关于高考数学学习心得体会（共5篇）

第一篇：关于高考数学学习心得体会

关于高考命题学习心得体会

——张相杰

本次学习主要是针对高中教师的自身提高，了解命题人的心思，出发点，以及如何根据课标进行命题。

史玉京老师根据参加今年高考阅卷，以今年的山东卷考题的立体几何题为原型，分析了它所考查的知识点，如何降低难度，如何根据课标转化题型，以及给了同一道题的不同的突破点和思路。

据史老师介绍，今年的阅卷教师由三部分人员组成：高校教师，在读研究生，中学教师。阅卷流程是：评卷、仲裁、质检，采用‚双评‛加‚仲裁‛最后是‚质检‛的三重保险的阅卷模式，确保了公平、公正、准确的阅卷原则。每个阅卷人员都有一个用户名和密码，凭用户名和密码才能登入，登入后每个阅卷人员的一举一动都处在组长及专家的监控中，比如说你离线几分几秒，你阅卷的总量，平均速度，有效度，仲裁率等各项指标在电脑里都有实时跟踪，这增加了阅卷的透明度。每份答卷至少由两名人员评分（双评），而且彼此看不到对方的分数，两名人员不是固定组合，而是电脑随机派送，若两人所给分数在一定的范围内（误差不超过2分），那就是有效分数，两个分数加起来取平均分，就是该答卷的最后得分。如果两人所给分数超出一定的范围（误差超过3分），由第三个人重新评阅（仲裁），也就是由小组长裁定，最后给定分数。而仲裁分数与评卷分数差，将记录第一次评卷的两个老师的有效率，如果误差太大，将记为‚恶评‛，作为考评阅卷老师的重要依据，对恶评率高的老师领导会跟他们进行谈话，严重的予以解聘。这样，就可以避免较大失误，相对来说，评分更加公正准确。当然，也不能保证百分之百的准确，但误差已经降到最低，并且有效地控制了感情分数的出现。

通过史老师的介绍，我有以下几点体会：

一．数学学科阅卷评分的原则是懂多少知识就给多少分，这种方法叫做‚分段得分‛或‚踩点得分‛即踩上知识点就得分，踩的多就多得分，上下过程是不受牵连的。

二．学生答卷的教学建议

由于数学学科阅卷评分的原则是‚分段得分‛，所以要求学生：会做的题目力求不失分，部分理解的题目争取多得分。对大多数考生来说，最重要的是如何从拿不下来的题目中通过‘分段得分’拿到宝贵的分数。建议在以后的教学中把三种得分技巧灌输给我们的学生：

第一种为缺步解答。如果考生遇到一个很难的问题，可以将其分解为一系列的步骤或一个个小问题，能解决多少是多少，能演算几步是几步，特别是那些解题步骤明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，解答不圆满也力求多写两步，这叫‚不求全对，但求得分‚。

第二种为跳步答题。按部就班解题是正确的，但解题中会经常卡在某一环节上，这时可以先承认中间结论（就当你已经做了），跳过去，继续往后做。若题目有两问，第一问想不出来，但第二问却有思路可以把第一问当‚已知‛，先做第二问，这也是跳步解答。

第三种为退步解答。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从整体退到部分，退到一个你能够解决的问题。为了不产生‚以偏概全‛的误解，应开门见山写上‚本题分几种情况‛，这样还会为寻找正确的，一般性的解法提供启发。一般情况的计算量都很大，但特殊情况的值满足一般，所以从特殊出发去推一般就会轻松很多。

三．对以后教学的建议

1．在平时的教学中要加强数学的基本概念、基本知识、基本方法和基本思想的教学。学生基本概念、基本知识掌握很熟练的前提下，即使遇到一个很难解决的问题，他们也会从已知出发得到一些相关结论，这样就抓住了得分点，同时也可能为解决本题找到一个突破口。

2．平时在课堂教学过程中要非常重视板书。老师要给学生做好示范，板书要工整、规范、踩好点，重点突出，详略得当，叙述繁冗或单薄都会导致失分，叙述以踩点、清晰、简洁、工整为佳。（同时要求学生卷面书写要干净整洁，简明扼要，并不是写得越多越好，只要抓住各个知识点，把主要过程表达出来就行了，另外，书写只要能看得清就行，对于那些写得比较差的同学，也不要过分担心，当然，还是书写的清楚了好，那样一定不会吃亏，如果写的太乱，即使做对了也可能得不到满分。）3．在平时批阅学生试卷时要倍加关注学生的解答过程，尤其是在批改立体几何题时，要看清学生的踩点情况，要给足点子分，而不是重结果轻过程。这样就能给学生一个好的导向，鼓励学生在做题时能走多远是多远，让学生确实体会到一个题目做对了却得不到满分和此题最后的结果虽不对却得到了80%—90%的分数的事实。要让学生明白最后的结果错了并不一定可怕，最让人担心的就是思路不清，踩点不好。

4.对于解题方法，不要做过多的限制，一般来说，只要运用正确就可得分，有时课本上没有的结论也可以使用。

总之，通过史老师的介绍，我充分认识到答题规范的重要性，也明确了如何指导学生规范答题，同时对高考评分的准确性和公平性也充满了信心，只有我们做好充分准备一定能取得理想成绩。

为了有效高效地复习，很好地掌握重点难点以及命题深度，应该从哪些方面来复习，时间上应该怎么来把握？ 通过学习，我觉得现在应该抓住这么几点：

第一，应该回归教材，回归课本。紧扣考试说明，根据考试说明能力各方面的要求系统的把教材再过一遍。

第二，可以把近年高考试题做一遍或者是看一遍，因为这是最好的资料。不要再翻那些乱七八糟的复习资料了，抓住这两点，实际上抓住了高考的最根本点。高考教材的内容会占到80％左右。

第三，要调整好心理状态，因为他自己的观点，在春节的时候，能考上一流还是二流，这个成绩已经基本定型了。现在主要打的还是心理战，一定要把心态放平衡。这样你才能在高考当中取得最后的胜利。

那么也就是说现在复习的重点，一方面回归课本，另一方面要回归到我们高考数学大纲当中，从中间把握一些重点。因为确实考试当中，大部分是基础方面的题型。所以抓住基础，就可以达到大部分的分值。另一方面还要回归试卷。还有我们最重要的还是要摆正心态，因为心态是决定这场战役成败的非常重要的点了。

另外张老师给我们讲了关于数学高考复习的重点，根据恢复高考20多年来数学命题的情况，他认为，高考命题的重点大约是这么几个方面。第一，函数。中学数学是以函数为纲的，在高考中，函数所占的比重大约是35％左右，所以大家一定要把函数方面的内容复习得非常好。特别是应用问题，这些都是用函数去处理。比如数列、三角函数这些都是函数。第二个重点是立体几何。立体几何中大家一定要注意三垂线定理和逆定理。这两个定理体现了立体几何处理问题的思路。三垂线定理和逆定理。所有奋战在高三一线的老师们都明白，高考命题出来之后，如果没有出现三垂线定理，认为这个题目没有水平。在立体几何中，大部分是在二面角和平面角这个地方考。这也是立体几何的一个难点，也是重点。现在咱们大部分用的是新编教材，这个新教材的特点是知识面广，但是要求的浅了。所以，新加了很多内容。比如向量，向量是高一第五章，向量在高考里，也体现得比较多，特别是在立体几何这个地方。第一个题目是用向量处理的题目，第二个题目是用原始方法处理的题目。根据这多年的经验，使用新教材以后，高考的这个经验，第一个用向量处理的题目简单。大家在复习的时候要注意用向量处理立体几何问题。

但向量解决立体几何问题不是万能的，一部分题目可以解决，一部分题目不能解决。向量处理问题简单，用向量处理所有立体几何问题，说不定就要翻船，因为有的题目处理不了。先看向量怎么做，用向量做出来，这是一个容易的办法。不再用选原来传统的方法做，这是一个重点。不行，再用传统方法做。对于我们普通班的教学工作，英爱是以向量方法为主，建立直角坐标系之后，主要的是转化是计算，所以在这里一些基本公式必须牢记，比如点到面的距离，比如线面垂直就是方向向量与法向量平行，面面垂直就是转化为法向量垂直等等。

总而言之，此次学习对我自身提高很大，对我对高考命题的思路，对高考考点的把握，对难度的处理都有一定的了解，这对我今后的发展有很大的帮助，再次感谢学校的培训。

第二篇：关于高考数学专题讲座心得体会

关于2018年高考备考复习培训心得体会

本次参加了山西省太原市2018届高考数学备考教学研讨会培训，是幸运的，也是必需的。这次培训收获颇多，也让我从心底里对新课标下的高考有了更深层次的理解。我仅数学学科谈一点自己对于备考的体会: 一．研究考纲考题，把握命题方向

本次学习主要是针对高中教师的自身提高，了解命题人的心思，出发点，以及如何根据课标进行命题。

首先专家以去年的北京考题的解析几何题为原型，分析了它所考查的知识点，如何降低难度，如何根据课标转化题型，以及给了同一道题的不同的突破点和思路。

然而对于我们这些新教师，刚上高三，不知道如何有效高效的复习，不能很好的掌握重点难点以及命题深度，应该从哪些方面来复习，时间上应该怎么来把握？

对于这点专家觉得现在应该抓住这么几点，第一，应该回归教材，回归课本。紧扣考试说明，根据考试说明能力各方面的要求系统的把教材再过一遍。第二点，可以把近年高考试题做一遍或者是看一遍，因为这是最好的资料。不要再翻那些乱七八糟的复习资料了，抓住这两点，实际上抓住了高考的最根本点。高考教材的内容会占到80％左右。第三点，要调整好心理状态，因为他自己的观点，在春节的时候，能考上一流还是二流，这个成绩已经基本定型了。现在主要打的还是心理战，一定要把心态放平衡。这样你才能在高考当中取得最后的胜利。

二．提高复习效率

现在复习的重点，一方面回归课本，另一方面要回归到我们高考数学大纲当中，从中间把握一些重点。因为确实考试当中，大部分是基础方面的题型。所以抓住基础，就可以达到大部分的分值。另一方面专家提到了要回归试卷。还有我们最重要的还是要摆正心态，因为心态是决定这场战役成败的非常重要的点了。

另外专家还给我们讲了关于数学高考复习的重点，根据恢复高考20多年来数学命题的情况，他认为，高考命题的重点大约是这么几个方面。第一，函数。中学数学是以函数为纲的，在高考中，函数所占的比重大约是35％左右，所以大家一定要把函数方面的内容复习得非常好。特别是应用问题，这些都是用函数去处理。比如数列、三角函数这些都是函数。第二个重点是立体几何。现在咱们大部分用的是新编教材，这个新教材的特点是知识面广，但是要求的浅了。所以，新加了很多内容。比如向量，向量是高一第五章，向量在高考里，也体现得比较多。特别是在立体几何这个地方。

三．反思自己的教学

根据专家们命题趋势的分析可知，让学生全面掌握和准确理解学科主干知识是分析解决问题的前提。没有坚实的基础知识储备，根本无法取得理想的高考成绩！针对我校学生，更不能忽略主干基础知识，求深求难。对于文科来说，死记硬背行不通，不记不背也不行。弄通弄懂教材，注重培养学生联系实际解决问题的能力。

总而言之，此次学习对我自身提高很大，对我对高考命题的思路，对高考考点的把握，对难度的处理都有一定的了解，这对我今后的发展有很大的帮助，再次感谢学校的培训。

第三篇：关于高考数学专题讲座心得体会

关于高考命题讲座心得体会

本次学习主要是针对高中教师的自身提高，了解命题人的心思，出发点，以及如何根据课标进行命题。

首先专家以去年的北京考题的解析几何题为原型，分析了它所考查的知识点，如何降低难度，如何根据课标转化题型，以及给了同一道题的不同的突破点和思路。

然而对于我们这些新教师，刚上高三，不知道如何有效高效的复习，不能很好的掌握重点难点以及命题深度，应该从哪些方面来复习，时间上应该怎么来把握？

对于这点专家觉得现在应该抓住这么几点，第一，应该回归教材，回归课本。紧扣考试说明，根据考试说明能力各方面的要求系统的把教材再过一遍。第二点，可以把近年高考试题做一遍或者是看一遍，因为这是最好的资料。不要再翻那些乱七八糟的复习资料了，抓住这两点，实际上抓住了高考的最根本点。高考教材的内容会占到80％左右。第三点，要调整好心理状态，因为他自己的观点，在春节的时候，能考上一流还是二流，这个成绩已经基本定型了。现在主要打的还是心理战，一定要把心态放平衡。这样你才能在高考当中取得最后的胜利。

那么也就是说现在复习的重点，一方面回归课本，另一方面要回归到我们高考数学大纲当中，从中间把握一些重点。因为确实考试当中，大部分是基础方面的题型。所以抓住基础，就可以达到大部分的分值。另一方面专家提到了要回归试卷。还有我们最重要的还是要摆正心态，因为心态是决定这场战役成败的非常重要的点了。

另外庄家还给我们讲了关于数学高考复习的重点，根据恢复高考20多年来数学命题的情况，他认为，高考命题的重点大约是这么几个方面。第一，函数。中学数学是以函数为纲的，在高考中，函数所占的比重大约是35％左右，所以大家一定要把函数方面的内容复习得非常好。特别是应用问题，这些都是用函数去处理。比如数列、三角函数这些都是函数。第二个重点是立体几何。立体几何中大家一定要注意三垂线定理和逆定理。这两个定理体现了立体几何处理问题的思路。三垂线定理和逆定理。所有奋战在高三一线的老师们都明白，高考命题出来之后，如果没有出现三垂线定理，认为这个题目没有水平。在立体几何中，大部分是在二面角和平面角这个地方考。这也是立体几何的一个难点，也是重点。现在咱们大部分用的是新编教材，这个新教材的特点是知识面广，但是要求的浅了。所以，新加了很多内容。比如向量，向量是高一第五章，向量在高考里，也体现得比较多。特别是在立体几何这个地方。就用A和B两个题，因为咱们教材有一个9A和9B，高考立体几何在这儿出了两个题目，第一个题目是用向量处理的题目，第二个题目是用原始方法处理的题目。根据这多年的经验，使用新教材以后，高考的这个经验，第一个用向量处理的题目简单。大家在复习的时候要注意用向量处理立体几何问题。

但向量解决立体几何问题不是万能的，一部分题目可以解决，一部分题目不能解决。向量处理问题简单，用向量处理所有立体几何问题，说不定就要翻船，因为有的题目处理不了。先看向量怎么做，用向量做出来，这是一个容易的办法。不再用选原来传统的方法做，这是一个重点。不行，再用传统方法做。对于我们普通班的教学工作，英爱是以向量方法为主，建立直角坐标系之后，主要的是转化是计算，所以在这里一些基本公式必须牢记，比如点到面的距离，比如线面垂直就是方向向量与法向量平行，面面垂直就是转化为法向量垂直等等。

总而言之，此次学习对我自身提高很大，对我对高考命题的思路，对高考考点的把握，对难度的处理都有一定的了解，这对我今后的发展有很大的帮助，再次感谢学校的培训。

第四篇：数学学习心得体会

“把课堂的精彩还给学生”

---参加国家名师高效教学观摩研讨会心得体会

2016年3月19日-20日，我有幸参加了在德州学院音乐系礼堂举办的“国家名师高效教学观摩研讨会”，聆听了吴正宪、张齐华、强震球、杜海良、赵震、薛铮等几位名师的授课，一堂堂生动的示范课让我们领略到数学深邃的思想以及教学的艺术魅力，精彩的预设与生成，恰当的点拨与启发，感动着在场的每一位老师。

几位老师的共同点在于总是在适当的时候提出一些疑问，引起学生的思考，从而突破难点。设计精妙，环环相扣，对知识点层层深入、点点剖析，并且非常注重数学思想的渗透。下面是我学习后的感受：

一、俯下身子与孩子对话

从名师与我们平时和孩子沟通的语言对比中可以知道，他们与孩子对话中有一种无形的拉近距离感，能让孩子们从乏味的教学中，主动学习起来。每一位名师在与孩子们上课前都会亲近的与他们攀谈，这样的课前交谈，看似简单、平淡、多余，实际上缩短了师生心理距离，营造了宽松和谐、自由活跃的课堂氛围。

二、以学生的探究与交流为主，教师适当点拨，营造轻松的教学氛围

教学过程是师生间共同参与、交流、互动的过程，是教师指导学生学习的过程。因此教师不应该把学生看成是“容器”，强行灌输，而应把学生看成是主动的、生动活泼的、发展着的认识的主体。一个教师无论学识如何广博，都必须始终站在学生这个主体位置。而不是站在演员这个角度上去表演。即使你的表演再精彩，如果学生要是学不到真正的知识，培养不了解决问题的能力，也是一节失败的课。

吴正宪老师执教的“小数除法”一课，围绕着“剩下的余数‘1’怎么办”也就是1元钱到底怎么分的问题，展开了激烈的讨论，有的把1元变成10角，把1角变成10分；有的把1元直接变成100分；有的同学直接看到把1元分成4份，每份就是0.25元；在激烈的讨论中，学生思维迸发，学生“活了”，知识也跟着“活了”。

赵震老师执教的“加法、乘法交换律”一课，老师引导学生通过举例验证的方式得到了加法交换律，赵老师启发学生根据刚才的学习做其他的猜想，学生猜乘法交换律、减法交换律、除法交换律，老师没有急于给出答案，而是让学生自己讨论交流验证，学生通过自己的努力排除了减法和除法交换律，在这个过程中，学生不仅学到了知识，而且学到了数学中一个非常重要的方法——举例验证。

三、今后努力的方向

1、备课前需要思考的问题。

课前设计教案设计课要多思考为什么教材编写者要以这样的方式呈现这个内容;学生之前的认知程度;教材在整个小学教学体系中所处的位置;明白孩子在学习这个知识的过程中的软肋，而不是照搬别人设计精彩的环节，精彩的习题。

2、找到学生学习认知和数学知识增长之间的连接点。整体把握教材中知识点之间本质的联系，站在一个整体联系的层次去审视和处理教材，向学生传递一个完整的数学思想，帮助学生建立一个融会贯通的数学认知结构。还应鼓励学生学会联系看问题的思维习惯，他们应被鼓励寻找联系以帮助他们理解和解决问题。

第五篇：学习数学心得体会

讀《數學學習心理學》心得

北市成功高中 游經祥老師

一、前言

數學教學可說是一種藝術，而且也是教師一直在自我調整，自我成長的一門學問。筆者對數學教育可說是門外漢，有幸參與研讀Richard Skemp所著的《數學學習心理學》，讓筆者從中體會到一些數學教育的大略。這是一本結合心理學理論和數學教學經驗的好書，在研讀討論過程中，讓筆者不時常有『心有戚戚焉』的感覺，也讓筆者感到『教學』專業之中，還有這麼多細密的內涵存在，進而對數學教學的價值觀以及數學教學的意義，有更進一步的體會。由於本書內容豐富，筆者便以分段式的方式提出心得，並期望在每一段落中，給出高中教材的相關例子，以參照這幾年來筆者自己的教學經驗。換句話說，在本文中，筆者一方面肯定本書所提出的概念，另一方面，則也要強調筆者教學經驗的自我印證。在此，我很感謝同事杜雲華老師、蘇意雯老師、蘇慧珍老師的集思廣義，以及洪萬生教授的問題討論。

二、數學概念

我們數學的學習從無到有，頇經過多少歲月學習，及許多師長的引導啟發，再加上我們人類的智力行為，各方面因緣的會聚，數學方能達到如今成熟的地步。人類由活動中吸取經驗，由經驗中學習而化為行為；因此，人類的智力行為乃從經驗，再由經驗、事物的分類、歸類之中，而產生心智中的『歸檔』。在這種心智活動過程中，我們由語言經驗，經分類、歸納，進而將之抽象化，而這抽象化後的事物存在心中，便稱之為『概念』。平常數學中所謂的『定義』，即是將某一數學概念的範圍更加精確地顯示出來。因此，數學中的『定義』，乃是前人心血累積所成的數學概念。

在此，筆者提出高中數學教材中的例子，來對數學概念作一印證。在高一上學期的數系中，有一單元目標是為了幫助學生認識複數系，即C={a+bi|a，bR，i=1}。在此之前，高一學生的心中對於數的概念只有：自然數系Ｎ，整數系Ｚ，有理數系Ｑ，與實數系Ｒ。因此，要引進複數系時，筆者便從國中時代的一元二次方程式ax2bxc0的公式解及判別式開始引起動機，順便讓學生回憶一下往事，亦即，希望喚醒學生以往的數學概念。進而對判別式Db24ac的正負及實根的個數做個複習。最後，才進入Ｄ＜０時，公式解中bD的D是何物？以此來引進負數平方根的存在性。在解決這些存疑之前，筆者又2a引進十六世紀義大利數學家卡當（Girolamo Cardano）所提出的問題：把10分成兩個數，使x它們乘積是40。

當時卡當解出的東西為515，他很迷惑515到底是不是『數』。但是，他又大膽地『認定』如果515這種東西如果可以合符『數的運算規則』做計算，則515就是此問題的解。不過，這問題困擾數學家二百多年，到了十八世紀以後，經過尤拉（Euler）、高斯（Gauss）等偉大數學家的努力探索，吾人才日漸揭開複數系的神祕面紗。

經過如此介紹，在一方面，我們可讓數學史『告訴』學生，數系得之不易；另一方面，也可讓學生了解新數系要『如何』建立。根據數學史，了解一個新數系的建立，對超級數學家而言已經不容易了，更何況是凡夫俗子呢？由此可見，一個數學新概念在學生的心智活動中要明確建立，實在相當困難。

再者，筆者想大略談數學『抽象化』的例子：在大學數中的代數學，其中的群（group），環（ring），體（field）的生成，是由日常生中的自然數系、整數系、有理數系、實數系、複數系中的運算性質，以及其概念中加以聯結，所提煉而成的特性及功用。但是，我們當初很難預測，它們結合後會產生這麼多的特性，而再進一步抽象化後所形成的『近世代數』之美麗光茫。我們試以下面例子說明，當中的提煉過程。

例如：有理數系中對『加法』、『乘法』有封閉性，這就是群（group）中的二元運算的來源，其中的結合性、反元素、單位元素皆可由0，1的運算性質推廣得到。因此，經過數系內在蘊涵的特性及功用，再進一步抽象化後便得到『群』定義中的充要條件。最後，再一般化後，便得到更深入的環、體及近世代數的發展，使代數學成為現今數學領域中重要的一個分支。

由此可見，數學概念大都是經由人類生活活動、經驗累積而形成的成果，進而人類將之分類、歸檔，由變因中尋找共通性與不變性，再進一步抽象化，最後在歷史演化的提煉形過程中，將其『不變』的特質再留存歸檔。就如現在的近世代數學中的群、環、體等理論已成熟，數學家便將之視為自然的數學文化而留存歸檔。

三、基模（schema）的特性

筆者覺得『基模』是數學教育上的一個名詞，它大約說明『心理學中的心智結構情形』。因此，筆者在此只有將基模所具有的一些特性，作以下說明：

‧基模可以結合長期所學的相關經驗及概念。

‧基模可以將概念的關係加以分類、融合、轉化。

‧基模是概念之間的縱橫聯繫網。

‧基模可以將多種概念結合、分析而發展出難以預測的特性及功用。

筆者在此以『重複組合』Ｈnm為例，對基模的特性作下列相應的說明。

例：袋中有a，b，c三種球，各有10個，從袋中任取5球，請問有幾種不同的取法？（Ａ）對沒有Ｈnm概念的學生，他可以用以下作法，自然討論可得其解答：

a五同：aaaaa，bbbbb，ccccc，共三種。即Ｃ3種。○13b四同：aaaab，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。

3c三同二同：aaabb，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。d三同二異：aaabc，…，有Ｃ3=3種。○1e二同二同一異：aabbc，…，有Ｃ3=3種。○1共21種。

n

運用這種做法，至少學生已有Ｃn，Ｐmm的基本概念，以及對５球分類的基本能力。就此nＣnm，Ｐm及對５球分類的三個基本概念來說，它們個別發揮不出解此題的作用。但當學生的思考中將此三種基本概念結合與聯繫，則問題將可以自然地解決。這種結合與聯繫，就是基模的特性之一。當然，其中也用到自然數的四則運算，這是人類最根本的基模，就不必特別指出。以下，筆者亦是如此對待此根本基模。（Ｂ）、聰明一點的學生可能會這樣做：

設a類球取x個，b類球取y個，c類球取z個。則xyz5，0x,y,z5且x,y,z為整數（即此方程式之非負整數解。）此時可以列表解之：

ｘ ５ ４ ３ ３ ２

ｙ ０ １ ２ １ ２

ｚ ０ ０ ０ １ １

故共有3!3!3!3!3!21種。2!2!2!n

運用這種作法的學生至少要有Ｃn、Ｐmm、代數方程式的列式，以及解非負整數等概念，其中能將排列、組合的問題轉化成代數的問題，這頇要很強的『反思』能力，即能跳脫問題本身，提昇到更高階層以觀察之，而得到此一作法，這是基模結合力更強的展現。由於基模具有這種將多種概念結合、轉化的特性，難怪引導學生作基模式的學習，是一種很有效的數學教學法。此法的進行，要提醒學生有『居高臨下』的視野，在跳脫問題層次之外，能以更宏觀的思考方向思考之。這是非常難得，而且是更高一層的反思，值得學之。（Ｃ）更聰明的學生，可能會這樣做：

同（Ｂ）中的假設，而得求xyz5的非負整數解的個數。此時這類學生便將５個球，用５個“１”代表而將之排成一列，再用兩個加號“＋”插進一群“１”之中，所分成的三部分就分別定為x,y,z的值，而得到

7!737351C5，即知H5。C5C52!5!

這種做法是經兩次反思而得，先將排列組合的問題轉化成代數方程式問題，為了要求非

nnm1負整數解的個數又轉化成重複排列問題，而得到更簡便的求解方法，進而驗證了Hm。Cm

筆者分析上述（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）這三種作法，主要目的是要說明筆者對基模所列的四種特性，從而使自己對基模的特質，有更進一步的理解。因此，筆者覺得基模本身已經是離開日常經驗與反應，同時，基模可以統合已知知識，進而加強對事物的了解，及對事物的批判思考力。因此，基模是產生真正理解事物的一種心智工具，利用它，我們可以獲取意想不到的新知。

然而萬事萬物，有其利亦有其弊。基模亦可能有其缺點，包括建立過程所費的時間較長，基模有喜新厭舊、顧此失彼的特性，更嚴重者，乃是知識『穩固性』建立的無形障礙。在此，筆者提出基模穩固性的無形障礙，有一個很明確的例子，就是在畢氏發現無理數時，當時數學家們視畢氏的無理數論點為異端，不在此重述。可見，當時數學家們對數學中的數系基模，只穩固在有理數系為其最高階層的數系，至於對於非有理數的存在性，自然會有很大的懷疑。

四、思考層次的分析

x22x22x23。

我們先考慮這問題：試解2x2xx1(解一)、一般學生直觀解之，要先去分母；得到：(x2)2(x2x1)(2x22x2)3(x2)(x2x1)

x24x42(x4x212x32x2x2)3(x3x2x2x22x2)

2x44x37x28x63x39x29x6 2x4x32x2x0

x0，2x3x22x10

1x0,1,。

2(解二)、另外有一些學生先欣賞一下題目，分析問題特性，方程式中皆有因此，學生的做法便利用符號代表ax2及其倒數。

x2x1x2x2，即令=，則原方程式變為a22xx1xx12x2x213a23a20a1或2，即2＝１或2＝２，故得x0,1,。a2xx1xx

1由上述的兩種解題方法，筆者試圖分析學生的心智活動結構的大概情形如下：（Ａ）、自動化概念

在學習或處理新概念或問題時，基礎概念或基礎理論必頇變得自動化，亦即可以自動浮現心頭。不必重新思考或反映的概念，皆可稱為自動化概念。

在『解一』中的自動化概念，包括分式之去分母，多項式之加減乘及多項式的因式分解。因此，要用“解一”的方法，這些基礎概念頇要已經自動化了，如此解此題才方便。

至於在『解二』中的自動化概念，就包括符號代換、分式之去分母、因式分解（十字交义相乘）、解一元二次方程式等。

因此，要運用『解二』之法者，先要有更高層次思考，以簡禦繁而得到a=

x2的代2xx1換式；之後便是頇要自動化的概念。（Ｂ）、心智模型的層次

在上述『解一』中，乃是一般性解題的自然操作活動，也是直覺處理問題的想法。亦即直接由自然的規律（即自動化概念），經過操作、抽象、推廣所蘊育而成的心智模型。這即是Skemp書中所提到的第一型理論。

在『解二』中，頇要跳脫到問題之外，以居高臨下的觀點先審題目之結構，進而運用數學以簡禦繁的精神，以a代表

x2而得到簡單的分式方程式，進而如『解一』之法解之。

x2x1這種心智模型較『解一』更為高層次。這類思考層次可說是反思，自己跳脫題外，思考問題，時時知道自己在做什麼。

接著，筆者再以大學數學中『拓樸學』（topology）的例子，來說明『思考層次』與『思考眼界』有著高低的不同。

記得在國小、國中、高中時代，圓形和三角形是視為完全不一樣的東西，不同的幾何圖形。當時的思考，只限於外形的表現，比較不注重其無形的內涵。因此，在中學時代的數學，直觀思考，圖形的全等性、相似性乃是主要訴求的重點。但是到了大學數學系中的拓樸學，已經忘記了點與點之間的距離，也跳脫了有形物體的局限。故在拓樸學家的眼裡，圓、三角形與皆正方形視為同一類圖形；甚至圓與實心的輪胎也被視為同一類的幾何圖形，而一直線與一點也被視為同樣的幾何圖形。這些觀點，皆已跳脫有形可想像的範圍，已經走到第二型的更高層的思考，難怪Skemp主張數學學習理論皆是屬於第二型的高層反思。其實，數學高階思考大都屬於二階反思。因此，我們可以理解到，經由數學層層抽象化過濾的高階概念，雖然已經遠離現實世界，走向無形抽象空間之中，但是，它卻反而引領我們進入孙宙的本質，一旦賦予科學的內涵，就可以得到實際世界許多令人驚異的結論了。

五、代數與幾何的結合

筆者提出以下例子：

x2y21之兩頂點，Ｐ是橢圓上之一點，求△ＡＢＰ的例：設A(-3,0)，B(0,-2)為橢圓94最大面積。

這例題是高中數學教材中，常出現在圓錐曲線單元中的例子；而且也算是較難的例題之一。我們提出兩種解法，再進一步分析這兩種解法過程中與Skemp書中的理論相應之處。

解法一：利用代數方法解之。

設Ｐ（3cos,2sin），1|3203cos2sin1021| 1則△ＡＢＰ面積＝

1|66cos6sin| ＝|3sin3cos3|

＝

＝|32sin(

故sin(4)3|

4)1時，得最大值 323。

解法二：利用幾何觀點解之。

△ＡＢＰ中AB底固定，故只要高最大，則△ＡＢＰ之面積就會最大。因此，利用平行線間之距離固定的特性；再 作Ｌ//AB且與橢圓相切於P，則可得最大的高。利用橢圓切線公式得：

242L:yx94x22

39而d(A,L)66213。

166213332。213

這個問題屬於難題，一般學生不易求解，這是因為它頇要許多概念的結合，才能推導出這題的答案，其中包括橢圓的參數化、面積的行列式表示（亦可以用面積的向量表示）、三角函數疊合性質、最大值如何取值等。一般而言，一個問題頇要三個或以上的概念結合才能解決，便可說是一個難題。何況此問題至少要用到四、五個以上的概念，難怪對學生而言，這是一難題，以上是『解法一』的計算過程分析。然而，對於『解法二』而言，它所頇要的概念有：幾何平行概念，三角形面積求法，橢圓切線公式，點到直線之距離等。也就是頇要四、五個以上的概念結合，才能處理這一問題。然而『解法二』的方法是代數與幾何的結合，也就是兩個大系統的結合。Skemp在本書中提到視覺系統及言辭系統。言辭系統不只包含口中發出的聲音，還包含寫在紙上的字；而視覺系統最好的例子就是圖形。然而，兩種系統若能結合，則處理問題的能力便可以更具威力。難怪諾貝爾獎得主Bragg在其八十歲生日時說：他自己總是先有視覺印象然後才產生新靈感。從這些數學教育專家的言談之中，可見以幾何觀點處理代數問題是很有幫助的，筆者提出這例題便是一例。因此，代數與幾何的結合是很重要的後射思考能力。

筆者近日對這三年來的『指定或聯考試題』作分析，發現九十一年指定考科有關幾何或利用幾何概念可處理的問題佔了29%；九十年聯考題這種題目佔了52%；八十九年聯考這種題目佔了46%。筆者所推定的百分比，可能見仁見智，雖然可能有誤差，但是，我們相信平均而言，與幾何相關或利用幾何可以處理的問題佔35%~40%是很自然的。這令筆者也深深感到，現今中學教材幾何的份量實在太少了。我希望數學教學家者能正視此一問題，也希望有改善幾何教學的教材出現。平心而論，幾何中的作圖、作法、推論與證明，可以說對學習數學是很重要的訓諫，不知為何當今編寫數學教材大綱的所謂『專家』，為何對幾何的內容做如此的取捨？現今的教育『專家』到底在想什麼？筆者想不通！故△ＡＢＰ之面積＝

六、理解方式

在Skemp書中的理解方式分為：機械式理解、因果式理解，與邏輯式理解。本書中對此三種理解方式有大略敘述，我們分述如下。

‧機械式理解：能夠將硬背的公式、招數應用於特定問題，但不知背後原因、原理。‧因果式理解：知道數學概念的原因、原理，並能自行推理、推廣。‧邏輯式理解：能夠老練地以數學化符號、術語搭配邏輯推理規則，以進行形式化的數學概念證明或推演。

為了說明這三種不同的理解方式，筆者舉以下例子，來對照三種理解的情形。例：設二次函數f(x)(x1.1)2(x1.2)2(x1.3)2(x1.4)

2(x8.6)2(x8.7)2(x8.8)2(x8.9)2，且當xx0時，f(x)有最小值為m，則(x0,m)＝。

（A）機械式理解的學生，可能作以下解答方式。

取 1.1，1.2，1.3，1.4，8.6，8.7，8.8，8.9的中位數得5，則f(5)112.6，故答(5,112.6)。

此答案正確。但學生只記得老師提醒：當遇到這種問題時，便取以上各數之中位數代入，即得最小值。

（B）因果式理解的學生可能作以下解答方式。

將f(x)化為二次函數：

f(x)8x22(1.11.21.31.48.68.78.88.9)xD

f(x)8x280xD8(x5)2D200，其中D1.121.221.32.1428.628.728.828.92，故得當x5時，f(x)有最小值112.6。

在運用這種解法時，學生一眼看出f(x)為一元二次函數，故經化簡便可以得到，且可求得最小值。可見，他對二次函數、配方、求極值等基本概念皆明白在心理，而可以自行推導得答案。

（C）為了引進邏輯式理解，我們提出以下例子。

1tansectansec，有學生如此證明：

1tansecnsec(1tanse)c(tasne)c

1ta 例：求證：

22sectantantasnecsectasnecsec

1tan2secta

1tannsec(s2ectan)sec1tanse c

1tan

故得證。

運用這種證法的學生，筆者承認他已經對三角函數恆等式證明，已有了因果式的理解。因為，他知道從第一等式到最後等式，其實皆是一樣的意義，而最後一個等式是顯然成立，故原等式得證。看到學生如此解，便可以了解其對等式證明的因果過程皆理解。因此，筆者認為他已達到因果式理解。但是，他的數學邏輯表達卻有不當之處。如果改寫如下：

此一恆等式與1tansec(1tansec)(tansec)同義，故我們只證明後一恆等式就行了。它的右式＝(1tansec)(tansec)

=tantan2tansecsectansecsec2 =tansec(sec2tan2)=1tansec=左式

得證。

經過如此修正，整個邏輯語氣才通順，而且符合敘述證明的邏輯思考理解。若學生能接受如此的訓練，便可以得到邏輯式理解的學習目標，而使基模或解題過程能很圓滿地呈現出來。因此，邏輯式理解有一項很重要的誘因，就是來自同儕或師長的批評與建議，如此，方能達到數學完美的邏輯式理解與因果式理解的效應與動力，而達到追求更廣泛、更有力、更一致、更完備的數學知識。

七、數學教學的省思

回想起十多年來的數學教學情況，可說是『教學相長』的最佳寫照。在最初教學之時，筆者比較愛教理論，亦即常以定義方式，直接引入數學概念，這種方法最簡捷。但是，學生卻不易了解，易生枯燥之感。因為，筆者在大學數學系時專業上的訓練，常以定義、性質、引理、定理、推理，一連串的引出數學的概念；因此，剛開始教學之時，亦承襲此一教學方式。後來，筆者日漸了解學生吸收不良的情形，也體會到中學生不比大學數學系的學生。因此，漸漸了解引起動機的重要，而在教學之時，慢慢轉變成以例子為起頭，引用日常生活化的例子，來引發學生的學習興趣，然後，再進一步抽象化，而教授一般化的數學概念。經過Skemp這本書的啟示，筆者覺得一位好老師至少要具備以下的特質：

‧ 提出問題，解答問題。

‧ 體察出學生基模進展的方式，並適時提出適當實物以供參考。‧ 幫助學生更深入掌握其所學。‧ 逐步減低學生對老師的依賴。‧ 培養學生獨立分析事物的能力。

‧ 教材之選取，以及問題之提出，要合符學生的思考方式。‧ 培養學生反映內涵能力及推理綜合能力。‧ 確時掌握學生心智自我建設之過程及特徵。

由於Skemp的概念啟發，筆者也提議下列一套『數學教學的原則』，筆者覺得它們是一位數學教師至少應該具備的共識：

‧先引起學習動機，以例子為起頭說明。

‧舉例子要確定學生已經形成例子所應該具備的預先概念。‧定義不可超過已知的高階概念。‧以好例子引出定義。

‧對所要教的例子要有充分了解，要有創造力、啟發力。‧概念結構分析過程中，不可錯一步。‧先前概念必頇回顧複習，使學生隨手可得。

‧引導學生揭開數學的發展結果，並加強學生的數學邏輯思考。‧加強智慧學習的過程。

這些有關教師特質與教學原則的自我省思，將是往後筆者在數學教學上的重點參考，更是筆者自我期許至少要達成的目標。

八、結論

數學教育對筆者而言千頭萬緒，只是從經驗，教學過程，偶而拾獲的一些心得而已。有幸能得到Skemp書中的許多啟發，也印證了許多教學過程中所體會的理念與原則。筆者覺得數學教學，應該著重在要求這些數學結果是如何一步一步被揭開、發展出來，以及其來龍去脈的全盤了解，而不只是邏輯推理的說服懷疑者，此外，也不只是教授數學技巧，而不教數學的思考內涵而已。

因此，數學教學為了簡捷、精確，而直接以定義方式引導學生，對學生而言，這是一種不智之舉。如果能從日常生活經驗中，引進一些美好的例子，加強學生的學習動機，這將是年輕學子之福。

學生學習的包袱，會隨著學習理解方式而不同。機械式理解者將累積無數的數學規則、公式，而包袱日漸加重，以至達到無法負荷的困境。但對因果式及邏輯式理解的學生而言，將可以大幅減輕其包袱的負擔。故此，對學生的教學過程中，時時引導其對數學的理解規定的理由為何？目的何在？這是一種減輕學生學習包袱的重大關鍵。

我們皆明白分析能力、邏輯論證、社會化思考在數學中是相當重要的學習目標。然而，在此之外，我們更需要有個人的思考、內在的洞察力以及綜合能力。在某種程度上而言，前者較容易教給學生，後者只能靠學生自力開發。可見，學生個人思考、洞察力、綜合能力的引導不易。所以，我們只能從旁啟發，至於達到何種程度，只有靠學生自己的造化了。

學生的學習是可以啟發的，教師本身的角色扮演也相當重要。原則上，一個教師既要是軍隊中的訓練班長（管理學生），又要是交響樂團的指揮者（以自己的學識風範贏得學生的敬愛），並且必頇在這兩個角色之間取得平衡。

在數學教育環環相扣的情形下，筆者也深深體認到：數學是經由層層抽象過濾的高階概念，雖然這些高階概念遠離現實世界，但它們卻反而引領我們接觸孙宙的本質。一旦將這些賦予科學的內涵，就可以得到實際世界中許許多多令人驚異的結論。現今數學教育理論雖然還在蘊育之中，但是，顯然也建立了許多值得參考的理論。期待將來我們對於學生學習內在心智活動及其內在自我建構的探索，能有更進一步的理解。這也是當今許多數學教育專家要探討的中心問題：教學時如何兼顧學習者心智自我建設性的特徵？如何理解學習者內在心智活動的所有過程？