《统计表和条形统计图(二)》教案2

第一篇：《统计表和条形统计图(二)》教案2

《统计表和条形统计图

（二）》教案2 教学目标

1、认识复式统计表，了解复式统计表的结构特点，能调查收集、整理数据，用复式统计表表达数据；能简单分析表中的数据，说明数据反映的简单事实。

2、在经历统计过程、运用复式统计表表达数据的过程中，积累统计活动的经验，体会并了解复式统计表的优点，提高用统计表处理简单的数据的技能，增强数据分析观念。

教学重点

认识和运用复式统计表。

教学难点

数据的调查与分析。

教学准备

多媒体课件

教学过程

一、学习例1：

1.周六，我们很多同学参加了各种兴趣小组。请看青云小学五年级正在活动着的4个兴趣小组情况。

出示例题图。指名说一说各小组人数。

2.把这4个兴趣小组的人数填在下面的统计表里。（学生独立填写）

3.4个小组的情况，每小组一张，这样的统计表我们把它称之为单式统计表。如果要把四个组 的情况放在一张表里，就需要用复式统计表。这节课我们就来研究复式统计表。

板书课题：复式统计表

二、学习新课

1.出示复式统计表

解读复式统计表表头。

指出：复式统计表的表头一般都需要分成3块，横着的分别表示男生和女生，即“性别”；竖着的表示各个兴趣小组的名称，即“组别”；中间这块即我们统计的各类数据，即“人数”，也可以写成“数量/人”。

现在你能根据刚才四张表中的数据完成这张复式统计表吗？

2.学生独立填写。

3．交流：你是怎样计算合计数以及总计数的？

4．评价：观察这张复式统计表，你可以知道哪些信息？

5.与刚才的单式统计表相比，你觉得它有哪些优点？

三、巩固练习：

1、练一练：

(1)调查、统计。阅读问题，用什么方法可以解决？(2)分析数据：经过统计，你了解了哪些数据？

(3)回顾反思。我们开始要了解哪些情况？这样的问题怎样解决？

2、练习十五第1题。

3、练习十五第2题。把分组调查到的数据进行交流，核对数据。

四、总结： 这节课我们学习了什么？复式统计表与单式统计表有什么练习和区别？

第二篇：六年级数学统计表教案2

教学建议

教材分析

学生在第八册和第十册已经初步学习了数据的收集和整理、简单统计表的制作和条形统计图的初步认识，以及求平均数的方法．本小节是在学生已有知识的基础上，进一步教学编制和分析含有百分数的统计表，通过教学使学生进一步认识统计的意义和作用，并受到国情的教育。

在学生掌握了一般的复式统计表的基础上，这一节教学含有百分数的复式统计表．这里没有重复教学统计表的形式和制法，而是让学生根据已学知识思考，怎样才能清楚地看出一个统计表中有关数量间的百分比关系．教材通过一个例题教学含有百分数的统计表，启发学生想，只要在原来的统计表中再增加一栏，算出题中所需的百分数，依次填上就可以了．同时，在每一个统计表的后面，教材还通过填空让学生看表回答问题，这不仅有助于培养学生运用所学知识解决实际问题的能力（如根据统计图表提供的数据分析问题，寻求解决的方法），也有助于培养学生用统计的思想分析思考问题的习惯．

“合计”和“总计”是小学阶段学习简单的统计知识中常用的两个数学术语，这两个术语常常在同一张表中同时出现，两者虽一字之差，但含义不同，容易混淆．“总计”与“合计”是根据表的性质和需要来确定的．一般来说，单式的统计表只有合计．在复式的统计表中，一般既含有合计，又要有总计．“合计”是各个分类事物的统计数据之和，“总计”是反映各类事物的总数量．

教法建议

学生在第八册和第十册已经初步学习了数据的收集和整理、简单统计表的制作和条形统计图的初步认识，以及求平均数的方法．本小节是在学生已有知识的基础上，进一步教学编制和分析含有百分数的统计表，通过教学使学生进一步认识统计的意义和作用，并受到国情的教育．

含有百分数的统计表，可以采用迁移法进行教学．通过“

1、复习旧知：教师出示表格，学生分别说出每个数据表示什么和计算方法．

2、质疑引新：现在的表格能反映出有关数据之间的关系吗？应该怎么办？

3、小组讨论：只要在表格的右侧增加一栏，把有关百分数的数据填入表中即可．

4、对比深化：合计与总计有什么不同？

5、分析表格：根据表中数据可以得出什么结论？”这五个步骤进行教学．教学中要注意发挥学生的主体作用，由学生自主探究得出新知．

教学目标

1．使学生初步学会制作一些含有百分数的简单的统计表．

2．通过看表，会回答一些简单的问题．

教学重点

在已学过统计表的形式和制法的基础上，会制作含有百分数的统计表．

教学难点

掌握统计表中数量之间的百分比关系，会分析含有百分比的统计表。

教学步骤

一、铺垫孕伏

1．复习旧知．

我们已经学过，把调查收集到的数据，加以分类整理，请看下面表格（下表），你能说出每个数据分别表示什么吗？

2．计算．

教师提问：表格中“合计”的数据怎样算？

3．引新．

统计表不仅反映某一类事物的具体数据，而且还能说明有关数据之间的关系，如表中合计的数据表示了三年同类项目收入的总和，现在的表格，还能反映出村办企业收入占全村的总收入的百分比吗？（不能）

下面我们就继续学习百分数在统计中的应用．

二、探求新知

（一）教学例题．

1．出示例题．

下面是1998～2000年东山村每年的总收入与村办企业收入的统计表．如果要使这个统计表表示出这三个中村办企业收入占全村总收入的白分之几，应该怎样做？

教师提问：例题向我们提出了什么问题？

2．增加栏目，扩展统计表含量．

教师提问：

（1）计算每个村办企业收入占全村总收入的百分比比较容易，计算出的三个百分数写在表格的什么位置？

（表格右侧旁边）

（2）能不能把表格向右侧扩充一下，把有关百分数的数据也纳入表中？

（学生扩充表格，并计算百分数，填入表内．）

（3）我们再纵向观察，这组百分数表示什么？

（村办企业收入占总收入的百分比）

（4）你们能概括地讲一讲我们是怎么做的？

（把原来的统计表右边增加一栏，再把每一年村办企业收入占全村总收入的百分数填写过去，这样就成了含有百分数的统计表．）

3．强调“合计”中“百分数”的计算方法．

教师提问：我们以后在计算统计表中百分数时，如果没有特殊要求，一般百分号前的数只需取一位小数．“合计”项目中的百分数如何计算？

学生回答：用村办企业三年收入总和去除三年全村总收入的总和，三年“合计”项目的百分数不是三年中每年的百分数的和，也不是三年中每年的百分数的平均数．

4．看统计表回答问题．

（1）2000年全村总收入比1999年增加_________万元；

（2）2000年村办企业收入比1999年增加_________万元；

（3）2000年该村其他收入（包括粮食、副业等）比1999年增加_________万元；

（4）2000年村办企业收入占全村总收入的_________％．

教师提问：

（1）通过看表回答问题，你发现全村总收入和村办企业总收入是怎样逐年变化的？

（逐年增长）

（2）其中村办企业收入增长幅度怎样？

（很大）

教师讲述：仅通过1998－2000年三年的收入，我们不难看出，坚持改革开放，农村的发展非常迅速，特别是村办企业收入增长幅度之大，说明要加快农村现代化建设步伐，不仅要抓好农业，还要大力发展村办企业．

（二）反馈练习

某洗衣机厂第一季度生产洗衣机情况如下．分别算出每个月完成计划的百分数，并制成统计表．

三、全课小结

这节课我们在原来有关统计表知识的基础上，又进一步学习了百分数在统计中的应用，这就使统计表中反映数据之间关系的内容更充分，更丰富．

四、课堂练习

1．陈庄三户农民1999年和2000年平均每人纯收入的情况如下：

陈志刚1999年2186元，2000年2274元；

李卫民1999年2140元，2000年2261元；

陈世昌1999年2205元，2000年2313元；

完成下面的统计表．（百分号前面的数保留一位小数．）

五、布置作业

1．完成下面的统计表．（百分号前面的数保留一位小数．）

六、板书设计

第三篇：《统计表》教案

教学内容：

教科书第5859页的例题、完成做一做的题目和练习十四的第12题。

教学目的：

使学生初步学会填写含有百分数的复式统计表的方法和步骤，进一步认识编制统计表的意义。

教具准备：

小黑板或投影片若干。

教学过程：

一、复习

教师：我们已经初步学会如何填写一个统计表。现在我们一起复习一下填写统计表的方法和步骤。

请几名学生说一说，同学之间互相补充，教师随之在黑板上做简单的板书。

二、新课

教师用小黑板或投影片出示例题的统计表。

教师：这里有一张统计表，这是1995年一1997年东山村每年的总收人与村办企业收入的统计表。同学们注意观察一下，这张统计表与以前我们学习过的统计表有什么不同？ 学生：横着的项目增加了一栏。

学生：增加了含有百分数的数据。

教师：对I在这张统计表中，增加了一栏，这一栏里都是含有百分数的数据。所以，我们今天学习的统计表叫做含有百分数的统计表。

教师板书课题。

教师：现在我们先计算出有关的数据，把这张统计表填写完整

先让学生自己计算百分数、合计数，把统计表填写完整。教师行间巡视，注意个别辅导。可提醒学生：计算百分数时，百分号前的数只需取一位小数。填写合计这一行的含百分数的数据时，教师可提问

这个数据应该怎样计算呢？ 是不是把3年的百分数加起来就得到了呢？ 要使学生明确：合计这一行的百分数要算3年村办企业收入的合计数占3年总收入的合计数的百分比：等学生填完表．教师提问。

教师：从这张统计表中我们可以获得关于东山村的什么情况？ 请几名学生发言，说一说自己获得的情况。然后教师总结。

教师：在这张统计表中，不仅可以看出在199；年至1997年中每一年的全村总收入是多少，其中村办企业收入是多少，而且还可以看出每年中村办企业收入占全村收入的百分之几。

然后教师再指名提问

1996年全村总收入比1995年增加多少万元？ 1997年全村总收入比1996年增加多少万元？ 1996年村办企业收人比1995年增加多少万元？ 1997年村办企业收入比1996年增加多少万元？ 1997年这个村其他收入（即粮食、副业等收入）比1996年增加多少万元？ 1996年村办企业收入占全村总收入的百分数比1995年的百分数增加多少？

1997年村办企业收入占全村总收入的百分数比1996年的百分数增加多少？ 通过上面的比较，我们可以获得什么情况？ 教师总结：通过上面的比较我们可以看出：3年来，在全村的收入中，村办企业的收入增长幅度比较大。村办企业的收人在全村总收入中所占的百分比逐年增加，才引起总收入的较快增长。

让学生翻开教科书第59页，自己完成统计表中的计算和填空。

三、巩固练习

1．做做一做的题目。

请一位同学读题后，教师带领学生共同编制统计表。指名让学生一步步说编制统计表的步骤，随之教师在黑板上画出统计表头，填上数据，形成下面的未填写完的统计表

某洗衣机厂第一季度生产洗衣机情况统计表

年 月制

先让学生自己计算出合计和各月完成计划的百分数，再指名让学生在黑板上把数据填写进统计表中，集体订正。

2．做练习十四的第1题。

让学生独立做题，教师行间巡视，个别辅导。仍要注意学生在填写合计这一行的百分数时是怎样计算百分数的。对于不明确的学生，教师仍要提醒：合计这一行的百分数要算三户农民1997年收入的合计数比1996年收入的合计数增长了多少，这个增长数占1996年收入的合计数的百分之几。做完以后集体订正。

四、作业

练习十四的第2题。

第四篇：概率统计教案2

第三章 多维随机变量及其分布

一、教材说明

本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望。本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。

1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是：

（1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念；

（2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数；（3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望。本章的教学要求是：（1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布；

（2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法；（3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目；（4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系；（5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目。

2、本章的重点与难点

本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。

二、教学内容

本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容。

3.1 多维随机变量及其联合分布

一、多维随机变量

定义3.1.1 如果X1(),X2(),,Xn()是定义在同一个样本空间{}上的n个随机变量，则称X()(X1(),...,Xn())为n维随机变量或随机向量。

二、联合分布函数

1、定义3.1.2 对任意n个实数x1,x2,,xn，则n个事件{X1x1},{X2x2},,{Xnxn}同时发生的概率 F(x1,x2,,xn)P{X1x1,X2x2,,Xnxn}

称为n维随机变量(X1,X2,,Xn)的联合分布函数。

n!n2p1n1p2prnr，n1!n2!nr!这个联合分布列称为r项分布，又称为多项分布，记为M(n,p1,p2,,pr).例3.1.4 一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。从这批产品中有放回地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布列。

分析 略。

解 略。

2、多维超几何分布

多维超几何分布的描述：袋中有N只球，其中有Ni只i号球，i1,2,,r。记NN1N2Nr，从中任意取出n只，若记Xi为取出的n只球中i号球的个数，i1,2,,r，则

N1N2NrnnnP(X1n1,X2n2,Xrnr)12r.Nn其中n1n2nrn。

例3.1.5 将例3.1.4改成不放回抽样，即从这批产品中不放回地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布列。

解

略。

3、多维均匀分布

设D为R中的一个有界区域，其度量为SD，如果多维随机变量(X1,X2,,Xn)的联合密度函数为 n1,(x1,x2,,xn)D, p(x1,x2,,xn)SD0,其他则称(X1,X2,,Xn)服从D上的多维均匀分布，记为(X1,X2,,Xn)~U（D).例3.1.6 设D为平面上以原点为圆心以r为半径的圆，(X,Y)服从D上的二维均匀分布，其密度函数为

12222,xyr, p(x,y)r2220,xyr.试求概率P(X).解 略。

4、二元正态分布

如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

1212(x1)2(x1)(y2)(y2)21exp{[2]},x,y22(12)1212212r2p(x,y)2则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)~N(1,2,12,2,).其中五个参数的取值范围分别是：1,2;1,20;11.以后将指出：1,2分别是X与Y的均值，12,22分别是X与Y的方差，是X与Y的相关系数。

2例3.1.7 设二维随机变量(X,Y)~N(1,2,12,2,).求(X,Y)落在区域D{(x,y):(x1)2212(x1)(y2)12(y2)2222}内的概率。

解 略。

注 凡是与正态分布有关的计算一般需要作变换简化计算。

3.2 边际分布与随机变量的独立性

一、边际分布函数

1、二维随机变量(X,Y)中

X的边际分布

FX(x)P(Xx)P(XY的边际分布

FY(y)F(,y)x,Y)limF(x,y)yF(x, 

2、在三维随机变量(X,Y,Z)的联合分布函数F(x,y,z)中，用类似的方法可得到更多的边际分布函数。

例3.2.1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

1exeyexyxy,x0,y0, F(x,y)0,其他这个分布被称为二维指数分布，求其边际分布。

解 略。

注 X与Y的边际分布都是一维指数分布，且与参数0无关。不同的0对应不

p(x1,x2,,xn)pi(xi)

i1n则称X1,X2,,Xn相互独立。

例3.2.7设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

8xy,0xy1, p(x,y)0,其他.问X与Y是否相互独立？

分析 为判断X与Y是否相互独立，只需看边际密度函数之积是否等于联合密度函数。解 略。

3.3 多维随机变量函数的分布

一、多维离散随机变量函数的分布

以二维为例讨论，设二维随机变量(X,Y)的取值为(xi,yj),Zf(X,Y), 随机变量

Z的取值为zk.令Ck{(xi,yj):f(xi,yj)zk}，则

P(Zzk)P(f(xi,yj)zk)P((xi,yj)Ck)(xi,yj)Ckpij.例3.3.2（泊松分布的可加性）设X~P(1),Y~P(2), 且X与Y相互独立。证明

ZXY~P(12).证明：略。

注 证明过程用到离散场合下的卷积公式，这里卷积指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”，对有限个独立泊松变量有

P(1)P(2)P(n)P(12n).例3.3.3（二项分布的可加性）设X~b(n,p),Y~b(m,p),且X与Y相互独立。证明ZXY~b(mn,p).证明 略。

注（1）该性质可以推广到有限个场合

b(n1,p)b(n2,p)b(nk,p)b(n1n2nk,p)

（2）特别当n1n2nk1时，b(1,p)b(1,p)b(1,p)b(n,p)这表明，服从二项分布b(n,p)的随机变量可以分解成n个相互独立的0-1分布的随机

变量之和。

二、最大值与最小值的分布

例3.3.4（最大值分布）设X1,X2,,Xn是相互独立的n个随机变量，若

Ymax(X1,X2,Xn).设在以下情况下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i1,2,,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i1,2,,n;

（3）Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数为p(x),i1,2,,n;

（4）Xi~Exp(),i1,2,,n.解 略。

注 这道题的解法体现了求最大值分布的一般思路。

例3.3.5（最小值分布）设X1,X2,,Xn是相互独立的n个随机变量；若Ymin(X1,X2,Xn)，试在以下情况下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i1,2,,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i1,2,,n;

（3）Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数为p(x),i1,2,,n;

（4）Xi~Exp(),i1,2,,n.解 略。

注 这道例题的解法体现了求最小值分布的一般思路。

三、连续场合的卷积公式

定理3.3.1设X与Y是两个相互独立的连续随机变量，其密度函数分别为pX(x)、pY(y)，则其和ZXY的密度函数为

pZ(z)pX(zy)pY(y)dy.证明 略。

本定理的结果就是连续场合下的卷积公式。

例3.3.6（正态分布的可加性）设X~N(1,1),Y~N(2,2),且X与Y相互独立。证明ZXY~N(12,12).证明 略

2222

注 任意n个相互独立的正态变量的非零线性组合仍是正态变量。

四、变量变换法

1、变量变换法

设(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，函数ug1(x,y),有连续偏导数，且存在唯一

vg(x,y).2xx(u,v),的反函数，其变换的雅可比行列式

yy(u,v)x(x,y)uJ(u,v)xv若yuyv1(u,v)(x,y)uxvxuyvy0.1Ug1(X,Y)则(U,V)的联合密度函数为

Vg2(X,Y),p(u,v)p(x(u,v),y(u,v))J.这个方法实际上就是二重积分的变量变换法，其证明可参阅数学分析教科书。例3.3.9设X与Y独立同分布，都服从正态分布N(,2)，记试求(U,V)的联合密度函数。U与V是否相互独立？

解 略。

2、增补变量法

增补变量法实质上是变换法的一种应用：为了求出二维连续随机变量(X,Y)的函数

UXY，VXY.Ug(X,Y)的密度函数，增补一个新的随机变量Vh(X,Y)，一般令VX或VY。先用变换法求出(U,V)的联合密度函数p(u,v)，再对p(u,v)关于v积分，从而得出关于U的边际密度函数。

例3.3.10（积的公式）设X与Y相互独立，其密度函数分别为 pX(x)和pY(y).则UXY的密度函数为pU(u)证 略。

pX(uv)pY(v)1dv.v例3.3.11（商的公式）设X与Y相互独立，其密度函数分别为pX(x)和pY(y)，则UXY的密度函数为pU(u)

pX(uv)pY(v)vdv.10111213

例3.5.5设(X,Y)服从G{(x,y):x2y21}上的均匀分布，试求给定Yy条件下X的条件密度函数p(x|y)。

解 略。

3、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式 全概率公式的密度函数形式

pY(y)pX(x)p(y|x)dx,pX(x)pY(y)p(x|y)dy.pY(y)p(x|y)贝叶斯公式的密度函数形式

p(x|y)pX(x)p(y|x)pX(x)p(y|x)dx,p(y|x)pY(y)p(x|y)dy.注 由边际分布和条件分布就可以得到联合分布。

二、条件数学期望

1、定义3.5.4 条件分布的数学期望（若存在）称为条件数学期望，其定义如下：

xiP(Xxi|Yy),(X,Y)为二维离散随机变量；E(X|Yy)i

(X,Y)为二维连续随机变量。xp(x|y)dx，yjP(Yyj|Xx),(X,Y)为二维离散随机变量；jE(Y|Xx)

(X,Y)为二维连续随机变量。yp(y|x)dy，注(1)条件数学期望具有数学期望的一切性质。

(2)条件数学期望E(X|Y)可以看成是随机变量Y的函数，其本身也是一个随机变量。

2、定理3.5.1（重期望公式）设(X,Y)是二维随机变量，且E(X)存在，则

E(X)E(E(X|Y))。

证明 略。

注 重期望公式的具体使用如下

（1）如果Y是一个离散随机变量，E(X)（2）如果Y是一个连续随机变量，E(X)E(X|yy)P(Yy);

jjjE(X|Yy)pY(y)dy.例3.5.10（随机个随机变量和的数学期望）设X1,X2,,Xn是一列独立同分布的随机变量，随机变量N只取正整数值，且与{Xn}独立。证明

E(Xi)E(X1)E(N).i1N

第四章 大数定律与中心极限定理

一、教材说明

本章内容包括特征函数及其性质，常用的几个大数定律，随机变量序列的两种收敛性的定义及其有关性质，中心极限定理。大数定律涉及的是一种依概率收敛，中心极限定理涉及按分布收敛。这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题，而且在数理统计中有广泛的应用。

1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是：

（1）使学生掌握特征函数的定义和常用分布的特征函数；

（2）使学生深刻理解和掌握大数定律及与之相关的两种收敛性概念，会熟练运用几个大数定律证明题目；

（3）使学生理解并熟练掌握独立同分布下的中心极限定理。本章的教学要求是：

（1）理解并会求常用分布的特征函数；

（2）深刻理解并掌握大数定律，能熟练应用大数定律证明题目；

（3）理解并掌握依概率收敛和按分布收敛的定义，并会用其性质证明相应的题目；（4）深刻理解与掌握中心极限定理，并要对之熟练应用。

2、重点与难点

本章的重点是大数定律与中心极限定理，难点是用特征函数的性质证明题目，大数定律和中心极限定理的应用。

二、教学内容

本章共分特征函数、大数定律、随机变量序列的两种收敛性，中心极限定理等4节来讲述本章的基本内容。

4.1特征函数

一、特征函数的定义

1.定义4.1.1 设X是一个随机变量，称(t)=E(e)，-∞ < t < + ∞，为X的特征函数。

itXitX注 因为e1，所以E(e)总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的。

itX

2.特征函数的求法

（1）当离散随机变量X的分布列为Pk= P（X= xk)，k = 1，2，…，则X的特征函数为

φ(t)=ek1itxkPk，-∞ < t < + ∞。

（2）当连续随机变量X的密度函数为p(x)，则X的特征函数为

φ(t)=eitxP(x)dx，-∞ < t < + ∞。

例4.1.1 常用分布的特征函数

(1)单点分布：P(X= a)= 1，其特征函数为φ(t)= eita。(2)0 –1分布：P(X= x)=px(1

证明 略。

定理4.1.1（一致连续性）随机变量X的特征函数φ(t)在(-∞，+ ∞)上一致连续。定理4.1.2（非负定性）随机变量X的特征函数φ(t)是非负定的。定理4.1.4（唯一性定理）随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。例4.1.3 试利用特征函数的方法求伽玛分布Ga(α，λ)的数学期望和方差。解 因为Ga(α，λ)的特征函数φ(t)= φ(t)= ‘

‘iii(1)1；φ(0)= (1it)，’‘’1)i2it；φ(t)= ((1)2；φ(0)= 2(1)2，所以由性质4.1.5得

E(X)'(0)i;Var(X)''(0)('(0))22.4.2大数定律

一、何谓大数定律（大数定律的一般提法）

定义4.2.1设{Xn}为随机变量序列，若对任意的0,有

1n1nlimPXiE(Xi)1.(4.2.5)nni1ni1则称{Xn}服从大数定律。

二、切比雪夫大数定律

定理4.2.2（切比雪夫大数定律）设{Xn}为一列两两不相关的随机变量序列，若每个Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)c,i1,2,,则{Xn}服从大数定律，即对任意的0，式(4.2.5)成立。

利用切比雪夫不等式就可证明。此处略。

推论（定理4.2.1：伯努利大数定律）设n为n重伯努利试验中事件A发生的次数，P为每次试验中A出现的概率，则对任意的0，有

limPnp1.nn分析 n服从二项分布，因此可以把n表示成n个相互独立同分布、都服从0–1分布的随机变量的和。

三、马尔可夫大数定律

定理4.2.3（马尔可夫大数定律）对随机变量序列{Xn}，若马尔可夫条件n1Var(Xi)0成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意的0，式(4.2.5)成立。n2i1证明 利用切比雪夫不等式就可证得。

例4.2.3 设{Xn}为一同分布、方差存在的随机变量序列，且Xn仅与Xn1和Xn1相关，而与其他的Xi不相关，试问该随机变量序列{Xn}是否服从大数定律？

解 可证对{Xn}，马尔可夫条件成立，故由马尔可夫大数定律可得{Xn}服从大数定律。

四、辛钦大数定律

定理4.2.4（辛钦大数定律）设{Xn}为一独立同分布的随机变量序列，若Xn的数学期望存在，则{Xn}服从大数定律，即对任意的0，式(4.2.5)成立。

4.3随机变量序列的两种收敛性

一、依概率收敛

1.定义4.3.1（依概率收敛）设{Xn}为一随机变量序列，Y为一随机变量。如果对于任意的0，有

nlimPYnY1.P则称{Xn}依概率收敛于Y，记做YnY。

1n1nP注 随机变量序列{Xn}服从大数定律XiE(Xi)0。

ni1ni12.依概率收敛的四则运算

定理4.3.1 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b是两个常数。如果

PP{Xn}a，{Yn}b，则有(1)XnYnab;(3)XnYnab(b0).ab;(2)XnYn

二、按分布收敛、弱收敛 PPP

1.定义4.3.2 设{Fn(x)}是随机变量序列{Xn}的分布函数列，F(x)为X的分布函数。若对F(x)的任一连续点x，都有limFn(X)=F(x)，则称{Fn(x)}弱收敛于F(x)，记做

nFn(X)F(x)。也称{Xn}按分布收敛于X，记做XnlX。

2.依概率收敛与按分布收敛间的关系

P(1)定理4.3.2 XnXXnlX。

P(2)定理4.3.3 若c为常数，则XncXnlc

两个定理的证明均略。

三、判断弱收敛的方法

定理4.3.4 分布函数序列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(X)的充要条件是{Fn(x)}的特征函数序列{φn(t)}收敛于F(x)的特征函数φ(t)。

这个定理的证明只涉及数学分析的一些结果，参阅教材后文献[1]。例4.3.3 若X~P()，证明

1XlimPx2解 用定理4.3.4。此处略。

xedt.t224.4中心极限定理

一、中心极限定理概述

研究独立随机变量和的极限分布为正态分布的命题。

二、独立同分布下的中心极限定理

定理4.4.1（林德贝格-勒维中心极限定理）设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi),Var(Xi)0.记

2Yn*则对任意实数y，有

X1X2Xnnn.1* limPYy(y)nn2

yedt.t22-2021-

第五篇：复式统计表教案

复式统计表

一、教学目标

1、在具体的统计活动中认识复式统计表，能根据收集、整理的数据填写统计表，并能根据统计表的数据进行简单的分析。

2、在认识、填写、分析复式统计表的过程中，进一步体会数据收集和整理的必要性和数据分析方法的多样性，培养数据分析观念。

3、进一步体会统计与现实生活的密切联系，感受学习数学的乐趣，树立学好数学的信心。

二、教学重难点

教学重点：认识复式统计表，能正确填写数据，并进行简单的数据分析。

教学难点：复式统计表的形成过程，进一步理解统计方法，培养数据分析观念。

三、教学准备

教具（男生最喜欢的活动统计表，女生最喜欢的活动统计表，不完整的复式统计表），学具（男生最喜欢的活动统计表，女生最喜欢的活动统计表，复式统计表），PPT课件等。

四、教学过程

（一）课前交流：

师：咱们学校开展了各种各样的课外活动，你们都参加了哪些？

生：跳绳、踢足球等。

师：爱运动的孩子总是最健康，最阳光。

师：为了更加丰富我们的课余生活，学校准备调查一下我们班最喜欢的活动是什么？愿不愿意参与？真是积极的孩子，让我们一起走进今天的数学课堂，准备好了吗？

（二）创设情境，激发兴趣

师：请看大屏幕，学校都准备调查哪些活动？

生：画画、看书、踢足球等

（三）自主探究，构建新知

1.收集数据

师：要想统计一下本班同学最喜欢的活动，你打算用什么方式进行调查呢？

生：预设（举手表决，站立表决，数一数）

师：不错的方法！

师：每人可以选几项？

生：一项

师：是的，为了数据准确，每人只能选择一项。

师：这些活动中，男生和女生最喜欢的活动一样吗？（不一样）不一样能一起统计吗？（不能）是的，我们应该分开统计。

师：今天老师为大家准备了两个单式统计表，我们先来统计男生，谁愿意帮帮老师（注意：两位同学，一位同学主持并数数，向老师这样，喜欢…的有几人？另一位同学记录数据，明白？）注意选择的时候每人限选一种。

2、整理数据

师：数据收集完了，仔细观察：

①男生最喜欢哪项活动？女生呢？

②男生喜欢跳绳的和女生相比，谁多？

③咦？为什么回答第二个问题时，速度比第一个明显变慢了？

生：第二个问题需要看两个表。

师：是的，回答第一个问题我们只需要看其中一张统计表就可以，而第二个问题需要看两张才能比较，麻烦吗？你们有什么好办法？（小组内交流你的想法，开始吧）

3、合并表格。

（1）汇报交流。

①纵向合并（这样比较起来就容易了，再仔细观察这个表格，还需要再修整一下吗？）

②原始的复式统计表，隐藏相同的活动（为什么可以这样合并呢？）

（2）师总结：是的，这两个表格都有相同的活动，所以可以省略一个。（真善于发现）再看这个表格，你还能看出哪一横栏是女生，哪一横栏是男生吗？（如果一开始就给你这样的一个表格，你能分辨出来吗？）那怎么办？

生：如果标清哪个是男生哪个是女生就好了。

师：标在哪里合适呢？（请人上台试着指一指，这样可以吗？）剩下的这一栏就是？（女生）

（3）出示新的统计表，区分性别

师：通过我们的优化，老师又做了一张合并后的新统计表，对照这张统计表观察，第二横栏表示什么？

生：男生人数

师：第三横栏就是？（女生人数）

（4）认识“表头”

师：左上角的空白格我们将它分成了几部分？（三部分）其实，这是这个统计表的表头，它就相当于对整个统计表的内容进行了概括，分别代表横栏内容，竖栏内容和表中数据，横栏我们可以把它统称为（“活动”）应该写到哪里？（写在最靠近横栏的的位置）

我们新的统计表基本完成了，只剩下数据没填写，请快速的在作业纸上补充完整，一位同学板书。

真了不起，我们共同完成了一张完整的统计表，掌声送给自己！

4、对比表格，揭示课题

（1）回顾一下刚刚我们的三个表格，前两个表格和第三个表格各有哪些特点？（学生同桌间互相说一说，汇报交流。）

小结：前两个统计表只统计出了一组数据，只能单纯的表示出男生或女生喜欢的活动，这样的统计表叫“单式统计表”，而最后一个统计表统计了两组数据，不仅能表示男女生喜欢的活动各有几人，还能方便的进行比较，这样的统计表叫做“复式统计表”。

（2）观察表格，回答问题

师：关于复式统计表，都学会了吗？敢不敢接受挑战？（课件出示）

这张表包含哪几项内容？根据上表回答下面的问题。

①男生最喜欢哪种活动的人最多？女生呢？

②参加调查的一共有多少人？

③你对调查的结果有什么看法和建议？

（四）巩固运用，拓展提升

下面想不想和老师一起体验一下复式统计表在现实生活中的应用？（请看）

课件出示教材第38页练习八第1、2、4题。

1、

问题1：统计表包含哪几项内容？

问题2：观察统计表中三届奥运会情况，判断下面说法是否正确。

（1）中国获得的金牌一届比一届多。

（2）第28届奥运会俄罗斯获得的金牌最少。

（3）每届都是美国获得的金牌最多。

2.下面是育人小学三（1）班学生的体育成绩记录单。

请把这些数据整理在下表中。

3.调查本班同学爸爸、妈妈每天工作和做家务的时间。

（五）回顾总结，积累经验

1．回顾课堂，畅谈收获

这节课你们都学会了哪些知识？

（六）布置作业

教材37页做一做

五、板书设计

复式统计表

六、教学反思