第一篇：应用问题与一元二次方程教学设计
应用问题与一元二次方程
目标认知 学习目标：
(1)经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总
结运用方程解决实际问题的一般步骤.(2)通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.学习重点：
掌握运用方程解决实际问题的方法.学习难点：
建立方程模型.一、知识要点梳理
知识点
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
答(切忌答非所问).知识点
二、数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位„„，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、„„，数位上的数字只能
是0、1、2、„„、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位
上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.知识点
三、平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：
平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
知识点
四、利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率(税率是20%)
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-20%)]=本息和(收利息税时)
知识点
五、利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
知识点
六、形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.二、规律方法指导
1.利用一元二次方程解决实际问题，需注意把实际问题转化为数学问题，其关键是要找出等量关系.2.列一元二次方程解实际应用题的一般步骤和列一元一次方程与二元一次方程组解实际应用题的基本步骤相似.3.在总结答案之前对一元二次方程解的合理性进行检验.2 经典例题透析 类型
一、数字问题
1.两个连续奇数的积是323，求这两个数．
思路点拨：两个连续奇数相差2.解：设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1；依题意得：
(x-1)(x+1)=323
x2-1=323
x2=324
∴x1=18，x2=-18
当x=18时，18-1=17，18+1=19．
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17．
答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17． 举一反三：
【变式1】两个连续整数的积是210，求这两个数． 思路点拨：两个连续整数相差1.解：设较小的整数为x，则另一个整数为(x+1)
依题意得：
x(x+1)=210
x2+x-210=0
解之，得： x1=14，x2=-15
当x=14时，x+1=15；
当x=-15时，x+1=-14；
答：这两个数为14、15或-
15、-14.【变式2】已知两个数的和是12，积为35，求这两个数． 解：设其中一个数为x，则另一个数为(12-x)
依题意得：
x(12-x)=35
x2-12x+35=0
解之，得：
x1=5，x2=7
当x=5时，12-x=7；
当x=7时，12-x=5；
答：这两个数为5、7.2.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．
思路点拨：数与数字的关系是：两位数=十位数字×10+个位数字． 解：设个位数字为x，则十位数字为(x-2)，这个两位数为10(x-2)+x，依题意得：10(x-2)+x=3x(x-2)
整理，得： 3x2-17x+20=0
解之，得：x1=4，x2=
(不合题意，舍去)
当x=4时，10(x-2)+x=24
答：这个两位数为24.举一反三：
【变式1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
解：设原来的两位数的个位数字是x，则十位数字是(8-x)，原来的两位数为10(8-x)+x，依题意得：[10(8-x)+x][10x+(8-x)]=1855
化简得：x2-8x+15=0
解之，得：x1=3，x2=5
当x=3时，10(8-x)+x=53
当x=5时，10(8-x)+x=35
答：原来的两位数为53或35.类型
二、平均变化率问题
3.某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
思路点拨：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是(1+x)万台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2万台，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，依题意得：1+(1+x)+(1+x)2•=3.31
去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31
整理，得：x2+3x-0.31=0
解得：x1=10%，x2=-3.1(不合题意，舍去)
答：二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为10%.举一反三：
【变式1】某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
思路点拨：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三个月的总营业额列出等量关系．
解：设平均增长率为x
则200+200(1+x)+200(1+x)2=950
整理，得：x2+3x-1.75=0
解得：x1=50%，x2=-3.5(不合题意，舍去)
答：所求的增长率为50%．
4.我国人均用纸为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出来的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．
(1)若我市2005年初中毕业生中环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送 4 到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？
(2)宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程，到2003年初成效显著，森林面积大约由1 374.094万亩增加到1 500.545万亩．假设该地区年用纸量的15%可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口为415万人计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和最多可能达到多少亩(精确到1亩)？
解：(1)5万名初中毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为
5×104×10÷1 000×18÷80=112.5(亩)．
(2)设2001年到2003年初我市森林面积年均增长率为x，则1 374.094(1+x)2=1 500.545．
故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045(舍去)．
所以2005年初到2006年初全年新增森林面积：
1500.545×104×(1+4.5％)2×4.5％≈737 385(亩)．
又全市回收废纸所能保护的森林面积最多为
415×104×28×１5％÷1 000×18÷50≈6 275(亩)．
新增森林面积和保护森林面积之和为：
737 385+6 275=743 660(亩)．
总结升华：此例不仅考查了同学们解答实际应用问题的能力，还对同学们发扬节约精神、增强环保意识起到潜移默化的作用． 类型
三、利息问题
5.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
思路点拨：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2(不符，舍去)，x2=
答：所求的年利率是12.5%．
=0.125=12.5% 类型
四、利润(销售)问题
6.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
思路点拨：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，•则每件平均利润应是(0.3-x)元，总件数应是(500+×100)5
解：设每张贺年卡应降价x元
则(0.3-x)(500+)=120
解得：x=0.1，x2=-0.3(不合题意，舍去)
答：每张贺年卡应降价0.1元．
举一反三：
【变式1】某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，假设超市为使这种商品每天赚得8 000元的利润，商品的售价应定为每件多少元?
思路点拨：本题中的不变量是每天赚得8 000元的利润．相等关系是：每件商品的利润×销售数量=8 000元．
解：设该商品的售价为每件(50+x)元，则每件商品的利润为[(50+x)-40]元，销售量为(500-10x)件．
根据题意，得[(50+x)-40](500-10x)=8 000．
解得x1=10，x2=30．
当x=10时，50+10=60(元)
当x=30时，50+30=80(元)
所以，每天要赚得8 000元的利润,这种商品的售价应定为每件60元或80元．
【变式2】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每降价1元，每天可多销售5件，如果每天要盈利1 600元，每件应降价多少元？
思路点拨：设每件应降价x元，则根据题意，可得如下表格：
解：设每件服装应降价x元，根据题意，得
(44-x)(20+5x)=1 600，解得x1=36，x2=4．
答：每件服装应降价4元或36元．
【变式3】某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系：
(1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量(元)与日销量减少的数量(件)之间的关系．
(2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1 600元？
解：(1)由表格中数量关系可知：该产品每件售价上涨1元，其日销量就减少1件．
(2)设每件产品涨价x元，则销售价为(130+x)元，日销量为(70-x)件．
由题意，得［(130+x)-120］(70-x)=1 600，解得x1=x2=30，130+30=160(元)．
答：每件商品定价为160元时，每日盈利达到1 600元．
总结升华：随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈．因此，“销售问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷．这不仅较好地锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，而且让同学们真正体会到数学的宝贵价值．值得说明的是，第(2)小题还可以用表格中其它两组数据列出方程，结果相同，同学们不妨试一试． 类型
五、形积问题
7.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为(x+2)米．依题意，得x(x+2)×1=15．
化简，得x2+2x-15=0．
解之，得x1=3，x2=-5(不合题意，舍去)．
所以这种运输箱底部长为5米，宽为3米．
由长方体展开图知，购买的矩形铁皮面积为
(5+2)×(3+2)=35(米2)．
故购回这张矩形铁皮要花35×20=700(元)．
总结升华：本题要深刻理解题意中的已知条件，弄清各数据的相互关系，布列方程，并正确决定一元二次方程根的取舍问题．解决此类问题要善于运用转化的思想方法，将实际问题转化为数学问题．
举一反三：
【变式1】一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周没铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，那么没铺地毯的部分宽度应该是多少？
思路点拨：本题的关键句是“地毯的面积是会议室地板面积的一半”，据此可得等量关系：地毯面积=会议室面积的一半．
解：设没铺地毯的部分宽为xm，则地毯的长为(20-2x)m，宽为(15-2x)m．根据题意，得
，解得x1=2.5，x2=15(不合题意，舍去)
答：没铺地毯的部分宽度应该是2.5m．
【变式2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
(2)如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
思路点拨：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，•渠底 7 为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：(1)设渠深为xm，则渠底为(x+0.4)m，上口宽为(x+2)m.依题意，得：(x+2+x+0.4)x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2(不合题意，舍)
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
(2)=25(天)
答：渠道的上口宽与渠底宽分别是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
类型六、一元二次方程应用新题型
条件探求型
8.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m．
(1)求鸡场的长与宽各是多少？
(2)题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？
思路点拨：第(2)小题着眼于作为条件出现的常数a，探索这一条件对题目的解有何影响，需根据第(1)小题的结果进行研究．
解：(1)设平行于墙的一边长为xm，则另一边的长为，根据题意，得
解得x1=15，x2=20．，当x=15时，；当x=20时，．
答：略．
(2)由题意可知：当a＜15时，此题无解；当15≤a＜20时，此题只有一个解；当a≥20时，此题有
两解．
方案设计型
9.某中学有一块长为am，宽为bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．
(1)如图1，请分别写出每条道路的面积(用含a或含b的代数式表示)；
(2)已知a∶b=2∶1，并且四块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长
与宽各为多少米？
(3)在(2)的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计(要求同
时符合下述两个条件)：
条件①：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃(花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平
行)，并且其中有两个花圃的面积之差为13m2；
条件②：整个矩形场地(包括道路、草坪、花圃)为轴对称图形．
请你画出符合上述设计方案的一种草图(不必说明画法与根据)，并求出每个菱形花圃的面积．
解：(1)这两条道路的面积分别为2am2与2bm2．
(2)设b=xm，则a=2xm，依题意，得
x·2x-(2x+4x-4)=312．
整理，得x2-3x-154=0，解得x1=14，x2=-11(舍去)．
所以b=x=14，a=2x=28．
即矩形的长为28m，宽为14m．
(3)符合设计方案的一种草图如图2所示，其中四个菱形花圃中，第1个与第2个，第3个与第4个花圃 的面积分别相等．
设AE=x，则FB=14-2-x=12-x(m)，(m)．
依题意，得
解得x=7(m)．
．
所以大菱形花圃的面积为
(m2)，小菱形花圃的面积为
(m2)．
(注：其他符合设计方案的三种花圃见图3，图4，图5，同上法仍可求得大、小花圃的面积分别为45.5m2与32.5m2)9
学习成果测评 基础达标
一、选择题
1．某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%，若每年下降的百分数相同，则这个百分数为()
A．10%
B．20%
C．120%
D．180%
2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()
A．200(1+x)2=1000
B．200+200×2x=1000
C．200+200×3x=1000
D．200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
3．某商品计划经过两个月的时间将售价提高20%，设每月平均增长率为x，则列出的方程为()
A．x+(1+x)x=20%
B．(1+x)2=20%
C．(1+x)2=1.2
D．(1+x%)2=1+20%
4．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来
二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是()
A．100(1+x)2=250
B．100(1+x)+100(1+x)2=250
C．100(1-x)2=250
D．100(1+x)2
5．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为()
A．(1+25%)(1+70%)a元
B．70%(1+25%)a元
C．(1+25%)(1-70%)a元
D．(1+25%+70%)a元
6．若两个连续整数的积是56，则它们的和是()
A．±15
B．15
C．-15
D．11
7．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共()
A．12人
B．18人
C．9人
D．10人
8．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为()
A．
B．
5C．
D．7
9．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是()
A．8cm
B．64cm
C．8cm
2D．64cm2
10．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，•则这个两位数为()
A．25
B．36
C．25或36
D．-25或-36
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______万kg，第三年的产量为_______万kg，三年总产量为_______万kg．
2．某糖厂2008年食糖产量为a吨，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2010年的产量将是
________．
3．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒
200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是_________．
4．一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是
_________．
5．某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了
20万人次．设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是____________．
6．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．
7．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
8．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160cm2，则这两个正
方形的边长分别为__________________．
三、解答题
1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2008年我省某地退耕 11 还林1600亩，计划到2010年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率．
2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?
3．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花坛，要使花坛四周的平地宽度一样，则这个宽度为多少? 4．有一个两位数，两个数位上的数字之和是6，•这两个数位上的数字之积等于这个两位数的，求这个两位数．
能力提升
一、选择题
1．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为()
A．20％
B．30%
C．50%
D．120%
2．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为()
A．600
B．60
4C．595
D．605
3．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的宽比第一块的长少2m，长是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是()
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长27m，宽16m；
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长18m，宽10m；
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长13.5m，宽7m；
D．以上都不对
4．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费)；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计)，某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程()
A．正好8km
B．最多8km
C．至少8km
D．正好7km
二、填空题
1．某旅店底楼的客房比二楼少一间，各个房间住的人数同这层楼的房间数相同，现有36人，底楼都住
满，而二楼只剩下一间空房，则二楼的房间是______．
2．在一块长15cm，宽10cm的铁片的中间挖一个面积为36cm2的长方形的空间，且使剩下的四周一样宽，设这宽为x，则可得方程为_______________．
3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，•且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小
4，设个位数字为x，则方程为________________．
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的
面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
三、解答题
1．某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程．原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2．
求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数．
2．某同学根据2004年江苏省内五个城市商品房销售均价(即销售平均价)的数据，绘制了如下统计图：
(1)这五个城市2004年商品房销售均价的中位数、极差分别是多少？
(2)若2002年A城市的商品房销售均价为1600元/平方米，试估计A城市从2002年到2004年商品房销售均价的年平均增长率约是多少？
3．常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 综合探究
1．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30•节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里，如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．
答案与解析 基础达标
一、选择题
1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C
二、填空题
1.6(1+x)，6(1+x)2，6+6(1+x)+6(1+x)2； 2.a(1+x)2吨；
3.20%；
4.10%； ；
6.；
7.32cm；
5.8.12cm、4cm.三、解答题
1．解：设每年退耕还林的平均增长率为x，依题意，得1600(1+x)2=1936，解之，得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍)
答：每年退耕还林的平均增长率为10%.2．解：设多种x棵树，依题意，得(100+x)(1000-2x)=100×1000×(1+15.2%)，整理，•得•x2-400x+7600=0，解之，得x1=20，x2=380.答：应多种20棵或380棵桃树.3．解：设宽为xm，依题意，得(12-2x)(8-2x)=8
整理，得：x2-10x+22=0
(舍去)，x2=5-)m..解得：x1=5+
答：这个宽度为(5-
4．解：设两位数十位数为x，则个位数为6-x
依题意，得x(6-x)=
(10x+6-x)化简整理，得x2-3x+2=0 解之，得x1=1，x2=2 当x1=1时，6-x=5，此两位数为15 当x1=2时，6-x=4，此两位数为24 答：这个两位数是15或24.能力提升
一、选择题
1.A 2.D 3.B 4.B
二、填空题
1.5；
2.(15-2x)(10-2x)=36；
3.10(x+4)+x-4=(x+4)2+x2；
4.20m和7.5m或15m和10m
三、解答题
1．(1)1000m2；(2)20%．
2．(1)中位数是2534(元/平方米)；极差是3515-2056=1459(元/平方米)．
(2)设A城市2002年到2004年的年平均增长率为x，由题意，得
1600(1+x)2=2119．(1+x)2=1.324375，解之，得
(不合题意，舍)15
答：平均增长率约为15%．
3．解：设该单位这次共有
名员工去天水湾风景区旅游，因为，所以员工人数一定超过25人．可得方程
解得：．
当时，故舍去
当时，符合题意
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游． 综合探究
1．能．解：设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，依题意，得(90-30x)2+(20x)2=502
整理，得：13x2-54x+56=0，解之，得x1=2，x2=2，∴最早再过2小时能侦察到．
第二篇：《一元二次方程的应用——增长率问题》教学设计
《一元二次方程的应用——增长率问题》教学设计
清水五中
董小武
教学目标：
1、使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题。
2、进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。
3、通过增长率问题的学习能抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题简洁性的数学美。
教学准备：
教学课件、学案
教学重点：使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题。
教学难点：提高学生转化实际问题为数学问题的能力以及分析问题、解决问题的能力。教学过程：
一、出示课题：《一元二次方程的应用——增长率问题》
二、出示学习目标：
1、使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题。
2、进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。
3、通过增长率问题的学习能抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题简洁性的数学美。
（请学生读一遍）
三、（根据以前学过的知识解决下面的问题）
请你评一评：小星的妈妈卖玩具，某天妈妈用每件10元的价格进了一批玩具，第二天以每件20元的价格标价，小星心里想：“妈妈若卖完这批玩具，那么财富增加了100%呢！”你认为有道理吗？你能写出增长率公式吗？
[请同学们想一想，写出你的答案。然后请同学回答，老师点评，并把增长率公式变形为：实际数=基数（1+增长率）]
四、根据变形后的增长率公式做出下面的问题（在微机上解答，看谁答的又快又好）
小星的妈妈又以每件20元的价格进了另一批玩具，决定在进价的基础上以增长50%的价格定价，让小星帮忙算一算该标价多少？你能帮小星算一算吗？
五、[我们已经知道了增长率公式，请根据这个公式解决下面的问题，在微机上解答，答完后看看与实际情况是不是相符] 一件商品10元，增长率是0，则这件商品的价格是多少？增长率是-0.3呢？若降低率是1呢？降低率是1.2呢？若降低率是-0.2呢？
[讨论所得结果，发现结论：增长率>0
0<降低率<1] 设计理念：通过以上几个简单的增长率问题的解答，让同学们掌握增长率基本公式，并知道增长率>0，0<降低率<1为以后的学习打好基础。
六、[请一个同学读一下下面的探究题，教师分析题意] 2015年某市为解决中小企业节能环保问题,市政府采取了一系列政策措施,2015用于支持这项改革试点的扶持资金约为180亿元,预计到2017年将到达304.2亿元,求2015年到2017年市政府每年投入支持这项改革资金的平均增长率? [根据以下程序引导：分析:设这两年的平均增长率为x,则2015年投入的资金为180(1+x)亿元，2016年投入资金是以2015年投入的资金为基数，所以2017年投入资金为180(1+x)(1+x)即180(1+x)2
[给同学们展示解题步骤，要注意增长率为负数不合题意要舍去]
七、[由上题的解答我们会得到以下结论（一步步的引导学生去分析）
在上题中你会发现: 2015年
2016 年
2017年
2018年……
3180
180(1+x)
180(1+x)
2180(1+x)…
由上述关系可知：若用a表示基数，b表示实际数，x表示增长率则
第1次增长后的量是a(1+x)=b
第2次增长后的量是a(1+x)2=b
……
第n次增长后的量是a(1+x)n=b
这就是重要的增长率公式.反之，若为n次降低，则平均降低率公式为；
a(1-x)n=b
八、[我们已经学习了增长率公式，请同学们分组讨论后写出本题的解题步骤，然后找一个同学说出他的解题步骤] 某商场二月份的销售额为1000万元，三月份的销售额下降了20%，商场从四月份起改进经营措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到1350.2万元，求四、五两个月的平均增长率。
设计理念：让同学们展开讨论，并写出解题过程，对所学知识起到了加固的作用。
九、[请同学们自己独立解决下面的问题，看看学的怎么样] 考考你：
1、某农场粮食产量是：2015年1200万千克，2017年为1452万千克。如果平均每年的增长率为x，则可得方程
---------（）A.1200(1+x)=1452
B.1200(1+2x)=1452 C.1200(1+x%)2=1452
D.1200(1+x%)=1452
2、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为-------------------------（）A.200(1+x)2=1000
B.200+200×2×x=1000 C.200+200×3×x=1000
D.200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
3、某开发区人口和人均住房面积近3年来增长情况如下图，据此回答问题
错误！未指定书签。
（1）这个区在2015年和2016年中，哪一年增加的住房面积较多？
（2）由于开发区建设需要，预计到2018年该区人口数将比2016年增加4万，若要使到时人均住房面积达到12平方米，则这两年的住房面积平均年增长率应达到多少？
[请同学解答，对好答案，看一下学的怎么样，错的改正] 设计理念：通过做练习，使学生对本节课的内容掌握的更好，而且学会识图，会找等量关系。
十、小结：
1、平均增长（降低）率公式 a(1x)nb
2、注意：
（1）1与x的位置不要调换
（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法（3）增长率>0； 0<降低率<1
十一、布置作业：[熟能生巧，勤能补拙。请同学们课后做完讲义上的练习题。我相信同学们一定能独立完成。] 教学反思：
《一元二次方程的应用——增长率问题》与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容。
本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果。
第三篇：一元二次方程应用2010
1、（2009烟台市）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
2、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量达到60400个?
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请售答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过1000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
5、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
6、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。
（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2
间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式。
7、（2009年甘肃庆阳）（8分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？
8、(2009年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.9.建造一个面积是140平方米的仓库，要求其一边靠墙，墙长16米，在与墙平行的一边开一道２米宽的门。现人32米长的材料来建仓库，求这个仓库的长是多少米？
10、如图在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。点P从A点开始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC方向以每秒厘米移动。问几秒时△PBQ的面积等于8平方厘米？
11．（2009年甘肃庆阳）若关于x的方程x2
2xk10的一个根是0，则k．
12.、（2009威海）若关于x的一元二次方程x2
(k3)xk0的一个根是2，则另一个根是______．、（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价P 13由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．
第四篇：一元二次方程的应用(教学设计)
3.5 一元二次方程的应用（1）
学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系.2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题.学习过程：
前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。
想一想，列方程解应用题的关键是什么？ 一.自主学习
例1.如图，有一块长40cm、宽30cm的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？ 分析：这个问题中的等量关系是： 解：
例2.如图，MN是一面长10m的墙，要用长24m的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？ 解：设矩形花圃ABCD的宽为x（m），那么长____m.根据问题中给出的等量关系，得到方程_________________________________.解这个方程，得x1＝，x2＝ 根据题意，舍去_________________.所以，花圃的宽是________m.二.对应练习
10mMADNB2C1.从一块正方形木板上锯掉2cm宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48cm.求原正方形木板的面积.2.有一块矩形的草坪，长比宽多4m.草坪四周有一条宽2m的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽.三.当堂检测
1.两个数的和是20，积是51，求这两个数.2.如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B出发，北C以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是1000m？
2东小亮B小莹A
第1页
3.5一元二次方程的应用（2）
学习目标1.会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题．
2.通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
学习过程 一.自主学习
例1.某工厂2002年的年产值为500万元，2004年的产值为605万元，求2002－2004年该 厂年产值的增长率.提示：如果设该厂2002－2004年产值的平均增长率为x，那么2003年的年产值为_____________________________，2004年的年产值为______________________________.例2.某种药品原售价为每盒4元，两次降价后，每盒售价为2.56元，求该药品平均每次的降价率.提示：如果设该药品平均每次的降价率为x，那么第一次降价后该药品每盒的售价为______________，第二次降价后该药品每盒的售价为_________________.二.自我练习
1.两个连续奇数的积是323，求这两个数.2.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
三.当堂小结
四.当堂检测
1.某农场的粮食产量在两年内从600吨增加到726吨，该农场平均每年的增长率是多少？
第2页
2.某农机厂一月份生产联合收割机300台，为了满足夏收季节市场对联合收割机的需求，三月份比一月份多生产132台，求二、三两个月平均每月的增长率.3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数.4.（山西）“五一”黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需提前预算：
（1）备用食品费，购买备用食品共花费300元，在出发时，又有两名同学要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊5元，现在每人需分摊多少元食品费？（2）租车费：现有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：
车型 座数 租车费（元/辆）A 7 500 B 5 400 请选择最合算的租车方案，（仅从租车费角度考虑）并说明理由。
第3页
第五篇：《一元二次方程的应用》教学设计
《一元二次方程的应用》教学设计
金水初中
朱健乐
一、教学目标：
a、知识与技能目标
（1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法。（2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会利用一元二次方程来解决有关利润问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程。
b、过程与方法目标
通过自主探索、合作交流等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识，激发学生学习热情。c、情感态度与价值观目标
使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中培养合作协助精神,增强国情教育，从而使学生获得成功的体验，建立自信心，更加热爱数学、热爱生活。
二、教学重点：
培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想。
三、教学难点：
将同类题对比探究，培养学生分析、鉴别的能力。
四、教学内容：
问题1：如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束.为扩大销售，经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利432元，那么每束玫瑰应降价多少元？
分析：本题是商品利润问题。解决这类问题必须明确几个关系：利润＝（售价－进价）×销售数量；
这是一个常规性的问题，只要结合生活常识稍加引导，学生不难找出等量关系，然后列方程解答。但是类似问题中，有时我们要对某些关键语句加以斟酌，或者讨论，才能得出结论。如： 问题2：
情急之下，小新家准备零售这批玫瑰.如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束.为扩大销售，经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利432元，同时也让顾客获得最大的实惠.那么每束玫瑰应降价多少元？ 问题3：
小新家的花圃用花盆培育玫瑰花苗.经过试验发现，每盆植入3株时，平均每株盈利3元；以同样的栽培条件，每盆每增加1株，平均每株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，并尽量降低成本，则每盆应该植多少株？ 问题4：
某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如果每天盈利1600元,每应降价多少元?
问题5：
某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
引导学生积极参与探究、分析对比得出：问题1、3、4两题的两个答案都满足题意。问题2、5两题为尽快减少库存，只选取降价多的那个答案。学生进一步总结、归纳得出：若题中强调尽量减少库存或尽快减少库存，应只选取降价多的那个答案。若题中没有特殊要求，那么两个答案可能都满足题意（当然实际问题中不能取负）。
五、分层作业
1.必做题：作业本（复习题）
2.选做题：(学有余力的同学不妨探讨一下)一个容器装满40升纯酒精倒出一部分后用水注满，在倒出与第一次同量的混合液后用水加满，此时溶液内含纯酒精10升，求每次倒出的升数.
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