三垂线定理的证明及应用教案

第一篇：三垂线定理的证明及应用教案

三垂线定理的证明及应用教案

教学目的

使学生掌握三垂线定理及其应用，同时培养学生观察、猜想和论证能力．

教学过程

一、复习和新课引入

师：我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答几个问题：

(1)直线与平面垂直的定义．

(2)直线与平面垂直的判定定理．

(3)何谓平面的斜线、斜线在平面上的射影．

生：略．

师：(板书)设斜线l∩α=O，作出l在平面α上的射影．

(师生共同完成图1．学生叙述画法，教师画图，再次深化概念．)

[平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影是三垂线定理的基础，引导学生温故而知新是十分必要的．]

二、猜想与发现

师：根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直．现在我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？

(演示教具：用两根铁丝在桌面上演示，学生容易看出平面内的任意一条直线，并不一定和平面的一条斜线垂直．)

师：那么，是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直呢？

[演示教具：如图2，设直线l(铁丝)和平面α(桌面)斜交，使直线m(铁丝)和l垂直，把直线m沿直线l平行移动到平面α内的n的位置，此时学生发现平面α内有直线与平面的斜线垂直．]

师：如果我们把铁丝m在平面内平行移动，使其到不同的位置(直线)，那么，这些直线与铁丝l垂直吗？

[学生根据“两条异面直线所成的角”的原理也很快判定这些直线与l(铁丝)垂直．]

师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？

[指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型(如图3)，使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律．经过实验，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时便与斜边垂直．]

师：(启发)如何归结为数学问题呢？(学生们恍然大悟，终于发现了，平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直．)

师：实验得出的结果是否正确还得进行证明．

[引入新课是课堂教学的重要环节．新课引入得好，这节课就成功了一半，教师根据教与学的实际，提出问题，创设情境，引导学生观察、猜想，发现新知识，从而调动了学生的积极性，培养了学生的探索能力，体现了教师为主导、学生为主体的教学思想．]

三、证明

师：现在我们把由实验发现的结论表达成命题的形式．

(学生叙述，教师板书．)

已知：如图4，PA、PO分别是平面α的垂线和斜线，AO是PO在平面α上

求证：a⊥PO．

师：这是证明两条直线互相垂直的问题．在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直呢？

(学生思考、议论，教师归纳．)

师：常用的方法是证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面．现在要证明a⊥平面PAO呢？只要证明a⊥平面PAO内的两条相交直线即可．

证明(师生共同完成．)

师：这个命题的证明，体现了“由线面垂直证线线垂直”的方法．这个方法很重要，大家要给以足够的重视．

上述命题反映了平面内的一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系．这就是有名的三垂线定理．下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整地表达出来．(学生叙述，教师板书．)

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

[这样由具体到抽象地研究问题，能够培养学生的概括能力．从“猜想”到“证明”是质的升华！是学习数学必须具备的重要素质，引导学生证明猜想结果，总结定理，比直接给出定理记得牢，理解得深刻，又能培养学生的能力．]

四、剖析定理

师：(逐字逐句地阅读定理，同时圈点重要字眼，并提出下面几个问题让学生讨论．)

(1)本定理的证明过程是对水平位置的平面α而进行的．那么定理对其他位置的平面是否成立？并说明理由．

(2)直线a是平面α内垂直于AO的任意一条直线，a和斜线PO的位置关系有几种？反映三垂线定理的图形有几种可能的情况？并画出图形．

(学生分组讨论，教师巡回指导，适时点拨，解答疑难，启发诱导，掌握讨论情况，然后教师总结．)

师：(1)三垂线定理对任意位置的平面都成立．因为定理中并没有水平平面的限制．定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系，与平面的位置无关．

(2)因为a是平面α内的任意一条直线，所以a与斜线PO的位置关系有两种情况：一是不过斜足O的异面垂直；一是过斜足O的相交垂直．反映三垂线定理的图形有四种情况(如图5)．

以上四种情况的图形在证题时都是经常遇到的，应该灵活运用三垂线定理．a不过斜足O时的情况容易被忽略，这是证题时确定三垂直关系的一个难点，应当给以足够的重视．

[剖析定理是几何教学中的一个重要环节．通过剖析，可以加深对定理的理解，为应用定理奠定基础，这是提高教学质量的重要措施．]

五、定理的应用

[定理的应用是学习定理的重要环节．它既能巩固所学知识又能培养能力．]

师：请同学们证明下题：

已知：如图6，O是△ABC的垂心，PO⊥平面 ABC，连结PA．求证：BC⊥PA．

(学生思考后，教师分析．)

ABC，所以，要证明BC⊥PA，只要证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可．那么，怎样确定PA的射影呢？

请大家把证明过程写在练习本上．

(同时指定一学生上黑板板演．)

生：(板演)因为PO、PA是平面的垂线和斜线，连结AO且延长交BC于D(图7)，则AO是PA在平面ABC上的射影．又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得 BC⊥PA．

师：请谈谈证明的思路．

生：先找出平面的垂线、斜线以及这条斜线在平面上的射影，„„．

师：他回答完整吗，生：应先确定一个平面及平面内的一条直线．

师：这点补充得好！三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法．应用三垂线定理的思维过程是：

“一定”——定平面及平面内的一条直线；

“二找”——找这个平面的垂线、斜线及斜线在这个平面上的射影；

“三证”——证明平面内的一条直线与射影垂直．

[在复杂图形中应用三垂线定理时，需要先确定反映三垂线定理的基本图形，然后才能着手证明，因而掌握三垂线的证题步骤是十分必要的．]

师：我们来研究第二道题．(板书．)

已知：正方体ABCD－A1B1C1D1．

求证：(1)A1C⊥BC1；(2)A1C⊥平面C1DB．

先考虑A1C⊥BC1如何证明？

(在此指导下，学生们通过认真观察，独立思考，确定平面BCC1B1及平面内的一条直线BC1，A1B1是平面BCC1B1的垂线，A1C是斜线，从而找到了反映三垂线定理的基本图形．连结B1C，用三垂线定理证明A1C⊥BC1．)

证明略．

师：把第(1)小题作为条件证明第(2)小题，只需再证A1C⊥BD就可以了．

[学生连结AC，顺利地证明了A1C⊥BD，第(2)小题的证明就水到渠成了．证明过程是：

师：在数学证明中，相同的证明方法可用“同理可证”代替推理过程．但必须注意推理的严密性．例如，上面的证明过程中，要防止漏掉 BC1∩DB=B．(证明时，有些同学漏掉了这一点，经教师指导才改正，“同理”的运用也是如此．)

[讲定理的应用时，关键是选好例题．这两道题的安排是由易到难，第一道题是直接应用定理，第二道题难度增大，要求学生在复杂的图形中通过观察和分析确定反映三垂线定理的基本图形，再应用定理，以培养学生灵活应用定理的能力．]

六、小结

(师生共同进行．)

(1)本节课的教学可概括为四个字：猜、证、剖、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题．

(2)叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，称为线面垂直法．

(3)此定理是空间两条直线垂直的判定定理，与平面的位置无关．运用定理的步骤是：“一定、二找、三证明”．

七、课外作业

课本习题：略．

补充题：

写出三垂线定理的逆定理，并加以证明．

课后扎记

学生们反映这样讲定理好，记得牢，理解得深刻．不仅学习了知识，而且培养了能力．从学生的作业来看，书写规范，推理正确，这反映学生对此定理掌握得好，运用得好．这类课型是体现教师为主导、学生为主体的教学思想的好形式．

[课后扎记是课堂教学的继续，是不教学的教学．主要记载来自学生的信息，教师教学中的点滴体会及失败的教训．为改进教学和总结经验提供参考资料，本人长期坚持，收到了较好效果．]

第二篇：三垂线定理说课

三垂线定理说课

一 关于教材分析方面

高一《立体几何》中的“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可把判断空间两直线的垂直问题转化为判断平面上两直线的垂直问题：也可以把判断平面上两直线的垂直问题，转化为判断空间两直线的垂直问题，它是证明空间两直线垂直的主要依据，在立体几何中有核心定理的作用。根据教学大纲的要求和加强对学生的素质教育，培养学生基本能力的需要，结合学生的实际情况，我认为本节课的教学目标有三个：

1理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。

2、通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。

3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。

本节课的教学重点为定理的理解和应用。针对学生刚学立体几何空间想象能力不够强，识图和分析问题的能力较弱的实际情况，我确定本节课的教学难点为如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。

二 关于教法和学法方面

为使学生深刻理解定理，灵活应用定理，并培养学生的数学基本能力，我根据教与学的实际情况，确定了以学生为主体，教师主导为原则，以“形成命题 证明命题 剖析命题 应用命题”为主线组织教学。用提问法创设情景，激发学生的思维积极性，通过观察、猜想、归纳总结、逻辑论证等手段，讲练结合的方式，帮助学生掌握教材的重点。通过从模型到图形，从简单到复杂，从具体到抽象的方法，引导学生观察分析图形，剖析定理，抓住主要矛盾，总结出定理应用规律和方法，帮助学生突破教学难点。达到灵活应用定理的目的，具体的措施将体现于教学的全过程之中。

三 关于教学过程

为了达到上述各项教学目标，我是按下面的程序，有目的地实施教学的：

1.复习提问。因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。

2.有意设疑，引入新课。为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力。主要分下面几个步骤进行：

(1).设问：根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？

(2).学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。

经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与

斜边垂直。

(3).设问：如果直尺在平面内移动到其它位置，那么直尺与三角板的斜边是否仍垂直呢？学生 根据

“两异面直线所成的角”的定理很快得到了垂直的结论。

(4)我再启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：

平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）

3.（1）证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。具体体现为思路：要证线线垂直 线面垂直 线线垂直（平面外一直线与平面内两条相交直线都垂直），具体证明过程由学生自己完成。

（2）.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。我把命题中的已知条件“斜线的射影”与结论中的“斜线”相对换，得到新的命题：

平面内的一条直线如果和平面的斜线垂直，那么它就和斜线的射影垂直（板书）通过对比启发，学生轻而易举地掌握了新命题的内容和证明。

（3）.利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。

4.剖析命题

为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，我通过设问的方式启发学生积极思维，经学生讨论后再总结，揭示定理的应用方法：

（1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，当平面的垂线和斜线确定后，斜线在平面的射影也可确定，如果在平面内能找到一条直线，它与斜线的射影垂直（或与斜线垂直），那么它就与斜线垂直（或与斜线射影垂直）。

（2）.通过教具演示、图形分析、设问启发后，我再对灵活应用定理的程序进行总结，使学生对应用定理有章可循，便于操作，提高学生应用定理的自觉性和

效率。大部分学生对程序：“一找垂、面，二找斜线，三定射影，四证直线”理解深刻，掌握牢固，具体内容为：

二找斜线：接着确定平面的斜线：

一找垂面：即先确定平面及平面的垂线：

三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影；

四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书）

5应用命题

为了培养学生灵活应用定理的能力，帮助学生掌握重点，化解难点，我精选了两条有层次的、由易到难的例题，通过引导学生观察，分析后，我用设问的方法，深入浅出地引导学生寻找证题的基本思路，确定适应定理的“四线一面”，然后，由学生板书解答后，我再较正学生的证明过程，进一步培养学生的书面语言表达能力和逻辑推理能力。

6课堂小结并布置作业。

为了培养学生思维的完整性，我利用提问的方式引导学生进行课堂小结，进一步加深学生对重点内容的掌握和规律问题的认识，再布置有代表性的课外作业帮助学生巩固教材的重点。

四 教学效果

本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式，学生反映较好，定理记得牢，理解深刻，应用灵活，不仅让学生学习了新的知识，而且培养了能力。从学生的课后作业看，书写规范，推理正确，取得较好的教学效果，圆满完成本节课的教学任务。

（注：本说课稿获2002年揭阳市高中数学说课稿评比二等奖）

第三篇：三垂线定理说课搞

三垂线定理说课稿

一、教材分析 1.教材的地位与作用

本节课是学生在已掌握了空间两条直线的位置关系、直线与平面垂直的位置关系等知识基础上,进一步研究空间的两条直线的垂直关系,为今后继续研究直线与平面的位置关系,空间两个平面的位置关系打下坚实的知识基础.因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识起到了承上启下的作用.2.教学目标的确定及依据

全日制《立体几何》全一册教参及教学大纲明确指出:高中里开设立体几何这门课程,目的是要使学生系统地掌握空间图形的基本性质,从而掌握一些简单几何体的画法,表面积、体积公式,进一步发展他们的逻辑推理能力和空间想象能力,以及应用这些知识去分析问题、解决问题的能力.教学原则明确强调要将思想教育内容渗透到数学教学中,使学生在获得知识和培养能力的同时,在思想教育方面也应受到良好的熏陶.依据教学目的和原则,以及学生的学习现状,我制定了本节课将要完成的教育目标: a.知识目标:使学生初步掌握三垂线定理及其应用;b.能力目标:培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力;3.重点、难点的确定及依据

学生对三垂线定理的学习普遍感到困难的是一时分不清定理中的各条直线间的关系.为此,在教学过程中要把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平面内的某条直线这一事实作为重点讲解的突破口

重点：三垂线定理的证明；

难点：建立空间三线垂直的思维模型，掌握空间问题向平面问题转化的方法。

二、学情分析

1.学生现状的分析及对策

虽然高一学生学过平面几何,已经具备了一定的几何知识,在立体几何学习中已经掌握了空间两条直线的位置关系,直线与平面垂直的判定与性质,斜线的性质等基础知识,但是学生所具有的空间想象能力毕竟是初步的,另外学生的基础又参差不齐,为此,在教学中要照顾全局,注重提高差生的学习兴趣,耐心讲解,耐心辅导.三、教学方法和手段 1.教学方法的采用

根据本节的教学内容及教学目标,以及学生的认知规

律,我采用启发、引导、探索式相结合的教学方法,启发、引导学生积极思考,勇于探索,使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状 态,从而产生浓厚的学习兴趣,发挥学生的主观能动性,体现学生的主体作用.四、教学过程： 1.复习,导入新课

通过复习提问前面所学知识,给学生创设一个确定空间两条直线垂直的方法有哪些的问题情境,学生回答:两条相交或异面的直线成直角,直线与平面垂直的性质等均可说明两条直线垂直.今天我们要学习一种新的方法,进而引出新课——三垂线定理.5.2讲授概念，形成新知

通过画图介绍正射影、斜线、斜足、斜线段等与三垂线定理有关的概念，强调斜线与斜线段、射影与射影线段的区别。

问题：找出图1中平面AC的正射影、斜线、斜足、斜线段。设计说明：作为描述性的概念，易为学生接受，但要强调关健字词。通过具体例子的应用准确把握这些概念，也为后续内容奠定基础。复习旧知，揭示课题

在立体图形的性质讨论或计算中，常常要遇到判定两条直线垂直的问题或求点到直线距离的问题。这些问题可通过线面垂直的讨论或用平移转化为平面内问题的方法来解决，但这样做比较烦琐，是否能 找出直接判定空间两直线垂直的方法呢？ 例、在立方体ABCD-A1B1C1D1中，1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；

2）直线BD11和直线AC的位置关系如何？

3）直线BD1和直线AC所成的角 是多少度？

设计说明：通过对答案的分析讨论，以及回忆斜线、射影、直线与直线的位置关系，揭示这节课要学的内容与已学知识之间的内在联系，为发现定理打下基础。

观察图1，并回答“若平面内的一条直线(AC)和这个平面的一条斜线的射影(BD)垂直时，它是否与这条斜线(BD1)也垂直呢？”引出三垂线定理的内容。

设计说明：通过对具体问题的提问，引导学生通过观察猜想结论，并思考解决的办法，通过讨论用已有知识解决的繁琐性，自然引出新方法-三垂线定理。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这也和这条斜线垂直。

设计说明：引导学生自己根据图形，写出已知、求证。把学生分成两组，规定用几何、向量两种方法完成证明。通过对这两种方法的对比，得出选用向量方法证明的简单性，突出这节课的重点是概念教学。练习：判断上述命题是否正确，并说明理由。

1）如果一条直线和斜线在平面上的射影垂直，那么这条直线和斜线垂直；

2）如果平面内的一条直线和斜线在此平面上的射影不垂直，那么它和斜线不垂直；

3）如果一条直线和平面的斜线及斜线在此平面上的射影垂直，那么这条直线在此平面内。

设计说明：通过典型的练习，使学生从不同的图形、不同的角度去考察三垂线定理，突出对象的本质要素——平面的垂线，从而正确理解三垂线定理，熟练掌握三垂线定理的各种变式及应用的关键，这 对强化迁移，进一步培养学生的空间想象能力及逻辑思维能力是十分有利的。5.4小结

概括与三垂线定理有关的概念及三垂线定理的内容。

设计说明：根据内容特点，采用目标式小结，通过细化目标，使新知识内化到学生的知识结构中，也为本课点睛。

为了便于学生掌握本节课的知识点,并突出重点,培养学生的逻辑推理能力和书写表达的规范化,特把定理的证明和例题的证明过程,作为本节的板书内容.附:板书设计 1.11 三垂线定理

1.三垂线定理: 3.例题:(内容、证明略)(内容、证明略)

第四篇：三垂线定理2（小编推荐）

三垂线定理

教师：各位评委老师好,非常高兴有这样一个机会和大家一起学习！教师：下面我们开始上课，今天我们来学校立体几何中的三垂线定理。教师：首先我们来回忆一下前面学习的几个知识点。教师：⑴直线与平面垂直的定义是什么？

教师：很好！如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的平面，交点叫做垂足。

教师：⑵如何判断直线与平面垂直？

教师：对！如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

教师：⑶什么叫平面的斜线，以及斜线在平面内的射影是如何定义的？

教师：如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点叫做斜线的斜足。过斜线上任意一点像平面引垂线，垂足为o，则直线oA就是斜线在平面内的射影。

教师：由刚才的复习我们知道，平面的垂线垂直于平面内的每一条直线，平面的斜线显然不垂直于平面内的任意一条直线。那么请同学们思考？在平面内能否做出斜线的垂线。

教师：好，我看同学们已经做出来了，通过作图我们发现，平面的斜线在平面内有垂线(我们把它叫做直线a)，而且不只一条，也就是平面内所有与直线a平行的直线都是斜线的垂线。

教师：请同学们看黑板上的图形并思考，那么请同学们思考我们在平面内找斜线的垂线时，能否找到即与斜线的射影垂直又与斜线垂直的直线。换句话说如果平面内的直线a与平面的斜线PA的射影oA垂直时，直线a是否垂直于平面的斜线PA。同学们说能，你们是怎么的出的结论呢，猜测，但是光是猜测并不能说明问题，下面我们就来证明这个结论。（已知：PO,PA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在平面内的射影，a，且aOA 求证：aPA；）

（这个图的字母错了，O和A反了）

教师：通过刚才的证明我们就找到了判定平面的一条斜线与平面的斜线垂直的方法：只要它与斜线的射影垂直即可。那以后如果让我们在平面内做斜线的垂线，只需做斜线射影的垂线即可。在立体几何中我们把他叫做三垂线定理。

教师板书：

三垂线定理平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直当且仅当它和这条斜线的射影垂直。

（逐字逐句地阅读定理，同时圈点重要字眼）

这就是立体几何中重要的三垂线定理，它实质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理（即由线面垂直推出了线线垂直）。它集中反映了平面内的一条直线、平面的斜线、以及斜线在平面内的射影这三者的关系

三垂线定理是立体几何知识中的一个重要定理，不仅在于它给了我们一个证明线线垂直的重要方法，而且他也为研究计算空间角，空间距离，奠定了基础。

教师：请同学们判断，三垂线定理的逆命题是否正确？ 教师板书逆命题，学生证明。

教师：好！通过证明我们知道他的逆命题也是正确的，我们称之为，三垂线定理的逆定理。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

第五篇：三垂线定理及其逆定理的练习课教案

三垂线定理及其逆定理的练习课教案

教学目标

1．进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；

2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的证明及其初步应用；（课本第122页第3题）

3．理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用； 4．了解课本第33页第11题． 教学重点和难点

教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教学的难点是在讲公式cosθ1·cosθ2＝cosθ应用时比较θ2与θ的大小．

教学设计过程

师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题．今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例1．

例1 如图1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α内，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ．求证：

cosθ1·cosθ2＝cosθ．

师：这是要证明三个角θ，θ2和θ的余弦的关系，θ已经在直角△ABB′中，我们能否先作出两个直角三角形分别使θ2和θ是这两个直角三角形中的锐角．

11生：作B′D⊥AC于D，连BD，则BD⊥AC于D．这时θ2是直角△B′DA中的一个锐角，θ是直角△ABD中的一个锐角．

师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用．现在已经知道θ

1、θ2和θ分别在三个直角三角形中，根据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式．

师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理．当然也可用它的逆定理．

这个公式是在课本第121页总复习参考题中的第3题．我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式．那我们要问在什么条件下可用这个公式？

生：因为θ1是斜线AB与平面α所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式．

师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定θ1表示斜线与平面所成的角，θ2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角，θ是这条射线与斜线所成的角．下面我们来研究一下这个公式的应用．

应用这个公式可解决两类问题．

第一是求值．即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值． 例如：

θ＝60°，这时θ2＜θ；

当θ1＝45°，θ2＝135°时，cosθ＝cos45°·cos135°＝

第二是比较θ2与θ的大小．因为我们已经规定θ1是斜线与平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不变，为了比较θ2与θ的大小，下面分三种情况进行讨论．

（1）θ2＝90°，因为θ2＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．当θ＝90°时，我们也可以证明θ＝90°．

2一条直线如果和斜线的射影垂直，那么它就和斜线垂直．这就是三垂线定理．

一条直线如果和斜线垂直，那么它就和斜线的射影垂直．这就是三垂线定理的逆定理．

所以，我们可以这样说，这个公式是三垂线定理及其逆定理的一般情况，而三垂线定理及其逆定理是这公式的特殊情况．

现在我们来研究在θ2是锐角时，θ2与θ的大小．（2）0°＜θ2＜90°．

师：在这个条件下，我们怎样来比较θ2与θ的大小？

生：因为0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因为0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因为cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在锐角条件下，余弦函数值大的它所对应的角小．所以θ2＜θ．

师：现在我们来讨论当θ是钝角时，θ2与θ的大小．

2（3）90°＜θ2＜180°．

在这个条件下，我们不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理论上的证明来比较θ2与θ的大小，而是一起来看模型（或图形）．

我们假设θ2的邻补角为θ′2，θ的邻补角为θ′，即θ＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或图形）中我们可以看出当θ2是钝角时，θ也是钝角，所以它们的两个邻补角θ′2和θ′都是锐角，由对第二种情况的讨论我们

2知道θ′2＜θ′．由等量减不等量减去小的大于减去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．

根据以上讨论现在小结如下：

当θ2＝90°时，θ＝θ2＝90°，它们都是直角． 当0°＜θ2＜90°时，θ2＜θ，它们都是锐角； 当90°＜θ2＜180°时，θ2＞θ，它们都是钝角．

关于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的应用，今后还要随着课程的进展而反复提到．现在我们来看例2．

例2 如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：

（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G为正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．

师：我们先来证明第（1）问．要证直线与平面垂直即要证什么？ 生：要证A1C与平面C1DB内两条相交的直线垂直． 师：我们先证A1C为什么与DB垂直？

生：连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB（正方形的性质），所以 A1C⊥DB．（三垂线定理）

同理可证A1C⊥BC1． 因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）

（在证A1C⊥BC1时，根据情况可详、可略，如果学生对应用三垂线定理还不太熟悉，则可让学生把这证明过程再叙述一遍，因为这时是对平面B1BCC1来说，A1B1是垂线，A1C是斜线，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）

师：现在来证第（2）问，垂足G为什么是正△C1DB的中心？

生：因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．

师：现在来证第（3）问，我们注意看正方体的对角面A1ACC1，在这对角面内有没有相似三角形？

生：在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．

师：例2是在正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直引申而来，而例2也是一个基本的题型，对于以后证有关综合题型时很有用．所以对例2的证明思路和有关结论，尽可能的理解、记住．现在我们来看例3．

例3 如图3，已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：

（1）P，D两点间的距离；（2）P点到斜边AB的距离．

师：现在先来解第（1）问，求P，D两点间的距离．

师：现在我们来解第（2）问，求P点到AB边的距离．

生：作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．

师：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜边上的高，已知直角三角形的三边如何求它斜边上的高呢？

生：可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．

师：这个等积式是怎样证明的？

生：有两种证法．因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．

师：这个等积式很有用，根据这个等积式，我们可以由直角三角形的三边求出斜边上的高，这个等积式以后在求有关距离问题时会常常用到，所以要理解、记住、会用．现在就利用这等积式先求CE，再求PE．

师：通过这一题我们要区分两种不同的距离概念及求法；在求点到直线距离时，经常要用到三垂线定理或其道定理；在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．现在我们来看例4．

例4 如图4，已知：∠BAC在平面α内，PO α，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．

求证：∠BAO＝∠CAO．

（这个例题就是课本第32页习题四中的第11题．这个题也可以放在讲完课本第30页例1以后讲．不论在讲课本第30页例1，还是在讲这个例时，都应先用模型作演示，使学生在观察模型后，得出相关的结论，然后再进行理论上的证明，这样使学生对问题理解得具体、实在，因而效果也较好）

师：当我们观察了模型后，很容易就猜想到了结论．即斜线PA在平面α上的射线是∠BAC的角平分线所在的直线，现在想一想可以有几种证法？

生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，连PD，PE，则PD⊥AB，PE⊥AC． 所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO． 师：今天我们讲了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用这公式来证明这题．（利用这公式来证明这个题，完全是由学生想到的，当然如果有的班学生成绩较差，思路不活，也可做些必要的提示）

生：因为∠PAO是斜线与平面α所成的角，所以可以考虑用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相当于θ1；∠PAB＝∠PAC它们都相当于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．

师：今天我们是应用三垂线定理及其逆定理来解这四个例题．例

1、例

2、例4是三个基本题．对这三个题一定要会证、记住、会用．关于这三个题的应用，以后还会在讲课过程中反复出现．在高考题中也曾用到．

作业

课本第33页第13题． 补充题

1．已知：∠BSC＝90°，直线SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］

2．已知：AB是平面α的一斜线，B为斜足，AB＝a．直线AB与平面α所成的角等于θ，AB在平面α内的射影A1B与平面α内过B

3．已知：P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ACB＝90°，P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离等于12，P到AC

4．已知：∠BAC在平面α内，PA是平面α的斜线，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：

（1）PD的长；

课堂教学设计说明

1．如前所述，在学习过三垂线定理及其逆定理以后，教学要达到第二个“高潮”．也就是说要学生在这一学科的学习上攀登上第二个高峰．攀登第二个高峰要比攀登第一个高峰（求异面直线所成的角）要困难得多．因为题型较杂，知识面较广，思路较活．这都给学习造成很大的困难．但是，也正是这种困难才能激发起学生的学习兴趣和积极性．所以我不论是在北京师大二附中还是在北京九十二中教学时都安排了一节新课，三节到四节练习课，采用精讲多练的方法，使学生见到的题型更多，解题的思路更活．使他们比较容易地登上新的高峰，从而使以后的学习较为顺利．

2．在解每一个例题时，如何灵活地应用三垂线定理及其逆定理是我们讲课的重点，也是时刻要把握住的中心环节．特别是一个空间图形有多个平面时，首先要找出“基准平面”，也就是说对于哪一个平面来用三垂线定理或其逆定理，在“基准平面”找出后，再找出“第一垂线”，也就是垂直“基准平面”的直线，然后斜线、射影也就迎刃而解了．

3．在讲练习课时，要讲的例题很多，但一定要讲下述四个基本题：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求证：BC⊥平面PAC．

（2）课本第122页第3题．（3）课本第33页第11题．

（4）正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直． 因为上述四个基本题和与之对应的基本图形常常包含于某些综合题和与之对应的综合图形之中，并且往往起着决定性作用．因此，在我们解一些综合题时，通过观察和分析，如果发现存在上述情况，就可以将它们化归为上述基本题和与之对应的基本图形去解．这是在解立体几何题时又一重要的化归思想——“综合图形基本化”．（请参看《数学通报》1998年第2期《化归方法与立体几何教学》）

这四个基本题都是应用三垂线定理与其逆定理解题典型．对这四个基本题和与之对应的基本图形，一定要让学生会证、理解、掌握、记住．这样才有可能应用它们来解综合题，这四个基本题是四个台阶，是向上攀登必不可缺的台阶． 4．为了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来比较θ2与θ的大小，特选三题供老师们选用．

（1）二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是α内一点（它不在棱上），点D是C在β内的射影，点E是棱AB上任一点，∠CEB为锐角，求证：∠BEC＞∠DEB．

（提示：∠CED相当于θ1，∠DEB相当于θ2，∠CEB相当于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是两个锐角，BC在平面α内，AA′⊥平面α于A′，A′ BC上，求证：∠BAC＜∠BA′C．

（提示：∠ABA′相当于θ1，∠A′BC相当于θ2，∠ABC相当于θ，因为∠ABC为锐角，所以∠A′BC也为锐角，故 θ＞θ2）

AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较这两个三角形的内角A和A1的大小．（提示：由cos∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因为∠ABC是钝角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是锐角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）