一次函数教案（合集五篇）

第一篇：一次函数教案

一次函数教案

教学目标

1.使学生理解待定系数法； =】、】

2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题． 3.感受待定系数法是求函数解析式的基本方法, 体会用“数”和“形”结合的方法求函数式；

4.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化． 教学过程

一、创设问题情境

一次函数关系式y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k和b呢？

问题1 已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？

由已知条件x＝-2时，y＝-1，得-1＝-2k＋b． 由已知条件x＝3时，y＝-3，得-3＝3k＋b． 两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程

问题2 已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．

考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？

二、合作探究

讨论 1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k和b的二元一次方程组的问题．

2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围． 问题3 若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m的值． 分析 考虑到直线y＝mx-(m-2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x＝0时，y＝3，求m．即求关于m的一元一次方程．

解 当x＝0时，y＝3．即：3＝-(m-2)．解得m＝-1．

这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。

三、实践应用

例1 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(-1,1)和点(1，-5),求当x＝5时，函数y的值．

分析 1．图象经过点(-1,1)和点(1，-5)，即已知当x＝-1时，y＝1；x＝1时，y＝-5．代入函数解析式中，求出k与b．

2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x＝5时，函数y的值，仍需从求函数解析式着手． 这个函数解析式为y＝-3x-2． 当x＝5时，y＝-3×5-2＝-17．

例2 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．

分析 从“形” 看，图象经过x轴上横坐标为2的点，y轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标(2,0),(0,-3)满足解析式． 解 设所求的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)． 直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得 例3 求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．

分析 两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而两个函数关系式就是方程组中的两个方程．所以交点坐标就是方程组的解． 所以直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为(3，6)．

四、检测反馈 1.根据下列条件写出相应的函数关系式．(1)直线y＝kx＋5经过点(-2,-1)；

(2)一次函数中，当x＝1时，y＝3；当x＝-1时，y＝7． 2.写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2,3)．

3.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图．试说明收费方法，并写出行李费y（元）与行李重量x（千克）之间的函数关系．

4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式，并画出图象．

5.陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，并介绍当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随带的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发现温度为32.2℃．求山高． 课堂小结

本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法

1.求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)中两个待定系数k和b的值； 2.用一次函数解析式解决实际问题时，要注意自变量的取值范围． 3.求两个一次函数图象的交点坐标即以两解析式为方程的方程组的解． 教学反思

一次函数解析式的求法一般是采用待定系法，对于学生而言，如何理解这种方法是解决这一问题的关键为了解决这个问题，我举了这样一个例子：已知直线y=kx+b经过点（3,5）和点（5,6）怎样求这个函数关系式？学生们很容易想到通过列方程组解决问题，为什么要选择列方程组解决这个问题，目的是什么？学生习惯于如何做题，却从不想为什么采用这种方法，这种方法的出发点是什么？经过思考，有的学生终于答出了这个问题：确定k,b的值一次函数解析式就确定下来了。这正是待定系数法的精髓，学生们只有能理解到这一点才能领会到待定系数法的精髓。

第二篇：一次函数教案

一、要点解读

1,知识总揽

一次函数是函数大家族中的主要成员之一,是研究两个变量和学习其它函数的基础,它的表达式简单,性质也不复杂,但在我们的日常生活中的应用却十分广泛,与其它函数的联系也十分密切,许多实际问题只要我们注意细心观察,认真分析,及时将问题转化为一次函数模型,再得用一次函数的性质即可求解.2,疑点、易错点

(1)若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0),则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数,就是说,正比例函数是一次函数的特例,而一次函数包含正比例函数,是正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.如y=-x是正比例函数,也是一次函数,而y=-2x-3是一次函数,但并不是正比例函数.因此,同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念,注意掌握它们之间的区别和联系.(2)一次函数的图象是一条直线,它所经过的象限是由k与b决定的,所以在复习巩固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固,从而可以避免因k与b的符号的干扰.如,在如图中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、n是常数且mn≠0)图象是()对于两不同函数图象共存同一坐标系问题,常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题.例如,假设选项B中的直线y=mx+n正确则m<0,n>0,mn<0则正比例函数y=mnx则应过第二、四象限,而实际图象则过第一、三象限,所以选项B错误.同理可得A正确.故应选A.(3)虽然一次函数的表达式简单,性质也并不复杂,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,它的位置由k、b的符号确定.但是,涉及实际问题的一次函数图象与自变量的取值范围,画出来的图象不一定是直线,可能是线段或其他图形,这一点既是学习一次函数的疑点,也是难点,更是解题量的易错点.如,拖拉机开始工作时,油箱中有油40L,如果每小时耗油5L,那么工作时,油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)的函数关系用图象可表示为()依题意可以得到油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)的函数关系为Q=40-5t,就这个一次函数的解析式而言,它的图象是一条直线,所以不少同学就会选择A,而事实上,自变量t有一个取值范围,即0≤t≤8,所以正确的答案应该选择C.二、思想方法

复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固.具体地说,一次函数的知识涉及常见的思想方法有:(1)函数思想

所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的关系.确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式.例1 长方形的长是20,宽是x,周长是y.写出x和y之间的关系式.简析(1)由长方形的周长公式,得y=2(x+20)=2x+40;说明 在依据题意写出两个变量之间的关系式时,会经常用到以前学到的各种公式,所以对以前常用的公式我们要熟练掌握,分析每一个公式的结构特征,做到运用自如,方可避免常见错误.(2)数形结合思想

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.例2 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多,对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图2所示的一次函数关系.在这样的情况下,如果确保每周4万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元? 解 设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b.由题意,得 解得

所以y=-500x+12 000.而根据题意,得xy=40 000,即x(-500x+12 000)=40 000,x2-24x+80=0, 所以方程变形为(x-12)2=64,两边开平方求得x1=20,x2=4.把x1=20,x2=4分别代入y=-500x+12 000中得y1=2 000,y2=10 000.因为控制参观人数,所以取x=20,y=2 000.即每周应限制参观人数是2 000人,门票价格应是20元.说明 本题中得到方程x2-24x+80=0,虽然没有学过不会解,但通过适当变形还是可以求解的.(3)待定系数法

待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法.它是方程思想的具体运用.例3 为了学生的身体健康,学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的.小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度.于是,他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度,得到如下数据: 第一档 第二档 第三档 第四档

凳高x(cm)37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y(cm)70.0 74.8 78.0 82.8(1)小明经过对数据探究,发现:桌高y是凳高x的一次函数,请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出x的取值范围);(2)小明回家后,测量了家里的写字台和凳子,写字台的高度为77cm,凳子的高度为43.5cm,请你判断它们是否配套,说明理由.解(1)设y=kx+b(k≠0),依题意得 解得

所以这个一次函数的关系式y=1.6x+10.8;(2)当小明家写字台的高度y=77cm时,由(1)中的一次函数的关系式y=1.6x+10.8得77=1.6x+10.8,解得x=41.375<凳子的高度43.5cm,所以小明家的写字台和凳子的高度是不配套的.说明 对于(2)中的问题也可以利用凳子的高度x,求出写字台的高度y,再与77cm比较.由此,用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为:“一设二列三解四还原”.就是说,一设:设出一次函数解析式的一般形式y=kx+b(k≠0);二列:根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组;三解:解这个方程组,求出k、b的值;四还原:将已求得

(4)方程思想

方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.方程思想是最重要的一种数学思想,在数学解题中所占比重较大,综合知识强、题型广、应用技巧灵活.从例

1、例2和例3中,我们都可以看出用到了方程思想求解.三、考点解密

(所选例题均出自2006年全国部分省市中考试卷)考点1 确定自变量的取值范围

确定函数解析式中的自变量的取值范围,只需保证其函数有意义即可.例1(盐城市)函数y= 中,自变量x的取值范围是.分析 由于函数的表达式是分式型的,因此必需保证分母不等于0即可.解 要使函数y= 有意义,只需分母x-1≠0,即x≠1.说明 确定一个函数的自变量的取值范围,对于函数是整式型的可以取任何数,若是分数型,只需使分母不为0,对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义.考点2 函数图象

把一个函数的自变量x与对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做函数函数图象.例2(泉州市)小明所在学校离家距离为2千米,某天他放学后骑自行车回家,行驶了5分钟后,因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家.如图1中,哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系()分析 依据题意,并观察分析每一个图象的特点,即可作出判断.解 依题意小明所在学校离家距离为2千米,先行驶了5分钟后,因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家,即能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系只有D图符合,故应选D.说明 求解时要充分发挥数形结合的作用,及时从图象中捕捉求解有用的信息,并依据函数图象的概念对图象作出正确判断.考点3 判断图象经过的象限

对于一次函数y=kx+b:①当k>0,b>0时,图象在第一、二、三象限内;②当k>0,b<0时,图象在第一、三、四象限内;③当k<0,b>0时,图象在第一、二、四象限内;④当k<0,b<0时,图象在第二、三、四象限内.特别地,b=0即正比例函数y=kx有:①当k>0时,图象在第一、三象限内;②当k<0时,图象在第二、四象限内.例3(十堰市)已知直线l经过第一、二、四象限,则其解析式可以为___(写出一个即可).分析 由题意直线l经过第一、二、四象限,此时满足条件的解析式有无数个.解 经过第一、二、四象限的直线有无数条,所以本题是一道开放型问题,答案不唯一.如:y=-x+2,y=-3x+1.等等.说明 处理这种开放型的问题,只要选择一个方便而又简单的答案即可.考点4 求一次函数的表达式,确定函数值

要确定一次函数的解析式,只需找到满足k、b的两个条件即可.一般地,根据条件列出关于k、b的二元一次方程组,解出k与b的值,从而就确定了一次函数的解析式.另外,对于实际问题可妨照列方程解应用题那样,但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约.例4(衡阳市)为了鼓励市民节约用水,自来水公司特制定了新的用水收费标准,每月用水量,x(吨)与应付水费(元)的函数关系如图2.(1)求出当月用水量不超过5吨时,y与x之间的函数关系式;(2)某居民某月用水量为8吨,求应付的水费是多少?

分析 观察函数图象我们可以发现是一条分段图象,因此只要分0≤x≤5和x≥5求解.解(1)由图象可知:当0≤x≤5时是一段正比例函数,设y=kx,由x=5时,y=5,得5=5k,即k=1.所以0≤x≤5时,y=x.(2)当x≥5时可以看成是一条直线,设y=k1x+ b由图象可知 解得 所以当x≥5时,y=1.5x-2.5;当x=8时,y=1.5×8-2.5=9.5(元).说明 确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件;确定一次函数的表达式需要两个独立的条件.对于在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值.在处理本题的问题时,只需利用待定系数法,构造出相应的二元一次方程组求解.另外,在处理这类问题时,一定要从图形中获取信息,并把所得到的信息进行联系处理.考点5 比较大小 利用一次函数的性质可以比较函数值的大小,具体地应由k的符号决定.例5(青岛市)点P1(x1,y1),点P2(x2,y2)是一次函数y=-4x+3 图象上的两个点,且 x1y2 B.y1>y2 >0 C.y1y2.故应选A.说明 在一次函数y=kx+b中,①当k>0,y随x的增大而增大;②当k<0,y随x的增大而减小.考点6 图象与坐标轴围成的面积问题

对于一次函数y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是(0,b)和(-,0),由此与坐标轴围成的三角形的面积为 =.例6(日照市)已知直线y=mx-1上有一点B(1,n),它到原点的距离是 ,则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.B.或 C.或 D.或

分析 若能利用直线y=mx-1上有一点B(1,n),它到原点的距离是 求出n,则可以进一步求出了m,从而可以求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积.解 因为点B(1,n)到原点的距离是 ,所以有12+ n2=10,即n=±3,则点B的坐标为(1,3)或(1,-3).分别代入y=mx-1,得m=4,或m=-2.所以直线的表达式为y=4x-1或y=-2x-1,即易求得直线与坐标轴围成的三角形的面积为 或.故应选C.说明 要求直线与两坐标轴围成的三角形的面积,只要能求出直线与坐标轴的交点坐标即可,这里的分类讨论是正确求解的关键.考点7 利用一次函数解决实际问题

利用一次函数解决实际问题可妨照列方程解应用题那样,但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约.例7(长沙市)我市某乡A、B两村盛产柑桔,A村有柑桔200吨,B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨;从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,A,B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元.(1)请填写下表,并求出yA、yB与x之间的函数关系式;C D 总计

A x吨 200吨

B 300吨

总计 240吨 260吨 500吨

(2)试讨论A,B两村中,哪个村的运费较少;(3)考虑到B村的经济承受能力,B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出这个最小值.分析 依题意可以知道从A村运往C仓库的柑桔重量、从A村运往D仓库的柑桔重量、从B村运往C仓库的柑桔重量和从B村运往D仓库的柑桔重量,这样就可以求得yA、yB与x之间的函数关系式,进而利用不等式和一次函数的性质求解.解(1)依题意,从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,则从A村运往D仓库的柑桔重量应为(200-x)吨,同样从B村运往C仓库的柑桔重量为(240-x)吨,从B村运往D仓库的柑桔重量应为(300-240+x)吨,即(60+x)吨.所以表中C栏中填上(240-x)吨,D栏中人上到下依次填(200-x)吨、(60+x)吨.从而可以分别求得yA=-5x+5000(0≤x≤200),yB=3x+4680(0≤x≤200).(2)当yA=yB时,-5x+5000=3x+4680,即x=40;当yA>yB时,-5x+5000>3x+4680,即x<40;当yA40;所以当x=40时,yA=yB即两村运费相等;当0≤x≤40时,yA>yB即 村运费较少;当40

1,(衡阳市)函数y= 中自变量劣的取值范围是___.2,(攀枝花市)如图,直线y=-x+4与y轴交于点A,与直线y= x+ 交于点B,且直线y= x+ 与x轴交于点C,则△ABC的面积为___.3,(海淀区)打开某洗衣机开关,在洗涤衣服时(洗衣机内无水),洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种函数关系,其函数图象大致为()4,(江西省)如图,已知直线l1经过点A(-1,0)与点B(2,3),另一条直线l2经过点B,且与x轴交于点P(m,0).(1)求直线l1的解析式;(2)若△APB的面积为3,求m的值.5,(南安市)近两年某地外向型经济发展迅速,一些着名跨国公司纷纷落户该地新区,对各类人才需求不断增加,现一公司面向社会招聘人员,其信息如下: [信息一]招聘对象:机械制造类和规划设计类人员共150名.[信息二]工资待遇:机械类人员工资为600元/月,规划设计类人员为1000元/月.设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x人、y人.(1)用含x的代数式表示y;(2)若公司每月付给所招聘人员的工资为p元,要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍,求p的取值范围.参考答案: 1,≥1;2,4;3,D;

4,(1)设直线l1的解析式为 y=kx + b,由题意,得 解得 所以,直线l1的解析式为 y=x +1.(2)当点P在点A的右侧时,AP=m-(-1)=m +1,有.解得 m=1,此时,点P的坐标为(1,0);当点P在点A的左侧时,AP=-1-m,有.解得 m =-3,此时,点P的坐标为(-3,0).综上所述,m的值为1或-3;5,(1)y=150-x.(2)根据题意,得:y≥2x,所以150-x≥2x,解得:x≤50,又x≥0,150-x≥0,即0≤x≤50,所以p=600x+1000(150-x)=-400x+150000;又因为p随x的增大而减小,并且0≤x≤50,所

以

-400×50+150000≤p≤-400×0+150000,即130000≤p≤150000

第三篇：一次函数教案

一次函数（1）

知识技能目标

1.理解一次函数和正比例函数的概念；

2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．

过程性目标

1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系； 2.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力．

教学过程

一、创设情境

问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．

分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是

s＝570－95t．

说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．

问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式． 分析 我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：y＝50＋12x．

问题3 以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?

二、探究归纳

上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的．函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数(linear function)．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0．

特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫正比例函数(direct proportional function)．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．

三、实践应用

例1 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；

(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．

分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．

20解(1)a，不是一次函数．

h(2)L＝2b＋16，L是b的一次函数．(3)y＝150－5x，y是x的一次函数．

(4)s＝40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．

例2 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．

分析 根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．

1解 若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝．

2若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2．

例3 已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)y与x之间是什么函数关系；(3)求x＝2.5时，y的值．

解(1)因为 y与x－3成正比例,所以y＝k(x－3)． 又因为x＝4时，y＝3，所以3＝ k(4－3)，解得k＝3，所以y＝3(x－3)＝3x－9．(2)y是x的一次函数．

(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．

例4 若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式.分析 直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b的值.解 因为直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，所以k＝-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所以b＝-2,因此所求的直线的表达式为y＝-x-2.3例5求函数yx3与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成2的三角形的面积.3分析 求直线yx3与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标2和横坐标分别为0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线3yx3与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边就是直线23yx3与x轴、y轴的交点与原点的距离.2

解 当y＝0时，x＝2，所以直线与x轴的交点坐标是A(2,0)；当x＝0时，y＝-3,所以直线与y轴的交点坐标是B(0，-3).11SOABOAOB233.22

例6 画出第一节课中问题(1)中小明距北京的路程s（千米）与在高速公路上行驶的时间t（时）之间函数s＝570-95t的图象.分析 这是一题与实际生活相关的函数应用题，函数关系式s＝570-95t中，自变量t是小明在高速公路上行驶的时间，所以0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者，本题中t和s取值悬殊很大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.讨论 1.上述函数是否是一次函数？这个函数的图象是什么？ 2.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他的情形？你能不能找出几个例子加以说明.例7 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费y（元）可以

1看成他们携带的行李质量x（千克）的一次函数为yx5．画出这个函数的6图象，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？

分析 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0元时的行李数．为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值．即当y＝0时，x＝30．由此可知这个函数的自变量的取值范围是x≥30． 解 函数y1x5(x≥30)图象为： 6

当y＝0时，x＝30.所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.例8 今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9．(1)画出函数的图象；

(2)观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.分析 画函数图象时，应就自变量0≤x≤5和x＞5分别画出图象，当0≤x≤5时，是正比例函数，当x＞5是一次函数，所以这个函数的图象是一条折线.解(1)函数的图象是：

(2)自来水公司的收费标准是：当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以上时，每吨0.90元.四、交流反思

b1.一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x.所以直线y＝kx＋

kbb与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是,0；

k2.在画实际问题中的一次函数图象时，要考虑自变量的取值范围，画出的图象往往不再是一条直线.

第四篇：一次函数教案

教案示例

6.2一次函数

一、教学目标

1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。

2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。

二、能力目标

1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。

2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。

三、情感目标

1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。

2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。

四、教学重难点

1、一次函数、正比例函数的概念及关系。

2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。

五、教学过程

1、新课导入

有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：

某弹簧的自然长度为 3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加 1千克、弹簧长度y增加 0.5厘米。

（1）计算所挂物体的质量分别为 1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：

（2）你能写出x与y之间的关系式吗？

分析：当不挂物体时，弹簧长度为 3厘米，当挂 1千克物体时，增加 0.5厘米，总长度为 3.5厘米，当增加 1千克物体，即所挂物体为 2千克时，弹簧又增加 0.5厘米，总共增加 1厘米，由此可见，所挂物体每增加 1千克，弹簧就伸长 0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x。

2、做一做

某辆汽车油箱中原有汽油 100升，汽车每行驶 50千克耗油 9升。

（1）完成下表：

你能写出x与y之间的关系吗？（y=100−0.18x或y=100−x）

接着看下面这些函数，你能说出这些函数有什么共同的特点吗？

上面的几个函数关系式，都是左边是因变量，右边是含自变量的代数式，并且自变量和因变量的指数都是一次。

3、一次函数，正比例函数的概念

若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

4、例题讲解

5、课堂练习

补充练习。。。

六、课后小节

1、一次函数、正比例函数的概念及关系。

2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。

第五篇：一次函数教案

一次函数教案

(一)教学目标

（一）教学知识点

１．掌握一次函数解析式的特点及意义．

２．知道一次函数与正比例函数关系．

３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．

４．会用简单方法画一次函数图象．

（二）能力训练要求

１．通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性．

２．进一步提高分析概括、总结归纳能力．

３．利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．

教学重点

１．一次函数解析式特点．

２．一次函数图象特征与解析式联系规律．

３．一次函数图象的画法．

教学难点

１．一次函数与正比例函数关系．

２．一次函数图象特征与解析式的联系规律．

教学方法

合作─探究，总结─归纳．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y•与x的关系．

分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为： y=15-6x（x≥0）

当然，这个函数也可表示为： y=-6x+15（x≥0）

当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．

这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．

Ⅱ．导入新课

我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？

１．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C•的值约是t的7倍与35的差． ２．一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值．

３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．

４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．

这些问题的函数解析式分别为：

１．C=7t-35． ２．G=h-105．

３．y=0．01x+22． ４．y=-5x+50．

它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．

如果我们用b来表示这个常数的话．•这些函数形式就可以写成： y=kx+b（k≠0）

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0•）的函数，•叫做一次函数（•linearfunction）．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．

练习：

１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

8（1）y=-8x．（2）y=x．

（3）y=5x2+6．（3）y=-0．5x-1．

２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．

（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？（2）求第2．5秒时小球的速度．

３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？

解答：

１．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数．

２．（1）v=2t，它是一次函数．

（2）当t=2．5时，v＝2×2．5=5 所以第2．5秒时小球速度为5米／秒．

３．函数解析式：y=50-5x 自变量取值范围：0≤x≤10 y是x的一次函数． [活动一] 活动内容设计：

画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象．并比较两个函数图象，探究它们的联系及解释原因．

活动设计意图：

通过活动，加深对一次函数与正比例函数关系的理解，认清一次函数图象特征与解析式联系规律．

教师活动： 引导学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，•从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现．

学生活动：

引导学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，•从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现．

比较上面两个函数的图象的相同点与不同点。

结果：这两个函数的图象形状都是______,并且倾斜程度_______.函数 y=-6x的图象经过原点,函数 y=-6x+5 的图象与 y轴交于点_______,即它可以看作由直线y=-6x 向_平移__个单位长度而得到.比较两个函数解析式,试解释这是为什么.猜想：一次函数y=kx+b的图象是什么形状，它与直线y=kx有什么关系？

结论：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线

y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）。

画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.过（0，-1）点与（1，1）点画出直线y=2x-1．

过（0，1）点与（1，0．5）点画出直线y=-0.5x+1． [活动二] 活动内容设计：

画出函数y=x+

1、y=-x+

1、y=2x+

1、y=-2x+1的图象．由它们联想：一次函数解析式y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？

活动设计意图：

通过活动，熟悉一次函数图象画法．经历观察发现图象的规律，并根据它归纳总结出关于数值大小的性质．体会数形结合的探究方法在数学中的重要性，进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系．

目的：

引导学生从函数图象特征入手，寻求变量数值变化规律与解析式中k•值的联系．

结论：

图象：

规律：

当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降．

性质：

当k>0时，y随x增大而增大．

当k<0时，y随x增大而减小．

Ⅲ．随堂练习

１．直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_________，•图象经过第________象限，y随x增大而_________．

２．分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？

（1）k>0 b>0（2）k>0 b<0（3）k<0 b>0（4）k<0 b<0 解答：

１．（1．5，0）（0，-3）三、四、一 增大

２．（1）三、二、一（2）三、四、一

（3）二、一、四（4）二、三、四

小结

本节学习了一次函数的意义，知道了其解析式、图象特征，并学会了简单方法画图象，进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数图象特征与解析式的联系，这使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性．

课后作业

习题11．2─3、4、8题．

活动与探究

在同一直角坐标系中画出下列函数图象，并归纳y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中b对函数图象的影响．

１．y=x-1 y=x y=x+1 ２．y=-2x+1 y=-2x y=-2x-1 过程与结论：

b决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标（0，b）．

当b>0时，交点在原点上方．

当b=0时，交点即原点．

当b<0时，交点在原点下方．

备用题：

１．若函数y=mx-（4m-4）的图象过原点，则m=_______，此时函数是______•函数．若函数y=mx-（4m-4）的图象经过（1，3）点，则m=______，此时函数是______函数．

２．若一次函数y=（1-2m）x+3图象经过A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．当x1•y2，则m的取值范围是什么？

答案： １．1 正比例 3 一次

２．解：∵当x1y2，∴y随x增大而减小．

据一次函数性质可知：

只有当k<0时，y随x增大而减小

故1-2m<0 1 ∴m>2.毛

§11．2．2 一次函数(二)

教学目标

（一）教学知识点

１．学会用待定系数法确定一次函数解析式． ２．具体感知数形结合思想在一次函数中的应用

（二）能力训练目标

１．经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能．

２．体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题． 教学重点

待定系数法确定一次函数解析式． 教学难点

灵活运用有关知识解决相关问题．

教学方法

归纳─总结 教具准备

多媒体演示．

教学过程

１．提出问题，创设情境

我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？

这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？

Ⅱ．导入新课

有这样一个问题，大家来分析思考，寻求解决的办法． [活动] 活动设计内容：

已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．

联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？

活动设计意图：

通过活动掌握待定系数法在函数中的应用，进而经历思考分析，归纳总结一次函数解析式与图象之间转化规律，增强数形结合思想在函数中重要性的理解．

教师活动：

引导学生分析思考解决由图象到解析式转化的方法过程，从而总结归纳两者转化的一般方法．

学生活动：

在教师指导下经过独立思考，研究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程．

活动过程及结论：

分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．

设这个一次函数解析式为y=kx+b．

3kb5 因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以4kb9 k2 解之，得b1

故这个一次函数解析式为y=2x-1。结论： 函数解析式 选取 满足条件的两定点 画出 一次函数的图象 y=kx+b 解出（x1，y1）与（x1，y2）选取 直线L

像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法． 练习：

１．已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值． ２．已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值． 3.生物学家研究表明,某种蛇的长度y(CM)是其尾长x(CM)的一次函数,当蛇的尾长为6CM时, 蛇的长为45.5CM;当蛇的尾长为14CM时, 蛇的长为105.5CM.当一条蛇的尾长为10 CM时,这条蛇的长度是多少? 4.教科书第35页第6题.解答：

１．当x=5时y值为4． 即4=5k+2，∴k=5

09kb ２．由题意可知：2024kb 4k3b12 解之得，

作业: 教科书第35页第5,7题.备选题: 1.已知一次函数y=3x-b的图象经过点P(1,1),则该函数图象必经过点()A.(-1,1)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)2.若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求 b的值． 3．点M（-2，k）在直线y=2x+1上，求点M到x轴的距离d为多少?

§11．2．2 一次函数(三)

教学目标

（一）教学知识点

利用一次函数知识解决相关实际问题．

（二）能力训练目标

体会解决问题方法多样性，发展创新实践能力。

教学重点

灵活运用知识解决相关问题．

教学难点

灵活运用有关知识解决相关问题．

教学方法

实践─应用─创新．

教具准备

多媒体演示．

教学过程

1．提出问题，创设情境

我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？

这将是我们这节课要解决的主要问题.Ⅱ．导入新课

下面我们来学习一次函数的应用．

例1 小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．

分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x•变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．

20x200解：y=300(0x5)(5x15)

我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

例2 Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？

通过这一活动让学生逐步学会应用有关知识寻求出解决实际问题的方法，提高灵活运用能力． 教师活动：

引导学生讨论分析思考．从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．

学生活动：

在教师指导下，经历思考、讨论、分析，找出影响总运费的变量，并认清它们之间的关系，确定函数关系，最终解决实际问题．

活动过程及结论：

通过分析思考，可以发现：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．•然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：

若设Ａ──Ｃx吨，则：

由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ，200─x吨．

由于Ｃ乡需要240吨：Ｂ─Ｃ，240─x吨．

由于Ｄ乡需要260吨：Ｂ─Ｄ，260─200+x吨．

那么，各运输费用为：

Ａ──Ｃ 20x Ａ──Ｄ 25（200-x）

Ｂ──Ｃ 15（240-x）Ｂ──Ｄ 24（60+x）

若总运输费用为y的话，y与x关系为： y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．

化简得：

y=40x+10040（0≤x≤200）．

由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．

因此，从Ａ城运往Ｃ乡0吨，运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ乡240吨，•运往Ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040元．

若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？

解题方法与思路不变，只是过程有所不同：

Ａ──Ｃ x吨 Ａ──Ｄ 300-x吨

Ｂ──Ｃ 240-x吨 Ｂ──Ｄ x-40吨

反映总运费y与x的函数关系式为：

y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．

化简：y=4x+10140（40≤x≤300）．

由解析式可知： 当x=40时 y值最小为：y=4×40+10140=10300 因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ乡260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨，运往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．

如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？

由于Ｂ城运往Ｄ乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且Ａ城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．

总结: 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了．

在解决实际问题过程中，要注意根据实际情况确定自变量取值范围．就像刚才那个变形题一样，如果自变量取值范围弄错了，很容易出现失误，得到错误的结论．

Ⅲ练习

从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出水14万吨．从Ａ地到甲地50千米，到乙地30千米；从Ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨·千米）最少．

解答：设总调运量为y万吨·千米，Ａ水库调往甲地水x万吨，则调往乙地（14-x）万吨，Ｂ水库调往甲地水（15-x）万吨，调往乙地水（x-1）万吨．

由调运量与各距离的关系，可知反映y与x之间的函数为： y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）．

化简得：y=5x+1275（1≤x≤14）．

由解析式可知：当x=1时，y值最小，为y=5×1+1275=1280．

因此从Ａ水库调往甲地1万吨水，调往乙地13万吨水；从Ｂ水库调往甲地14•万吨水，调往乙地0万吨水．此时调运量最小，调运量为1280万吨·千米．

Ⅳ．小结

本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性．

Ⅴ．课后作业

习题11．2─7、9、11、12题．