到创造意志说：‘我要它如此！我一定要它如此！’”[38]“我要它如此”，这便是创造的意志，我要它如此它才如此，我要它如此它便如此——多么诱人的自由！它压倒一切不含意愿的“过去如此”和“你应该如此”，那软绵绵的半死之物。这创造的意志把人从“过去如此”这个“破烂货、谜、残酷的偶然”中解救出来，得到解放的人们将如行船一般，他们在人生的海洋中是自由的，因为他们知道自己驶向何方，而“只有知道驶向何方的人才知道什么风好，是他的行船之风。”[39]他们和命运同一个风向，命运的一切“如此”都是他们心中的必然！而那些不知驶向何方的人，就“只有过时的‘意欲’，就受一切波浪的戏弄”。[40]

“意志有解放作用：因为意志便是创造：我如是教导。你们应当只为创造而学习！”[41]查拉图斯特拉如是说，“创造——这是摆脱痛苦的伟大解救，它使生活变得轻松。”[42]为了整个人类的解救，他告诫人们：“你应创造一个更高级的肉体，创造初始运动和自动旋转的轮子——你应创造出一个创造者。”[43]

而为了那创造，人们首先需要狮子，固然狮子尚无创造新价值的能力，“可是，为着新创造，必须为自己创造自由”，必须“对义务说个神圣的‘不’字”，必须“获得创造新价值的权利”——“这对于一个有负载能力、令人敬畏的精神而言是最可畏的举措。真的，这对它来说是一种掠夺，是掠夺性猛兽的事业”，“它曾把‘你应该’当成它的至圣而喜爱，现在它必须在至圣中找出癫狂和放任，以便从它的爱中掠夺自由，为了掠夺便需要雄狮”。[44]“对于具有雄狮般意志的人来说求知便是快乐！”[45]

然而，“意志成为自身的解救者了吗？成为快乐之施主了吗？”

“意志——解救者和带来快乐的人是意志的别名”，但“意志本身仍是个囚徒”，“意志对于一切完成之事无能为力——对于过往之物，意志只能怒目而视”，“时光不能倒流”，“事既如此”是“意志推不动的石头”。

“愿被解放：但意志本身应思考什么，以便摆脱忧伤并嘲笑自己被禁锢呢？”愚妄者开始说教，他从这“不能倒退”的痛苦，推论出“意志本身和一切生命都成了惩罚”，“逝者如斯，一切也该过去”，“时间必将吞噬它的孩子们”，并因“过去是这样”这块石头是撼不动的，推论出“一切惩罚是永恒的”——“除非意志最后自我解救、意欲变成非意欲”——而由此，意志便与时间“和解”了。[46]

这无疑是厌世者的谬论，一个沉重的谬论。它和那些信仰彼岸的思想一样，让人的精神变得懒惰和逃避现实，怀有这种思想的人，是“还不能飞翔的人”，他们虽然“比飞快的骏马奔跑还要快”，“但它又把头沉重地埋进沉重的沙土里”。[47]这无异于承认：永恒轮回思想和它所批判的彼岸思想是殊途同归！

“意志必须要求高于一切和解的东西：此即为强力意志”，查拉图斯特拉如是说，继续高举意志大旗，对人们的沉重思想，对人们的厌倦与懒惰宣讲了对策。他要让人们知道：“凡是不带来欢笑的真理我们都称之为虚伪”[48]，永恒轮回绝对不属于这样的真理，他让人看清人生的真实面目，并不是意欲把人吓倒，而是教人们如何真实而快乐地生活，因为查拉图斯特拉是爱人类的！

“人的大忧愁，时下叫做厌恶”[49]自愿行乞者如是说——我们也的确看到，那些受煎熬的人，那些离目标近在咫尺的勇敢的人，“因为倦怠而躺在灰尘里，可谓固执”。查拉图斯特拉如是教导：“任他躺着，直至他自动醒来——直至他自动弃绝一切厌倦并领受厌倦的教训！”[50]查拉图斯特拉命人们砸碎那“厌倦和懒惰的招牌”，并如是行事：

“人必须跳舞——超越你们自己而跳舞！你们的失败，这又算得什么呢！”

“可能会成功的事多着呢！因此你们要学会自嘲！高举你们的心，优秀的舞蹈家啊，高些，再高些！也别忘记大声朗笑！”[51]

“真有很多事情已经成功！人间小的、好的、完美的事情真不知凡几！”

“把一些小的、好的、完美之事置于自己周围吧！它们金色的成熟能医治人心。完美的东西教授人们如何希望。”[52]

“世间存在沼泽和浓浓的悲愁，但谁的双脚轻捷，谁就能奔过泥沼，而且像在清扫过的冰面上跳舞。”[53]

要学会跳舞，学会自嘲，学会朗笑，学会希望和超越！用轻捷的双足，以健康而快乐的心灵，向上，再向上，直至登上最高峰——因为“攀登最高峰的人取笑一切悲剧和悲伤、严肃的态度”[54]——此即意志的胜利，真理之上强力意志的胜利。这胜利者身上具备的，正是一个孩子的特征：“清白无辜、健忘”，而精神成为了孩子，也便完成了第三次变形，得以成为“一个新的开始、一种游戏、一个自转的轮子、一种初始运动、一种神圣的肯定”[55]。

这种超越的境界，或曰超人的境界，也就是尼采永恒轮回学说许诺的最高境界。天空在绝对真理的映照下纯洁无比，心灵在一切灾难之上欢笑，灵魂“超越一切‘此地’和‘彼地’”。[56]此刻，人的生命得以成为“伟大”，它正符合尼采“衡量伟大的公式”，即“热爱命运”：“不要想变更什么，将来不要，过去不要，永远也不要。不要单纯忍受必然，更不要逃避，而是爱它……”[57]生命中洋溢的，全都是对永恒的热爱，“凡痛苦的都说：‘我要继承，我要孩子，我不要我。’”但是，“快乐不要继承，不要孩子——快乐要自己，要永恒，要轮回，要一切永远相同。”“痛苦深切，/快乐比心中的痛苦更深切：/痛苦说：去吧！/但一切快乐希求永恒——/希求深远、深远的永恒！”

痛苦没有消逝，而且，痛苦还作为永恒之万物的一部分，被快乐爱着——“快乐如此丰富，以至于渴盼痛苦、地狱、仇恨、耻辱，残废和世界”，“快乐要自己，故而也要心上的痛苦”——“一切快乐希求万物永恒”！

“万事万物是相互联系、相亲相爱的。”你对快乐说“是”，也应对一切痛苦说“是”[58]——痛苦都被爱着，都被希求赐予永恒，还有什么是在那神圣的肯定之外的呢？

查拉图斯特拉在这神圣的肯定中，因深切的快乐而激动着，他已经看到了那最高处，看到了最高处的永恒，他把“深处翻到光明处了”[59]，此刻，一切都沐浴在永恒的光中，一切都沐浴在真理的光中，“海岸消失了——现在，最后的锁链从我身上抖落了”，“无边无际的大海在我周围咆哮，时间和空间在远处向我闪光，好啊，妙啊古老的心！”[60]

查拉图斯特拉如是歌唱那至高无上的自由与永恒！

注：

[1]尼采著，黄明嘉译，《查拉图斯特拉如是说》，第88，89页，漓江出版社，2001年1月第一版。出处下同。

[2]第89页。[3]第122页。[4]第24页。[5]第26页。[6]第27页。[11]第125页。[12]第236页。[13]第239页。[16]第314，316页。[17]第25页。[18]第25页。[19]第135页。[20]第8页。[21]第127页。[22]第346页。[23]第79页。[24]第220页。[26]第172页。[27]第224页。[28]第224页。[29]第221页。[30]第216页。[31]第225页。[32]第232页。[33]第117页。[34]第138页。[35]第237，238页。[36]第19页。[37]第215页。[38]第153页。[39]第297页。[40]第224页。[41]第224页。[42]第89页。[43]第71页。[44]第19，20页。[45]第224页。[46]第153页。[47]第210页。[48]第229页。[49]第292页。[50]第225页。[51]第321页。[52]第318页。[53]第319页。[54]第38页。[55]第20页。[56]第241页。[58]第353～355页。[59]第235页。[60]第252页。

[7]尼采著，张念东，凌素心译，《权力意志》，《看哪这人！》，第72页，商务印书馆，1991年5月第一版。出处下同。

[8]第52页。[9]第94页。[10]第53页。[14]第45页。[15]第17页。[25]第73页。[57]第40页。

第二篇：尼采论文

中国石油大学（华东）

“上帝已死”，世人何去何从？

———简析《查拉图斯特拉如是说》

前言：

我用了将近一个月的时间读完了这本书。其实也不能算是“读完”，因为只是囫囵吞枣一目三行的浏览过去，其间很多话都不能理解。或许是对于基督教和西方哲学史了解太少的缘故，书中的意象于我并不甚明晰，读下来只觉晦涩难懂，难以琢磨。然而即便是这样一种尴尬的阅读状态，我仍然被尼采字里行间飞扬的文采所折服，他运用象征手法已经到了炉火纯青的境界。这是一本启示录。尼采以此唤醒世人，激发人对“超人”的向往和追求。他试图教会人类飞翔，可惜懂他的人寥寥无几。就像尼采在扉页上说的那样：“这是一本给每个人而又不给任何人的书。”

需要说明的是，我本人对于尼采，至今也是一知半解，并没有深入研究其种种著作和哲学思想。因此本文仅仅是作一般的学术性讨论，出发点是好奇心与个人爱好，其间难免会有不当乃至幼稚之处，就请老师给予修正，我将不胜感激。

正文：

对许多人来说，尼采是一个神秘的、先知式的人物。他特立独行，思想诡异，仿佛是大隐隐于市的人。然而尼采的思想具有一种无比强大的力量，它改造了许多西方思想文化遗产中的观念和价值——例如理性、自然、上帝、时间、宗教和德性。雅斯贝尔斯曾说尼采和恰克果给西方哲学带来的颤栗，而这种颤栗是难以估量的。弗洛伊德、雅斯贝尔斯、萨特都是深受尼采影响的大哲学家；而茨威格、肖伯纳、黑塞、里尔克、纪德这些世界闻名的文学家对尼采也有研究。

弗里德利希·尼采（Friedrich Wilhelm Nietzsche，1844－1900）是十九世纪的德国哲学家，他生于普鲁土萨克森州一个乡村牧师家庭。尼采自幼身体孱弱，但勤奋好学，极具语言和音乐天赋，且生就了特立独行的性格和浪漫主义的气质。尼采在古典语言方面的造诣极深，他上承古希腊苏格拉底哲学的张力和叔本华的意志学说，下开了整个二十世纪欧洲思想潮流。尼采因叔本华而叩响哲学大门，但他与叔本华却截然不同。叔本华是从生命意志（will to live）走向了虚无，而尼采却是把权力意志（will to power）塑造成超人。

现代哲学史上一般把尼采的哲学活动分为三个时期：第一时期从1870年至 1876年，这段时间他主要在研究希腊悲剧和哲学，批判苏格拉底，而崇尚叔本华和瓦格纳；第二时期为1877一1882年，这是他超越叔本华和瓦格纳，向着怀疑主义突进的精神彷徨期；第三时期为1883—1889年，这时他的思想穿透了怀疑和虚无，重估一切价值，建立了以权力意志为核心的超人哲学。

尼采著作的论述范围之广、立意之深很少有人能够企及，而他那言若古井，意若飘风的文风更令人神往。他将哲学的深邃、诗歌的浪漫、音乐的震撼、心理学的精细和语言学的广博融为一体，独具风姿，自成一家。虽然尼采的思想有些许偏激，但其中仍有许多思想对世人有所启发，影响了几代人的哲学观念。

《查拉图斯特拉如是说》共分为4卷，在前两卷中查拉图斯特拉对听众谈话，是具有训导意义的情节，而后两卷则越来越富于表现力和艺术特征。其中包括插入的抒情情节，暗喻、滑稽模仿、嘲讽俯拾皆是，尤其是第四卷宛如一面镜子，活脱脱照见各色人物的丑姿百态。

中国石油大学（华东）

（一）价值重估与超人学说 “上帝已死！”

查拉斯图特拉这样告诉人们。

对于西方世界来说，这句话不啻于惊天霹雳。捣毁上帝这个根深蒂固的“偶像”，这在传统理性主义笼罩下的世界来看是多么不可思议的冒险。在尼采看来，以道德观念为基础的欧洲文化是基督教观念的统治的产物。这些从基督教取得的诚实、服从命运、同情和怜悯弱者、不相信自己的力量的观念扼杀每一个人所独特地拥有的生命力和原始的本能冲动，扼杀人的个性、自由和创造性，使人消沉颓废，麻木不仁。所以查拉图斯特拉才要说：“真不可想象啊！这个老年圣者优游于林下，竟然没有听到任何关于上帝已死的消息呢？” 因此才需要价值重估。这是摒弃教会统治的力量之源。价值重估的最重要的意义就在于它斗争精神、批判精神、毁灭精神。要怀疑一切，要重新衡量世间一切的事物的存在意义。

在“价值重估”的旗帜下，善恶与幸福的内容也受到了重新的界定。尼采说：“什么是善？凡是增强我们人类力量的东西，权力意志及本身都是善；什么是恶？凡是来自柔弱的东西都是恶；什么是幸福？幸福是一种力量增长和阻力被克服的感觉。”从一开始，尼采 “重估”的价值就深深地打上了“权力意志”的烙印，对“死”的见解也不例外，查拉图斯特拉如是说道：“我把完美的死指给你们看，他对于生者是一种刺激和期待。”

萨特说：“上帝不存在是一个极端尴尬的事情，因为随着上帝的消失，一切能在理性天堂内找到价值的可能性都消失了，任何先天的价值都不再存在了，原因是没有一个无限的和十全十美的心灵去思索它了。” ——价值重估，是继“上帝之死”的又一回冒险。何为“超人（overman）”? 超人是不是有着耶稣灵魂的恺撒？是不是拿破仑和歌德的结合？ 超越力量的神圣和破坏力量的崇高似乎说明这一点。上帝诚然是理想人格的化身，然而超人却不是简单地取而代之。如果这样理解的话，那么尼采将陷入自设的矛盾：上帝死了意味着“意志”从“神”回到了“人”，而纯粹作为崇拜对象的超人岂不是要将人还原成神？可是，尼采对神根本不屑一顾。即便是我们承认尼采的思想确实存在着矛盾，也不能认为他把超人“神化”，应该说超人更倾向于“人化”的生命。

因此，在我看来，超人不仅仅是一种理想人格，更是一个生命本身不断超越、权力意志诉说生命力的过程，是自由的人的自由超越。超人的根本是权力意志得到了充分的发扬，冲破了一切传统的思维方式和道德规范的束缚。他们是具有鲜明的个性和创造性的人，是具有超群的智力、坚强的意志、绝对的自主性、高昂的激情的人。

“人之所以伟大，是因为他是一座桥梁，而非目的，人之所以可爱，是因为他是一种过渡，一种毁灭。”查拉图斯特拉如是说。在尼采看来，人应当走向“超人”。超人是未来，是理想，是目标；他将是超越自身者，克服者，战胜者；他是内省者，高贵者，创造者，人必须也必将达到超人。“人是动物与超人之间的一根绳索，”查拉斯图拉如是说。

正如查拉图斯特拉超越各种价值和真理一样，尼采认为人也是应该被超越的，抵达彼岸即意味着新的启程。超人不服务于某种理想，不崇尚上帝，不听凭独裁者和贪权者的权欲摆布，他不禁欲，也不囿于任何现行的哲学、道德和政治教条。

中国石油大学（华东）

查拉图斯特拉急需为拥有血肉之躯和生存意志的人寻找自由，而且不是在彼岸寻找，要在尘世寻找；首先要有摆脱羁绊的自由，然后才有创造的自由。超越者和超越本身，诚然无法为许多矛盾的事实辩护。查拉图斯特拉不得不赞颂人本身作为可以被超越的“过渡”者的伟大，又不得不站在超人的高度讥笑人是“可笑之物”、“痛苦的羞耻”，蔑视一切又有所保留。合理的解释是，造成痛苦的意识才能造就被超越的形象，不存在不通过蔑视而能够自我超越的可能。

（二）权力意志与永恒轮回

“The Will to Power”译为权力意志，或者强力意志。

在幸福岛上，查拉图斯特拉向人们高呼：“世界本身应当变成你们的理性，你们的形象，你们的意志，你们的爱。”可以想见，尼采这句话中的理性，其内涵已不再是古希腊哲学意义上的 “理性”，而是试图张扬的人的“权力意志”。传统的基督教精神宣称理性高于意志，人要克服意志，追求理性。而尼采看来，这是人格的颠倒，他要把颠倒的次序重新合目的地“颠倒”过来，把“意志”从“理性”那里解放出来，而不再是它的奴隶。

然而什么又是权力意志呢？

权力意志，可以形容为雄狮般的意志，按照查拉图斯特拉的说法，“雄狮的意志所希望的就是：饥饿、暴力、孤寂、无神。”胆怯与它格格不入，软弱更是与它话不投机。阻挡权力意志的一切事物，尤其是“神”，将被暴力驱逐。“弱者服务于强者，弱者的意志说服他这样做，”这种推导对强者同样有效。“所有的存在者都是权力意志的永恒轮回中逞其所愿。”可见，“权力意志”是支配生活及人格的“活力”，是不知疲倦地创造的生命力。它向生命说话，向所有的存在者说话。

那么，新的价值标准在哪里？尼采认为生命本身即是价值标准——而那象征着“主人道德”的权力意志，则是标准中的标准。它头顶着“永恒轮回”的光环，流淌着“超人精神”的血液，滚动着“生命价值”的齿轮。以主人的理想取代奴隶的道德，以善于创造的超人代替收容颓废的上帝。正如查拉图斯特拉所说：“阐扬生命的意义而重建其尊严，恢复健全的自我而发挥其潜能。”

一言以蔽之：你就是你自己的主人！

尼采用权力意志勾画出一幅永恒轮回的世界图景，以排除基督教对某种绝对的、彼岸的目标的追求，而肯定现实的世界和人生。他认为这是对他的学说及其理论前提和结果的阐述，亦是其证明。他以物质不灭和能量守恒的学说为佐证，认为权力意志不会永远停留于某种状态中，除了不断地流动、不断地变化本身以外，它没有任何永恒的东西。

在权力意志和永恒轮回当中，“人类”不是目的，“超人”才是目的。在欧洲的虚无主义杀死了西方文化中的上帝之后，人就必须自我超越，成为超人，真正的哲学应当成为超人哲学。这便是尼采哲学的旨归。尼采敏锐地感到，虚无主义已经站到欧洲的大门口，由苏格拉底和基督教统治的西方文明导致了悲观主义，而悲观主义又发展为虚无主义，这意味着人类的日益堕落和退化。真正创造性的文化一片凋零，市侩文化充斥一切场合，随之而来的是人的生命力和本能冲动被压抑和扼杀，人们处于一种麻木的、无目标、无标准的状态。于是，尼采呼唤像查拉斯图特拉这样的超人出现：“一切天神皆已死去；如今我们希望超人长生。”

就像查拉图斯特拉如是说的：“现在，我教你们什么是超人！”

中国石油大学（华东）

参考文献：

1.尼采《查拉图斯特拉如是说》，钱春绮译 2.张志伟《西方哲学史》

3.李秘《查拉图斯特拉的政治哲学:超人的统治》，社会科学家2004年版 4.李珺平《悲观主义与达观主义》 5.尼采《权力意志》，张念东等译，商务印书馆1991年版 6.陈鼓应《悲剧哲学家尼采》，三联书店1994年版 7.周国平《尼采与形而上学》，湖南教育出版社1990版

第三篇：泰勒公式的应用论文

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目 录

引言..................................................................................................................................................2 1．泰勒公式.....................................................................................................................................3

1.1 泰勒多项式.......................................................................................................................3 1.2 两种类型的泰勒公式.......................................................................................................4 2．泰勒公式的应用.........................................................................................................................6

2.1 利用泰勒公式求极限.......................................................................................................6 2.2 利用泰勒公式证明不等式.............................................................................................11 2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计.....................................................................15 结束语............................................................................................................................................17 参考文献.........................................................................................................................................17 致 谢...........................................................................................................................................18

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泰勒公式及其应用

理学院

数学082

陈培贤

指导教师：卢晓忠

摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。关键词：泰勒公式;佩亚诺余项;拉格朗日余项;应用

引言

不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。因此，我们常用多项式来近似表示函数。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。

在高等数学教材中，一般只讲泰勒公式及几个常用函数的麦克劳林公式，对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用，因此在泰勒公式

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及其应用方面我们有必要进行归纳总结，并且有很大的空间。本文将从求极限、不等式的证明、近似计算三个方面介绍泰勒公式的应用。

1．泰勒公式

1.1 泰勒多项式

当f(x0)0，并且x很小时，有如下的近似等式

ydyf(x0)x

或

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

上式就是用一次多项式来近似表达一个函数.在xx0处，这个一次多项式及其导数的值分别等于被近似表达的函数及其导数的值.但是，这种近似表达式存在不足之处.它所产生的误差仅是关于(xx0)的高阶无穷小，精确度不高.为了提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数.因此，可设想用高次多项式来近似表达函数.于是提出如下的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到n阶的导数，试找出一个关于(xx0)的n次多项式

2n

(1)P(x)aa(xx)a(xx)a(xx)n01020n0

用它来近似表达f(x)，要求它与f(x)之差是关于(xx0)n高阶的无穷小.为了使求得的近似多项式与f(x)在数值与性质方面吻合得更好，如函数的单调性、凹凸性等.于是可进一步要求Pn(x)在x0处的函数值以及它的直到n阶的导数值与f(x)在x0处的函数值以及它的直到n阶的导数值分别相等，即要求

Pn(k)(x0)f(k)(x0)

(k0，1，，n)

(2)

按此要求，可求得(1)式中多项式的各个系数为

a0f(x0),a1f(x0),a2于是

11f(x0),,anf(n)(x0)2!n!3

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Pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)11f(x0)(xx0)2f2!n!(n)(x)(xx0)n

(3)

(3)式中的Pn(x)称为f(x)在x0处的泰勒多项式.那么Pn(x)与f(x)的吻合程度如何？是否是我们要找的多项式呢？即是否有

f(x)Pn(x)o((xx0)n)成立，这将从下文给出证明.1.2 两种类型的泰勒公式

1.2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

定理1.1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)Pn(x)o((xx0)n)，即

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

1f(x0)(xx0)2 2!1(n)f(x0)(xx0)no((xx0)n)

(4)n!证明： 设 Rn(x)f(x)Pn(x)，Qn(x)(xx0)n，现在只要证

limRn(x)0

xx0Q(x)n(n)(x0)Rn 由关系式(2)可知

Rn(x0)Rn(x0)0

(n1)(n)(x0)Qn并易知

Qn(x0)Qn(x0)0，Qn(x0)n!

因为f(n)(x0)存在，所以在点x0的某邻域U(x0)内f(x)存在n1阶导函数.于是

当xU(x0)且xx0时，允许接连使用洛必达法则n1次，得到

(n1)(x)Rn(x)RnRn(x)

lim limlim(n1)xx0Q(x)xx0Q(x)xx0Q(x)nnnf(n1)(x)f(x1)(x0)f(n)(x0)(xx0)limxx0n(n1)2(xx0)f(n1)(x)f(n1)(x0)1f(n)(x0) limn!xx0xx00证毕.丽水学院2012届学生毕业论文

定理所证的(4)式称为函数f(x)在点x0处的泰勒公式，Rn(x)f(x)Pn(x)称为泰勒公式的余项，形如o((xx0)n)的余项称为佩亚诺型余项.所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.泰勒公式(4)在x00时的特殊形式：

f(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xxxo(xn).称为（带有佩亚诺余项

2!n!的）麦克劳林公式.1.2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式

上面我们从微分近似出发，推广得到用n次多项式逼近函数的泰勒公式(4).它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当xx0时，逼近误差是较(xx0)n高阶无穷小.现在将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计.定理1.2（泰勒中值定理）

若函数f(x)在a，b上存在直至n阶的连续导函数，在a，b内存在(n1)阶导函数，则对任意给定的x，x0a，b，至少存在一点ξa，b，使得

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2 2!f(n)(x0)f(n1)(ξ)n (xx0)(xx0)n(5)

n!(n1)!证明： 作辅助函数

f(n)(t)F(t)f(x)f(t)f(t)(xt)(xt)n，G(t)(xt)n1.n!所要证明的(5)式即为

F(x0)f(n1)(f(n1)(ξ)ξ)

F(x0)G(x0)或（n1）!G(x0)(n1)!

不妨设x0＜x，则F(t)与G(t)在x0，x上连续，在x0，x内可导，且

f(n1)(t)F(t)(xt)n

n!5

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G(t)(n1)(xt)n0

又因F(x)G(x)0，所以由柯西中值定理证得

F(x0)F(x0)F(x)F(ξ)f(n1)(ξ)G(x0)G(x0)G(x)G(ξ)(n1)!其中ξx0，xa，b 证毕.(5)式同样称为泰勒公式，它的余项为

f(n1)(ξ)

Rn(x)f(x)Pn(x)(xx0)n1，ξx0(xx0)0＜＜1

(n1)!

称为拉格朗日型余项.所以(5)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.注意到n0时，(5)式即为拉格朗日种植公式

f(x)f(x0)f(ξ)(xx0)

所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广

当x00时，得到泰勒公式

f(0)2f(n)(0)nf(n1)(x)n1f(x)f(0)f(0)xxxx 0＜＜1(6)

2!n!(n1)!(6)式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式

2．泰勒公式的应用

2.1 利用泰勒公式求极限

极限是微积分的基础，极限运算是学习微积分的基本功。求极限有许多方法，其中用等价无穷小量替换求极限是一种常用、方便、有效的方法。但寻求等价无穷小量并非易事，在替换过程中也容易出错。对于未定式的极限问题，一般可以采用洛必达法则来求。但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况，泰勒公式往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限

2.1.1用泰勒公式寻求等价无穷小量及用等价无穷小量替换求极限

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命题：f(x)P(x)o((xx0)n)，P(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2 2!1fn!(n)(x0)(xx0)n，若f(i)(x0)(i1，2，，n)不全为零，且当xx0时，f(x)0.则当xx0时，P(x)与f(x)为等价无穷小.证明：因为f(i)(x0)(i1，2，，n)不全为零，设f(k)(x0)0，且f(j)(x0)0

o((xx0)n)(j1，2，，k1)，则有limxx0P(x)limxx0o((xx0)n)1(k)11f(x0)(xx0)kf(k1)(x0)(xx0)k1f(n)(x0)(xx0)nk!(k1)!n!o((xx0)n)(xx0)k1(k)11f(x0)f(k1)(x0)(xx0)f(n)(x0)(xx0)nkk!(k1)!n!

limxx00，所以

P(x)o((xx0)n)o((xx0)n)f(x)limlimlim(1)1.因此，当xx0时，xx0P(x)xx0xx0P(x)P(x)P(x)与f(x)为等价无穷小.证毕.由此命题可以看出，可以用泰勒公式求某一无穷小量，从而利用等价无穷小量替换求极限

例1 试说明求极限limx0tanxsinx时，为什么不能用tanx与sinx的等价无穷小xx3分别替换它们？

解： 我们用三阶的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式分别将tanx与sinx表示为

x3x33tanxxo(x)，sinxxo(x3)

33!x3x3x33o(x)，这说明函数tanxsinx与于是tanxsinx是等价无穷小（即是 222x3tanxsinx的主要部分）.因此只能用来替代tanxsinx，而不能用(xx)来替代它.2例

2利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限lim2cosxln(1x)x

x0x2解： 因为分式函数的分母是x，我们只需将分子中的cosx与ln(1x)分别用二阶的

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麦克劳林公式表示：cosx1121xo(x2)，ln(1x)xx2o(x2)于是 2!211cosxln(1x)x1x2o(x2)xx2o(x2)x

22!对上式作运算是把所有比x2高阶的无穷小的代数和仍记为o(x2)，就得

121xo(x2)xx2o(x2)故 221x2cosxln(1x)x12 limlim22x0x02xxarcsin2x2arcsinx 例3 求极限lim

x0x39535 解： arcsin2x2arcsinx的泰勒展开式为xxo(x)

49x3x54则原式lim1 3x0x cosxln(1x)xx2.1.2 泰勒公式代换求极限应至少取到第几项

在高等数学中，有时求极限,用带佩亚诺余项的泰勒公式代换的方法求，许多高等教学教材中都有例子，但都没有说明取到哪一项才合适。因此，这一点必须弄清楚，否则在解题 过程中可能会出现错误以及一些不必要的麻烦，故给出以下定理。定理2.1 设12及是xx0时的无穷小量，2f(x0)f(x0)(xx0)

f(n)(x0)(xx0)no((xx0)n)Pn(x)o((xx0)n).如果lim

xx(xx)kn!00c0（c是常数，k是正整数），limxx01Pn(x)Pn(x)2存在，则lim1 lim1xxxx00的充要条件是n≥k.证明：必要性 若limxx0Pn(x)21Pn(x)12，则lim1lim1lim

xxxxxx0002Pn(x)故2Pn(x)o()，即o((xx0)n)o().因lim0，xx0(xx0)k，故与(xx0)k是同阶无穷小(xx0)，所以n≥k.c0（c是常数）充分性 因与(xx0)k是同阶无穷小(xx0)，故当n≥k时，可以得到

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o((xx0)n)o()，又2Pn(x)o((xx0)n)，所以limxx012lim xx01[Pn(x)o((xx0)n)]Pn(x)Pn(x)o()lim1limlim1 xxxxxx000 证毕.推论1 设1及12是xx0时的无穷小量，2Pn(x)o((xx0)n)，如果

xx0lim(xx0)k（c是常数），limc0，xx01Pn(x)存在且不等于零，则lim12xx0

limxx01Pn(x)的充要条件是n≥k.证明：由定理2.1知limxx0Pn(x)12lim1的充要条件n≥k，也就是xx01xx0lim12xx0lim1的充要条件.即lim的充要条limxx0xx0P(x)1Pn(x)121n件.证毕.定理2.2 设1，2，均为xx0时的无穷小量，2Pn(x)o((xx0)n)，xx0lim1Pn(x)1Pn(x)12存在，如果lim（是常数），则 c0limlimckxxxxxx(xx0)000的充分条件是n≥k 证明：因limxx0(xx0)kc0，故与(xx0)k是同阶无穷小.当n≥k1时，o((xx0)n)O()(xx0).即有界.又2Pn(x)o((xx0)n)，所以limxx012 1[Pn(x)o((xx0)n)]1Pn(x)o((xx0)n)1limlimlim，又1是无穷小量，xxxxxx000所以limxx0o((xx0)n)10，即limxx0P(x)12.证毕.lim1nxx0推论2 ，1，2均为xx0时的无穷小量，2Pn(x)o((xx0)n)，如果

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xx0lim(xx0)k，limc0（c是常数）

1Pn(x)xx0存在且不等于零，则limxx0lim 12xx01Pn(x)的充分条件是n≥k1.证明：由定理2.2知，limxx0P(x)12lim1n的充分条件是n≥k1.也就是 xx01xx0lim12xx0lim1的充分条件.即lim的充分条件.limxx0xx0P(x)1Pn(x)121n1(x1)3x1sin(x1)例1 求lim6

x1tan5(x1)解：这里x01，11(x1)3x1，2sin(x1)，tan5(x1).因为 6tan5(x1)即k5.故由定理2.1知sin(x1)的带有佩亚诺余项的泰勒公式lim10，5x1(x1)只要取到含(x1)5项即可.所以取

sin(x1)(x1)11(x1)3(x1)5o((x1)5)即 3!5!11Pn(x)(x1)(x1)3(x1)5 因此,原式

3!5!1111Pn(x)(x1)3x1x1(x1)3(x1)5(x1)3x163!5!6limlim 55x1x1tan(x1)(x1)1(x1)51lim5! x1(x1)5120(ex1x)lnx例2 求lim

x1sin3(x1)解：这里x01，1lnx，2ex1sin3(x1)x，sin(x1).由于limx1(x1)3310，即k3.故由定理2.2知ex1的泰勒公式取到含(x1)31(x1)2项即可.取

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Pn(x)1(x1)1(x1)2，所以原式 2!1211(x1)(x1)xlnx3(x1)2lnx1lnx(x1)2!2!limlimlim33x1x1x12(x1)sin(x1)sin(x1)sin(x1)12

2.2 利用泰勒公式证明不等式

关于不等式的证明，我们以前学过了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凹凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.定理2.3 设函数yf(x)在x0点附近二阶可导，则

(1)若f(x)＞0，则有f(x)≥f(x0)f(x0)(xx0)

(2)若f(x)＜0，则有f(x)≤f(x0)f(x0)(xx0)等号当xx0是成立.2.2.1 证明代数不等式

例1 证明设nN，则nnnnnnnn≤2nn，n≥2

1证明：设f(x)x x＞0，则f(x)xnn1nn11n，f(x)xnn12nn＜0

由定理3.3得 f(nnn)≤f(n)f(n)(nn)，f(nnn)≤f(n)f(n)(nn)两式相加即得结论.例2 设xiR，i1，2，，n.xi1nia，≥2,求证

x3xnx1x2a1≥ 2ax1ax2ax3axn(n1)nxx1(ax)x证明：作函数f(x)，0＜x＜a，则f(x) 2ax(ax)f(x)(1)x2(ax)22x1(ax)2x(ax)2.注意到0＜x＜a，则

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nx1x2xna，因为xia，有x0，则可f(x)＞0.利用定理2.3，取x0nni1得

aaaf(x1)≥ffx1

nnnaaaf(x2)≥ffx2

nnn

aaaf(xn)≥ffxn

nnnn式相加得f(x1)f(x2)f(xn)≥nffx1x2xna

ax3xnx1x2a1n即≥n 2a(n1)nax1ax2ax3axnan原结论得证.2.2.2 证明含导函数不等式

ananp1x1p2x2pnxnf0b内二阶可导，例3 设f(x)在区间a，且f(x)≥，则p1p2pn≤

 p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)，其中p1，p2，，pn均为正数，x1，x2，，p1p2pnxna，b.证明： 记x0p1x1p2x2pnxn，则x0a，b，由于f(x)在a，b内

p1p2pnf(ξ)2！二阶可导，故f(x)在点x0处一阶泰勒公式成立.f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2，ξ在x0与x之间.因为f(x)≥0，xa，b，所以f(x)≥f(x0)

f(x0)(xx0).分别取xx1，x2，，xn，则有

f(x1)≥f(x0)f(x0)(x1x0)

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f(x2)≥f(x0)f(x0)(x2x0)



f(xn)≥f(x0)f(x0)(xnx0)

以上各不等式分别乘以p1，p2，，pn得

p1f(x1)≥p1f(x0)p1f(x0)(x1x0)p2f(x2)≥p2f(x0)p2f(x0)(x2x0)



pnf(xn)≥pnf(x0)pnf(x0)(xnx0)

将上面n个不等式相加得

p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)≥(p1p2pn)f(x0)

f(x0)[p1x1p2x2pnxn(p1p2pn)x0] 因为x0p1x1p2x2pnxn，所以

p1p2pnp1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)≥(p1p2pn)f(x0)则

f(x0)≤p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)，从而得

p1p2pnp1f(x1)p2f(x2)pnf(xn).结论得证.≤p1p2pnp1x1p2x2pnxnfp1p2pn例4 若函数f(x)在区间a，b上具有二阶导数，且f(a)f(b)0，则在a，b 内至少存在一点，使f()≥

4f(b)f(a)(ba)2成立.证明：因为f(x)在a，b上具有二阶导数，所以f(x)在x0处一阶泰勒公式成立

f(ξ)(xx0)2(1)2！ab其中ξ在x与x0之间，x0a，b，在(1)式中取x0a，x，则有

2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)13

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ξ1)abababf(f()f(a)f(a)aa，因为f(a)0，所以 22！22abf(ξ1)baab(2)f()f(a)，a＜ξ1＜222！2在(2)式中取x0b，x22ab，又因为f(b)0，所以 22abf(ξ2)baab＜ξ2＜b(3)f()f(b)，222！2(3)式减去(2)式并取绝对值得

11f(b)f(a)(ba)2f(ξ2)f(ξ1)≤(ba)2f(ξ2)f(ξ1)

88取f()Maxf(ξ1)，f(ξ2)，a，b，则

f(b)f(a)≤(ba)22f()即f()≥

181(ba)2f()44f(b)f(a)(ba)2

证毕.2.2.3 证明含定积分不等式

例5 设函数f(x)在区间a，b上二阶连续可导，且fab0，证明 2baM(ba)3f(x)dx≤，其中Mmaxf(x).axb24ab处展开，得 2f(ξ)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2，其中ξ是x0与x之间的某个值.2！证明： 将f(x)在x0因为ff(ξ)abf(x)f(x)(xx)(xx0)2，所以有0002！2上式在a，b作定积分，然后取绝对值

baf(x)dxf(ξ)2f(x)(xx)(xx)dx 000a2!b12baf(ξ)(xx0)2dx≤

M2ba(xx0)2dxM(ba)3 2414

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即baM(ba)3f(x)dx≤ 证毕.242.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计

根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数所产生的误

f(n1)(ξ)差.由拉格朗日型余项Rn(x)(xx0)n1，如果f(n1)(x)≤M，M为一定数，(n1)!则其余项不会超过Mxx0(n1)!n1.由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差.正弦函数及其近似多项式Pn(x)(n1，3，，19)通过计算机作出的图象如下图所示，可以看到sinx与其近似多项式Pn(x)的图形随着n的增大而变得贴近起来，也就是说，误差Rn(x)随着n的增大而变小.特别当x偏离原点较远时，选取阶数较高的麦克劳林多项式Pn(x)来近似表示sinx时，其精度就较高.例1 求101的近似值 解： 10110011011 100711135由1x1xx2x(1x)2x4，0＜＜1

281612815

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可得到101101111111 10.049875625232100810016100此时误差R10R35113.90625105 ＜104128100100由此可见，精确度很高.例2 求定积分sinx0xdx的近似值.1解： 该被积函数的原函数不是初等函数，故用牛顿—莱布尼茨公式是无法求出其精确解的.考虑sinx的泰勒展开，能方便地求出其近似数.1315cosx7xxx，0＜＜1 3!5!7!sinx11cosx61x2x4x，0＜＜1 则 x3!5!7!11sinx1cosx1135dx(xxx)x6dx 所以000x33!55!7!1sinx11dx10.9461 可得0x33!55!sinxx此时误差RR6(x)0xdx1111cosx665xdx310≤＜.xdx07!07!77!1例3(1)计算e的值，使其误差不超过10；

6(2)证明数e为无理数.111e解：(1)当x1时有e11 0＜＜1.()

2!3!n!(n1)!e3故Rn(1)＜，当n9时，便有

(n1)!(n1)!R9(1)＜

336＜10.10!3628800从而略去R9(1)而求得e的近似值为 e111112.718285.2!3!9!(2)由()式得

en!e(n!n!34nn1).n116

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倘若ep（p，q为正整数），则当n＞q时，n!e为正整数，从而上式左边为整数.因qee3为＜＜，所以当n≥2时右边为非整数，矛盾.从而e只能是无理数.n1n1n1

结束语

本文主要介绍了泰勒公式在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用。在求极限方面，用泰勒公式求等价无穷小量并且讨论了替换求极限时应取到哪一项。不等式证明主要从三类不等式入手，用典型的例题加以阐述泰勒公式在这方面的应用。近似计算应该是泰勒公式最贴近实际的应用了，并能满足很高的精确度。但并不是所有的近似问题都可以用泰勒公式，它的限制条件比较多，必须是n阶连续可微函数，如果近似的阶数越小，则求出的误差也就会越大。

由于自己的水平能力有限，虽然已经学习了一些有关方面的知识，但在写论文的过程中还是碰到了许许多多的困难，所写的论文难免有不足之处。正是有了这些困难，才给自己解决问题的机会，才能锻炼自己的思维，培养自己的能力。

参考文献

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[9] 安丽微.泰勒公式及其应用[J].素质教育论坛,2009,(03).[10] 陈晓萌.泰勒公式在不等式中的应用[J].昌潍师专学报,2000,(02).[11] 潘劲松.泰勒公式的证明及应用[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2010,(04).[12] 赵小样.泰勒公式的证明及其应用推广[J].科技风,2008,(03).Taylor formula and its application

Faculty of science

Mathematics 082

Chen pei-xian

Director: Lu xiao-zhong

Abstract: The Taylor formula is important in mathematical analysis , the theory has become an indispensable mathematical tool by the research function limits and estimation error , embodies the essence of the calculus “approximation method”.Use the Taylor formula can effectively solve some problems , have important applications in various aspects of the calculus.This article will introduce Taylor formula and its applications in three aspects of asks the limit，proof of inequalities and approximate calculation , allowing a deeper understanding in the Taylor formula , understanding the importance of the Taylor formula.Keyword: Taylor formula Peano remainder Lagrange remainder applications

致 谢

本论文自始至终在指导教师卢晓忠老师的亲切关怀和悉心指导下完成的，卢老师严谨的学习与工作态度使我受益匪浅，也感染着每一位他所指导的学生。在本论文的撰写过程中给与我大量的指导和帮助。真挚地感谢卢晓忠老师对本论文的精心指导。

同时也感谢家人和同学在学习生活中对我的关怀和支持。

第四篇：【股票指标公式下载】-【通达信】资金流入流出(最高量、大资金、净流入)

【通达信】资金流入流出（最高量、大资金、净流入）-指标公式源码

CN1:=HHV(V,5);{5日最高量} CN2:=O>C;CN02:=C>O;CN03:=C=O;CN04:=((SUM(V,5)/CN1));CN05:=IF(CN04>0.3,1,0);{大资金} CN06:=IF(CN2 AND CN05,V,0);{大资金流出} CN07:=IF(CN02 AND CN05,V,0);{大资金流入} CN08:=IF(CN03 AND CN05,V,0);{不明流向大资金} 累积资金流入:SUM(CN07,9);累积资金流出:SUM(CN06,9);净流入:(累积资金流入-累积资金流出),COLOR0000FF;不明流向大资金:SUM(CN08,9),COLORMAGENTA;

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(文档来源：若水财经社区)

第五篇：师德论文 (爱,是教师的最高职业道德准则!)

爱，是教师的最高职业道德准则！

封丘县戚城中学魏海涛

教师的工作，有其自身的特点和规律。面对一个个天真无邪的孩子，要想顺利有效的教育好每一个学生，实现“教书育人”的根本目标，必须懂得爱的教育艺术。只有这样，才能用自己的心灵去唤醒学生们求知若渴的心灵，从而使他们渴望得到知识、热爱美好的事物、向往美好的未来，自由地发展自己的个性，自觉地完善自己的品格，并能在不断地学习和锻炼中逐步树立起自己坚定的理想和信念。因此，我认为，爱，是教师的最高职业道德准则！

教师，需要用爱的思想去组织教育教学活动，用爱的艺术去实施自己的工作。

一、爱是教育的灵魂

从心理学的角度来说，人都有一定的动物性。当然，作为理性尚未成熟的少年儿童，其动物性更是明显的。教师要想按一定的目标对其进行教育教学，就必须首先懂得用爱去开启学生的心智，以爱的言行去感染和影响他们的情感与行为。只有这样，教师对学生所实施的教育和教学活动，才具有一定的感召力，教师的一言一行才会被他的学生所接受、所理解，教师的形象才能在学生心灵深处树立起来，从而赢得学生的爱戴和信赖。

教育实践证明：一个深爱学生并能深受学生爱戴和信赖的教师，他的教育和教学效果总是良好的，因为，这样的老师，他的言行对他的学生来说，具有超常的影响力和感召力。

当一个教师在教育和教学活动中，能够达到使自己的学生对他的一言一

行至信不疑的境地时，他的教学实践活动，必然会取得常人难以想象的效果：教师勇于创造，学生追求卓越。

然而，一个不受学生信赖的教师，他的教学工作不论多么努力，都是不会取得良好效果的。

所以，我坚信：爱，是教育的灵魂。

二、用爱的智慧去唤醒学生的心灵

教师在自己的职业道德中，要充分认识爱的作用，坚持用爱的智慧去唤醒学生的心灵。

教师在自己的教育教学活动中，要进行的工作很多，而最重要的首先应该是对学生心灵的教育。

少年儿童，面对全新的世界，面对未知的一切，要想从不知到知，从不认识到认识，必须通过他们自己的心灵去感悟。

因此，教师要想帮助学生认识世界和学习知识，就必须懂得爱的艺术，学会用爱的智慧，以学生喜闻乐见的方式去启发和教育他们，使他们幼小的心灵不断得到开发。

那么，教师应当怎样去用爱的智慧唤醒学生的心灵呢？

首先，应该让学生对周围的世界充满兴趣。鼓励学生对身边的事物进行观察和思考，学习从现象到本质，由个别到一般的认识事物的方法，掌握事物发展变化的客观规律。

其次，应该让学生对书本上的知识充满兴趣。教育学生热爱读书，使他们充分地认识到：书是瞭望世界的窗口；书里有无穷无尽的知识和道理，这些宝贵的精神财富是前人和当今世界上有识之士对自然和人类社会不断认识和研究的结晶；青少年，只有不断的读书学习，才能使自己健康地成长为

对国家和人民有用的人才。

第三，应该让学生对自身的发展和提高充满信心。教师要引导学生，不断促进自身的发展，努力学习新知识，提高自己的认识，丰富自己的知识和情感，并对自己的健康成长充满信心。这样，学生就能不断充实自己的心灵，并能以自己积极向上的心态促使自己的发展和提高，从而，使学生进入自觉成长的良性轨道。

三、用爱去发现和培养学生的个性和潜能

从教育学的角度来说，每一个学生都是一个特殊的个体，每一个学生都有一个特殊的心灵世界。教师在自己的教育教学实践中，只有善于发现学生在丰富多彩的教育教学活动中所不断表现出来的鲜明个性，才好有效地去发展和培养他们的潜能。

少年儿童，在生活和学习中，爱说、爱动，敢于幻想和想象，他们是一个鲜活而生动的群体，但是他们因家庭、父母和自幼所受的环境影响等外界因素的不同，加之各自平时所留心的兴趣点的不同，因而，他们在兴趣、爱好和习性上，又具有着明显的个性差异。这些个性的差异，对他们的学习志趣有着极其重要的影响。教师在自己的教育教学活动实践中，必须充分地意识到这一点。只有这样，教师才好准确地发现每个学生的个性，从而进行因材施教；只有这样，每个学生的潜能也才能得到有效地开发和培养。

如果我们作教师的都能准确地把握每一个学生的个性，并能做到用自己的爱心去组织和开展我们的教育和教学活动，使学生乐于参与，主动发挥，那么，他们的潜能就能得到最大限度的发展，从而使他们逐步地成长为各有特色的人才。

四、用爱去完善学生的品格

教师在自己的教育和教学实践中，不仅需要善于用爱心去发现学生的个性，去发展学生的潜能，而且更应该用爱心去完善学生的品格。

一个学生，是否具有良好的品格，不论是对他能否顺利地完成现阶段的学业，也还是能否在将来成长为一个对社会有用的人才，都有着极其重要的作用。

因此，教师必须充分重视对学生良好品格的培养，必须从对学生终身负责的角度出发，用自己的爱心去完善学生的品格。

教师要能使学生从小就懂得：什么是真、善、美？什么是假、丑、恶？人应当有什么样的世界观、人生观和价值观？人生应当在不断地克服困难、战胜自我、超越自我中积极追求和进取等。

然而，学生的良好品格，不是一下子就能形成的，他需要在学习和锻炼的过程中不断地丰富和完善。

教师应当怎样去逐步完善学生的品格呢？我认为，主要应从以下几个方面去努力：

（一）、应当教学生做真人。教师在自己的教育教学实践中，要始终坚持“言行一致，处处做学生的表率”。使学生懂得：说话、办事、学知识、练技能，都要实事求是，绝不可弄虚作假；只有这样，才对己、对人、对社会有益，才有利于学生求真知、做真人。

（二）、应当教学生勤劳、俭朴。教师必须在日常生活中，要求学生热爱劳动，以俭朴为荣。只有这样，学生才能不断体会到劳动的意义，懂得做人的本分，从而，热爱劳动人民，爱惜劳动成果，珍惜幸福的生活，进而做到自觉地回报父母、回报社会。

（三）、应当教学生志存高远。要使学生懂得：只有心存大志的人，才

能在学习中不怕困难、勤奋自觉；也只有心存大志的人，将来在工作中才能意志坚定、奋发进取，一至能在战胜重重艰难险阻、历经种种人世沧桑中毕力创造，最终走向事业的成功和人生的美好未来。

总之，在“建设有中国特色社会主义”的旗帜下，我们的教师，只要把对党的忠诚和对人民教育事业的高度责任感化作对学生的一片爱心，在自己的教育教学工作中，把爱作为自己最高的职业道德准则，我们就能真正做到：一切为了学生，为了一切学生，为了学生的一切，从而培养出一代代充满爱心、有志于献身国家、民族振兴大业的优秀人才。

愿所有的教师都能充分认识“爱，是教师的最高职业道德准则”的真正意义，并能自觉地将其付诸自己的教育教学实践！