(no.1)2013年高中数学教学论文 谈构造函数法证明不等式 新人教版

第一篇：(no.1)2013年高中数学教学论文 谈构造函数法证明不等式 新人教版

知识改变命运

百度提升自我

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谈构造函数法证明不等式（无版本）

本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式，在介绍如何构造函数证明复杂的不等式，以及在构造函数时如何如何整体把握。如：exx1,xR ； lnxx1,x0 例1:（07辽宁理工）已知f(x)e2x2t(exx)x22t21求证：fx 2例2: 已知f(x)x22xalnx，t1,f(2t1)2f(t)3 求：a的取值范围。不等式exx1,xR 与 lnxx1,x0

这两个不等式不难从图像上看出，注意ylnx 与 yx1分别是yex 与 yx1的反函数，关于yx对称．

用导数证明如下: 构造函数

f(x)exx1,f(x)ex1,x,0减,x0,增, f(x)f(0)0

既ex1构造函数

xf(x)lnxx1,f(x)既: lnxx1推论:e x111x1,x0,1增,x1,减f(x)f(0)0 xx

x,xRlnx1x,x1这两个不等式在证明不等式与求字母范围时用处极其广泛,下面举例给以说明 例1:（07辽宁理工）已知f(x)e求证：fx2x2t(exx)x22t21 22x22x分析：根据函数特征,考虑关于x的函数较为复杂,注意主次元的交换与整体把握, 解法一：设f(x)gt2t2(ex)txe1

gtmin8xe14(ex)22xx28(exx)22

2exx1exx1

∴gtmin33,既: fx 22用心 爱心 专心

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解法二：：设gt2t22(exx)tx2e2x1，112t22(exx)tx2e2x022214(exx)224(e2xx2)0(exx)21，由exx1exx1

2gtx2解法三：f(x)(et)xt1

2x设点A、B的坐标分别为x,e,t,t，易知点B在直线y=x上，令点A到直线yx的221xxx距离为d，则f(x)AB1d1ex1，又ex1ex1

222既:fx3 2例2: 已知f(x)x22xalnx，t1,f(2t1)2f(t)3 求：a的取值范围。

解法一：由f(x)x22xalnx及f(2t1)2f(t)3得到: 2t12t1aln2t12t22tlnt3 22t2alnt222t1aln2t1

t2化简为:2t1aln ………①

2t122t1t22t10.a当时，有t2t1，则ln …………②。

t22t1ln2t1构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), ln(1＋x)≤x(x=0时取等号)在x>－1上恒成立.2t1)t1t12……………… ③ t2lnln(12t12t12t1t22t1…………………………………………④ ∴ln2t1因此由②④可知实数a取值范围: a≤2.22用心 爱心 专心

知识改变命运

百度提升自我

当t1时，由①知aR 综合知：a取值范围: a≤2.评注：本解法主要是构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), ln(1＋x)≤x(x=0时取等号)在x>－1上恒成立.解法二：以上与解法一同，也可构造函数(x)lnxx1，lnxx1,x0(x=1时取等号)上恒成立.t1t2t22当t1时，ln1t1

2t12t12t1以下通解法一。

评注：本解法主要是构造函数(x)lnxx1，lnxx1,x0(x=1时取等号)上恒成立.解法三：由解法一得2talnt22t1aln2t1

222构造函数(x)2xalnx，有t1，t2t11，22t2alnt222t1aln2t1(t2)(2t1)(x)2xalnx在x1,递增，(x)2xalnx，(x)2a2xa0，a2xa2 xx评注：整体把握，构造函数(x)2xalnx，简化解题过程，此法要有引起我们的高度重视。

用心 爱心 专心

第二篇：(no.1)2013年高中数学教学论文 构造函数证明不等式

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构造函数证明不等式

函数是高中数学的基础，是联系各个数学分支的桥梁和纽带.在不等式的证明中，我们可根据不等式的结构特点，建立起适当的函数模型，利用函数的单调性、凸性等性质，灵活、巧妙地证明不等式.一、二次函数型：

1.作差构造法.例1.(新教材第二册（上）（以下同）P16习题1（2）)求证:abcabbcca.分析:将a视为变量,考察函数faabcabbcc.由于该二次函数的图象开口向上,且3bc0,故fa0.结论获证.22

2例2.(教材P31.复习参考题6)设a,b,c为ABC的三条边,求证:abc＜2abbcca.2222

222

分析:构造函数fxx2bcxbc.∵fx图象开口向上,对称轴xbc.∴fx在,bc上单调递减.∵a,b,c为ABC的三条边,∴bc＜a＜bc(不妨设bc)∴

f

afbc.2

∵fbcbc2bcbcbc4cbc0.∴fa0.即结论成立.2.判别式构造法.2222

例3.(教材P27.例1)已知a,b,c,d都是实数,且ab1,cd1.求证:acbd1.分析：所证结论即是2acbd4ab

c

d

0.故可构造函数

f

xa

b

x

2acbdxcd.2

由于fxax2acxc

2bx2bdxd



axcbxd



0.当且仅当x

ca



db

时取“=”号.又因为fx的图象开口向上,故必有0.结论成立.2

练习1.(教材P16.练习2)求证:acbdabc

n

d

.n

n

点拨:证法同例3.该题是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:



abiii1

n

n

2i

n

a

i

1i1

22

bi.可构造函数fxaix2aibix

i1i1

b

i1

2i

证之.练习2.(教材P17.习题6)已知a,b是不相等的两个正数,求证:

abab

3ab



.用心 爱心 专心

点拨:构造函数fxabx2ab

xa

baxabxb证之.22

练习3.(教材P17.习题7)已知a,b都是正数,x,yR,且ab1,求证:

axby

axby.点拨:构造函数fzabz2axbyzaxbyazxbzy证之.练习4.(教材P31.复习参考题5)求证:31aa

1aa

.点拨:构造函数fx3x21aa

x1a

ax1xaxa

证之.二、分式函数型:

例4.(教材P12.例2)已知a,b,m都是正数,并且ab,求证:

分析:构造函数fx

xaxb

ambm

ab.x0,.由于当x0,时，fx

ba

xb

0.故fx在0,上是增函数.∵fx在x

f

0处右连续，∴f

x在0,上是增函数.∵m

0 ∴

mf0 即

ambm



ab

.例5.(教材P22.例3)已知a1,b1,求证:

ax1ax

ab1ab

1.分析:构造函数fxx1,1.由于当x1,1时，fx

1a

21ax

0.故fx在1,1上是增函数.∵fx在x1处右连续，在x1处左连续.∴fx在1,1上是增函数.∵1b1 ∴f1fbf1 ,即1

ab1ab

1.ab

acbd

cd

ab1ab

1, 即

例6.(教材P14练习5)已知a,b,c,d都是正数,且bcad,求证:

.a

分析:联想定比分点坐标公式,acbd

可写成b

1

cd

db.故可构造函数db

a

f

x

b

d1x



c

x,x0,.∵当x0,时，用心 爱心 专心 2

c

fx

d



ab

1x



bcadbd1x

0.∴fx在0,上是增函数.∵fx在x

0处右连续，∴fx在0,上是增函数.又∵

cd

db

0.∴

d

f0flimf

bx

x.而

f0

acd,f,limf

xbbbd

a

x

.故原不等式成立.aca

bcb

练习5.(教材P14.练习4)已知cab0,求证:

点拨:构造函数fx

xcx

x0,c

.练习6.(教材P17.习题9)已知ABC的三边长分别是a,b,c.且m为正数.求证:

aam



bbm



ccm

.xxm,x0,.易证fccm

.而

aam



bbm

点拨:构造函数fx

f

x为增函数.由于



aabm



babm



abc,故

ab

aam



fc.即b



ababmc

.ababm

.故

有

bmcm

练习7.(教材P23.习题4)求证:

分析:构造函数fx

三、幂函数型：

ab1ab



ab1ab

.x1x,x0,证之.例7.如果a,b都是正数，且ab,求证：ababab.分析：abababab

55322

3a

b

.考察函数fxx,(nN)在0,上的单调性，显然fx在0,上为增函数.n

*

若ab,则ab, ab,所以ab

aa

bb

0； 0。

若ab,则ab, ab,所以ab

2所以ababab.利用函数的单调性证法可以将上述结论推广为: 若a、b是正数且ab,求证：a四、一次函数型：

用心 爱心 专心

mn

55322

3b

mn

abab.(m,nN)

mnnm*

例8.设a,b,c0,1,求证:abcabbcca1.分析:构造函数fa1bcabcbc1,a0,1.∵f0bcbc11cb10,f11bcbcbc1bc0.∴对任意a0,1,恒有fa0.故原不等式成立.五、三角函数型： 例9.(同例3)

分析:设acos,bsin, ccos,dsin.则acbdcoscossinsin

cos



1.练习8.设x,yR,且xy1,求证

:x2xyy点拨:设xrcos,yrsin.其中r1.以下略.六、指数函数型:

2例10．已知等差数列an和等比数列bn，其中a1b1，a2b2，0＜a1＜a2，证明当n3时，an

da

1n1

.所以，当n3时，bna1q

q1

d

a11

a1

n1



dd11

a1n1dan.a11Cn1a11Cn1

＞ a1a1

这儿,我们用二项式定理进行放缩,完成了证明.七、构造函数,利用函数图象的凸性： 例11.(教材P15.例6)求证3+7<2

5分析:考察函数f(x)=x的图象,特征是上凸函数.对任意x1,x20,, 且x1x2,都有：所以,即

212

f(x1)f(x2)

f3f7

f5.（3+7）<5.两条结论:（1用心 爱心 专心

值之和越大.例:6

722

5



3



2及

a

a3

a1

a2

(2)下凸函数,区间中点相同时,两端“距离”区间中点越近,两端点函数值之和越小.练习9.已知:fxtanx,x0,

2

, 若x1,x20,



2

 且x1x2,试判断

f

x1

f

x2与

xx2

f1

的大小，并加以证明（94年高考理科试题变式题）.2

练习10.已知:fxlgxx1,若0x1x2,试比较

年高考文科试题).练习11.(教材P23.习题5)求证:lg

AB2



lgAlgB

f

x1

f

x2与

xx2

f1

的大小(942

AB0.以上表明,若能清楚不等式所反映的图象意义，就会给证明提供思路.八、构造连续函数，应对含离散型变量的不等式问题： 例12．（2001年全国理）已知i,m,n是正整数，且1﹤i≤m＜n.（1）证明nAm＜mAn.（2）证明1m＞1n.n

m

iiii

i1i

1分析：（1）nAm＜mAn可化为：

i1

iiii

Amm

i

i

＜

Ann

i

i

m，即：

k0

k

i

nk

＜

k0

mn

i

.构造函数fx

xk

k0

x

i

.（xi＞1）.i1

两边取对数，得：lnfx



k0

lnxkilnx.当xi,时,两边求导，得：

fxfx

i1





k0

1xk



ix

i1

＞

k0

1x



ix

0.由于fx＞0，故fx＞0.这说明fx在i,上是增函数.∵fx在xi处右连续.∴

fx在i,上是增函数.∵i≤m＜n.∴fm＜fn.Amm

ii

即＜

Ann

i

i

.整理，得：nAm＜mAn.用心 爱心 专心

iiii

（2）不等式1m＞1n两边取对数，得：ln1m＞ln1n.n

m

n

m

整理，得：

ln1m

m



＞

ln1nn

.构造函数gx

ln1xx

x2.x

求导，得：gx

1x

ln1xxx

.当x2时,可得：0＜

1x

＜1，ln1xln3＞1.故gx＜0.所以gx在2,上是减函数.∵gx在x2处右连续.∴gx在2,上是减函数.∵m＜n，∴ gm＞gn.即

ln1m

m



＞

ln1nn

.整理，得：1m＞1n.n

m

注：不等式1m＞1n

n

m

也可化为：1m

1m

＞1n

1n

.这时，可研究函数

hx1xxe

ln1xx的单调性证之.n1

练习12.已知n是正整数且n≥3.求证：n

n

＞n1.n

点拨：不等式n

n1

＞n1两边取自然对数，整理得：

lnnn

＞

lnn1n1

.构造函数fx

lnxx

可证之.lnfx

说明:根据所构造函数的结构特点,我们将函数转化为lnfx型或e型,方便了对函数的求导运算.不等式证明的数学模型，除本文介绍的函数模型外，还可建立向量模型、解析几何模型、方程模型等，请读者自行研究、总结.作者简介:陈兵,男,1976年10月26日出生,山东省滕州市人,中教二级, 学士学位.用心 爱心 专心 6

第三篇：(no.1)2013年高中数学教学论文 谈构造函数法证明不等式 新人教版

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谈构造函数法证明不等式（无版本）

本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式，在介绍如何构造函数证明复杂的不等式，以及在构造函数时如何如何整体把握。如：exx1,xR；lnxx1,x0

例1:（07辽宁理工）已知f(x)e2x2t(exx)x22t21求证：fx3

2例2: 已知f(x)x22xalnx，t1,f(2t1)2f(t)3 求：a的取值范围。不等式exx1,xR 与 lnxx1,x0

这两个不等式不难从图像上看出，注意ylnx与yx1分别是yex与yx1的反函数，关于yx对称．

用导数证明如下: 构造函数

f(x)exx1,f(x)ex1,x,0减,x0,增, f(x)f(0)0 既ex1构造函数x

f(x)lnxx1,f(x)

既: lnxx

1推论:e

x111x1,x0,1增,x1,减f(x)f(0)0 xxx,xRlnx1x,x1

这两个不等式在证明不等式与求字母范围时用处极其广泛,下面举例给以说明

例1:（07辽宁理工）已知f(x)e

求证：fx2x2t(exx)x22t21 3 2

2x22x分析：根据函数特征,考虑关于x的函数较为复杂,注意主次元的交换与整体把握,解法一：设f(x)gt2t2(ex)txe1

gtmin8xe14(ex)22xx28(exx)22 2

exx1exx1

∴gtmin33,既: fx 22

用心 爱心 专心

解法二：：设gt2t22(exx)tx2e2x1，112t22(exx)tx2e2x022

214(exx)224(e2xx2)0(exx)21，由exx1exx1 2gt

x2解法三：f(x)(et)xt1 2

x设点A、B的坐标分别为x,e,t,t，易知点B在直线y=x上，令点A到直线yx的

221xxx距离为d，则f(x)AB1d1ex1，又ex1ex1 222

既:fx3 2

例2: 已知f(x)x22xalnx，t1,f(2t1)2f(t)3

求：a的取值范围。

解法一：由f(x)x22xalnx及f(2t1)2f(t)3得到:

2t12t1aln2t12t22tlnt3 2

2t2alnt222t1aln2t1

t2

化简为:2t1aln ………① 2t12

2t1t2

2t10.a当时，有t2t1，则ln …………②。t22t1ln2t1

构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), ln(1＋x)≤x(x=0时取等号)在x>－1上恒成立.2

t1)t1t12……………… ③ t2

lnln(12t12t12t1

t22t1…………………………………………④ ∴ln2t1

因此由②④可知实数a取值范围: a≤2.22

当t1时，由①知aR

综合知：a取值范围: a≤2.评注：本解法主要是构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), ln(1＋x)≤x(x=0时取等号)在x>－1上恒成立.解法二：以上与解法一同，也可构造函数(x)lnxx1，lnxx1,x0(x=1时取等号)上恒成立.t1t2t22当t1时，ln1t1 2t12t12t1

以下通解法一。

评注：本解法主要是构造函数(x)lnxx1，lnxx1,x0(x=1时取等号)上恒成立.解法三：由解法一得2talnt22t1aln2t1 22

2构造函数(x)2xalnx，有t1，t2t11，2

2t2alnt222t1aln2t1(t2)(2t1)(x)2xalnx在x1,递增，(x)2xalnx，(x)2a2xa0，a2xa2 xx

评注：整体把握，构造函数(x)2xalnx，简化解题过程，此法要有引起我们的高度重视。

第四篇：构造法证明函数不等式

构造法证明函数不等式

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点．

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．

一、移项法构造函数

【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有11ln(x1)x． x

1二、作差法构造函数证明

【例2】已知函数f(x)的图象的下方．

2312xlnx，求证：在区间(1 ,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x

32三、换元法构造函数证明

【例3】（2007年山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln（1111)23都成立． nnn

四、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数yf(x)在R上可导，且满足不等式xf'(x)f(x)恒成立，常数a、b满足ab，求证：af(a)bf(b)．

五、主元法构造函数

1x)x，g(x)xlnx． 【例5】已知函数f(x)ln(（1）求函数f(x)的最大值；

（2）设0ab，证明：0g(a)g(b)2g（ab)(ba)ln2．

2六、构造二阶导函数证明函数的单调性（二次求导）

【例6】已知函数f(x)aex12x． 2（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；（2）若a1，求证：当x0时，f(x)1x．

七、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）

【例7】证明：当x0时，(1x)1xe12．

1、（2007年，安徽卷）设a0，f(x)x1ln2x2alnx．

求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1．

2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数f(x)1x12x2ax，g(x)3a2lnxb，其中2a0，且b 52a3a2lna，求证：f(x)g(x)．

23、已知函数f(x)ln(1x) xb，求证：对任意的正数a、b，恒有lnalnb1． 1xa4、（2007年，陕西卷）f(x)是定义在(0 , )上的非负可导函数，且满足xf'(x)f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）

A．af(b)bf(a)

B．bf(a)af(b)

C．af(a)f(b)

D．bf(b)f(a)例1【分析】 本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数11，从其导数入手即可证明． x11x1【解析】由题意得：f(x)，∴当1x0时，f(x)0，即f(x)在x1x1g(x)ln(x1)x(1 , 0)上为增函数；当x0时，f(x)0，即f(x)在x(0 , )上为减函数；故函数f(x)的单调递增区间为(1 , 0)，单调递减区间(0 , )；于是函数f(x)在(1 , )上的最大值为f(x)maxf(0)0，因此，当x1时，f(x)f(0)0，即ln(x1)x0，∴ln(x1)x（右面得证）．现证左面，令g(x)ln(x1)11x11，则g(x)22，x1(x1)(x1)x1当x(1 , 0)时，g'(x)0；当x(0 , )时，g'(x)0，即g(x)在x(1 , 0)上为减函数，在x(0 , )上为增函数，故函数g(x)在(1 , )上的最小值为g(x)ming(0)0，110，x1111ln(x1)x． ∴ln(x1)1．综上可知：当x1时，有x1x1∴当x1时，g(x)g(0)0，即ln(x1)【点评】如果f(a)是函数f(x)在区间上的最大（小）值，则有f(x)f(a)（或f(x)f(a)），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．

例2．【分析】函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方不等式f(x)g(x)在(1 ,)上恒成12212xlnxx3，只需证明在区间(1,)上，恒有x2lnxx3成立，23231设F(x)g(x)f(x)，x(1 , )，考虑到F(1)0，要证不等式转化变为：

6立问题，即当x1时，F(x)F(1)，这只要证明：g(x)在区间(1 ,)是增函数即可． 【解析】设F(x)g(x)f(x)，即F(x)22312xxlnx，321(x1)(2x2x1)(x1)(2x2x1)则F'(x)2xx；当x1时，F'(x)0，从xxx而F(x)在(1,)上为增函数，∴F(x)F(1)

10，∴当x1时，g(x)f(x)0，即6f(x)g(x)，故在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)23x的图象的下方． 3【点评】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式．读者也可以设F(x)f(x)g(x)做一做，深刻体会其中的思想方法． 例3．【分析】本题是山东卷的第（2）问，从所证结构出发，只需令

1x，则问题转化为：当x0n时，恒有ln(x1)x2x3成立，现构造函数h(x)x3x2ln(x1)，求导即可达到证明．

13x3(x1)2 【解析】 令h(x)xxln(x1)，则h(x)3x2xx1x1322在x(0 , )上恒正，∴函数h(x)在(0 , )上单调递增，∴x(0 , )时，恒有h(x)h(0)0，即x3x2ln(x1)0，∴ln(x1)x2x3，对任意正整数n，取x1111(0 , )，则有ln(1)23． nnnn【点评】我们知道，当F(x)在[a , b]上单调递增，则xa时，有F(x)F(a)．如果f(a)＝(a)，要证明当xa时，f(x)(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－(x)，就可以利用F(x)的单调增性来推导．也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明F'(x)0即可．

例4．【解析】由已知：xf'(x)f(x)0，∴构造函数F(x)xf(x)，则F'(x)xf'(x)f(x)0，从而F(x)在R上为增函数，∵ab，∴F(a)F(b)，即af(a)bf(b)．

【点评】由条件移项后xf(x)f(x)，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x)xf(x)，求导即可完成证明．若题目中的条件改为xf(x)f(x)，则移项后xf(x)f(x)，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结．

例5．【分析】 对于第（2）小问，绝大部分的学生都会望而生畏．学生的盲点也主要就在对所给函数用不上．如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的．（2）对g(x)xlnx求导，则g'(x)lnx1．在g(a)g(b)2g(数，设F(x)g(a)g(x)2g(ab)中以b为主变元构造函2axaxax)，则F'(x)g'(x)2[g()]'lnxln． 222当0xa时，F'(x)0，因此F(x)在(0 , a)内为减函数；当xa时，F'(x)0，因此F(x)在(a , )上为增函数．从而当xa时，F(x)有极小值F(a)，∵F(a)0，ba，∴F(b)0，即g(a)g(b)2g(ab)0．又设G(x)F(x)(xa)ln2，则2G'(x)lnxlnaxG'(x)0．ln2lnxln(ax)；当x0时，因此G(x)在(0 , )2ab)(ba)ln2． 2上为减函数，∵G(a)0，ba，∴G(b)0，即g(a)g(b)2g(例6．【解析】（1）f'(x)aexx，∵f(x)在R上为增函数，∴f'(x)0对xR恒成立，即axex对xR恒成立；记g(x)xex，则g'(x)exxex(1x)ex；

当x1时，g'(x)0；当x1时，g'(x)0．知g(x)在( , 1)上为增函数，在(1 , )上为减函数，∴g(x)在x1时，取得最大值，即g(x)maxg(1)（2）记F(x)f(x)(1x)ex111，∴a，即a的取值范围是[ , )．

eee12xx1（x0），则F'(x)exx1，2令h(x)F'(x)exx1，则h'(x)ex1；当x0时，h'(x)0，∴h(x)在(0 , )上为增函数，又h(x)在x0处连续，∴h(x)h(0)0，即F'(x)0，∴F(x)在(0 , )上为增函数，又F(x)在x0处连续，∴F(x)F(0)0，即f(x)1x．【点评】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x)（或mf(x)）恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最 值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．

例7．【解析】 对不等式两边取对数得(1)ln(1x)11xx，化简为2(1x)ln(1x)2xx2，2(l1x)，设辅助函数f(x)2xx22(1x)ln(，f'(x)2x2n1x)（x0）又f''(x)2x0（x0），易知f'(x)在(0 , )上严格单调增加，从而f'(x)f'(0)01x（x0），又由f(x)在[0 , )上连续，且f'(x)0，得f(x)在[0 , )上严格单调增加，∴f(x)f(0)0（x0），即2xx22(1x)ln(1x)0，2xx22(1x)ln(1x)，故(1x)11xe1x2（x0）．

1、【解析】f(x)12lnx2a2lnx1，∴f(x)0，即f(x)，当x1，a0时，不难证明xxx 在(0,)内单调递增，故当x1时，f(x)f(1)0，∴当x1时，恒有xln2x2alnx1．

2、【解析】设F(x)g(x)f(x)12x2ax3a2lnxb，则23a2(xa)(x3a)（x0），∵a0，∴当xa时，F'(x)0，F'(x)x2axx故F(x)在(0 , a)上为减函数，在(a , )上为增函数，于是函数F(x)在(0 , )上的最小值是F(a)f(a)g(a)0，故当x0时，有f(x)g(x)0，即f(x)g(x)．

3、【解析】函数f(x)的定义域为(1 , )，f'(x)11x，∴当1x01x(1x)2(1x)2时，f'(x)0，即f(x)在x(1 , 0)上为减函数；当x0时，f'(x)0，即f(x)在x(0 , )上为增函数；因此在x0时，f(x)取得极小值f(0)0，而且是最小值，于是f(x)f(0)0，从而ln(1x)1xa1b1，于是，即ln(1x)1，令1x0，则11x1xbx1aabbf(x)xf'(x)f(x)ln1，因此lnalnb1．

4、0，故【解析】F(x)，F'(x)baaxx2f(x)f(a)f(b)af(b)bf(a)，故选A． F(x)在(0 , )上是减函数，由ab有xab8

第五篇：构造函数法证明不等式

构造函数法证明不等式

河北省 赵春祥

不等式证明是中学数学的重要内容之一．由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使其成为各种考试命题的热点问题，函数法证明不等式就是其常见题型．即有些不等式可以和函数建立直接联系，通过构造函数式，利用函数的有关特性，完成不等式的证明．

一、构造一元一次函数证明不等式

例1设0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，求证：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．

证明：构造一次函数f(x)= x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)，整理，得

f(x)=(1－y－z)x＋(y＋z－yz)其中0＜x＜1，∵0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，∴－1＜1－y－z＜1．

⑴当0＜1－y－z＜1时，f(x)在(0，1)上是增函数，于是

f(x)＜f(1)=1－yz＜1；

⑵当－1＜1－y－z＜0时，f(x)在(0，1)上是减函数，于是

f(x)＜f(0)= y＋z－yz = 1－(1－y)(1－z)＜1；

⑶当1－y－z = 0，即y＋z = 1时，f(x)= y＋z－yz = 1－yz＜1．

综上，原不等式成立．

例2已知 | a |＜1，| b |＜1，| c |＜1，求证：abc＋2＞a＋b＋c．

证明：构造一次函数f(x)=(bc－1)x＋2－b－c，这里，| b |＜1，| c |＜1，| x |＜1，则bc ＜1． ∵f(1)= 1－bc＋2－b－c =(1－bc)＋(1－b)＋(1－c)＞0，f(1)= bc－1＋2－b－c =(1－b)(1－c)＞0，∵－1＜x＜1，∴一次函数f(x)=(bc－1)x＋2－b－c的图象在x轴上方，这就是说，当| a |＜1，| b |＜1，| c |＜1时，有(bc－1)a＋2－b－c＞0，即abc＋2＞a＋b＋c．

二、构造一元二次函数证明不等式

例3若 a、b、c∈R+，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ．

证明构造函数f(x)= x2－(b＋c)x＋b2＋c2－bc ．

因为 △=(b＋c)2－4(b2＋c2－bc)=－3(b－c)2≤0，又因为二次项的系数为正数，所以x2－(b＋c)x＋b2＋c2－bc≥0对任意实数恒成立． 以a 替换 x 得：a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc≥0，即 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ ca．

例4已知a、b、c、d、e是满足a＋b＋c＋d＋e= 8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2= 16的实数，求证：0≤e≤

5．证明：构造一元二次函数

f(x)= 4x

＋2(a＋b＋c＋d)＋a2＋b2＋c2＋d2=(x＋a)2＋(x＋b)2＋(x＋c)2＋(x＋d)2≥0，又∵二次项系数为正数，∴△= 4(a＋b＋c＋d)2－16(a2＋b2＋c2＋d2)= 4(8－e)2－16(16－e2)≤0，解之得0≤e≤

165

．

故不等式成立．

三、构造单调函数证明不等式 例5已知 a＞0，b＞0，求证 ：证明： 构造函数f(x)=

x1x

a1a

＋

b1b

＞

x

ab1ab

．，易证f(x)=

1x

= 1－

1x

当x＞0 时单调递增．

∵ a＋b＋ab＞a＋b＞0，∴ f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)． 故

a1a

＋

b1b

=

ab2ab(1a)(1b)

＞

abab1abab)

=f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)=

13n2

13n1

ab1ab

．

例6对任意自然数n 求证：(1＋1)(1＋

14)·…·(1＋

13n2)＞3n1．

证明：构造函数f(n)=(1＋1)(1＋

13n1)·…·(1＋3，由

f(n1)f(n)

(1)33n1

=

3n4

=(3n2)

(3n1)(3n4)

＞1，∵f(n)＞0，∴f(n1)＞f(n)，即f(n)是自然数集N上的单调递增函数，∴(1＋1)(1＋

14)·…·(1＋

13n2)＞33n1．