销售代理的开发与中断
摘要
销售代理的开发与中断问题是一个非线性的优化问题,即要求公司的开支最小。本文从公司每年分给各个代理的业务量为入题点进行考虑，只要业务量一确定，相应的年运行费用、一次性费用、中断费用、恢复费用等也就可以确定下来，进而可以求得总开支。
问题一：
min，其中，取=0.0001,的值如下表：
年份
代理一
代理二
代理三
代理四
总计
350
0
0
400
350
150
0
0
500
350
250
0
0
600
350
250
0
700
350
250
0
200
800
此时
min(T)=313.5
问题二：
min，当=0.005,的值如下表：
年份
代理一
代理二
代理三
代理四
总计
150
250
0
0
400
250
250
0
0
500
350
250
0
0
600
350
250
0
700
250
250
300
0
800
此时
min(T)=77.5
问题的重述
某公司正在某个城市开发些销售代理业务，经预测已确定了未来5年的业务量，分别为400，500，600，700，800。该公司已初步物色了4家销售公司作为候选企业，下表给出该公司与每个候选企业代理关系的一次性费用，以及每个候选企业每年所能承揽的最大业务量和年运行费用，该公司应与哪些候选企业建立代理关系?
代理一
代理二
代理三
代理四
年最大业务量
350
250
300
200
一次性费用
年运行费用
7.5
4.0
6.5
3.0
若该公司目前已经与上述4个代理建立了关系，并且处于运行状态，但每年初可以临时中断或恢复代理关系，每次临时中断或重新恢复代理关系的费用如下表，该公司应如何对这些代理进行业务调整?
代理一
代理二
代理三
代理四
中断费用
恢复费用
模型假设
1.在一年内只在年初进行业务量分配，中途不能有业务分配、中断、恢复；
2.只要某代理分得有业务量，公司就应支付年运行费用和一次性费用；
符号说明
：
5年里的总开支
：公司第年的业务量，：公司和代理的年最大业务量，：公司和代理建立代理关系的一次性费用，：公司和代理建立代理关系的年运行费用，：公司和代理的中断代理关系费用，：公司和代理的恢复代理关系费用，：公司在第年分给代理的业务量，；
：
公司在第年是否与代理建立代理关系，即公司在第年是否给代理分配业务量(=1，建立；=0，未建立)，；，当>0,则=1；当=0，则=0
：公司在第(-1)年到第年是否与代理有业务中断关系，；
即：
：公司在第(-1)年到第年是否与代理有业务恢复关系，；
即：
模型的分析
从公司每年分给各个代理的业务量为入题点进行考虑，只要业务量一确定，相应的年运行费用、一次性费用、中断费用、恢复费用等也就可以确定下来，进而可以求得总开支。
只要>0,则=1，=0，则=0，因此可以把和的关系表示为：。
就问题一而言，由题意可知：总开支
=总一次性费用+总运行费用，一次性费用为5年内只要公司分给代理的业务量则就应该支付一次性费用；运行费用为只要则就应该支付运行费。用数学符号表示为：，即为总开支的目标函数。约束条件为：。这便是第一问的模型。
问题二增加了中断费用和恢复费用，少了一次性费用,从而可知：总开支=总运行费用+总中断费用+总恢复费用。总运行费用在第一问的分析中可以求得，现在我们来求总中断费用和总恢复费用。
中断费用是代理由运行状态到中断状态而产生的，恢复费用是代理由中断状态到运行状态而产生的。由此定义：为公司在第(-1)年到第年是否与代理有业务中断关系，；；为公司在第(-1)年到第年是否与代理有业务恢复关系，。
显然：，()，于是中断费用和恢复费用便可以求得。目标函数便可表示为：，约束条件也为：。这便是问题二的模型。
模型的建立与求解
问题一求解：
由以上分析可知问题一的模型为：
min
为了便于求解和减少决策变量的个数，将，(为非常小的一个常数)替换目标函数的和，此时决策变量只有，由Lingo10.0编程可求的结果如下表（取=0.0001）：
年份()
代理一
代理二
代理三
代理四
总计
350
0
0
400
350
150
0
0
500
350
250
0
0
600
350
250
0
700
350
250
0
200
800
此时
min(T)=313.5。程序及结果见附录一。
问题二求解：
由分析可知问题二的模型为：
为了便于求解和减少决策变量的个数，将，对目标函数的，进行替换，此时决策变量也只有。由Lingo10.0编程可求的结果如下表（取=0.0001）：
年份()
代理一
代理二
代理三
代理四
总计
150
250
0
0
400
250
250
0
0
500
350
250
0
0
600
350
250
0
700
250
250
300
0
800
此时
min(T)=77.5。程序及结果见附录二。
模型的评价与分析
1.该模型的求解结果虽然为固定值，其实不然，应该说是一个范围。而上面的搜索只是确定选择哪些代理来建立代理关系。如第一问的第一年的业务量分配选择了代理一和代理二，求得结果为。其实只要满足，且总开支也不会变。因此并不是的准确值，而是确定代理的选择。当时表示选择该代理；当时表示不选择该代理，文中的变量就说明了这点。
2.的取值也将会影响具体的求解结果。当很小是在计算机中是一个非常大的数；当在比较大时，在时，=0.5.因此在求解过程中应选择适当的。
附录一:
Model:
Min=100*(x11+x21+x31+x41+x51)/(x11+x21+x31+x41+x51+d)+80*(x12+x22+x32+x42+x52)/(x12+x22+x32+x42+x52+d)+90*(x13+x23+x33+x43+x53)/(x13+x23+x33+x43+x53+d)+70*(x14+x24+x34+x44+x54)/(x14+x24+x34+x44+x54+d)+7.5*(x11/(x11+d)+x21/(x21+d)+x31/(x31+d)+x41/(x41+d)+x51/(x51+d))+4*(x12/(x12+d)+x22/(x22+d)+x32/(x32+d)+x42/(x42+d)+x52/(x52+d))+6.5*(x13/(x13+d)+x23/(x23+d)+x33/(x33+d)+x43/(x43+d)+x53/(x53+d))+3*(x14/(x14+d)+x24/(x24+d)+x34/(x34+d)+x44/(x44+d)+x54/(x54+d));
x11<=350;
x21<=350;
x31<=350;
x41<=350;
x51<=350;
x12<=250;
x22<=250;
x32<=250;
x42<=250;
x52<=250;
x13<=300;
x23<=300;
x33<=300;
x43<=300;
x53<=300;
x14<=200;
x24<=200;
x34<=200;
x44<=200;
x54<=200;
x11+x12+x13+x14>=400;
x21+x22+x23+x24>=500;
x31+x32+x33+x34>=600;
x41+x42+x43+x44>=700;
x51+x52+x53+x54>=800;
d=0.00001;
end
结果:
Local
optimal
solution
found.Objective
value:
313.4999
Total
solver
iterations:
Variable
Value
Reduced
Cost
X11
350.0000
0.000000
X21
350.0000
0.000000
X31
350.0000
0.000000
X41
350.0000
0.000000
X51
350.0000
0.000000
D
0.1000000E-03
0.000000
X12
50.00000
0.000000
X22
150.0000
0.000000
X32
250.0000
0.000000
X42
250.0000
0.000000
X52
250.0000
0.000000
X13
0.000000
965000.0
X23
0.000000
965000.0
X33
0.000000
965000.0
X43
0.000000
965000.0
X53
0.000000
965000.0
X14
0.000000
30000.00
X24
0.000000
30000.00
X34
0.000000
30000.00
X44
100.0000
0.000000
X54
200.0000
0.000000
附录二:
Model:
Min=7.5*(x11/(x11+d)+x21/(x21+d)+x31/(x31+d)+x41/(x41+d)+x51/(x51+d))+4*(x12/(x12+d)+x22/(x22+d)+x32/(x32+d)+x42/(x42+d)+x52/(x52+d))+6.5*(x13/(x13+d)+x23/(x23+d)+x33/(x33+d)+x43/(x43+d)+x53/(x53+d))+3*(x14/(x14+d)+x24/(x24+d)+x34/(x34+d)+x44/(x44+d)+x54/(x54+d))+5*((1-x11/(x11+d)+1)*(1-x11/(x11+d))+(x11/(x11+d)-x21/(x21+d)+1)*(x11/(x11+d)-x21/(x21+d))+(x21/(x21+d)-x31/(x31+d)+1)*(x21/(x21+d)-x31/(x31+d))+(x31/(x31+d)-x41/(x41+d)+1)*(x31/(x31+d)-x41/(x41+d))+(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)+1)*(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)))/2+3*((1-x12/(x12+d)+1)*(1-x12/(x12+d))+(x12/(x12+d)-x22/(x22+d)+1)*(x12/(x12+d)-x22/(x22+d))+(x22/(x22+d)-x32/(x32+d)+1)*(x22/(x22+d)-x32/(x32+d))+(x32/(x32+d)-x42/(x42+d)+1)*(x32/(x32+d)-x42/(x42+d))+(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)+1)*(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)))/2+4*((1-x13/(x13+d)+1)*(1-x13/(x13+d))+(x13/(x13+d)-x23/(x23+d)+1)*(x13/(x13+d)-x23/(x23+d))+(x23/(x23+d)-x33/(x33+d)+1)*(x23/(x23+d)-x33/(x33+d))+(x33/(x33+d)-x43/(x43+d)+1)*(x33/(x33+d)-x43/(x43+d))+(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)+1)*(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)))/2+2*((1-x14/(x14+d)+1)*(1-x14/(x14+d))+(x14/(x14+d)-x24/(x24+d)+1)*(x14/(x14+d)-x24/(x24+d))+(x24/(x24+d)-x34/(x34+d)+1)*(x24/(x24+d)-x34/(x34+d))+(x34/(x34+d)-x44/(x44+d)+1)*(x34/(x34+d)-x44/(x44+d))+(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)+1)*(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)))/2+5*((1-x11/(x11+d)-1)*(1-x11/(x11+d))+(x11/(x11+d)-x21/(x21+d)-1)*(x11/(x11+d)-x21/(x21+d))+(x21/(x21+d)-x31/(x31+d)-1)*(x21/(x21+d)-x31/(x31+d))+(x31/(x31+d)-x41/(x41+d)-1)*(x31/(x31+d)-x41/(x41+d))+(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)-1)*(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)))/2+4*((1-x12/(x12+d)-1)*(1-x12/(x12+d))+(x12/(x12+d)-x22/(x22+d)-1)*(x12/(x12+d)-x22/(x22+d))+(x22/(x22+d)-x32/(x32+d)-1)*(x22/(x22+d)-x32/(x32+d))+(x32/(x32+d)-x42/(x42+d)-1)*(x32/(x32+d)-x42/(x42+d))+(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)-1)*(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)))/2+1*((1-x13/(x13+d)-1)*(1-x13/(x13+d))+(x13/(x13+d)-x23/(x23+d)-1)*(x13/(x13+d)-x23/(x23+d))+(x23/(x23+d)-x33/(x33+d)-1)*(x23/(x23+d)-x33/(x33+d))+(x33/(x33+d)-x43/(x43+d)-1)*(x33/(x33+d)-x43/(x43+d))+(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)-1)*(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)))/2+4*((1-x14/(x14+d)-1)*(1-x14/(x14+d))+(x14/(x14+d)-x24/(x24+d)-1)*(x14/(x14+d)-x24/(x24+d))+(x24/(x24+d)-x34/(x34+d)-1)*(x24/(x24+d)-x34/(x34+d))+(x34/(x34+d)-x44/(x44+d)-1)*(x34/(x34+d)-x44/(x44+d))+(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)-1)*(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)))/2;
x11<=350;
x21<=350;
x31<=350;
x41<=350;
x51<=350;
x12<=250;
x22<=250;
x32<=250;
x42<=250;
x52<=250;
x13<=300;
x23<=300;
x33<=300;
x43<=300;
x53<=300;
x14<=200;
x24<=200;
x34<=200;
x44<=200;
x54<=200;
x11+x12+x13+x14>=400;
x21+x22+x23+x24>=500;
x31+x32+x33+x34>=600;
x41+x42+x43+x44>=700;
x51+x52+x53+x54>=800;
@
gin(x11);@
gin(x21);@
gin(x31);@
gin(x41);@
gin(x51);
@
gin(x12);@
gin(x22);@
gin(x32);@
gin(x42);@
gin(x52);
@
gin(x13);@
gin(x23);@
gin(x33);@
gin(x43);@
gin(x53);
@
gin(x14);@
gin(x24);@
gin(x34);@
gin(x44);@
gin(x54);
d=0.005;
end
结果：
Local
optimal
solution
found.Objective
value:
77.49817
Extended
solver
steps:
Total
solver
iterations:
Variable
Value
Reduced
Cost
X11
150.0000
0.1666452E-05
D
0.5000000E-02
0.000000
X21
250.0000
0.5999821E-06
X31
350.0000
0.3061160E-06
X41
350.0000
0.3061160E-06
X51
250.0000
0.5999714E-06
X12
250.0000
0.3199760E-06
X22
250.0000
0.3199872E-06
X32
250.0000
0.3199872E-06
X42
250.0000
0.3199872E-06
X52
250.0000
0.3599856E-06
X13
0.000000
300.0000
X23
0.000000
1300.000
X33
0.000000
300.0500
X43
100.0000
0.5749217E-05
X53
300.0000
0.2777778E-06
X14
0.000000
-599.2804
X24
0.000000
599.7600
X34
0.000000
600.0000
X44
0.000000
600.0000
X54
0.000000
800.0000
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