高二数学教学设计与反思必修5余弦定理

第一篇：高二数学教学设计与反思必修5余弦定理

愚者用肉体监视心灵，智者用心灵监视肉体。

高二数学教学设计与反思必修5余弦定理

一、教学内容与内容解析：

人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修

（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》

通过利用向量的数量积方法推导余弦定理 正确理解其结构特征和表现形式

解决“边、角、边”和“边、边、边”问题 初步体会余弦定理解决“边、边、角” 体会方程思想 激发学生探究数学 应用数学的潜能

二、教学目标与目标解析：

掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法

并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；利用向量的数量积推出余弦定理及其推论 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系 来理解事物之间的普遍联系与辩证统一

三、教学问题诊断分析：

余弦定理是关于三角形的边角关系的结论 利用向量数量积推导余弦定理是教学中的一个难点 学生不容易想到和理解起来困难因此 应注意加强前后知识的联系

重视与内容密切相关的数学思想方法的教学

并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导 总体上学生应用数学知识的意识不强 创造力较弱

看待与分析问题不深入 知识的系统性不完善

使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度 在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时

能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质 应用方程的思想去审视

解决问题是学生学习的一大难点

四、教学支持条件分析：

“余弦定理”是人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修

（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课

是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一 也是初中“勾股定理”内容的直接延拓

它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用

是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具 因此具有广泛的应用价值

本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课 其主要任务是引入并证明余弦定理 在课型上属于“定理教学课” 本课之前

学生已经学习了三角函数、向量基 用向量方法探求余弦定理 学生已有一定的学习基础和学习兴趣 做好“余弦定理”的教学 不仅能复习巩固旧知识 使学生掌握新的有用的知识 体会联系、发展等辩证观点

而且能培养学生的应用意识和实践操作能力 以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力

五、教学过程设计： 教 学 过 程

Ⅰ课题导入

如图1．1-4 在ABC中 设BC=a AC=b AB=c 已知a b和C 求边c C b a

A c B

(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课 [探索研究]

联系已经学过知识和方法 可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求 发现因A、B均未知 所以较难求边c 由于涉及边长问题

从而可以考虑用向量来研究这个问题

A

C B(图1．1-5)如图1．1-5 设

那么

则

从而 同理可证

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 即

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量 可以求出第四个量 能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理 又可得到以下推论： ；；

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系 如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中 C= 则 这时

由此可知余弦定理是勾股定理推广 勾股定理是余弦定理特例

[例题分析] 例1．在ABC中 已知

求b及A ⑴解：∵

=cos

==∴ 求可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理： ⑵解法一： cos ∴

解法二：∵sin 又∵＞＜ ∴＜ 即＜＜∴

评述：解法二应注意确定A的取值范围

例2．在ABC中 已知

解三角形（见课本第8页例4 可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得：

cos ；

cos ；

Ⅲ.课堂练习：第8页练习第1（1）、2（1）题

[补充练习]在ABC中 若 求角A

Ⅳ.课时小结

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律 勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角 求第三边

课后反思

附表：（板书设计）

六、目标检测设计：

正弦定理是否能解决已知两边和夹角求其它边角的问题吗？ 预测结果: 不能

因为任一等号两边都有两个未知量

所以正弦定理不能解决已知两边和夹角求其它第三边的问题

七、反思预期效果：

1.本课从解三角形的问题出发 提出解题需要 引发认知冲突

激起学生的求知欲望

调动了学生的学习积极性；2.在定理证明的教学中

引导学生从平面几何、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论 引导学生用向量知识推导出公式 之后又对知识进行了归纳比较 发现特征 便于学生识记

同时指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形 提高了学生的思维层次

但是由于学生对向量知识的遗忘 所以在推导余弦定理时

学生理解起来相对比较困难；3.教学目标能基本完成 学生能做到独立完成课后习题 但在公式的应用上还欠缺灵活性 涉及的三角函数求值还需加强

第二篇：《余弦定理》教学反思

本节课是高中数学教材北师大版必修5第二章《解三角形》余弦定理的第一课时内容，《课程标准》和教材把解三角形这部分内容安排在必修5，位置相对靠后，在此前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使得这部分知识的处理有了比较多的工具，某些内容处理的更加简洁。学数学的最终目的是应用数学，可是比较突出的是，学生应用数学的意识不强，创造能力弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的知识应用到实际问题中去，尽管对一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的思维方法了解不够，针对这些情况，教学中要重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。

余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边角有机的结合起来，实现了边与角的互化，从而使三角和几何有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据。

教科书直接从三角形三边的向量出发，将向量等式转化为数量关系，得到余弦定理，言简意赅，简洁明快，但给人感觉似乎跳跃较大，不够自然，因此在创设问题情境中加了一个铺垫，即让学生想用向量方法证明勾股定理，再由特殊到一般，将直角三角形推广为任意三角形，余弦定理水到渠成，并与勾股定理统一起来，这一尝试是想回答：一个结论源自何处，是怎样想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加减法运算，其实向量的加减法的三角法则和平行四四边形法则从形上揭示了三角形的边角关系，而正弦定理与余弦定理是从数量关系上揭示了三角形的边角关系，向量的数量积则打通了三角形边角的数形联系，因此用向量方法证明正、余弦定理比较简洁，在证明余弦定理时，让学生自主探究，寻找新的证法，拓展思维，打通余弦定理与正弦定理、向量、解析几何、平面几何的联系，在比较各种证法后体会到向量证法的优美简洁，使知识交融、方法熟练、能力提升。

数学教学的主要目标是激发学生的潜能，教会学生思考，让学生变得聪明，学会数学的发现问题，具有创新品质，具备数学文化素养是题中之义，想一想，成人工作以后，有多少人会再用到余弦定理，但围绕余弦定理学生学到的发现方法、思维方式、探究创造与数学精神则会受用不尽。数学教学活动首先应围绕培养学生兴趣、激发原动力，让学生想学数学这门课，同时指导学生掌握数学学习的一般方法，具备终身学习的基础。教师要不断提出好的数学问题，还要教会学生提出问题，培养学生发现问题的意识和方法，并逐步将发现问题的意识变成直觉和习惯，在本节课中，通过余弦定理的发现过程，培养学生观察、类比、发现、推理的能力，学生在教师引导下，自主思考、探究、小组合作相互交流启发、思维碰撞，寻找不同的证明方法，既培养了学生学习数学的兴趣，同时掌握了学习概念、定理的基本方法，增强了学生的问题意识。其次，掌握正确的学习方法，没有正确的学习方法，兴趣不可能持久，概念、定理、公式、法则的学习方法是学习数学的主要方法，学习的过程就是知其然，知其所以然、举一反三的过程，学习余弦定理的过程正是指导学生掌握学习数学的良好学习方法的范例，引导学生发现余弦定理的来龙去脉，掌握余弦定理证明方法，理解余弦定理与其他知识的密切联系，应用余弦定理解决其他问题。在余弦定理教学中，寻求一题多解，探究证明余弦定理的多种方法，指导一题多变，改变余弦定理的形式，如已知两边夹角求第三边的公式、已知三边求角的余弦值的公式，启发学生一题多想，引导学生思考余弦定理与正弦定理的联系，与勾股定理的联系、与向量的联系、与三角知识的联系以及与其他知识方法的联系，通过不断改变方法、改变形式、改变思维方式，夯实了数学基础，打通了知识联系，掌握了数学的基本方法，丰富了数学基本活动经验，激发了数学创造思维和潜能。

教学中也会有很多遗憾，有许多的漏洞，在创设情境，引导学生发现推导方法、鼓励学生质疑提问、猜想等方面有很多遗憾，比如：如何引入向量，解释的不够。最后，希望各位同仁批评指正。

第三篇：余弦定理教学设计

教学设计

一、内容及其解析

1.内容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，则这两个三角形全等”。同时学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。

二、目标及其解析

目标：

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。解析：

1、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同 方法，从而培养学生的发散思维。

2、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。

三、教学问题诊断分析

1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：

①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。

2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而

本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。

3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。

四、教学支持条件分析

为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。

五、教学过程

（一）教学基本流程

教学过程：

一、创设情境，引入课题

问题1：在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2。【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

学生1：在△ABC中，如图4，过C作CD⊥AB，垂足为D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2ADBD

= ab2abcos1cos22absin1sin2=ab2abcos(12)ab2abcosC

A

D图

4学生2：如图5，过A作AD⊥BC，垂足为D。

A

图

5则：cADBD

2bCD(aCD)ab2aCDab2abcosC

学生3：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。

师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。

教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？

【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。

学生4：如图6，记ABc,CBa,CAb则cABCBCAab2

2（c）（ab）

22

ab2ab222

即cab2abcosCcab2abcosC

A

图6

【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。

学生7：如图7，建立直角坐标系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），则 cAB

(acosCb)(asinC)

ab2abcosC

【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空

间的深度和广度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2bc2bccosA,bac2accosB,cab2abcosC

余弦定理推论： cosA

bca

2bc，cosB

acb

2ac

222，cosC

abc

2ab

222

解决类型：（1）已知三角形的三边，可求出三角；

（2）已知三角形的任意两边与两边的夹角，可求出另外一边和两角。

三、例题

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。

四、目标检测

1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形有（）

A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小结

本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。

【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以

兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。

学案

1．2 余弦定理

班级学号

一、学习目标

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

二、例题与问题

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目标检测

1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形有（）

A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作业

一、基础题(A组)

1.在△ABC中，若acosAbcosB，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC3:2:4，那么cosC（）

A.4B.3C.

D.

3.在△ABC中，已知a2，b3，C=120°，则sinA的值为（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a5，则此三角形的最大边长为。5.△ABC中，如果a6，b63，A=30°，边c。

二、巩固题(B组)

6.在△ABC中，化简bcosCccosB（）

bc

ac

ab

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三边长分别为a、b、aabb，则三角形的最大内角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x7x60的根，则另一边长为（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则∠B的大小是。

三、提高题(C组

tanB

2acc

10.在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且tanCabc，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2ac

11.在△ABC中，a,b,c分别是A、B、C的对边，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b

，ac4，求a的值；

第四篇：余弦定理教学设计

1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）

余弦定理

一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章 第二节

二、设计思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。

3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。

4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问

找到解决问题的方法。

三、教学目标：

1、知识与技能：

理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题

2．过程与方法：

通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。

3．情感、态度与价值观：

探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。

四、教学重点：

通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。

五、教学难点：余弦定理的灵活应用

六、教学流程：

(一)创设情境，课题导入：

1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）

2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？

设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出课题：余弦定理

（二）设置问题，知识探究

1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理

2、①考虑用向量的数量积：如图 A

C

设CBa,CAb,ABc,那么，cab222ccc(ab)(ab)ab2abcosCB 即cab222ab2abcosC,引导学生证明22222

bc2bccosAca2cacosB2②还 引导学生运用此法来进行证明

3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的（可以让学生自己总结，教师补充完整）

（三）典型例题剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教师分析、点拨并板书证明过程

总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？

设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。

师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。

引入余弦定理的推论：cosA=cosB=acb2ac222bca2bc2222 , , cosC=

abc2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。

（2）、若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2

若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2

若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2

62,求A、B、C例2:已知在ABC中,a23,b22,c

先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。

总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:让学生板练，师生共同评判

3、三角形形状的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

（教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）

求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

让学生板练，发现问题进行纠正。

（四）课堂检测反馈：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,则△ABC的最大角的度数为（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,则A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形

（五）课时小结：

（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）

运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。

（六）课后作业：课本第10页A组3（2）、4（2）；B组第2题

（七）教学反思：

本堂课的设计，立足于所创设的情境，注重提出问题，引导学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受到了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

第五篇：高二数学教学设计与反思的要求

高二数学教学设计与反思的要求

课题：选修1-1第二章 第一节 椭圆的定义及方程（第一课时）教学设计.设计者：王艳坤

思想方法：运用类比方法研究椭圆图形和方程，用实验的方法进行教学，用数形结合方法研究椭圆的性质.教学目标：

1．通过本节课课前及课堂上复习圆的定义和研究方法的类比研究过程，使学生探索、理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程求法.2．能够完成由实验到数学的抽象过程，复习和巩固求曲线轨迹方程的基本方法.3．能够理解数形结合的基本思想，理解椭圆轨迹和方程之间的关系，进一步提高学生解析能力.教学重点：

1．椭圆的定义和椭圆的标准方程的求法.2．数形结合的基本思想，理解解析法，椭圆曲线和方程之间的相互关系.教学难点：

1．数形结合的基本思想.2．建立适当的坐标系，求椭圆标准方程.教学关键：创设直观情境，运用好类比思想以及数学结合思想.教学方式：体验式探索.教学手段：实验，多媒体演示.学生特点：本节课的教学对象为普通高中文科学生，数学基础很弱.教学过程 1．创设情境

实验：把一个小重物系在绳子的一端，然后握住绳子的另一端，把重物旋转起来，观察重物运行到轨迹.学生完成：讨论结果、进行总结.在平面内，动点所形成到轨迹是一个圆.在空间内，动点所形成的轨迹是一个球.2．复习数学思想

圆是平面几何图形，在欧式几何中已有系统的研究，人们在已知定点（即圆心），定长（即半径）条件下，研究了周长和半径的关系由此得到了圆周率，还有面积、体积和其它的许多性质。想一想，在圆的轨迹形成的过程中，满足什么样的条件才能形成圆？

学生回答：到圆心距离等于半径.复习总结圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.老师在黑板上按照条件做出圆的轨迹来，接下来，让同学把刚才的实验转移到练习本上，在练习本地画出由条件“到定点的距离等与定长的点”限制下的图形——圆，让学生慢慢地体会概念的由来，对概念有更深刻印象.怎样更加精确研究这个动点呢？因为需要精确的原因，就需要数据的支持，怎么样用数来表示图形呢？这个转化可是数学史上一个非常重要的思想——数学结合思想.在直角坐标系下，把动点Ｐ引入二元数x，ｙ来限定表述Ｐ(x，y)，显然我们可以用x，ｙ二元数来分析这个图形上的每一个点.这样我们就需要建立直角坐标系，建立直角坐标系后，任意的动点Ｐ就有了坐标（x，y），动点不论在任何位置都可以用点的坐标表示出来.从上面一系列的分析来看，在直角坐标系下，图形要经过点的坐标转化变成用两个变数x，y表示的式子（即方程）；反过来方程的数量关系，完全可以反映图形的一切性质上，这就是数与形的结合，又称为数形结合的数学思想.把圆的定义满足的几何条件OP=r转换成代数方程，得x2y2r，化简得圆心在原点的圆的标准方程：x2+y2= r2。

数转化OP=r代数转化圆心在原点的圆形x2+y2= r2

数形转化代数转化圆心在原点的圆OP=rx2+y2= r2

x2y2r代数转化

代数转化x2y2r

当把圆图形不变圆心平移至C（a，b）时，我们可以用两种方法来求圆的方程，一种是：把几何条件PC=r直译成代数方程(xa)2(yb)2r，化简方程得（x-a）2+（y-b）2= r2；另一种方法是：由方程x2+y2= r2按向量（a，b）进行平移，同样可以得到圆的方程（x-a）2+（y-b）2= r2.（一题多解是转化的载体）

数形转化（x-a）2+（y-b）2= r2 x2+y2= r2平移转化（x-a）2+（y-b）2= r2 x2+y2= r2下面我们要就利用数形结合的数学思想来研究其它曲线的性质，这一节课我们类比圆的研究方法来研究椭圆的方程和性质.（数学思想的教学，由实验抽象出数学形式，定性研究）

3．新课类比学习椭圆定义

在学习圆锥曲线的时候，我们首先学习的是椭圆的方程和几何性质，那么我们类比圆的定义和性质来研究，首先来做一个实验.实验过程由老师与学生的共同参与活动：在上面实验研究的基础上，启发学生开放思想，大胆把条件进行变换，如果把一个定点分离成两个定点，会变成怎样一种情形？问题就变成“到这两个定点的距离和等与定长的点的轨迹”是什么？让学生自己也动手来做一做实验，找一找动点的位置，说一说动点的轨迹是什么图形.经过探索这个点运动的轨迹，得到初步的印象，有了一定的实验结果，再由老师和学生共同梳理不同的实验结果下的结论，然后老师再把实验转移到黑板上，和同学们共同完成对动点轨迹的探寻。根据条件由两个定点和定长的线段共同限制下画出椭圆的图形，再由这些实验带来的信息，共同协商确定椭圆的定义.板演画图过程：首先出示一条确定长度的短绳，充分展示是短绳的长度是确定的，也称之为定长.在黑板上取两个定点，注意到定点的取法有三种，我们分三种情况进行讨论，第一种情况，绳长大于两个定点之间的距离；第二种情况，绳长等于两个定点之间的距离；第三种情况，绳长小于两个定点之间的距离.第一种情况，两个定点的距离小于绳子的长度，把绳的两个端点分别放在两个定点上，拉直在绳子改变形状，绳子的长度不会该变，使点在移动的过程中始终保持到两个定点的距离和不变，下面我们在黑板所在的平面内找动点的位置以及运动形成的轨迹.哪个同学对这个问题很感兴趣？愿意帮助老师找到满足条件的点呢？好！让学生们进行探讨，然后请愿意表现的同学到黑板前面来，找出这些动点，用这些动点连接成一条曲线，观察这个图形，我们创造的这个图形为椭圆.接下来第二种情况，再取绳长等于两个定点之间的距离，找几个学生到黑板上画这样的动点，使动点到两个定点的距离和等于绳长，经过试验、寻点、思考后学生认为这些动点构成了一条以两个定点为端点的一条线段，即动点的轨迹是以定点为线段端点的一条线段.第三种情况，绳长小于两个定点之间的距离时，找不到满足条件的点，画不出图形.在这三种情形中，有两种情形动点的轨迹是图形，其中一个是椭圆，另一个是线段，第三种情况不表示任何图形.在这些感性的认识基础上，我们进行归纳、总结，得出准确可靠的结论，给出椭圆的严密定义：

平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆。F1，F2叫做椭圆的焦点；F1F2叫做椭圆的焦距.接下来我们在焦点不变的情况下，把定长变大或变小，再由同学亲自动手画一些其他的椭圆，以加深对椭圆的感性认识。学生实际操作的过程热情很高，气氛非常好，听讲时，精力非常集中，紧紧盯着黑板，这说明教学效果很好.有了画图形的实际操作经验，再让学生认真回味刚才画图的过程，从感性上体会椭圆、从理性上领悟椭圆的定义以及定长的变化对图形形状的影响，学生会从我们实验的条件变更当中得出新结论，总结出：当定点距离不变时，定长越长时，图形越接近于圆形，椭圆越鼓；定长越短时，图形越接近于一条直线，椭圆越扁平。条件再度变更：在定长不变，改变两个焦点的位置的情况下再来画一组椭圆，体会条件变化对图形的影响.黑板上这样一个几何图形，是一条曲线围成的封闭图形，是我们不太熟悉的椭圆，在我们生活当中是比较常见的，当我们拿手电筒去照射垂直于光线的一个平面的时候，我们发现光斑所形成的是一个圆，当我们把平面变动或者是把手电筒移动使光线与平面呈一定角度时，所形成到光斑就是一个椭圆；在自然界一些天体的运行轨迹也是椭圆。由此可见，对椭圆的研究是源于人们对自然界的探索.4．运用数形结合求椭圆的方程

接下来我们要精确地研究椭圆的性质，再引导学生来思考怎样来研究这样一个新的图形的性质：我们如果要精确地得到它的各种性质，当然是离不开数的精确描述.联想天体的运动轨迹是椭圆，再联想到科学家的对天体研究以及轨道预测和精确定位，这些都离不开一种精确的计算方法，这就是对“数”的计算，而我们得到的椭圆图形，图形和数是否有联系呢？当然有，类比圆的研究方法，建立直角坐标系，用数与形结合思想的最好范例——解析法来研究几何图形，也就是把动点用数来表示，满足的几何条件转化为方程表示.好，这样我们就把数和形又一次地联系起来.通过上面到方法我们知道，首先要建立直角坐标系，在建立直角坐标系时，我们按照使数据尽量小，使方程尽量简单的原则，把两个坐标轴分别建立在椭圆到对称轴上.设两个焦点之间距离是2c，定长为2a，然后，设椭圆上任意一点P的坐标（x，y），把P（x，y）到两个定点F1(-c，0)，F2（c，0）的距离和等于定长2a的几何条件转化成代数方程，使图形与方程之间建立联系，我们就可以从方程的形式上，来研究得到椭圆的一些相应的性质.推导椭圆标准方程

推导方程：（以下方程推导过程由学生完成）

①建系：以F1和F2所在直线为x轴，线段F1 F2的中点为原点建立直角坐标系；

②设点：设M（x，y）是椭圆上任意一点，设F1F2=2c，则F1（-c，0），F2（c，0）；

③列式：由PF1+PF2=2a得

2xc2y2xc2y222a；

④化简：移项平方后得xcy2xcy24a24a整理得，a2cxaxc2y2，xc2y2，两边平方后整理得，a2c2x2a2y2a2a2c2，由椭圆的定义知，2a＞2c，即a＞c，∴a2＞c2令a2c2b2，其中b＞0，代入上式，得b2x2a2y2a2b2，x2y2两边同时除以ab，得：221（a＞b＞0）.ab22x2y2从上述推导过程可知，这个椭圆是所有以方程221（a＞b＞0）的解

ab为坐标的点组成的.这就是说，如果M（x0，y0）是椭圆上的点，那么（x0，x2y2y0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x0，y0）是方程221（a＞b

ab＞0）的解，那么以它为坐标的点一定在这个椭圆上，这样，我们就说方程x2y21（a＞b＞0）是这个椭圆的方程.a2b2这个方程叫做椭圆的标准方程，它的坐标轴为对称轴，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中b2＝ a2－c2.根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简.即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了.5．练习： 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2 即|PA|2，求动点P的轨迹方程？ |PB|解：∵PA(x3)2y2,|PB|(x3)2y2，(x3)2y2|PA|2(x3)2y24(x3)24y2，代入2 得|PB|(x3)2y2化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.6．小结：

这节课我们利用了重要的数学思想方法——数学结合，研究了椭圆的定义及其标准方程，主要学习了这几个方面的问题：

（1）椭圆的定义；（2）椭圆的标准方程推导；

（3）通过这一节课的学习掌握解析几何的基本思想和研究方法。7．作业：

（1）P42，练习A第1，2，3，4题.（2）预习第二节椭圆标准方程

8．反思预期效果（目标能否实现，提问、活动的针对性、有效性，预期效果等）

利用了重要的数学思想方法——数学结合，研究了椭圆的定义及其标准方程，同时也有动手动脑的实践活动，教学预期效果较好，课堂气氛很活跃，学生也愿意到前面参加演示活动，也自己动手动脑想了一些画图方法，学生学习兴趣很高，在思考怎样画图时也对原理进行了探究，教学目标顺利实现。