公式法计算
知识点拨
一、常用公式
1.;
2.;
3.;
4.;
5.等比数列求和公式:();
6.平方差公式:;
7.完全平方公式:,;
用文字表述为:两数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的倍,两条公式也可以合写在一起:.为便于记忆,可形象的叙述为:“首平方,尾平方,倍乘积在中央”.
二、常用技巧
1.;
2.;
3.,,,;
4.,其中.
例题精讲
一、前项和
【例
1】
【考点】公式法之求和公式
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
2】
计算:
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
3】
计算:
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算:___________.
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
与公式相比,缺少偶数项,所以可以先补上偶数项.
原式
【答案】
【例
4】
计算:
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
原式
【答案】
【例
5】
计算:。
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】西城实验
【解析】
原式
其中也可以直接根据公式得出
【答案】
【例
6】
计算:
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
分拆
(),()再用公式
原式
【答案】
【例
7】
对自然数和,规定,例如,那么:
⑴
______________;
⑵
______________.
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
⑴
原式
⑵
原式
【答案】⑴
⑵
【巩固】
看规律,……,试求
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】人大附中
【解析】
原式
【答案】
【例
8】
计算:
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
法一:利用等比数列求和公式。
原式
法二:错位相减法.
设
则,整理可得.
法三:本题与例3相比,式子中各项都是成等比数列,但是例3中的分子为3,与公比4差1,所以可以采用“借来还去”的方法,本题如果也要采用“借来还去”的方法,需要将每一项的分子变得也都与公比差1.由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以2进行算,最后再将所得的结果除以2即得到原式的值.
由题设,则运用“借来还去”的方法可得到,整理得到.
【答案】
【例
9】
计算的值。(已知,,,,)
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
注意到式子的特点是从第一个加数开始,每一个加数比前一个加数的指数减少,的指数增加.所以每一个加数是前一个加数的倍,如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为的等比数列,于是按照错位减法进行运算即可。
记,,那么,即原式的值为.【答案】
【例
10】
.
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】浙江省,小学数学活动课夏令营
【解析】
原式
【答案】
【解析】
计算:
.
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
原式
【答案】
【解析】
【考点】公式法之求和公式
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
原式
【答案】
【例
11】
计算:
【考点】公式法之求和公式
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
设算式的值为,那么,即,故,则,所以,.
【答案】
二、平方差与完全平方公式
【例
12】
⑴________;
⑵________.
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】浙江省,小学数学活动课夏令营
【解析】
⑴
观察可知31415925和31415927都与31415926相差1,设,原式
⑵
原式
【答案】⑴
⑵
【巩固】
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】走美杯,3年级,初赛
【解析】
方法一:原式
方法二:原式
【答案】
【巩固】
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】走美杯,3年级,初赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算:=。
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】走美杯,6年级,决赛
【解析】
题目分析:答案为100000。记原式为X,则
10X=314×314+628×686+686×686
=3142+2×314×686+6862
=(314+686)2=1000000,所以,X=100000。
【答案】
【例
13】
有一串数,,,……它们是按一定规律排列的,那么其中第个数与第个数相差多少?
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【难度】2星
【题型】填空
【解析】
这串数中第个数是,而第个数是,它们相差
【答案】
【巩固】
代表任意数字,若,这个公式在数学上称为平方差公式.根据公式,你来巧算下列各题吧.
⑴
⑵ ⑶
⑷
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们就依据公式来进行下面的计算:
⑴
⑵
⑶
⑷
【答案】⑴
⑵
⑶
⑷
【例
14】
计算:
.
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】迎春杯,中年级组,决赛
【解析】
本题可以直接计算出各项乘积再求和,也可以采用平方差公式.
原式
其中可以直接计算,但如果项数较多,应采用公式
进行计算.
【答案】
【例
15】
.
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】迎春杯,初赛
【解析】
原式
【答案】
三、公式综合运用
【例
16】
计算:
.
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】仁华学校
【解析】
观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列,被乘数依次为1,3,5,……,99,乘数依次为4,7,10,……,151,根据等差数列的相关知识,被乘数可以表示为,乘数可以表示为,所以通项公式为.所以,原式
另解:如果不进行通项归纳,由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等,可以先将这个差变为相等再进行计算.
原式
而和都是我们非常熟悉的.,所以原式
小结:从上面的计算过程中可以看出,而,所以有
【答案】
【例
17】
计算:
.
【考点】公式法之综合运用
【难度】4星
【题型】填空
【解析】,所以,所以原式
【答案】
【例
18】
计算:
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】北京二中,入学测试
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
这个题目重新整理得:
【答案】
【巩固】
计算:.
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
做这道题的时候,可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了,但是其实并不需要,大家看,利用平方差公式:,,.
于是,原式
【答案】
【例
19】
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
20】
计算:
.
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算:
.
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的,可以采用平方差公式.
原式
【答案】
【巩固】
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】学而思杯,4年级
【解析】
原式
【答案】
【例
21】
计算:
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算:
.
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
原式
【答案】
【例
22】
计算:
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
23】
计算:
【考点】公式法之综合运用
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】