高二数学两条直线的平行与垂直教案

第一篇：高二数学两条直线的平行与垂直教案

高二数学两条直线的平行与垂直教案

一、教学目标(一)知识教学点

掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．

(二)能力训练点

通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．

(三)学科渗透点

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

二、教材分析

1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．

2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．

3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．

三、活动设计提问、讨论、解答．

四、教学过程

(一)特殊情况下的两直线平行与垂直

这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)斜率存在时两直线的平行与垂直

设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是 l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征． 我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．

即 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2． 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq x（）要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

现在研究两条直线垂直的情形．

如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

可以推出

α1=90°+α2．

l1⊥l2．

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

eq x()

(三)例题

例1 已知两条直线

l1： 2x-4y+7=0，L2： x-2y+5=0． 求证：l1∥l2．

证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合． 证明：把l1、l2的方程写成斜截式：

∴两直线不相交．

∵两直线不重合，∴l1∥l2． 例2求过点 A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．

即 2x+3y+10= 0．

解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．

例3 已知两条直线 求证：l1⊥l2．

l1： 2x-4y+7=0，l2： 2x+y-5=0．

∴l1⊥l2．

例4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程． 解法1 已知直线的斜率k1=-2．

∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是 x-2y=0．

解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是x-2y=0．

(四)课后小结

(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；

(3)与已知直线平行的直线的设法；(4)与已知直线垂直的直线的设法．

五、布置作业 1．(1．7练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)y=3x+4和2x-6y+1=0；(2)y=x与3x十3y-10=0；

(3)3x+4y=5与6x-8y=7；

解：(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直．

2．(1．7练习第2题)求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：(1)平行于直线2x+5-5=0；(2)垂直于直线x-y-2=0； 解：(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0．

3．(1．7练习第3题)已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：(1)平行；(2)垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．

解：(1)另一条也没有斜率．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立．

(2)另一条斜率为零．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立．

4．(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4，0)、B(6，7)、C(0，3)，求这个三角形的三条高所在的直线方程．

也就是 2x+7y-21=0．

同理可得BC边上的高所在直线方程为3x+2y-12=0． AC边上的高所在的直线方程为4x-3y-3=0．

六、板书设计

第二篇：两直线平行与垂直的判定[推荐]

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

授课时间：第八周一、教学目标

1．知识与技能

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点

重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.三、教学方法

尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学设想

第三篇：两直线垂直与平行的判定教学设计

§3.1.2两直线平行与垂直的判定

授课类型：新授课

授课对象：高二（1）班 教学目标：

1、充分掌握判定两直线平行的条件，能判断两直线是否为重合或平行

2、能利用两直线平行的判定条件解决一些简单的平面解析几何问题

3、掌握判定两直线垂直的判定条件，能利用判定条件解决一些平面解析几何问题

4、在探究斜率与两直线位置关系的过程中，体会分类讨论的重要思想，感受数学的严谨性

教学重点、难点：

1、当两直线的斜率都不存在时，两直线平行，且前提为两直线不重合2、两直线垂直的判定条件的推导

3、渗透分类讨论的重要数学思想

教具：多媒体课件三角板

教学方法：讲授法探究法

教学进程：

一、知识回顾导入新课

1、倾斜角（定义、范围）

2、斜率kktan(90)

3、斜率公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)k0y2y1(x1x2)x2x

1问：平面上两条直线有几种位置关系呢？

①平行②相交③重合（）

平行与垂直是两直线的特殊的位置关系，那这节课我们就来学习“两条直线平行与垂直的判定”

二、新课讲授

1、两直线平行的判定

已知一条直线倾斜角，不能确定这条直线的位置，可以任意平移直线l1，任意作直线l2，得到

l1//l2问：不重合的两直线，倾斜角相等，两直线有什么位置关系呢？（平行）

两条不重合的直线因此，我们得到：当l1和l2是，12l1//l

2问：如果两条直线互相平行，它们的倾斜角满足什么关系呢？（用PPT展示动态图画）

我们得到：若两直线平行，它们的倾斜角相等。也即12l1//l2

两条不重合的直线※结论：当l1和l2是

时，12l1//l2（互为充要条件），由12我们可以得到什么？

两条不重合的直线问：若没有前提条件l1和l2是

（学生回答平行或重合，这里要强调两直线重合的位置关系，并且和学生说明如果没有特殊说明，说两条直线l1和l2时，一般指两条不重合的直线）问：若两直线平行时，它们的斜率满足什么关系呢？

（这时要反复演示直线转动过程

ppt，让学生注意到当）

l1和l2同时垂直于x轴时的特殊情形

学生会注意到当1290时，l1//l2，而此时直线的斜率k不存在在时呢？l1//l2,斜问：那当两直线斜率k1,k2存率k1,k2满足什么关系呢

此时，l1//l212tan1tan2k1k2？

问：反过来，由k1k2能否得到l1//l2的位置关系？我们首先要考虑什么？

（先排除两直线l1和l2重合的可能），当两条不重合的直线的斜率k1k2时，k1k2tan1tan212l1//l2

※结论：两条直线不重合且斜率都存在时，l1//l2k1k2（充要条件）

练习

1、判断题⑴l1//l2是

12的充要条件（×）

⑵若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行（×）⑶l1//l2是k1

k2的充要条件（×）

例

1、已知直线l1的倾斜角是450，且过定点（1,1），l2是经过两点A（x,1）,B(4,3)的直线，满足l1//l2,求x的值

分析：由题设可知，两直线的斜率k1和k2都存在，且l1和l2是两条不重合的直线，要满足l1//l2，只要使k1k2成立即可。

解：

设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,有k1tan451,k2则

x8

2两直线垂直的判定

刚刚讨论了两直线平行时的情况，那两直线垂直又怎么样

问：类比平行的情况，我们是从倾斜角1和2出发的，进而讨论平行的情况。那这里我们是否也可以从倾斜角

1、2出发呢？那我们首先要找到这两条直线的倾斜角

（讨论垂直判定的时候，要让学生类比平行的情况，思考从何入手，启发学生思考如何找到垂直判定的条件）

· 由图我们可看到直线l1,l2与x

关系式

314

4因为l1//l2,则有k1k2,即1 4xx4x4

2

1900

问：那它们的斜率呢？首先要考虑它们的斜率是否存在？

（学生可能会忽视斜率的存在性这一重要条件，虑斜率是否存在，强调分类讨论的思想）

◎ 当一条直线的斜率不存

在，一条直线的斜率为0时，即

k1不存在，k20或k10,k2不

存在时，满足l1l

2问：那当两条直线的斜率都存在时呢？（首先来看看特殊情况）

学生分小组分别计算直线l1和l2的斜率k1、k

2k11,k2

1k1,k2

3k13,k2

问：你们发现了什么？

(学生们会发现k1k21)

问：猜想一下，当两条直线的斜率都存在时，如果l1l2,那么它们的斜率会满足什么关系呢？

（学生会猜想k1k21）

·为了验证这一猜想，我们来看看一般情况： 不妨设01900，则90021800，直线l1的斜率为k1tan1,直线l2的斜率为k2tan2

因

为

当

l1l2

时有

21900，所以

sin(1900)cos11

k2tan2tan(190)0

cos(190)sin1tan1

则有k1k2tan1()1 tan1

所以我们有当两条直线的斜率都存在时，l1l2k1k21

问：那么反过来，当两条直线的斜率满足k1k21时，此时l1与l2又有怎么样的位置关系呢？

（鼓励学生自己动手进行探究）

当k1k21时，即tan1tan21，则有tan2，而我们已推导公式tan1

sin(1900)cos11，所以有tan2tan(190)0

cos(190)sin1tan1

tan(1900)，因为902180，0190，结合正切函数在0,上的函数图象，可得到

21900

即l1l2

所以当两条直线的斜率之积为1时，我们可以推出这两条直线垂直

※结论：当两条直线的斜率k1,k2都存在且不为0时，l1l2k1k21 练习：

1、判断题

⑴若两条直线的斜率之积为1，则这两条直线一定垂直（√）

⑵l

1l2是k1k2的充要条件（×）

例

2、已知A（5，1）,B（1,1），C（2,3）三点，试判断

分析：首先在平面直角坐标系中画出图形，由图进行猜想ABBC,即为直角三角形

在学习本节课内容前，学生们可能会想到：①平面向量法

0即可证明ABBC

②余弦定理（勾股定理）（ABBCcosB

ABC的形状

x

AC

BCABAC

2BCAB

· 用今天这节课的内容又怎么做呢？

要证明两直线AB 和直线BC垂直，只要求出这两条直线的斜率，它们的斜率之积等于1 解：

设直线AB斜率为kAB,直线BC斜率为kBC，1113

1,kBC251221以kABkBC1，即有ABBC所

kAB

所以ABC为直角三角形

课堂小结：

1、两直线平行的判定条件

12l与l

l1//l

2合2重

l1//l2k1k2的前提条件是两条直线的斜率都存在，且两条直线不重合2、两直线垂直的判定条件

当一条直线的斜率不存在，一条直线的斜率为

时，即

k1不存在，k20或k10,k2不存在时，这两条直线垂直

当两条直线的斜率k1,k2都存在且不为0时，l1l2k1k2

1作业:教材P896

P907、8、1、2、6

板书设计：

§3.1.2 两直线平行与垂直的判定

一、两直线平行的判定

1、12l1//l2或l1和l2重合例

12、l1与l2是两条不重合直

线



当

k1、k2不存在时，12

l

l1//l21

21//l2

当 k1、k2都存在时，k1k2tan1tan2l1//l2k1k2

二、两直线垂直的判定

当k10,k2不存在时

l1l2

当k1和k2都存在且不为

0时k2tan2tan(1900)

l1

sin(0190)1l2k1k2cos(0cos1

 190)sin1



1tan1

k1k2

例2

第四篇：312两条直线的平行与垂直教案

3.1.2两条直线的平行与垂直教案

教学目标

(一)知识教学

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．

(三)学科渗透

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

教学过程

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式.现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直

设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2． 由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．

又∵两条直线不重合，∴L1∥L2． 结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论．．．．．．．．并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2;反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．

如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有 α1=90°+α2．

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

，可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2． 结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它．．．．．．．．们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件.即如果k1·k2 =-1, 那么一定有L1⊥L2;反之则不一定.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证.转动时, 可使α1为锐角,钝角等).例题

例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.(借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1=(6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线PQ的斜率k2=(6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 =-1 所以 AB⊥PQ.例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)课堂练习

P94 练习1.2.课后小结

(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3)应用直线平行的条件, 判定三点共线.布置作业

P94习题3.1 5.8.板书设计

第五篇：四年级数学平行与垂直教案

四年级数学教案—《垂直与平行》教学设计

【教学内容】义务教育课程标准实验教科书四年级上册第64~65页内容

【教学目标】

1、使学生通过探究活动知道在同一个平面内两条直线存在着相交、平行的位置关系，掌握垂直、平行的概念。

2、能正确判断在同一个平面内两线之间的关系。

3、通过合作交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。

4、培养学生学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

【教学重难点】

在自主探索中，理解垂直与平行的概念。

【教学准备】

课件、直尺、三角板

【教学过程】

一、创设情境，引入新知。

`

1、亲爱的孩子们，你们最喜欢玩什么游戏？在玩游戏的时候，请你们注意观察你扔出的筷子会是什么情形？开始吧。

2、你们知道吗？在这个游戏中存在着许多的数学知识？这节课，老师想和同学们一起来把他找出来，好吗？

3、（课件出示）扔筷子的情境图，让学生找出哪种情形是在同一平面内？

4、这节课，老师就和同学们一起来研究在同一平面内两条直线的位置关系。

5、板：在同一平面内

二、动手实践，感悟新知。

1、学生画直线。

（1）请同学们拿出一张白纸，闭上眼睛想象一下，把白纸无限扩大。然后，出现一条直线，再出现另一条直线。好，请把眼睛睁开，把你刚想到的两条直线画在白纸上，只画一种情况，开始吧。

（2）巡视学生画直线情况，张贴不同情形于黑板。

2、小组探索学习。

（1）同学们的想象力可真丰富，画了这么多的情形。老师把这些作品编上号码。

（2）请四人小组讨论一下，你们按什么标准把这些作品进行分类？怎样分？

（3）四人小组讨论。

（4）学生汇报交流，并上台尝试分类。

（5）板：相交不相交

3、揭示“互相平行”的概念。

（1）请问你们对哪一号作品产生疑问？

（2）（课件出示）：你是怎样知道的？

（3）小结：这种看似相交，实际不相交的情形，在判断的时候，要注意把它延长后再判断。

（4）（课件出示）：这种情形相交吗？延长后，相交了吗？（没有）再延长，相

交吗？（没有）无限延长，相交了吗？（没有）

（5）象这种情形，在数学叫做什么？

（6）板：互相平行

（7）让学生试着说出完整的概念。（课件出示）

（8）请同学们小声地读一读，找出哪些是重点词语？并想想有什么疑问需要跟大家研究一下。

4、练习。（课件出示）

判断下面哪组直线互相平行？在下面的（）里打在“√”。

（）（）（）

5、揭示“互相垂直”的概念。

（1）我们再来看看相交的情形，你们发现了什么？（课件出示）

（2）板：成直角不成直角

（3）哪些是成直角？哪些是不成直角？在黑板进行分类。

（4）成直角的这种情形在数学上叫做什么？

（5）板：互相垂直

（6）用完整的话说出来。（课件出示）

6、练习。（课件出示）

判断下面哪组直线互相平行？在下面的（）里打在“√”。

（）（）（）

7、小结：判断两条直线是否平行或垂直，必须满足两个条件。请说一说。

8、出示课题。（垂直与平行）

三、联系生活，巩固新知。

1、摆一摆。

（1）请先摆一根蓝色的小棒，再摆一根绿色的小棒与蓝色的小棒平行，然后再摆一根蓝色的小棒与绿色的小棒平行，观察一下两根蓝色的小棒，你发现了什么？

（2）请先摆一根蓝色的小棒，再摆一根绿色的小棒与蓝色的小棒平行，然后再摆一根蓝色的小棒与绿色的小棒垂直，观察一下两根蓝色的小棒，你发现了什么？

2、找一找。

（1）在生活中，垂直与平行就在我们的身边，来，我们一起到操场去找一找。（课件出示）

（2）孩子们，平时可要加强锻炼身体，只有加强锻炼身体，才能有强健的体魄。

3、摘苹果。（课件出示）

4、判断。（课件出示）

下面的说法对吗？对的打“√”，错的打“×”。

（1）不相交的两条直线叫平行线。（）

（2）┐如图：直线A叫做垂线。（）

（3）如图：直线b叫做平行线。（）

5、分小组在课室中找出平行与垂直的例子，并记录下来。

四、回顾新知，总结交流。

1、现在我们一起回顾这节课所学过的内容。（课件出示）

2、在这节课里，你知道了什么知识？请与大家分享一下你的收获。

五、欣赏新知、拓展延伸。

1、生活中平行与垂直的现象随处可见，它装点着我们美丽的世界，请大家随着音乐欣赏重直与平行为我们的生活带来的美。（课件出示）

2、请画出平行作品的同学先离开教室，再请画出相交作品的同学离开