证明不等式既是中学数学教学中的难点5篇范文

第一篇：证明不等式既是中学数学教学中的难点

证明不等式既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，且解决此类问题也能用来检测竞赛选手对命题人深邃的思考、超人的预见及其非凡智慧的领悟程度，而分式不等式的证明更是精妙无比，合理的分拆、巧妙的组合更是耐人寻味，故学生普遍感到分式不等式难证、辅导老师也感到难讲，甚至，有些竞赛专家对分式不等式的证明有时侯也感到困惑，这是因为常见和常用的方法常常派不上用场，因此，有必要对分式不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起交流，本文试图从几个分式不等式的证明告诉读者此类不等式的一种证明方法，并展现推广命题的由来，为读者进一步证明某些分式不等式提供有效的方法和发现新的数学命题开拓有益的思考途径。

一

命题1：（第26届美国数学奥林匹克竞赛题之一）设a、b、c∈R+，求证：

（1）

分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。

思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成.实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式：

x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y)(x、y∈R+)（*）

知（1）的左端

这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。（1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？

以下为行文方便，记（1）的左端为 不再赘述,，表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类似处理，为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手。

推广1：设a、b、c、d∈R+，求证：。（2）

分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)（**）

（**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。

事实上，由高中数学课本上熟知的不等式 x2+y2+z2≥xy+yz+zx 易知

x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样（**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证：。（3）

有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明

（这是（**）的发展）

事实上，由切比雪夫不等式及算术——几何平均值不等式可知

有了上式，推广2便不难证明，略.很显然，对于推广2，若按（1）的最初的去分母去证明，当然是行不通的，这也表明，解决数学问题的关键一着就是要把握问题的实质，不要被一些较复杂的表面现象所迷惑，要善于观察，善于分析，善于总结，善于概括，善于发现，善于利用，尽力从表象的东西里抽象概括出本质性的实质性的规律，这才是学习数学的要旨。

二

命题2：设x、y、z∈R+，求证：（4）

分析：这是一个并不复杂的分式不等式，但是若要通过去分母来证明，肯定会走弯路，甚至走到死胡同。

思考方向：（4）的左端较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从从左至右的进行。

思考方法：（1）从左至右是一个逐步缩小的过程，所以，对于本题，一个简单的想法就是将个分母设法放大，但考虑到分母结构的相似性，故只要对其中之一进行恰倒好处的变形，并设法构造出（4）的右边即可大功告成。

实施步骤；联想到高中课本上熟知的的不等式： 成功放大，即有如下证明：

(x、y∈R),刚好是（4）中分母里xy的证明：∵

∴ 只要证明，（5）

给（5）的两边同时加3，得到，这等价于，这由Cauchy不等式便知，从而（4）得证。（4）式刻画了3个变量的情形，其特点是；左端每一个分式的分母是从3个变量中取两个，为两个的二次方与这两个变量之积之和，而分子则是剩下一个变量的二次方。现在，我们如果站在变量个数方面考虑，即再增加若干个变量，结论会怎样？证法还灵吗？经过再三考虑，得到

推广1：设ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求证：（6）

联想（4）的证明过程，知关键是对分母中的乘积项利用二元均值不等式进行放大，然后运用Cauchy不等式便大共告成，那么，（6）的证明也只要对每一个分式中分母乘积项逆用多元算术——几何平均值不等式，再使用Cauchy不等式便知，详细的证明略。

另外，如果一不小心，将（4）错写为如下形式：

（7）

那么，虽然（7）与（4）相比，实质性的东西并没有发生改变，但就其结构而言已经发生了相当大的改变，即（7）的每一个分母中连续3项依次成等比数列，而（4）的分母中就不具备这样的性质，继而，（7）是否从某一方面反映某一普遍意义下的一种特例呢？也就是（7）的一般情形是什么？站在等比数列的角度去审视（7），就可以探索从改变分母的指数出发去联想，从而得到一个很好的结论，（7）的分母多项式为3项，最高指数为2，分子与分母指数相同，左边为三个式子之和，右边为1，试想，当分母中的多项式指数增高时，（7）应该变成什么样子，准确点儿，当指数为n+1时，相应的结论如何？这就是

推广2：设x、y、z∈R+，求证：

（8）

分析：联想与类比有时候是提出问题和解决问题的金钥匙，相似问题的解决方法在很多场合往往都是十分相似的，在这一点上请同学们注意领会并掌握。

思考方向与思考方法基本同于（4），只是实施步骤中的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R)的右边的指数2改为n+1时，结论会变成什么相适应的样子？ 类似于（*），由高中课本上知识知（当然可从指数为3，4，5，…,去探索，这里就省去探索的过程了，因为高中课本上已有指数为3、5时的结论）：

xnyk+xkyn≤xn+k+yn+k,(x、y∈R+，n、k∈N+)这是一个有意义的结论，于是

xn+1+xny+xn-1y2+…+yn+1≤ ,即

(注意到（5）)到此，推广2获证。

实际上，通过刚才对（7）的分析知道，（7）还有从变量个数方面的推广，例如变量个数为4，5，6，…，12或者小于等于23的奇数（结论成立）时，结论的证明就比较复杂了，况且，也不能推广到任意多个变量。关于这点，请读者参考有关资料。

三

命题3：设x、y∈（0，1），求证：。（9）

分析：本题的结构看似简单，实际上，要向前面两个不等式那样去设法从左至右的证明在这里就不好进行，于是，需要进行等价分析变形，这是在当前一时找不到好的证法时常用的证题方法。

思考方向和思考方法：去分母，整理成恒不等式。

实施步骤：一般的程序应该是配方或者分解因式。

证明：由条件 x、y∈（0，1）知，xy∈（0，1）,所以，原不等式等价于

（10）

（11）

结合题目条件及二元均值不等式知此式早已成立，于是原命题获证。

这一证明看起来比较简明，但是，真正实施起来也不是太简单，请同学们仔细领悟。

到这里本题的证明已经结束，但是，如果仅停留在这个层次上就得到的甚少，应该及时进行反思、总结、提炼，看看本题有无推广演变的可能？即能否由此产生新的数学命题？

观察命题3的结构可以看出，（10）的左端可以看成是函数 算术平均值，右边是两个变量x、y在其几何平均值处的函数值 容易的将（10）推广到多个变量时的情形，即

在两个变量x、y处的函数值的，联想到Jensen不等式，可以很推广1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求证：。（12）

这由数学归纳法不难确认其正确，详细证明留给感兴趣的读者。

继续观察（11），不难看出，当x＞1，y＞1时，不等号应该反向，于是可得原命题的另一种演变的推广，即

推广2：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证：（13）

继续观察（10），容易想到，当变量个数再增加时会有怎样的结论？即对于三个变量

若x、y、z∈（0，1）,可得，这三式相加得：（14）

这样我们又得到了一个新的命题。如此继续，便得

推广3：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求证：（15）

推广4：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证：

（xn+1=x1）（16）

（15）、（16）的证明可仿照（14）的证明进行，在此就略去其详细的证明了。

从这几个推广命题的由来我们可以看出，很多数学命题都是在认真分析已有命题的基础上，对原命题进行分析、归纳、总结、提炼，得到描述问题的本质，在原有问题及其求解思路的基础上，运用自己所掌握的数学知识通过思维的迁移加工就可得到一系列新的数学命题，这也是许多命题专家的研究心得，更是解题者应该多多注意的一个方面，也是我们辅导老师应该向学生介绍的重要一环——展示知识发生、发展的全过程。

研究某些不等式的推广是十分有意义的工作，有事实表明，近多年来的高层次竞赛就多次涉及到多个变量的复杂不等式证明问题，而且，有些问题本身就是一些固有问题的发展和演变，故应引起参加竞赛的同学的重视。

2005年4月7日 补：

提供几个练习题

1． 在△ABC中，求证：。2． 在锐角△ABC中，求证：。

3． 在△ABC中，求证：

4． 在锐角△ABC中，求证：。

5． 在锐角△ABC中，求证：

6． 在△ABC中，求证：

7．（《中学数学教学参考》12（2001）p45 安振平）设x、y∈[0，1],求证：。

第二篇：中学数学不等式证明的常用方法

中学数学不等式证明的常用方法

不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等[4].在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路

不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．

分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析

(1)放缩法

不等式的传递性，若A＞B，B＞C则A＞C告诉我们要证明A＞C时就可以先把A缩小B，再把B缩小为C，从而证明A＞C；同样A放大为B，再把B放大为C，可以证明A＜C． 例１ 求证：１＋12131n2n(nN)．

分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母

1n

＝22n2nn12(nn1),每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明:1n＝22n2nn12(nn1)，∴1312＜2（2－１），2(32)，„„

1n11n2(n1n2)，＜2（nn1）．

121n以上各式相加，得１＋所以原不等式成立．

＋„＜2n－１＜2n．

【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．

例2 已知数列an,an=122334Ln(n1)

n(n1)(n1)2an＜.求证：22n(n1)是前ｎ个自然数的和，与an比较只须缩小为１2﹑2﹑3„„n即可．仿此把各项放大2﹑3﹑„„（n+1）所得结论过弱，只能放

n(n1)弃，于是转而联想到关系式n(n1)，右边的不等式证明，由此可证

2得．

证明 由于 分析: 注意到左边的式子an=122334n(n1)>122233n2 =1+2+3+„+n =n(n1)22n1n(n1)＜

22又由n(n1)3572n1有an＝122334n(n1)＜

22221(n1)

2＜[1357(2n1)]22n(n1)(n1)2an＜综上所述． 22

【评注】放缩法的基本思路: ab,bc,ac.[3]技巧与方法:(1)适当添上

131或舍去某些项,例:(a)2(a)2;(2)如果是分式则需放大或缩小分子

242或分母,如:11111 2放大缩小切记适度.k(k1)kk(k1)k1k(2)判别式法

有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．

2xyz8x70例 已知x,y,z是实数，且满足条件22

yzyz6x60求证：１x9.证明 由已知等式得：

yz=x28x7

(yz)2yz6x6 x28x7+6x-6=x2-2x+1=(x-1)2 于是y,z是方程t2(x1)t(x28x7)=0的两个实根 △＝(x-1)2－４（x28x7）＞０解得１x9.【评注】本题可以将原方程组变形得到yz和yz的表达式,再把x看作常数写成关于t的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3)换元法

有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．

1125例1 设a,bR且a+b=1.求证：(a)2(b)2.ab2 证明： a+b=1可设：a=sin2,b=cos2

x2y2xy 又 则

2211(a)2(b)2

ab111(ab)2 2ab1112)＝(sin2＋cos2＋2

2sincos2142125)(14)2＝(1．

2sin2222例2 设a,b>0，求证：3a3b＋3a3b23a． 证明：设3a3b＝m,3a3bn,则m3n3=2a 于是要证的不等式等价于(mn)3＜4（m3n3）只要证：4（m3n3）－m33m2n3mn2n30 而3m3+3n33m2n3mn2 =3m2(mn)3n2(nm)

=3(m-n)(m2-n2)=3(m-n)2(m+n)>0 ∴(mn)34(m2n2)成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示.换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若a2b21,可设acos,bsin(为参数）;(2)若a2b21,可设arcos,brsin(为参数）；

(3)对于1x2,x1,由cos1或sin1知，可设xcos或xsin;(4)若xyzxyz,由tanAtanBtanCtanAtanbtanC知,xtanA,y

tanB,ztanC.(ABC)

(4)函数法

有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:|x1x2xn||xn||x1||x2| 1|x1x2xn|1|x1|1|x2|1|xn|xx的形式,于是可以构造函数f(x)= 1x1x分析:要证不等式的每一项结构都是证明: 构造函数f(x)=

x 1xf(x1)f(x2)x1xx1x2 21x11x2(1x1)(1x2)当x1x20时,显然f(x1)f(x2)所以函数f(x)当x0时是增函数

Q|x1x2Lxn||x1||x2|L|xn|

x1x2xn|xn|1 1|x1x2xn|1|x1|x2||xn|1|x1||x2||xn|

|xn||x1||x2|1|x1|1|x2|1|xn|

【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利 用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.

第三篇：不等式证明

不等式证明

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

第四篇：不等式证明

不等式的证明

比较法证明不等式

a2b2ab1.设ab0，求证：2.ab2ab

2.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

（1）已知x、y都是正实数，求证：x3y3x2yxy2；

（2对满足xyz1的一切正实数 x,y,z恒成立，求实数a的取值范围

.,1综合法证明不等式（利用均值不等式）3.已知abc, 求证：1 114.abbcac

4.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac3；

a2b2c2

1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x32x1的解集;

121225（a)(b)a,bR,ab1ab2.（2）已知，求证：

6.若a、b、c是不全相等的正数，求证：

分析法证明不等式

7.某同学在证明命题“7要证明732”时作了如下分析，请你补充完整.62，只需证明________________,只需证明___________,＋292，展开得9即,只需证明1418,________________,所以原不等式:62成立.22263,(72)(63)，因为1418成立。

abc8.已知a,b,cR。3

9.(本题满分10分)已知函数f(x)|x1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)f(x4)8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|1,|b|1，且a0，求证：f(ab)|a|f().10.（本小题满分10分）当a,bMx|2x2时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.反证法证明不等式

11.已知a，b，c均为实数，且a=x2y+2baπππ22，b=y2z+，c=z2x+，236

求证：a，b，c中至少有一个大于0.12.（12分）若x,yR,x0,y0,且xy2。求证：1x和1y中至少有一个小于2.yx

放缩法证明不等式

13.证明不等式：1111121231

123n2

214.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4SnannN,且

14n1,a2,a5,a14构成等比数列．

(1)证明：a2

(2)求数列an的通项公式；an2n1

(3)证明：对一切正整数n，有11a1a2a2a311． anan12

15.设数列an的前n项和为Sn.已知a11,2Sn12an1n2n,nN*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a24(Ⅱ)求数列an的通项公式；ann2(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有数学归纳法证明不等式

16.(本小题满分12分)若不等式11

n1n21a对一切正整数n都成立，求正3n12411a1a217.an4

整数a的最大值，并证明结论．25

17.用数学归纳法证明不等式：

．

第五篇：不等式证明经典

金牌师资，笑傲高考

2013年数学VIP讲义

【例1】 设a，b∈R，求证：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 设A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，试比较A与B的大小。

因A、B的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一个均可。

由ad=bc得：dbca1abbccaabcabc≥1。

bcabcab(ab)(ac)a0bcacaA-B=a+d-(b+c)=a =ab c(ab)a

【例4】 a，b，c∈R，求证：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。

左=12(2a42b2242c)22412[(a24b)(b22244c)(c2244a)]24

≥12(2ab2bc2ca)abbcca

2发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。

中天教育咨询电话：0476-8705333

第1页/共9页 金牌师资，笑傲高考

ab1212

2013年数学VIP讲义

22bc2222ca2222212(2ab22222bc22222ca)22

ca)(ca2[(abbc)(bc22ab)]22≥(2abc2abc22abc)ab(abc)1a

1c【例5】（1）a，b，c为正实数，求证：（2）a，b，c为正实数，求证：

a21bb2≥

c21ab1bc1ac；

bcacab≥

abc2。

（1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。

（2）同学们可试一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？

a2bcb2(bc)≥2a2bcb2(bc)2a

acc2(ac)≥2ac(ac)2bab(ab)≥2c2ab(ab)2c

相加后发现不行，a，b，c的整式项全消去了。为了达到目的，应在系数上作调整。

a2bcbc4≥a，b2acac4≥b，c2abab4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y≥

2a22。

思路一；根据x+y和x2+y2的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。∵ xy22≤2x2y22

2∴ xy≥(xy)2a22

思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有下列三种途径：

途径1：用均值换元法消元： 令 x2a2m，yaa22m

22则 xy(m)(m)2m222aa22≥

a22

途径2：代入消元法： y=a-x，0

a2)2a22≥

a22

中天教育咨询电话：0476-8705333

第2页/共9页 金牌师资，笑傲高考

途径3：三角换元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

22013年数学VIP讲义

则 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：为了达到消元的目的，途径1和途径3引入了适当的参数，也就是找到一个中间变量表示x，y。这种引参的思想是高中数学常用的重要方法。【例7】 已知a>b>0，求证：(ab)8a2ab2ab(ab)8b2。

12所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次，一次，次等），难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即执果索因，寻找使不等式成立的必要条件。实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，实际上这种变形在相当多的题目里都是充要的。

ab2abab2ab2b)(a(a(a2b)2

ab(ab)b)(a8a2所证不等式可化为∵ a>b>0 ∴ ab ∴ ab0

b)2(a2b)2(ab)(a8b2b)2

∴ 不等式可化为：(a4ab)21(a4bb)2

2(ab)4a即要证

24b(ab)ab2a只需证

2bab在a>b>0条件下，不等式组显然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx38，求证：对任意实数a，b，恒有f(a)

112.不等号两边字母不统一，采用常规方法难以着手。根据表达式的特点，借助于函数思想，可分别求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)112的最值，看能否通过最值之间的大小关系进行比较。

82(2)a2a24aa3882a882a≤

282a82a8422

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

中天教育咨询电话：0476-8705333

第3页/共9页 金牌师资，笑傲高考

∵ 3222013年数学VIP讲义

∴ g(b)>f(a)注：本题实际上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明，实数大小理论是不等式大小理论的基础。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，求证：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）当|x|≤1时，|ax+b|≤2。

这是一个与绝对值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与绝对值有关的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„±an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。就本题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|≤1时，|f(x)|≤1”的解题意识。

从特殊化的思想出发得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 当x=1时，|f(1)|≤1；当x=-1时，|f(-1)|≤1 下面问题的解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b12[f(1)f(1)] 12|f(1)f(1)|≤12[|f(1)||f(1)|]≤

12(11)≤1 ∴ |b|（2）思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。

当a>0时，g(x)在[-1，1]上单调递增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 当a<0时，同理可证。

思路二：直接利用绝对值不等式

为了能将|ax+b|中的绝对值符号分配到a，b，可考虑a，b的符号进行讨论。当a>0时

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面对b讨论

① b≥0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0时，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 当a<0时，同理可证。

评注：本题证明过程中，还应根据不等号的方向，合理选择不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不适当选择，则不能满足题目要求。

中天教育咨询电话：0476-8705333

第4页/共9页 金牌师资，笑傲高考

2013年数学VIP讲义

1、设a，b为正数，且a+b≤4，则下列各式一定成立的是 A、C、1a121b1a≤141b B、≤1 D、141a≤

1a1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，则下列各式中一定正确的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，设M=

a4abbcc4c，N=，则MN的大小关系是

A、M>N B、M=N C、M

6、已知函数f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正负都有可能

7、若a>0，b>0，x111()2ab1ab1ab，y，z，则

A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、设a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空题

9、设a>0，b>0，a≠b，则aabb与abba的大小关系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等号填空）。

12、当00且t≠1时，logat与log21t1a2

2aba1b1 D、a+b≥2(a-b-1)

22的大小关系是__________。

n13、若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，则an+bn与c（其中n∈N，n>2）的大小关系是________________。

（三）解答题

14、已知a>0，b>0，a≠b，求证：a

15、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：1

中天教育咨询电话：0476-8705333

第5页/共9页

abcbaccab2。

babba。金牌师资，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求证：

18、若a，b，c为正数，求证：

19、设a>0，b>0，且a+b=1，求证：(a

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c全为正数。

1a)(b1b)2541a1b1ca82013年数学VIP讲义

12(ab)214(ab)≥aaba。

≤

b383c38。

abc≥。

中天教育咨询电话：0476-8705333

第6页/共9页