“哥德巴赫猜想”讲义(第3讲)[五篇范例]

第一篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第3讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

（哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数，沿着单位圆为路径的环路积分

当且只当整数积分式： 的时候，上面的积分才等于1。因此，如果考虑

其中，那么这个积分式实际上等于：

上式中

因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式以质数为变数的三角多项式

和

中

。哈代和利特尔伍德猜测，当变量接的值会“比较大”，而当的值会“比较小”。近于分母“比较小”的既约分数时，接近于分母“比较大”的既约分数时，也就是说，积分的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。因此，可以将整个单位圆分成两个部分：一部分是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近包括的一些区间，哈代和利特尔伍德称其为“优弧”（major arc与平面几何中的“优弧”不同），其余的部分则称为“劣弧”（minor arc）。将整个积分 优弧上的积分明 相比起

与劣弧上积分

可以忽略，而

之和，然后证，这就是圆法

分成的主要思想[4]。哈代和利特尔伍德在1923年的论文中证明了，如果存在正数，使得所有的狄利克雷L函数的全体零点都在半平面上，那么充分大的奇数一定满足够表示成三个素数的和。他们还给出了穷大的时候，也就是说能的渐进式：在趋于无

其中



他们还证明了，在假设广义黎曼猜想成立的情况下，如果用表示以内无法写成两个质数之和的偶数的个数，那么对任意的正数，都有

这说明了，不能写成两个质数之和的偶数占所有偶数的比例是可以忽略的。

维诺格拉多夫在使用圆法的基础上，去掉了哈代和利特尔伍德的成果中对于黎曼猜想的依赖。也就是说，维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数都能表示为三个质数的和，以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数之和。维诺格拉多夫的证明使用到了他独创的方法来对以素数为变数的指数和

做出更细致的估计，也就是说更好地划分优弧和劣弧并直接估计出劣弧上的积分可以忽略，而不用到广义黎曼猜想。唯一的不足是维诺格拉多夫并没有给出“足够大”的下限。后来波罗斯特金在1956年给出了一个可计算的下限：也就是说大于，的整数都可以写成三个素数的和。1946年，苏联数学家尤里·弗拉基米罗维奇·林尼克沿着哈代和利特尔伍德的道路前进，使用函数论的方法同样证明了维诺格拉多夫的结果。然而，维诺格拉多夫的定理中的下限对于实际应用来说仍然太大了。写出来有6846168位数字，要验证之前的偶数都能写成两个素数的和，计算量仍然太大。1989年陈景润与王元将这个下限减低到1043000.5，2001年廖明哲及王天泽进一步将下限降至e3100≈101346.3，但仍然与实际验证过的范围（4×1014）有很大距离。而如果假设广义黎曼猜想正确的话，让-马克·德苏耶等人在1998年证明了：每个大于等于7的奇数都可以写成三个质数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想正确的假设下的完全证明）。1938年，华罗庚证明了弱哥德巴赫猜想的一个推广：任意给定一个整数k，每个充分大的奇数都可以表示p1+p2+p3k的形式。当k=1的时候，就是弱哥德巴赫猜想。由于维诺格拉多夫估计

时使用的方法本质上是筛法，所以数学家也希望用类似圆法的分析方法取代它。1945年，林尼克发展出估计狄利克雷L函数零点密度的方法，并用其证明了劣弧上的积分可以忽略，从而用纯粹的分析方法证明了弱哥德巴赫猜想。这个证明十分复杂，此后几位数学家各自提出了更简化的证明，1975年沃恩提出了首个不依赖估计L函数零点密度的方法，1977年潘承洞得到了仅利用L函数初等性质的简易证明。2013年5月13日，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德·贺欧夫各特，在线发表了论文《论哥德巴赫定理的优弧》（Major arcs for Goldbach's theorem）宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。贺欧夫各特生于1977年，秘鲁籍，2003年获得普林斯顿大学博士学位。2010年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。2012年5月，贺欧夫各特发表论文《论哥德巴赫问题的劣弧》（Minor arcs for Goldbach's problem）中给出了劣弧积分估计的一个更优上界。在这个更优估计的基础上，贺欧夫各特在2013年的论文中将优弧估计的条件放宽，把维诺格拉多夫定理中的下限降低到了1029左右，贺欧夫各特和同事David Platt用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。其中有个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D.R.Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。

参考文献 [1]百度百科

二〇一四年四月十日



第二篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第12讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

（第12讲）“哥德巴赫猜想”证明（7）

主讲王若仲

第11讲我们讲解了核心部分的定理1，这一讲我们讲核心部分的定理2。

定理2：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，„，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}中正整数的总个数相等。其中pi，pj，„，pr，ps为两两互不相同的奇素数，且均小于√2m；mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，„，mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明：对于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}，我们令2m-mipi=hi，因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hi＜pi，则2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，„，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]p1=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），„，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；

我们令2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：（2m-pj）{，（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），„，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，„，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），„，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}={hs，（ps+hs），（2ps+hs），„，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。

因为前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），„，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}对应同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}对应同余方程xj≡hj（modpj）；„；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}对应同余方程xr≡hr（modpr）；

集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}对应同余方程xs≡hs（modps）。

由孙子—高斯定理可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj

（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有无穷多解,且这些解关于模M=pipj„prps同余，又因为偶数2m是同余方程xi≡h（imodpi）的解，偶数2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，„，偶数2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶数2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶数2m也是同余方程组xi≡h（，xj≡h（，„，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一个解。那么同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的解总可以转化为同余方程y≡k（modpipj„prps）的解, k为小于pipj„prps的正整数，且k=2m-pipj„prpsu，pipj„prpsu为小于偶数2m的最大正整数。那么2m-（u-1）pipj„prps=2m-pipj„prpsu+pipj„prps=pipj„prps+k，2m-（u-2）pipj„prps=2m-pipj„prpsu+2pipj„prps=2pipj„prps+k，„，（2m-2pipj„prps）=2m-[u-（u-2）] pipj„prps=（u-2）pipj„prps+2m-pipj„prpsu=（u-2）pipj„prps+k，（2m-pipj„prps）=2m-[u-（u-1）] pipj„prps=（u-1）pipj„prps +2m-pipj„prpsu=（u-1）pipj„prps+k；那么集合{（2m-pipj„prps），（2m-2pipj„prps）,（2m-3pipj„prps），（2m-4pipj„prps），（2m-5pipj„prps），„，（2m-upipj„prps）}={ k，（pipj„prps+k），（2pipj„prps+ k），„，[（u-2）pipj„prps+k]，[（u-1）pipj„prps+k]}。

又从前面可知，偶数2m是同余方程y≡k（modpipj„prps）的一个

解,则偶数2m=upipj„prps+k。所以k对应pipj„prpsu，（pipj„prps+k）对应pipj„prp（，（2pipj„prps+k）对应pipj„prp（，（3pipj„su-1）su-2）prps+k）对应pipj„prps（u-3），„，[（u-1）pipj„prps+k]对应pipj„prps。故集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}中正整数的总个数相等。故定理2成立。

例

5：证明集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整数的总个数与{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整数的总个数相等。

证明：因为集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}={21，42，63，84}。

又因为集合{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}={（100-21），（100-42），（100-63），（100-84）}。所以集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整数的总个数与{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整数的总个数均为4个。（证毕）

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版

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二〇一四年四月十八日

第三篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第14讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

（第14讲）“哥德巴赫猜想”证明（9）

主讲王若仲

第13讲我们讲解了核心部分的定理3，这一讲我们讲核心部分的定理4。

定理4：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi´＜pj´，i´＜j´，i´、j´=1，2，3，„，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数相等。其中其中pi，pj，„，mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，„，mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mepe为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mupu为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，„，mvpv为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mwpw为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明：对于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}，我们令2m-mipi=hi，因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hi＜pi，则2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，„，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]pi=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），„，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我们令2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），„，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，„，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），„，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}={hs，因为前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），„，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}对应同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}对应同余方程xj≡hj（modpj）；„；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}对应同余方程xr≡hr（modpr）；集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}对应同余方程xs≡hs（modps）。

由孙子—高斯定理可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有无穷多解,且这些解关于模M=pipj„prps同余，因为（pepu„pvpw，pipj„prps）=1，由同余性质定理1可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解与pepu„pvpw的乘积关于模M´=pipj„prpspepu„pvpw同余，又因为偶数2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶数2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，„，偶数2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶数2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶数2m也是同余方程组xi≡h（，xj≡h（，„，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一个解。在偶数2m范围内，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的所有解对应集合{ h´，（pipj„prps+h´），（2pipj„prps+h´），´]}，其中vpipj„prps„pt为不大于偶数2m的最大正整数。显然集合{ h´，（pipj„prps +h´），（2 pipj„prps +h´），（3 pipj„prps +h´），„，[（v-2）pipj„prps+h´]，[（v-1）pipj„prps+h´]} 对应同余方程w≡h´（mod pipj„prps）。

我们设集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中的任一奇数均对应同余方程y≡a（modpipj„prpspepu„pvpw）的一个解，则a为小于pipj„prpspepu„pvpw的正整数，因为同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解与pepu„pvpw的乘积关于模M´=pipj„prpspepu„pvpw 同余，由同余性质定理1可知，a=pepu„pvpwh´，我们再设同余方程z≡h´（mod pipj„prpspepu„pvpw），那么在偶数2m范围内，同余方程z≡h´（mod pipj„prpspepu„pvpw）的所有解对应的集合为{ h´，（pipj„prpspepu„pvpw +h´），（2 pipj„prpspepu„pvpw +h´），（3 pipj„prpspepu„pvpw +h´），„，[（u-2）pipj„prpspepu„pvpw +h´]，[（u-1）pipj„prpspepu„pvpw +h´]}，其中u pipj„prpspepu„pvpw为不大于偶数2m的最大正整数；显然pepu„pvpwh´＜

pipj„prpspepu„pvpw，所以在偶数2m范围内，同余方程y≡a（modpipj„prpspepu„pvpw）的所有解对应的集合为{ a，（pipj„prpspepu„pvpw +a），（2pipj„prpspepu„pvpw +a），（3pipj„prpspepu„pvpw +a），„，[（u-2）pipj„prpspepu„pvpw +a]，[（u-1）pipj„prpspepu„pvpw+a]}，显然（u-1）pipj„prpspepu„pvpw+pepu„pvpwh´＜2m。所以a对应pipj„prpspepu„pvpwu，（pipj„prpspepu„pvpw+a）对应pipj„prpspepu„pvp（，（2pipj„wu-1）prpspepu„pvpw+a）对应p1p2p3„pt（u-2），（3p1p2p3„pt+a）对应p1p2p3„p（，„，[（u-1）pipj„prpspepu„pvpw+a]对应pipj„prpspepu„pvpw。tu-3）

所以集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数相等。故定理4成立。

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版

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二〇一四年四月十九日

第四篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第13讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

（第13讲）“哥德巴赫猜想”证明（8）

主讲王若仲

第12讲我们讲解了核心部分的定理2，这一讲我们讲核心部分的定理3。

定理3：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，„，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt；那么集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，„，mtpt}中正整数的总个数与集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}∩„∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}中正整数的总个数相等。其中m1p1为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，m2p2为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，m3p3为对应的集合情形下不大于偶数

2m的最大正整数，„，mtpt为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明：对于集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}，我们令2m-mr+1pr+1=hr+1，因为mr+1pr+1为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hr+1＜pr+1，则2m-（mr+1-1）pr+1=2m-mr+1pr+1+pr+1=pr+1+hr+1，2m-（mr+1-2）pr+1=2m-m r+1p

r+1

+2pr+1=2pr+1+hr+1，„，（2m-2pr+1）= 2m-[m r+1-（m r+1-2）]pr+1=（mr+1-2）

pr+1+2m-m r+1pr+1=（m r+1-2）pr+1+hr+1，（2m-pr+1）=2m-[mr+1-（mr+1-1）]pr+1 =（mr+1-1）pr+1+2m-mr+1pr+1 =（mr+1-1）pr+1+hr+1；那么集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}={（pr+1-kr+1），（2pr+1-kr+1），（3pr+1-kr+1），„，[（mr+1-1）pr+1-kr+1]，（mr+1pr+1-kr+1）}={ hr+1，（pr+1+hr+1），（2pr+1+hr+1），„，[（mr+1-2）pr+1+hr+1]，[（mr+1-1）pr+1+hr+1]}；我们令2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；„；2m-mtpt=ht；同理可得：集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}={ hr+2，（pr+2+hr+2），（2pr+2+hr+2），„，[（mr+2-2）pr+2+hr+2]，[（mr+2-1）pr+2+hr+2]}；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}={ hr+3，（pr+3+hr+3），（2pr+3+hr+3），„，[（mr+3-2）pr+3+hr+3]，[（mr+3-1）pr+3+hr+3]}；„；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}={ ht，（pt+ht），（2pt+ht），„，[（mt-2）pt+ht]，[（mt-1）pt+ht]}。

因为前面令2m-mr+1pr+1=hr+1，2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；„；

2m-mtpt=ht。那么有2m≡hr+1（modpr+1），2m≡hr+2（modpr+2），2m≡hr+3（modpr+3），„，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}对应同余方程xr+1≡hr+1（modpr+1）；集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}对应同余方程xr+2≡hr+2（modpr+2）；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}对应同余方程xr+3≡hr+3（modpr+3）；„；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}对应同余方程xt≡ht（modpt）。

由孙子—高斯定理可知，同余方程组x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）有无穷多解,且这些解关于模M=pr+1pr+2p r+3„pt同余，因为（p1p2p3„pr，pr+1pr+2p r+3„pt）=1，由同余性质定理1可知，同余方程组x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的任一解与p1p2p3„pr的乘积关于模M´=p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt同余，又因为偶数2m是同余方程x≡hr+1（modpr+1）的解，偶数2m也是同余方程x≡h r+2（modp r+2）的解，偶数2m也是同余方程x≡h r+3（modp r+3）的解，„，偶数2m也是同余方程x≡ht（modpt）的解；那么偶数2m也是同余方程组x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的一个解；在偶数2m范围内，同余方程组x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的所有解对应集合{ h´，（pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（2pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（3pr+1pr+2p

r+3

„pt+h´），„，[（v-2）pr+1pr+2p r+3„pt，+h´]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3„

pt+h´]}，其中vpr+1pr+2p r+3„pt为不大于偶数2m的最大正整数。显然

集合{ h´，（pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（2pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（3pr+1pr+2p r+3„pt+h´），„，[（v-2）pr+1pr+2p r+3„pt，+h´]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3„pt+h´]} 对应同余方程w≡h´（modpr+1pr+2p r+3„pt）。

我们设集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}∩„∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}中的任一奇数均对应同余方程y≡e（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt）的一个解，对于同余方程y≡e（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt），e为小于p1p2p3„pt的正整数，因为同余方程组x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的任一解与p1p2p3„pr的乘积关于模M´=p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt同余，由同余性质定理1可知，e=p1p2p3„prh´，根据前面得到的同余方程w≡h´（modpr+1pr+2p r+3„pt），我们再设同余方程z≡h´（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt），那么在偶数2m范围内，同余方程z≡h´（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt）的所有解对应的集合为{ h´，（p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´），（2p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´），（3p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´），„，[（u-2）p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´]，[（u-1）p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+h´]}，其中up1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt为不大于偶数2m的最大正整数；显然p1p2p3„prh´＜p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt，而

e=p1p2p3„prh´，所以在偶数2m范围内，同余方程y≡e（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt）的所有解对应的集合为{ e，（p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e），（2p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e），（3p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+ e），„，[（u-2）p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e]，[（u-1）p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+e]}，显然（u-1）p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+p1p2p3„prh´＜2m。所以e对应p1p2p3„ptu，（p1p2p3„pt+e）对应p1p2p3„p（，（2p1p2p3„pt+e）tu-1）对应p1p2p3„p（，（3p1p2p3„pt+e）对应p1p2p3„p（，„，[（u-1）tu-2）tu-3）p1p2p3„pt+e]对应p1p2p3„pt。故集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，„，mtpt}中正整数的总个数与集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}∩„∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}中正整数的总个数相等。故定理3成立。

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版

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二〇一四年四月十九日

第五篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第19讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

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所以对于“偶数2m=奇数+奇数”来说，就只有下面几种情形： ①偶数2m=奇合数+奇合数，②偶数2m=奇合数+奇素数，③偶数2m=奇素数+奇素数，④偶数2m=1+奇合数，⑤偶数2m=1+奇素数。

对于“偶数2m=奇数+奇数”的情形，我们下面一步一步具体分析：

（ⅰ）、对于偶数2m，当m为奇素数时，我们不妨令m=p，p为奇素数，那么2m=p+p，这种情形下，显然偶数2m可表为“奇素数+奇素数”。

（ⅱ）、对于偶数2m，假如集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），„，（2m-pt）}中至少有一个奇数为奇素数，我们不妨令（2m-pi）为奇素数，pi∈{p1，p2，p3，„，pt}，那么2m=（2m-pi）+pi，显然偶数2m可表为“奇素数+奇素数”。

“哥德巴赫猜想针对的是无穷的偶数，为了解决无穷的问题，一般情况下，我们设定一个非常大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，„，t），t∈N；并且假设偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt，为了解保奇素数p1，p2，p3，„，pt均要被筛除，我们还要假设集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），„，（2m-pt）}中的奇数均为奇合数；因为偶数2m=（2m-p1）+ p1，2m=（2m-p2）+ p2，2m=（2m-p3）+ p3，„，2m=（2m-pt）+ pt。在说上面这样的情形在无穷多的偶数中是必然存在的。说明白了就是对偶数2m对应的集合{1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}中的奇数，要达到筛除的最大化，即达到筛除的极限。

如果我们设集合A={1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}，又设集合A1={ p1，3p1，5p1，7p1，9p1，„，（2m1-1）p1}，集合A1´={（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），„，[2m-（2m1-1）p1]}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，„，（2m2-1）p2}，集合A2´={（2m-p2），（2m-3p2），（2m-5p2），（2m-7p2），（2m-9p2），（2m-11p2），„，[2m-（2m2-1）p2]}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，„，（2m3-1）p3}，集合A3´={（2m-p3），（2m-3p3），（2m-5p3），（2m-7p3），（2m-9p3），（2m-11p3），„，[2m-（2m3-1）p3]}，„，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，„，（2mt-1）pt}，集合At´={（2m-pt），（2m-3pt），（2m-5pt），（2m-7pt），（2m-9pt），（2m-11pt），„，[2m-（2mt-1）pt]}；其中奇数（2m1-1）p1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m2-1）p2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m3-1）p3为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，„，奇数（2mt-1-1）pt-1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1）pt为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。

对于偶数2m以内的全体奇数，偶数2m对应的集合{1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}，我们在集合A={1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}中进行埃拉托斯特尼顺筛和埃拉托斯特尼逆筛这两种筛法配合筛：

〈1〉在集合A中筛除属于集合A1中的奇数，又在集合A中筛除属于集合A1´中的奇数，得到集合B1；因为我们设偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt。所以集合A和集合A1无公共元素。〈2〉在集合B1中筛除属于集合A2中的奇数，又在集合B1中筛除属于集合A2´中的奇数，得到集合B2；

〈3〉在集合B2中筛除属于集合A3中的奇数，又在集合B2中筛除属于集合A3´中的奇数，得到集合B3；

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〈t-1〉在集合Bt-2中筛除属于集合At-1中的奇数，又在集合Bt-2

中筛除属于集合At-1´中的奇数，得到集合Bt-1；

〈t〉在集合Bt-1中筛除属于集合At中的奇数，又在集合Bt-1中筛除属于集合At´中的奇数，最终得到集合Bt。

最后在集合Bt中再筛除奇数1和（2m-1）得到集合H，如果我们 能判定集合H中确实有奇数，那么集合H中的奇数必定为奇素数，同时还能判定偶数2m可表为两个奇素数之和。因为集合{1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}中的奇数经过上面的配合筛后，如下情形中的奇数被全部筛除：

①偶数2m=奇合数+奇合数，②偶数2m=奇合数+奇素数，③偶数2m=1+奇合数，④偶数2m=1+奇素数。

说明最后在集合H中的奇数必定为奇素数，并且集合H中的奇数必定

只满足“偶数2m=奇素数+奇素数”的情形。

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版

二〇一四年四月二十日