AG不等式的证明及其推广（样例5）

第一篇：AG不等式的证明及其推广

平均不等式

AG不等式：

1.中学里面我们称之为基本不等式：

（1）ab

（2）ab（a,b0）2ab0（a,b同号）ba

2（3）a+b22ab（a,b为实数）

1n2.推广：设a=(a1,…，an)，ak0，1kn，则An(a)=ak称为a1，…，an的算术

nk1平均值，Gn(a)=na1a2an称为a1,…，an的几何平均值

Gn(a)An(a)，即na1a2ana1a2an

n

称为AG不等式，当且仅当a1=a1=…=an时等号成立.AG不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题：

（1）其和为S的n个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为(S/n)n.（2）其积为的n个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n2.因此AG不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等.3.加权形式的AG不等式：

nnGn(a,q)An(a,q)，式中Gn(a,q)=（ak）^qk，An(a,q)=qkak，qk0，qk1，k1k1k1n通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记lna=(lna1,…，lnan)，则lnGn(a,q)lnAn(a,q)，即正数a1，…，an的加权几何平均Gn(a,q)的对数等于a1，…，an的对数lna1,…，lnan的加权算术平均.同时，对于加权形式的AG不等式的进一步推广是：设ajk>0，qk>0，且mnnmqk1nk1，则

((aij)^qk)(ajk)^qk，当且仅当j1k1k1j1aj1mj1j1=

aj2mj2j1=…=

ajnaaaj1m，（j=1,…，m）

jn时等号成立.4.关于AG不等式的证明：

这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将a1a2an记为Gn(a)An(a)，并设a1，…，an是不全相等的正

na1a2an数（因为a1=a1=…=an时，等号成立），与na1a2an等价的是：

nna1a2an

若ak1nnk1，则akn;

k1nn

若ak1，则ak(k1k11n).na1a2an成立，容易推出n=2k的n+1821年Cauchy用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明：

第一步：假设n=k时，na1a2an时候该式也成立：

a1a2k2k=12（a1a2akkak1ak2a2kk）

12[(a1ak)1/k+(ak1a2k)1/k](a1akak1a2k)1/2k

由此推出n=2时，na1a2anmm

a1a2an成立.nm第二步：设n2，则比存在rN，使得n+r=2.An(nr)An(a1an)(AnAn)[a1anAnAn]1/(n+r)（有r个An连nrnr乘）=[Gn^nAn^r]1/(n+r).即Ann+rGnnAnr.从而AnGn.另外一种思路是从An1Gn1推出AnGn成立，事实上

nAnAna1anAna1a2anAn1/(n+1)，即Ann+1a1anAn，从而n1n1Anna1an=Gnn，即AnGn.An

同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立

ak1nk1，则akn

k1n证明如下：n=1时，命题显然为真.假设n1时，命题为真，当n1时，若所有的xk1，则其和等于n1，不然不妨设x11,xn11（对若干个xi进行一个排列，把最小的重新定为x1，最大的定为xn1），我们记yx1xn1，这时便有x2x3xny1，由于归纳假设

x2x3xnyn ①

另外，x1xn1yx1xn1x1xn1(1x1)1xn11

②

①+②得，x1xn1n1，因而对n1的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954)

教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式，AG不等式只是其中的一种特殊情形。下证明：Gn(a,q)An(a,q)，式中

Gn(a,q)=（ak）^qk，An(a,q)=qkak，qk0，k1k1nnqk1nk1，证明：注意到如果ak中有等于0时，不等式自然成立，现在只需要考虑ak都是正数的情况.因为指数函数e^xexp(x)为严格的上凸函数，所以我们有：

nnn(ak)^qk=expklnakkexp[lnak]kak，当且仅当ak都相等k1k1k1k1n的时候成立。

这时候我们再令k1,k1,2,n时，该式子就是非负的几何平均数不大于n算术平均数（AG不等式）

还可以利用Young不等式：a1/p

b1/q1/pa1/qb，1/p1/q1,1p，得到

an11/n·An1(1-1/n)111An1 nan1n111An1.nan1n1/2n记Gan11/n·An1(1-1/n)，A则An1AnAAnAGnGGn1^(n1)An1^(n1)2，即An1Gn1.证毕！（Diananda）

补充说明的是young不等式的证明： Young不等式（p-q不等式）：设p,q0,111，则当1p时，成立 pq11p|ab||a|q|b|q；当0p1的时候，不等式反向，当且仅当|b||a|p-1的时候p等号成立.证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：

①代数方法：利用Bernoulli不等式：x0,01.(x)^1x1.再取q

1,xbq/ap.(Bernoulli不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明)

②微分法：固定x0,求一元函数

y1x^p1y^qxy在[0,)上的极值，在pq1）时取到最小值.即yy00.q1y0x0^（式中

③积分法：设yx是[0,a]上严格递增的连续函数，比较面积得 ab，xdxydy,a,b0（这里的和函数互为反函数）

00ab然后我们取xxp-1即可证得！

④考虑二元函数

f(x,y) xyx1/py1/q 在凸域D{x,y:x,y0}上的凸性.pqLagrange乘数法：求fxnx1xn在条件x1xna下的最大值，作辅助函数Fxx1xn1/n+(x1xna).F对xk求偏导数F'xk0，得出

fxnkxk,k1,,n.即

对k求和，得到nfxnx1xnna.即

f(x)a.由以上两个式子，我们可以得到

xkaaa.于是f在,,点取得最大值nnnna1aaa即nx1xnx1xn.，nnnnn

再补充利用四个个不等式去证明的方法： 利用不等式expx1x，得出

nnakakakGn1exp(0)exp{n}exp{1}n.AnAnk1Ank1k1Ann利用不等式exp(x)xexe，即xelnx.于是

akelnak,k1,,n.我们可以选择权系数q(q1,,qn),qk0,且

qk1nk1,使得

Gn(a,q)(ak)^qke.k1n于是从akelnak,k1,,n.式子对k求和，得到

nnqkakeqklnakelnak^qkeak^qk，这就是加权平均不等式.k1k1k1k1nn

利用不等式lnxx1x0,得到logakAkak1,对k求和得到，AknaknGnnakGnakk1即loglog^nnlog()0.从而我们log()n0,AnAnAnk1k1AnAn得到

利用不等式 x[n(x)^(n1)]n1,x0.logGnGn0,即1.证毕！AnAna2ana11/(n-1)na1n-1，取x()，则从不等式上方的不等式得到Ann1An对上式逐次使用不等式得到：An（Akerberg,B.1963）

n

a3ana1a2n-2a1a2an(Gn)n.证毕！

n2

5.深度的推广

我们通过加权平均不等式来证明：设aik0,k1,n,i0,i1,,m,m1.ii1mmn则有不等式aik^iaik^i

k1i1i1k1n证明：当上述右边等于0时，显然左边也等于0.我们考虑右边不为0的情况，利用加权平均不等式，得：

mnaik^iaikmnnnmmaikaikk1i1^iik1i1innmnnk1i1k1i1i1i1aikaikaikaik^ik1k1k1i1k1n

当且仅当m个向量ai1,,ain，i1,,m.成比例时成立.证毕！特殊的情况：

当m2,a1kxkp，a2k(yk)q，111,2,121时，这就是 Hölder不等式，pq n1/pn1/q

+xkykxk^pyk^qk1k1k1n上式中当且仅当向量(x1)^p,,(xn)^p与向量(y1)^q,,(yn)^q成比例时等号成立.再对上式中取n2,pq2时就得到Cauchy不等式.当且仅当x1,,xn和向量y1,,yn成比例时等号成立.当然还能推导得到Minkowski不等式，这里由于篇幅有限，不再叙述，请感兴趣的读者参考其他书籍！

第二篇：一道不等式的几种证明和推广

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一道不等式的几种证明和推广

作者：陈兵兵 魏春强

来源：《学园》2013年第30期

【摘 要】本文对一道不等式给出了几种证明并对其进行了推广，以期能给大家以参考。

【关键词】不等式 证明 推广

【中图分类号】O178 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）30-0076-01

第三篇：两个常见不等式的证明及推广

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两个常见不等式的证明及推广

作者：姬婷 魏春强

来源：《学园》2013年第13期

【摘 要】本文根据两个常见不等式的证明和分析，引发联想，进而推广，得到命题1和命题2。

【关键词】平均值不等式 幂平均不等式 推广

【中图分类号】O12 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）13-0016-01参考文献

[1]陈传理、张同君.竞赛数学教程[M].北京：高等教育出版社，2004

〔责任编辑：庞远燕〕

第四篇：不等式证明

不等式证明

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

第五篇：不等式证明

不等式的证明

比较法证明不等式

a2b2ab1.设ab0，求证：2.ab2ab

2.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

（1）已知x、y都是正实数，求证：x3y3x2yxy2；

（2对满足xyz1的一切正实数 x,y,z恒成立，求实数a的取值范围

.,1综合法证明不等式（利用均值不等式）3.已知abc, 求证：1 114.abbcac

4.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac3；

a2b2c2

1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x32x1的解集;

121225（a)(b)a,bR,ab1ab2.（2）已知，求证：

6.若a、b、c是不全相等的正数，求证：

分析法证明不等式

7.某同学在证明命题“7要证明732”时作了如下分析，请你补充完整.62，只需证明________________,只需证明___________,＋292，展开得9即,只需证明1418,________________,所以原不等式:62成立.22263,(72)(63)，因为1418成立。

abc8.已知a,b,cR。3

9.(本题满分10分)已知函数f(x)|x1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)f(x4)8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|1,|b|1，且a0，求证：f(ab)|a|f().10.（本小题满分10分）当a,bMx|2x2时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.反证法证明不等式

11.已知a，b，c均为实数，且a=x2y+2baπππ22，b=y2z+，c=z2x+，236

求证：a，b，c中至少有一个大于0.12.（12分）若x,yR,x0,y0,且xy2。求证：1x和1y中至少有一个小于2.yx

放缩法证明不等式

13.证明不等式：1111121231

123n2

214.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4SnannN,且

14n1,a2,a5,a14构成等比数列．

(1)证明：a2

(2)求数列an的通项公式；an2n1

(3)证明：对一切正整数n，有11a1a2a2a311． anan12

15.设数列an的前n项和为Sn.已知a11,2Sn12an1n2n,nN*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a24(Ⅱ)求数列an的通项公式；ann2(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有数学归纳法证明不等式

16.(本小题满分12分)若不等式11

n1n21a对一切正整数n都成立，求正3n12411a1a217.an4

整数a的最大值，并证明结论．25

17.用数学归纳法证明不等式：

．