有限元与数值方法-讲稿19 弹塑性增量有限元分析课件

第一篇：有限元与数值方法-讲稿19 弹塑性增量有限元分析课件

材料非线性问题有限元方法

教学要求和内容

1.掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则； 2.掌握弹塑性增量分析的有限元格式； 3.学习常用非线性方程组的求解方法：

（1）直接迭代法；

（2）Newton-Raphson 方法，修正的N－R 方法；（3）增量法等。

请大家预习，争取对相关内容有大概的了解和把握。

弹塑性增量有限元分析

一．材料弹塑性行为的描述

弹塑性材料进入塑性的特点：存在不可恢复的塑性变形；

卸载时：非线性弹性材料按原路径卸载；

弹塑性材料按不同的路径卸载，并且有残余应变，称为塑性应变。

1．单向加载

1）弹性阶段: 卸载时不留下残余变形;2）初始屈服：s

3）强化阶段：超过初始屈服之后,按弹性规律卸载，再加载弹性范

为相继屈服应力。围扩大：ss，s 4）鲍氏现象（Bauschinger）： 二．塑性力学的基本法则

1．初始屈服准则：

F0(ij,k0)0

已经建立了多种屈服准则：

（1）V.Mises 准则：F0(ij,k0)f(ij)k00

1(第二应力不变量),k0(s0)231偏应力张量：sijijijm,平均应力：m(112222)3

1f(ij)sijsijJ22（2）Tresca准则（最大剪应力准则）：

F0(Sij)maxs0

2．流动法则

V.Mises 流动法则：

ddpijF(ij,k0)ijpijdf(ij)ij，d0 待定有限量

塑性应变增量 d 沿屈服面当前应力点的法线方向增加。因此，称为法向流动法则。

3．硬化法则：

（1）各向同性硬化：F(ij,k)f(ij)k0

12p2pppks(),dijdij

等效塑性应变，可由单拉试验确定。33（2）运动硬化法则：

* Prager运动硬化准则；（3）混合硬化法则： Zeigler修正的运动硬化准则。7

4．加载卸载准则：

f(ij)ij0F(,k)0ij

（1）若，且ij，则继续塑性加载

ij0F(,k)0ij

（2）若，且，则按弹性卸载

f(ij)ijf(ij)

（3）若F(ij,k)0，且ij0ij，1）对理想塑性材料，则继续塑性流动；继续塑性加载，但塑性应变增量为零。dp0

2）对硬化材料，则

三．弹塑性增量的应力应变关系 1．建立弹塑性增量应力应变关系的原则

（1）一致性条件：塑性加载时，应力仍在屈服面上

（2）流动法则：新的塑性应变增量，d，在屈服面上的原应力点的外法线方向。

（3）弹性应力应变关系：应变增量的弹性应变部分与应力关系仍服从胡克定律。

2．各向同性硬化材料的应力应变关系

（1）一致性条件

(ij,)F(ijdi,d)F(ij,

dFj

pij，FFdFdijd0 ij具体形式：

sf2sdijsdp0Ep，ij3pp单向拉伸试验测得。

（2）流动法则：

ddpijf(ij)ij1f(ij)sijsij，22p2pp22f2pppdijdijddijdijdds 3333ij

（3）应力应变关系：

dijdd

dijDijkldDijkl(dkld)DijkldklDijkld)

注意：屈服条件是已知的，我们应该将塑性应变通过已知量表示出来。根据流动规则，ddpijeijpijeklpklpklf(ij)ij，需要确定d。

feDijkldklijdff42eDijklsEp，ijkl9sEpp ddpijf(ij)ij

eijkleklpkl

dijDdDijkl(dkld)f(kl)D(dkld)kleijklfDdklDeijkleijkleijklfklmnfmnepijklDemnqrDemnqrf42sEpqr9dqr

DdklDdklDdklpijkl 弹性张量：D,dijDd

ffeDDmnklpqmnp[D]ff42，eDmnqrsEpmnqr9eijpqeijkleijklekl塑性张量：

pDijklffe[D][D]fef42 [D]sEp9eT弹塑性张量：DDD

epijkleijklpijkldijDdklDdklDdkl

写成矩阵形式： eijklpijklepijkl}

d[D]{depD[]d{ep}D[ d]{}

四．弹塑性增量有限元格式 1 弹塑性问题的增量方程

将物体的作用荷载分成很多阶段，以模拟加载历史。假设在t时刻作用的荷载：F（体积力），T（表面力），u（已知位移）,以及所对应的响应（应力ij，应变ij，位移ui）已知。求tt时刻对应的响

tttttt应：

ttFFF，ttttTT，T

ttttuuu

tttijijij，ttijijij，ttuiuiui

t

由虚功方程（虚位移原理）描述的控制方程为：

 (ijij)(ij)dx(FF)(ui)dx(TT)(ui)ds0sttt ij(ij)dxF(ui)dxT(ui)dssij(ij)dxF(ui)dxtttsT(ui)ds

 tDkl(ij)dxF(ui)dxT(ui)dssepijklij(ij)dxF(ui)dx16 tttsT(ui)ds

写成矩阵形式

 {}[D]{}dx{u}{F}dx{u}{T}dsstep{}{}dx{u}{F}dx{u}{T}ds

ttts将物体离散成有限单元，单元内任意点的位移增量通过形函数用单元节点位移增量表示： 位移：{u}[N]{a} 应变：{}[B]{a} 带入虚功原理：

}{Q

[K]{a

eet

[K][K],[K][B][D][B]dxttetetepee{Q}{ttQ}{ttQ}{ttQe}{ttQe}

[K][B][D][B]dxetetep{ttQ}[N]{eteettF}dx[N]{setsettT}dx{Q}[N]{F}dx[N]{T}dxte

采用纯增量法作弹塑性有限元分析的步骤

以下仅限于简单加载过程（无反复加卸载过程）和Mises各向同性强化材料:

1.开始，输入初始参数（几何；材料性质，，EP；边界条件；外载

0s荷）

2.将外载荷一次加上作线弹性分析 qmax（Mi.条件）如果 否则 maxs0 maxs0

不存在塑性区则为弹性问题直接输出结果 结束！

作弹塑性分析

Q3.计算弹性极限Qe 设 max/，则 Pe0s

e、e。并可输出弹性极限载荷Qe下的结果qe、4.对剩余载荷QrQQe作弹塑性分析

如果采用等增量步格式，则将Qr等分为N个增量步，即每一增量步载荷为：QQrN。下面5.中是对N个增量步循环。

5.在i步上施加一个增量载荷Qi。已知当前状态下（i-1步终），各单元的（or高斯点），，s。判断三种类型的单元：1）弹性 2）塑性

3）过渡单元。对本增量步内所有过渡单元经过2~3次迭代得

k到合适的Dep，计算各单元的t，并集合所有单元，形成总刚KT，求解[KT]aQ得ai

得到第i步的解。

aiai1ai 和

i

1i；i

i1 i i,s 同时记录下各单元的当前状态。s如果，荷载步为卸载，则采用弹性应力应变关系。6.直至全部载荷施加完毕，输出结果，结束21