《平行与垂直》重难点突破

第一篇：《平行与垂直》重难点突破

平行与垂直

教学目标：

知识与技能：理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识平行线与垂线。

过程与方法：在观察、操作、比较、概括中，经历探究平行线和垂线特征的过程，建立平行与垂直的概念。

情感态度价值观：在活动中丰富学生活动经验，培养学生的空间观念和空间想象能力。教学重点：正确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”的概念。教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。教学准备：多媒体课件、直尺、三角板、量角器等 教学过程：

一、情景导入

师：同学们，我们之前已经学过了直线的相关知识，那谁能说一说直线都有哪些特征？ 生：没有端点，可以向两端无限延长。

师： 我们一起来学习有关直线的知识——平行与垂直。（板书课题）

1、学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系。师：摸一摸平放在桌面上的白纸，你有什么感觉？（1）生交流汇报

（2）师：像这样很平的面，我们就称它为平面。（板书：平面）

我们可以把白纸的这个面作为平面的一部分，请大家在这个平面上任意画一条直线，说一说，你画的这条直线有什么特点？

（3）师：闭上眼睛想一想：白纸所在的平面慢慢变大，变得无限大，在这个无限大的平面上，直线也跟着不断延长。这时平面上又出现了另一条直线，这两条直线的位置关系是怎样的呢？会有哪几种不同的情况？

2.学生尝试

要求：把你想象的情况画在白纸上，注意一张纸上只画一种情况，想到几种就画几种，相同类型的不画。

二、探究新知

（一）观察分类，感受特征

1、展示作品

师：同学们的想象力真丰富！互相看一看，你们的想法一样吗？老师选择了几幅有代表性的作品，我们一起来欣赏一下。

如果你画的和这几种情况不一样，可以补充到黑板上。

不管哪种情况，我们所画的两条直线都在同一张白纸上。因为我们把白纸的面看作了一个平面，所以可以这样说，我们所画的两条直线都在同一平面。（板书：同一平面）

2、分类讨论

师：现在你们能给它们分分类吗？为了方便描述，我们先给作品标上序号，可以怎样分类？按什么标准分？

（1）先独立思考：我打算怎么分？为什么这么分？分几类？（2）再小组交流

3、学生汇报

师：哪一组愿意派代表来汇报一下？你们是怎么分的？分类的结果是什么？

各个小组交流分类情况。当学生在汇报过程中出现“交叉”一词时，教师随即解释：在数学上把这种交叉的关系叫作相交。（板书：相交）

师：还有没有不同的分法？能说一说你们是怎么想的吗？

学情预设：

（1）分两类：相交的一类，不相交的一类

（2）分三类：相交的一类，不相交的一类，快要相交的一类

（3）分四类：相交的一类，不相交的一类，快要相交的一类，相交成直角的一类。4．达成共识

教师：同学们现在出现了不同的分法，这些分法，你更赞同哪一种？把你的想法在小组内交流交流。

学生在小组内将两条直线再延长，．然后逐一讨论、分析，再次进行分类。教师：通过再次操作与讨论，对于第一次分类的结果，你们现在有什么想说的？ 指名汇报并说明理由。

教师：他的讲解能让你们信服吗？还有什么补充或建议吗？

学生通过讨论达成共识：看似不相交的两条直线延长后实际上是相交的，而出现相交成直角的这种情况是一种特殊的位置关系，也是相交。对于第三种分类，前面是按照两条直线相交与否为分类标准来分类的，而相交成直角是根据两条直线相交后所成角度来分类的，二者不是同一标准，所以这种分法是不正确的。从而达成分类的统一，即相交的一类、不相交的一类。（板书：相交，不相交）

小结：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和不相交两种情况，但在判断时我们不能光看表面，而要看他们的本质，也就是两条直线延长后是否相交。

（二）自主探究，揭示概念

1、揭示平行的概念（1）感知平行的特点

师：这两条直线真的不相交吗？怎样验证？

结合学生回答用课件演示两条直线无论怎样延长都不会相交的动态过程。（2）揭示平行的定义

师：像屏幕上这样的两条直线在数学上叫什么呢？（平行线）谁恩那个说一说什么是平行线？

课件出示：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。（板书：互相平行）

师：这里的“互相”是什么意思？ 生举例说明

教师：你认为在这句话中哪个词应重点强调？为什么？ 结合学生回答，教师举例：这两条直线互相平行吗？为什么？

学生体会“同一平面”和“互相平行”的含义。(3)介绍平行符号。

课件分别呈现3组不同位置的平行线

教师：这3幅图中的直线a与直线b都互相平行，我们用符号“∥”来表示平行，a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。

教师：用这样的方法来表示a平行于b，你们觉得怎么样？是呀，像这样来表示两直线互相平行，既形象又方便。(4)体验生活中的平行现象。

教师：生活中我们常常遇到平行的现象，你能举几个例子吗？（学生举例后教师可用多媒体课件适时补充一些生活中的实例。）2．认识垂直(1)感知垂直的特点。

教师：刚才同学们在画两条直线的位置关系时，还画了相交的情况。我们一起来看一看这些相交的情况。（课件或实物投影呈现几组典型的作品）观察一下这些相交的情况，你们发现了什么？（都形成了四个角，有的是锐角，有的是钝角；还有的比较特殊，四个角都是直角……）你怎么知道他们相交后形成的角是直角呢？请同学们量一量，刚才所画的两条相交直线组成的角分别是多少度？通过测量，你们又有什么新发现？（学生通过测量能够发现有一种情况比较特殊，所形成的四个角，每个角都是90°）（2）认识垂直的定义

师：如果两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。课件呈现三组垂线

师：观察这里的三幅图，他们有什么相同点和不同点？根据刚才的比较，能尝试总结你的发现吗？（垂直要看两条直线相交是否成直角，而与怎样摆放无关）（3）介绍垂直符号

师：垂直和平行一样，也可以用符号表示，就是“⊥”（板书“⊥”）。这里的直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。（4）感受生活中的垂直现象

师：生活中我们还会常常遇到垂直的现象，你能举出生活中一些有关垂直的例子吗？（学生举例后教师用多媒体课件补充一些实例）

三、巩固练习

1、完成教科书第57页“做一做”

学生根据平行与垂直的特征快速判断，然后集体交流

2、完成练习十第1题

学生先独立尝试找一找，集体交流后，使学生体验到几何图形中也有互相垂直和互相平行的现象，并借助课件用不同颜色的线来分别呈现图形中互相平行或互相垂直的线段，加深学生的直观认识。

3、完成练习十第2题

课件出示游戏的操作规则和提示，学生全员参与游戏。让学生先按照操作提示摆一摆，接着启发学生想象：如果把小棒看作直线的画，会有多少条直线跟他们平行或垂直。然后让学生结合观察、想象，尝试总结发现的规律。

四、课堂总结

师：你有什么收获？还有什么疑问？ 师：在生活中找一找平行和垂直的现象。

板书设计：

垂直与平行

成直角 互相垂直

相交

不成直角

在同一平面内两条

直线的位置关系

不相交 互相平行

教学反思：

《数学课程标准》中指出：“在掌握基础知识的同时，感受数学的意义”提出了“重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学”使学生感受到数学就在我们身边，感受到数学的趣味、作用。本节课是新课标人教版四年级上册第四单元第一课时的教学内容，这部分教材是在学生学习了直线与角的知识的基础上教学的，也是认识平行四边形和梯形的基础。由于垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，而且在生活中有着广泛的应用，无论是走在宽广的大街上，还是坐在明亮宽敞的教室里，环顾左右应该都不缺少垂直与平行的现象。对于小学四年级的孩子来说，他们应该都有这样的经验：哪些线是交叉的，哪些线是不交叉的。因此我们在课中要做的就是让学生体验在同一平面内，不交叉的两条直线叫做平行线，交叉里有一种特殊的叫做互相垂直，让学生的认识上升到思维的层面来。鉴于此，针对本课知识的特点和学生的实际，我精

心设计教案，把学生的自主探索与教师的适时引导有机结合，把知识点清晰地展现在学生的面前，使得教学过程零而不散，教学活动絮而不乱，学生在轻松愉悦的氛围中，提高了学习能力，增强了学习信心。

一、合理设置导课情景，突破知识难点本课的一个难点就是让学生理解同一个平面，和不同平面的区别。不同于以往是教学设计，我把这部分用生活中的例子不同的路面不同的平面来导课，即激发了学生的学习兴趣，又解决了一个学生认知上的难点，为后面平行和垂直的判断扫清了障碍。

二、整体呈现、逐步建构。新知的探究紧紧抓住“以分类为主线”展开活动。首先让学生画图初步感知同一平面两条直线的位置关系，再引导学生观察分类，通过操作、验证使学生逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，而相交中又有成直角和不成直角两种情况，最后，顺水推舟揭示概念。这样让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习方式自主完成对知识的建构

三、注意创设生活情境，使数学学习更贴近学生。通过演示，引导学生观察和测量角的度数、发现在相交的两条直线中有不同的情况，然后引入垂直的概念，接着让学生找一找身边哪里有平行和垂直及出示校园图找平行与垂直的现象，将学生放置于生活情节中，进行相应方面的教学，并注重发挥评价的激励性作用，丰富学生的情感体验。

第二篇：如何突破教学重难点

如何突破教学重难点

列东中学

所谓教学重点，即是“在教材内容的逻辑结构的特定层次中占相对重要的前提判断”，也就是“在整个知识体系或课题体系中处于重要地位和突出作用的内容。”如果某知识点是某知识单元的核心或是后继学习的基石或有广泛应用等，即可确定它是教学重点。

所谓教学难点是指“学生学习过程中，学习上阻力较大或难度较高的某些关节点”，也就是“学生接受比较困难的知识点或问题不容易解决的地方。”

课堂教学要完成认知目标，就需要解决好“突出重点”和“突破难点”这两个常规问题，这就需要老师在讲课时必须做到：突出重点、讲清难点，帮助学生理清头绪，从而有效地学习教材。下面就突出重点，讲清难点，谈谈我自己的看法：

一、如何突出重点？

1．设计动手操作活动突出重点。

学生对自己亲自动手做的活动印象会格外深刻，动手有利于加深对学生对重点问题的记忆。例如，填表、收集资料等活动，可以帮助学生理解、记忆重点知识。

2.板书突出法。

一般说来，写在黑板上的都是重要的。根据教学重点来设计板书，能让人一目了然。老师在课堂上指导学生根据板书学会记笔记，或利用板书小结本课重点，都可以让学生加深记忆。

3.练习法。

练习是增强对知识点理解、掌握的一种主要方法，做练习最关键的是讲究选题的针对性，不然，不但不能提高学习效率，而且还影响对知识的理解和深化。选题很重要，应带着问题去找习题、编习题。只要从每一个练习中得到一点收获，一点启发，对初学的学生来说都是一个促进，一个鼓舞，对培养兴趣，打好基础有很好的作用。有时几个练习能全面反映某一知识点，我们要善于寻找分析、归纳，从而对知识点有个全面深入的理解。如果学生对某一方面理解不正确，我们就专门找这样的习题练，如果认识不全面，就要从多方面找习题练。选题不要运算太复杂，综合性太强，否则会影响对基础知识的理解。针对性的练习是一个专用武器，它可以帮助我们有效地攻克重点。

二、如何讲清难点？

难点有两种情况：一是教材本身内容的难度大；二是由学生知识基础和认知能力决定的难点。为了更好地讲清难点问题，我在教学中主要做好以下几方面工作： 1．从教学难点出发，以生活为源泉，善于创设情景。

首先要寻找一个能引起学生共鸣和兴趣的话题作为难点的切入点。然后采用阶梯设疑法，即设计问题有梯度，由浅入深，由易而难，步步推进地解决问题。也可以用分解整合法，把一个问题从不同层次和不同角度分解成几个小问题来讲，然后再加以概括归纳，这样就容易把问题讲清楚。

2.利用游戏活动法，激发学生的兴趣，让学生产生主动探究的欲望。

教育是一种主动的过程，必须通过主体的积极体验、参与、实践，以及主动地尝试与创造，才能获得认知和语言能力的发展。教师在课堂上，应从学生的心理和生理特点出发，充分利用小学生模仿力强、求知欲强、记忆力好、表现欲和创造力强等特点，围绕教学中的难点、重点，设计生动活泼、有趣多样的学习活动，寓教于乐。竞赛性活动也是学生乐此不疲的形式，可以让重难点操练变得非常有趣。在游戏竞赛中，学生乐学乐记，积极性浓厚，参与面也广。

3．合理运用多媒体软件，增强学生的直观感受

计算机多媒体软件具有画面清晰、色彩亮丽、动态感强的特点，能化静为动，化抽象为直观，化难为易。在多媒体教学中，学生可以接受形象、直观、生动、活泼的文字、图形、视频和音频等媒体信息，调动学生视觉和听觉功能同时发挥作用，这是消化吸收知识的最佳选择。多媒体教学方式容易激发学生的学习热情，引起学生学习兴趣，使学生在轻松愉快的情感体验中、在情感与思维交融中和谐自然地进入积极的思维状态，由感性到理性、由理性到实践循环往复，实现认识的不断飞跃。因此，在教学过程中要，发挥计算机多媒体软件的优势，突破教学难点。

4.教师的有效指导是突破教学难点的关键

初中教材中的难点很多是由于学生认知水平造成的。因此，教师主导作用发挥的好坏，直接关系到学生学习效果的优劣。这就要求教师在备课中应做好充分准备，备学生、备问题、备错误等，将课堂可能出现的各种反应做好充分准备，才能更有效地指导学生，突破教学难点。

5.针对难点，预设错误，设计练习。

教材的难点，往往是学生在学完知识后的针对练习中容易出错的地方，教师在备课时，就要能预设学生将要发生的错误而进行重点准备。但仅仅靠反复强调、讲解是不够的，我们可以将可能出现的错误呈现出来，让学生通过专门进行“尝试错误”的活动，引导他们比较、思辨。从而在“错误”中寻找真理。有的课文，重点和难点是同一的，所以以上所说的方法又可以交叉使用或综合使用。如能灵活地、有针对性地加以运用，就更能收到事半功倍效果。

第三篇：2008届高考数学一轮复习难点突破练习(25)——垂直与平行

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第一轮复习：高2008届数学难点突破练习二十五

垂直与平行

垂直与平行考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.难点：

已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.(1)求证：AB1⊥C1D1；(2)求证：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.例题：

［例1］两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识。解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键.证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

∴AMAH ACABFNAH BFAB连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。线面垂直、面面垂直的判定与性质.(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C ∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点

∴AM=DE=CC1121AA1，∴AM=MA1.2垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：

1.平行转化

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2.垂直转化

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.练习题：

一、选择题

1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（）A.8 B.3 8

C.3

D.42.在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则（）A.a不和b垂直，但可能a∥b

B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行

D.a不和b平行，但可能a⊥b

二、填空题

3.设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号).①X、Y、Z是直线

②X、Y是直线，Z是平面

③Z是直线，X、Y是平面

④X、Y、Z是平面

4.设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________.①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 ②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 ③过a一定可以作一个平面与b垂直 ④过a一定可以作一个平面与b平行

三、解答题

5.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证：CD⊥PD;(2)求证：EF∥平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？

6.如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

7.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.(1)若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；(2)求证：EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小.8.如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,(1)证明：C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=的余弦值；

(3)当

3，记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角α—BD—β的平面角2CD的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？ CC1

参考答案

难点：

1.(1)证明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)证明：连结D1D，∵D是AB中点，∴DD

1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=

AO1，AC2.6练习题：

一、1.解析：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=4.3

答案：C

2.解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角.答案：C

二、3.解析：①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：②③ 4.④

三、5.证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中点G，连EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD

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证明：G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)证明：

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH.面BCP⊥面EFGH，3a.27.(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)证明：取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得：AN⊥BC，又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，又EF平面EFM，∴BC⊥EF.(3)解：取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1—B1D—C的平面在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=角，易得∠A1QO=arctan15.8.(1)证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD.(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.在△C1BC中，BC=2，C1C==

333，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°22213.413,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.2233作C1H⊥OC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，∴cosC1OC=

23∵∠OCB=30°,∴OB=欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当

CD=1时，平行六CC1面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com

第四篇：如何突破语文教学重难点

如何突破语文教学重难点

教学重点是教材中起关键作用、主要作用并具有现实意义的知识内容，从教材体系看，它占有重要地位；从当前形势和学生的思想实际看，它是不容忽视的。

1.在预习时要引导学生初步认识重点，这种浅层次的了解，对课堂教学突出重点提供了一个基本条件。

2.教师备课时要抓住重点，围绕它来组织教材，编写教学提纲，重点备方法，如采用疑问式、反诘式、辩论式，或运用串讲法、讨论法、图示法、阅读法、以旧启新法，等等，以加深学生对重点问题的印象和理解。

此外，在备课的小结部分应重复加以强调。

3.在授课时要突出重点。采取切实措施，使学生理解和掌握最重要的教学内容，并运用它去分析和认识实际问题。授课时突出重点是主要环节，为了做好这一环节，一是在教学时间分配上要充分。二是板书时重点内容要放在显眼的地方。还要用具体、生动、贴切的事例来说明重点内容，对非重点内容可以少举例。三是要用富有启发性的提问，促使学生对重点内容开动脑筋，进行思考。四是教学语言艺术要特别讲究，促使学生对重点内容集中注意、认真听讲和做好课堂笔记。

教师在课尾小结时要以突出重点为立足点；编制练习题、测验题、考试卷以及题型设计上也要突出重点内容，做到题要小，面要宽，量要大。

第五篇：历史教学如何突破重难点

历史教学如何突破重难点

陈湘涛

历史教学如何突破重难点

参加工作刚一年，接的是初三的历史。边摸索边实践，发现很多学生对历史问题只知皮毛，而没有深入理解问题。我认为是在教学中没有突破重难点。只是把历史当做了记忆的一门课。从网上看到了很多突破重难点的方法，觉得很好，现总结如下：

一、历史假设法：

就历史科学本身来说，是不容许假设的，但从历史教学来说，为了达到教学目的，引起学生思考的兴趣，可以进行假设性的提问。例如《美国南北战争》中南北双方的经济制度矛盾、内战的爆发是课文的重难点，笔者在教学中曾这样假设：假如有一个北方的资本家在美国的南方开了一家织布厂，这家工厂有没有发展的可能性呢？学生通过自主阅读后进行交流，有的说“他买不到原料，因为棉花控制在南方的奴隶主手中，他们要把棉花卖到欧洲去”，有的说“他织出来的布没人买，因为南方大量的奴隶买不起棉布”，还有的说“他找不到干活的自由劳动力工人，因为南方实行的是奴隶制”，这样，通过一个假设性的问题，使学生在讨论中对美国内战的原因和性质就理解得更加具体了。

二、分设台阶法：

如何帮助学生认识近一百多年前巴黎公社的无产阶级政权性质，是教学中的一大难点，因为世界史中的国体与政体、议会和政府、国家政权的性质等问题本身就超过了学生现阶段的知识水平，教师可以将这一大问题分解成几个台阶：（1）3月18日革命是哪两个阶级面对面的生死搏斗？（2）巴黎公社组织机构的组成成分怎样？（3）公社采取了哪些措施？措施为哪个阶级服务？（4）为什么说巴黎公社是无产阶级性质的政权？这样学生沿着台阶步步深入，从而学得顺利，记得深刻。

三、列表对比法：

比较是人们通常运用的一种认识事物的方法，有比较才能有鉴别，才能认识事物的本质特征。世界近代史上亚洲有两次性质相同的资本主义性质的改革，然而，日本明治维新成功了，中国的戊戌变法却失败了，这一内容对学生来说显得难以接受，如果教师将两次改革的内部条件、社会背景、力量对比、政策实施、国际环境等方面内容列成表格加以对比的话，那么上述结果的出现也就极自然了。这种对同一特征或性质相近的历史事件进行的对比，在同中求异，在异中求同，去粗取精，由表及里，从现象到本质，从而能帮助学生找出历史事件之间的必然联系，教师如果在教学中经常采用比较的方法，那么无疑可以启发学生思维，促使他们向知识的广度、深度发展。

四、直观图示法：

此法适用于理论性较强和较抽象的教学内容。如：“奴隶制的确立促进了生产力的发展”这一内容，如何引导学生从生产力水平发展的角度出发去考虑问题，教师可运用多媒体教学手段依次展现如下的一组内容：（1）原始社会时人们制造的粗糙石器（2）我国商代的精美青铜器、陶器、玉器（3）殷墟平面图和古巴比伦城（4）大规模奴隶劳动的场面和生产中精密分工的场景。教师同时根据直观的画面进行讲解，在历史画面的不断再现中，使学生深刻地理解了理论知识和较抽象的道理，从而培养了学生的历史思维能力，同时这种直观教学法也较符合中学阶段学生的认知规律。

五、揭示矛盾法：

世界近代史上印度人民反抗英国殖民统治的漫长斗争过程中，圣雄甘地曾倡导了“非暴力不合作运动”，其中的“手纺车运动”这一内容可帮助学生来认识印度人民反抗斗争的正义性，教学中可以利用教材的插图提出问题“游行群众队伍中推的是什么模型？20世纪30年代的印度人民还在提倡手纺车运动是不是社会的倒退？从而在设置矛盾的情境中引发学生的思考，最终理解运动是保卫印度民族工业抵制英货的爱国运动这一性质。

六、数字计算法：

中国古代历史上第一个统一的多民族国家却是个短命的王朝，在学习这一段内容时，教师可以在教学中用数字计算的办法来说明问题：“打匈奴、筑长城，约征发了30万人；攻打越族、开发南方，约征用了50万人；筑阿房宫、骊山陵，约征用了70万人，这样就是约150万人了，而当时秦国总人口大约2000万，如果男子占人口半数的话，那就是1000万人，再减去老的、少的、病的、残的，青壮年劳动力最多也就四、五百万人光景，男子劳力不够用的时候，甚至妇女也被征……”这些数字对学生具有极大的启示性，通过数字的计算比较，进一步深化了教材，使学生能够深刻地认识到：秦末农民起义决非偶然，而是秦的暴政引起社会矛盾尖锐化的必然结果，因此秦王朝的短命也就极自然了。

七、形象类比法：

打开初、高中任何一册历史教科书，你都会发现为数不少的插图。众所周知，图画是课文的重要组成部分，不少图画对理解和掌握抽象的、复杂的历史现象和历史事件，帮助学生理解和认识所学的历史内容并形成概念，提高学生学习历史的积极性、主动性有着不可低估的作用，如果教师能够引导学生在无疑处设疑，则无疑能够推动学生对历史知识的认识内驱力，为教材重难点的突破作铺垫。如“洋务运动为何未能使近代中国走上富强道路”是中国近代史学习的一个重点又是一大难点，使用 “洋务运动”内容中的“天津机器制造局”等插图就可形象地浅化这一重难点，教师在教学中可引导学生进行观察，从而可以清楚地看到天津机器制造局在外观上是中国封建传统宫殿式建筑为主，又加上了一些西洋式厂房和高大烟筒，对此教师可加以启发，由学生思考这一建筑的特点是什么以及与洋务运动在本质上的相似点，即洋务派只不过是将西方资本主义先进生产力的枝芽嫁接到了满清封建主义腐朽的病枝上，又怎能“师夷长技以自强”，学生在这种形象类比的轻松一笑中，深刻地认识了洋务运动的本质所在，可以说这一插图正是教材深层次的隐性内涵所在，也是编者插图编配的意图所在。