高中数学知识点总结-第七章直线和圆的方程

第一篇：高中数学知识点总结-第七章直线和圆的方程

高中数学第七章-直线和圆的方程

考试内容：

直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求：

（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．

（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．

（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．

§07.直线和圆的方程

知识要点

一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0180(0).注：①当90或x2x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a0,b0)时，直线方程是：注：若yyxy1.ab22x2是一直线的方程，则这条直线的方程是yx2，但若332x2(x0)则不是这条线.3附：直线系：对于直线的斜截式方程ykxb，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：

l1∥l2k1k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分条件，且C1C2）推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为1,2则l1∥l212.⑵两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2k1k21这里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要条件）

4.直线的交角：

⑴直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，它的范围是(0,)，当90时tank2k1.1k1k2⑵两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四

个角中最小的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是0,2，当90，则有

tank2k1.1k1k2l1:A1xB1yC10的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(l:AxByC022225.过两直线为参数，A2xB2yC20不包括在内）

6.点到直线的距离：

⑴点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:AxByC0,P到l的距离为d，则有dAx0By0CAB22.注：

1.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|x2y2 2.定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP,其中12所成的比为即PP1PP2x1x2yy2 ,y111特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3.直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 x4.过两点Pk1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：当x1y2y1.x2x1(x1x2)

x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率 王新敞

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它们之间的距离为d，则有dC1C2AB22.注；直线系方程

1.与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(m∊R, C≠m).2.与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(m∊R)3.过定点（x1,y1）的直线系方程是：

A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)4.过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λ∊R）注：该直线系不含l2.7.关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线（yxb）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.二、圆的方程.1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)0的实数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)0的解；反过来，满足方程f(x,y)0的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2.注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(xa)2(yb)2b[rb,圆心(a,b)或(a,b)] ②与y轴相切的圆方程(xa)2(yb)2a2

[ra,圆心(a,b)或(a,b)] ③与x轴y轴都相切的圆方程(xa)2(ya)2a2

[ra,圆心(a,a)] 3.圆的一般方程：x2y2DxEyF0.DE当DE4F0时，方程表示一个圆，其中圆心C,，半径r2222D2E24F.2当D2E24F0时，方程表示一个点DE,.22当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）.xarcos注：①圆的参数方程：（为参数）.ybrsin②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且D2E24AF0.③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上（x0a)2(y0b)2r2 ③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2 5.直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)；

直线l：AxByC0(A2B20)；

圆心C(a,b)到直线l的距离d①dr时，l与C相切；

22xyD1xE1yF10附：若两圆相切，则相减为公切线方程.22xyD2xE2yF20AaBbCAB22.②dr时，l与C相交；

C1: x2y2D1xE1yF10附：公共弦方程：设C2:x2y2D2xE2yF20

有两个交点，则其公共弦方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.③dr时，l与C相离.22xyD1xE1yF10附：若两圆相离，则相减为圆心O1O2的连线的中与线方程.22xyD2xE2yF20(xa)2(yb)2r2 由代数特征判断：方程组用代入法，得关于x（或y）的一元二次方

AxBxC0程，其判别式为，则：

0l与C相切； 0l与C相交； 0l与C相离.注：若两圆为同心圆则x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20相减，不表示直线.6.圆的切线方程：圆x2y2r2的斜率为k的切线方程是ykx1k2r过圆x2y2DxEyF0

上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0xy0yDxx0yy0EF0.22①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2.特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，联立求出k切线方程.B②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则RR21ACD(a,b)7.求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.已知O的方程x2y2DxEyF0…① 又以ABCD为圆为方程为(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2…②

(xAa)2(yAb)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.R42

三、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： 1）曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。2.求曲线方程的方法：.1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;

2）参数法;

3）定义法，4）待定系数法.

第二篇：高中数学 《圆与方程》教案

圆的一般方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(二)能力训练点

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

二、教材分析

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．

(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)

三、活动设计

讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．

四、教学过程(一)复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

(二)圆的一般方程的定义

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．

2．圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有

解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0． 例2小结：

1．用待定系数法求圆的方程的步骤：

(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例： 例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

(0，2)．

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为

故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． 这时，教师指出：

(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．

(2)此题也可以用圆系方程来解： 设所求圆的方程为：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圆心在直线l上得λ=-2．

将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念． 的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线． 此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：

(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；

(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结

1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

第三篇：直线方程教案

Ⅰ.课题导入

［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式.点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）适用于斜率存在的直线.斜截式的基本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；

两点式的基本形式：直线；

截距式的基本形式：

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1（a，b≠0）适用于横纵截距都存在且不为0的直线.ab在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。

那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程.那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板书）Ax＋By＋C＝0 我们现在来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比如说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比如说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些不足。在使用的过程中有些局限性。比如说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线.那么我们现在想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进行讨论。

1.直线和二元一次方程的关系

（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成Ax＋By＋C＝0的形式，刚才大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=k B=-1 C=b。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚才我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，现在我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都能够表示直线。

（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0和B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－

ACx和表BBC.A也就是说Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为零）大家想想如果AB都等于零这个直线方程就没了。现在我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线.根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。

定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程。我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比如说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比如说A=0表示什么样一条直线？y=-平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。如果要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？如果旦旦是c等于零，通过原点的直线。假如AB都不等于零它的斜率我们怎么看出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的了解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。

［例1］已知直线经过点A(6，－４），斜率为－

4，求直线的点斜式和一般式方程.3分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.解：经过点A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直线方程的点斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同学们在以后解题时，可能求直线方程的时候，求出不一定是一般式，可能是点斜式、两点式等等，如题目没有特殊要求我们都要把各种形式化成一般式。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.

第四篇：最新高中数学圆的方程（含圆系）典型题型归纳总结总复习

高中数学圆的方程典型题型归纳总结

类型一：巧用圆系求圆的过程

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：

⑴以为圆心的同心圆系方程

⑵过直线与圆的交点的圆系方程

⑶过两圆和圆的交点的圆系方程

此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。

当时，得到两圆公共弦所在直线方程

例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。

分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即

………………….①

依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得

又满足方程①，则

故

例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。

解：圆和的公共弦方程为，即

过直线与圆的交点的圆系方程为，即

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程

例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得

m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①

即，∴直线过定点P（9，－4）

注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0，x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论

类型二：直线与圆的位置关系

例5、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.解析：利用数形结合.答案：－1＜k≤1或k=－

例6

圆上到直线的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．

解法一：圆的圆心为，半径．

设圆心到直线的距离为，则．

如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又．

∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．

∴符合题意的点共有3个．

解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，∴，即，或，也即，或．

设圆的圆心到直线、的距离为、，则，．

∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心到直线的距离为，则．

∴圆到距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．

类型三：圆中的最值问题

例7：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.例8(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．

(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．

分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．

解：(1)(法1)由圆的标准方程．

可设圆的参数方程为（是参数）．

则

（其中）．

所以，．

(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．

所以．

．

所以．．

(2)

(法1)由得圆的参数方程：是参数．

则．令，得，．

所以，．

即的最大值为，最小值为．

此时．

所以的最大值为，最小值为．

(法2)设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值为，最小值为．

令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值为，最小值为．

例9、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．

设圆上任一点

∴，∵恒成立

∴

即恒成立．

∴只须不小于的最大值．

设

∴即．

说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆上的点设为()．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．

第五篇：高一数学必修2直线与方程知识点总结

导语：聪明出于勤奋，天才在于积累。我们要振作精神，下苦功学习。下面由小编为您整理出的高一数学必修2直线与方程知识点总结的相关内容，一起来看看吧。

（一）高一数学必修2直线与方程知识点总结

一、直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当 时，;当 时，;当 时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90

(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程

①点斜式： 直线斜率k，且过点

注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：()直线两点，④截矩式：

其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、轴的截距分别为。

⑤一般式：(A，B不全为0)

注意：各式的适用范围 特殊的方程如：

平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);

(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系

平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

(二)垂直直线系

垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

(三)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;

(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为

(为参数)，其中直线 不在直线系中。

(6)两直线平行与垂直

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

(7)两条直线的交点

相交

交点坐标即方程组 的一组解。

方程组无解;方程组有无数解 与 重合(8)两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，则

(9)点到直线距离公式：一点 到直线 的距离

(10)两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

（二）高一数学必修二知识点总结

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

两个平面的位置关系：

(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

(2)两个平面的位置关系：

两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交

二面角

(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°]

(3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为⊥

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的的性质：

(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

(3)多个特殊的直角三角形

esp：

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。