数值分析第二次作业
学院：电子工程学院
基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程组
求解系数矩阵由16阶Hilbert方程组构成的线性方程组的解，其中右端项为[2877/851,3491/1431,816/409,2035/1187,2155/1423,538/395,1587/1279,573/502,947/895,1669/1691,1589/1717,414/475,337/409,905/1158,1272/1711,173/244].要求：1）Gauss_Sedel迭代法；
2）最速下降法；
3）共轭梯度法；
4）将结果进行分析对比。
解：根据题目要求，编写了对应算法的matlab程序，求解结果如下：（求解精度为10e-4，最大迭代次数1000）
1、方程的解：如下图1所示
图1
三种方法求解的结果对比
图2
Gause_Sedel算法收敛特性
图3
最速下降法收敛特性
图3
共轭梯度法收敛特性
从图中可以看到，在相同的最大迭代次数和预设求解精度条件下，共轭梯度算法仅需要4次迭代便可求出方程组的解，耗时0.000454秒，而且求出解的精度最高；Gauss_Sedel方法需要465次迭代，耗时0.006779秒，求解精度最差；最速下降法需要398次迭代，耗时0.007595秒，求解精度与共轭梯度算法差不多，因此两者求出的解也几乎相同。从中可以得出结论，共轭梯度算法无论从求解精度还是求解速度上都优于其他两种，最速下降法在求解精度上几乎与共轭梯度算法持平，但求解速度更慢。Gauss_Sedel方法在求解精度和速度两方面都最差。
具体的解为:
Gauss_Sedel迭代法:
(共需465次迭代，求解精度达到9.97e-5)
X=[0.***
1.01431732497804
1.05286123930011
0.***
0.93***38
0.***
1.00661848511341
1.03799789809258
1.05***4
1.062***
1.04857676431223
1.02856199041113
1.01999170162638
0.97***15
0.***
0.***].最速下降法:
(共需398次迭代，求解精度达到9.94e-5)
X=[0.***
1.0***00
0.***
0.***
0.***
1.00378022225329
1.0***78
1.01928337905816
1.02085909665194
1.01930314197028
1.01444777381651
1.00704058989297
0.***
0.***
0.***
0.***].共轭梯度法:
(共需4次迭代，求解精度达到3.98e-5)
X=[
0.***
1.02707840189049
0.***
0.***
0.986***7
1.00128902564234
1.0***14
1.02047386502293
1.02300905060565
1.02163015083975
1.01678089454399
1.00920310863874
0.***
0.***
0.***
0.***].Matlab程序
主程序:
clc;clear;
%%
本程序用于计算第二次数值分析作业，关于希尔伯特矩阵方程的解，用三种方法，分析并比较，也可推广至任意n维的矩阵方程
%%
A=hilb(16);
%生成希尔伯特系数矩阵
b=[2877/851;3491/1431;816/409;2035/1187;2155/1423;538/395;1587/1279;573/502;947/895;1669/1691;1589/1717;414/475;337/409;905/1158;1272/1711;173/244];
%右端向量
M=1000;
%最大迭代次数
err=1.0e-4;
%求解精度
[x,n,xx,cc,jingdu]=yakebi_diedai(A,b,err,M);
%
雅克比算法求解
tic;
[x1,n1,xx1,cc1,jingdu1]=gauss_seidel(A,b,err,M);
%
gauss_seidel算法求解
toc;
tic;
[x2,n2,xx2,jingdu2]=zuisuxiajiangfa(A,b,err,M);
%
最速下降法求解
toc;
tic;
[x3,flag,jingdu3,n3]=bicg(A,b,err);
%
matlab内置双共轭梯度算法求解
toc;
tic;
[x4,xx4,n4,jingdu4]=con_grad(A,b,err,M);
%
教材共轭梯度算法求解
toc;
%%
计算相应结果，用于作图
%%
num=[1:16]＇;
jie=[num,x1,x2,x4];
%
三者的解对比
%
三者的收敛情况对比
num1=[1:n1]＇;
fit1=[num1,jingdu1＇];
num2=[1:n2]＇;
fit2=[num2,jingdu2＇];
num4=[1:n4]＇;
fit4=[num4,jingdu4＇];
子函数1(Gause_Sedel算法):
function
[x,n,xx,cc,jingdu]
=
gauss_seidel(A,b,err,M)
%
利用迭代方法求解矩阵方程
这里是高斯赛尔得迭代方法
%
A
为系数矩阵
b
为右端向量
err为精度大小
返回求解所得向量x及迭代次数
%
M
为最大迭代次数
cc
迭代矩阵普半径
jingdu
求解过程的精度
n
所需迭代次数
xx
存储求解过程中每次迭代产生的解
for
ii=1:length(b)
if
A(ii,ii)==0
x=＇error＇;
break;
end
end
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
B=(D-L)＼U;
cc=vrho(B);
%迭代矩阵普半径
FG=(D-L)＼b;
x0=zeros(length(b),1);
x=B*x0+FG;
k=0;
xx(:,1)=x;
while
norm(A*x-b)>err
x0=x;
x=B*x0+FG;
k=k+1;
xx(:,k+1)=x;
if
k>=M
disp(＇迭代次数太多可能不收敛！＇);
break;
end
n=k;
jingdu(k)=norm(A*x-b);
end
end
子函数2(最速下降算法):
function
[x,n,xx,jingdu]=zuisuxiajiangfa(A,b,eps,M)
%
利用迭代方法求解矩阵方程
这里是最速下降迭代方法
%
A
为系数矩阵
b
为右端向量
err为精度大小
返回求解所得向量x及迭代次数
%
%
M
为最大迭代次数
jingdu
求解过程的精度
n
所需迭代次数
xx
存储求解过程中每次迭代产生的解
x0=zeros(length(b),1);
r0=b-A*x0;
t0=r0＇*r0/(r0＇*A*r0);
x=x0+t0*r0;
r=b-A*x;
xx(:,1)=x;
k=0;
while
norm(r)>eps
r=r;
x=x;
t=r＇*r/(r＇*A*r);
x=x+t*r;
r=b-A*x;
k=k+1;
xx(:,k+1)=x;
if
k>=M
disp(＇迭代次数太多可能不收敛！＇);
break;
end
n=k;
jingdu(k)=norm(r);
end
end
子函31(共轭梯度法):
function
[x,xx,n,jingdu]=con_grad(A,b,eps,M)
%
利用迭代方法求解矩阵方程
这里是共轭梯度迭代方法
%
A
为系数矩阵
b
为右端向量
err为精度大小
返回求解所得向量x及迭代次数
%
M
为最大迭代次数
jingdu
求解过程的精度
n
所需迭代次数
xx
存储求解过程中每次迭代产生的解
x0=zeros(length(b),1);
r0=b-A*x0;
p0=r0;
%
t0=r0＇*r0/(r0＇*A*r0);
%
x=x0+t0*r0;
%
r=b-A*x;
%
xx(:,1)=x;
k=0;
x=x0;
r=r0;
p=p0;
while
norm(r)>eps
x=x;
r=r;
p=p;
afa=r＇*r/(p＇*A*p);
x1=x+afa*p;
r1=r-afa*A*p;
beta=r1＇*r1/(r＇*r);
p1=r1+beta*p;
x=x1;
r=r1;
p=p1;
k=k+1;
xx(:,k)=x;
if
k>=M
disp(＇迭代次数太多可能不收敛！＇);
break;
end
n=k;
jingdu(k)=norm(r);
end
end
点击咨询