比较法证明不等式

第一篇：比较法证明不等式

比较法证明不等式

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-

4下面这个方法算不算“比较法”啊?

作差M=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

构造函数M=f(c)=(a+b)c+ab+4

这是关于c的一次函数(或常函数)，在cOM坐标系内，其图象是直线，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因为a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因为a>-2,b>-2)

所以函数f(c)在c∈(-2,2)上总有f(c)>0

即M>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)²≥0

(2y-1)²≥0

x²-2x+1≥0

4y²-4x+1≥0

x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

x²+4y²+2≥2x+4x

除了比较法还有：

求出中间函数的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x为R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原题得到证明

比较法：

①作差比较，要点是：作差——变形——判断。

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

根据a-b>0a>b，欲证a>b只需证a-b>0;

②作商比较，要点是：作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

当b>0时，a>b>1。

比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)

综合法是从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法。

第二篇：4.1 比较法证明不等式

§4 不等式的证明

4．1 比较法证明不等式

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：选D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小关系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：选D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝2

411P＝>0，a＋a＋123a＋1＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，则()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：选B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，则＝<0，a＋1b＋1a＋1b＋1

11∴a＋1b＋1

an4．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．与n的取值有关

an＋1an解析：选B.an＋1－an＝－ bn＋1＋1bn＋1

a＝，bn＋b＋1bn＋1

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．设x2，y73，z＝6－2，则x，y，z的大小关系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：选D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不确定

解析：选B.∵{an}为等比数列设公比为q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}为等差数列，设公差为d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．设a，b，m均为正数，且，则a与b的大小关系是________． aa＋m

b＋mbma－b解析：>0，a＋maaa＋m

又a，b，m为正数．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，则________1.Bxx－3

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.xx－3

又因为B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．设n∈N，n>1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系是________．

logn＋1n＋2解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n lognn＋1

logn＋1n＋2＋logn＋1n2≤2

logn＋1n2＋2n2＝2

logn＋1n＋122<2＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正数，x、y∈R，且a＋b＝1.求证：ax2＋by2≥(ax＋by)2.证明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，证明：aabbcc≥(abc.3解析：因为f(x)＝

证明：＋＋＝abc3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在题中的地位相当(全对称性)，a－ba不妨设a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c从而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得证．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.abc3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋证明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

当a>b时，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

当a0；

当a＝b时，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.综上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

第三篇：§2.5.1不等式的证明 比较法

高一数学【学案】第二章《不等式—*不等式的证明》

§*2.5.1不等式的证明（1）—比较法

掌握用比较法证明简单不等式

.问1什么是比较法？如何运用比较法证明不等式？

例1（P47例1）比较x2与2x2的大小.例2（人教B版选修4-5P19例2）

已知：b，m1，m2都是正数，ab，m1m2，求证：

am1am2.bm1bm

2例3已知：f(x)x3，若x1,x2R，且x1x2，求证：f(x1)f(x2).8-

高一数学【学案】第二章《不等式—*不等式的证明》 例4设a、bR

例5设a、bR，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)（nN*）.x21n例6设函数f(x)2，求证：对任意不小于3的自然数都有f(n).x1n1

1.比较3x和2x1的大小.2.比较(acbd)和(ab)(cd)的大小.3.用比较法证明：abcabbcac.222222222

a2b2

ab.4.已知a，b为正数，用比较证明：ba

5.设a，b，c为不全相等的正数，用比较法证明：

2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).6.已知xyz1，用比较证明：xyz

2221.3-89-

第四篇：g3.1038 不等式的证明—比较法

g3.1038 不等式的证明—比较法

一、基本知识

1、求差法：a＞b a－b＞0

a2、求商法：a＞b＞01并且b0 b3、用到的一些特殊结论：同向不等式可以相加（正数可以相乘）；异向不等式可以相减；

4、分析法——执果索因；模式：“欲证„，只需证„”；

5、综合法——由因导果；模式：根据不等式性质等，演绎推理

6、分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.二、基本训练

1、已知下列不等式:

(1)x232x(xR)(2)a5b5a3b2a2b3(a,bR)(3)a2b22(ab1)其中正确的个数为 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„()

(A)0(B)1(C)2(D)32、1＞a＞b＞0，那么„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

abab(A)a＞＞ab＞b(B)b＞＞ab＞a2

2abab(C)a＞＞b＞ab(D)＞ab＞a＞b 22



3、如果－＜b＜a＜，则b－a的取值范围是„„„„„„„„„（）2

2(A)－＜b－a＜0(B)－＜b－a＜(C)－＜b－a＜0(D)－＜b－a＜222

4a4、已知a2,那么（填“>”或者“<”）4a

2a5、若a1，0b1，则logb

alogb的范围是_____________

6、若abc1，则a2b2c2的最小值为_____________

三、例题分析：

例

1、求证：若a、b>0,n>1,则anbnan1babn

1例

2、已知：a、b



例

3、a、b、c、d、m、n全是正数，比较p=abcdq=manc

例

4、比较aabb与baab(0ab)的大小。变题：求证：ab(ab)

例

5、a∈R，函数f(x)a2 x21abab2bd的大小.mn(a0,b0)

(1)判断此函数的单调性。

n2(2)F(n)=,当函数f(x)ax为奇函数时，比较f(n),F(n)的大小.n12

1例

6、设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x0的两个根x1、x2满足0x1x21。a

（1）当x(0,x1)时，证明：xf(x)x

1（2）设函数f(x)的图象关于直线xx0对称，证明：x0

四、同步练习：g3.1038 不等式的证明—比较法

1、不等式：⑴x3＋3>2x；⑵a5＋b5

(A)⑴、⑵(B)⑴、⑶(C)⑶、⑷(D)⑴、⑵、⑶、⑷

2、对xR都成立的不等式是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„()

(A)lg(x21)lg2x(B)x212x(C)

3、0＜a＜1，F=2a，G=1a，H=12(D)x44x12x11，那么F、G、H中最小的是„„„（）1a

(A)F(B)G(C)H(D)不能确定

4、a>b>0，则下列不等式恒成立的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

b21b22abb11(A)2(C)ab(D)aa>bb (B)2a2baaba1a5、x>100，那么lg2x,lgx2,lglgx从大到小的顺序为.7(2x2y)

6、若x、y满足yx2，则式log2的符号是________。8227、a＞0，b＞0，a＋b=1，比较M=x＋y与N=(ax＋by)2＋(bx＋ay)2的大小.8、比较xn1yn1与xnyxyn(nN,x,yR)大小

9、已知△ABC的外接圆半径R=1，SABC

t111。求证：ts abc1，令sac，b、a、c是三角形的三边，4a2b2ab2()

10、设a、b为实数，求证：

4211、已知正数a、b、c满足ab2c，求证：

（1）c2ab

（2）cc2abacc2ab

答案：DDAD5、lg2x>lgx2>lglgx6、“+”、MN.8、xn1yn1xnyxyn

第五篇：2.3：不等式的证明比较法

2.3不等式的证明（1）比较法

【知识要点】

1．作差比较法：

ab0ab

理论依据：ab0ab

ab0ab

证明步骤：（1）作差；（2）变形；（3）判断。

1．作商比较法：

aba

b

a

b

a

b11 1理论依据：当a,bR时，abab

证明步骤：（1）判断（判断能否作商）；（2）作商；（3）变形；（4）判断。

【基础训练】

1． 已知a,b(0,)，设A

12a1

2b,B

2ab，则A、B的大小关系为______________。

2． 已知a,b

是两个不相等的正数，M

为______________。

3． 若x³

ab2N，则M与N的大小关系a+b2的大小关系为______________。4．若a>0,b>0，则ab与(ab)

【精选例题】 的大小关系为____________。

例1． 已知a,bR，求证：a2b2c2abbcac。

解法指导：对于二次型的不等式的证明，我们可考虑“作差法、配方法、判别式”。方法一：2(a2b2c2)2(abbcac)abaccb0 所以a2b2c2abbcac。22

2a2bc22abbcaca

22(bc)abcbc222bcbc22bcbc方法二：a22

bc3(bc)a02422

所以a2b2c2abbcac。

方法三：a2b2c2abbcaca2(bc)ab2c2bc

D=(b+c)-4(b+c-bc)0

所以a2b2c2abbcac0，所以a2b2c2abbcac。思考题：已知a,bR，求证：a2b21abab。方法一：作差整理成关于a的二次式，再配方。方法二：作差整理成关于a的二次式，再用证明。

例2．（2000年上海春季高考题）设函数f(x)|lgx|，若0ab且f(a)f(b)，证明：ab1。

解法指导:利用等价命题证明。

证明：f(a)>f(b)?|lga||lgb|?|lga|2|lgb|2?lg2a

?(lga

lgb)(lga-lgb)>0圩lg(ab)lg

ab

<1，所以lg

abab>0

lgb>0，因为0ab，所以0<

<0，所以lg(ab)<0，即得ab<1。

例3．某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦a元/kg，二等小麦b元/kg(ba)。现有一等品小麦xkg，二等品小麦ykg。若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？ 解：平均价格为

ab2

元/kg4。如以此价格统一收购，则收购费用为

ab2

(xy)

元；

而原定方案收购费用为（axby）元。因为(axby)

ab2

(xy)

(ab)(xy)。

又因为ba，所以ab0，所以

（1）若xy，则收购站得利；（2）当xy时，两种方案费用一样；（3）当xy时，则收购站吃亏。

例4．已知函数f(x)logax(a0,a1,xR)，如x1,x2R，判断[f(x1)f(x2)]与

f(x1x2

212)的大小并加以证明。

x1x2

2x1x2

2)logaloga

x1x2

解：[f(x1)f(x2)]—f(=

logax1logax2loga

1因为x1,x2

R，所以

x1x2

x1x2时取等号。

（1）当a1时，12

[f(x1)f(x2)]f(1

x1x2

22)；)。

（2）当0a1时，[f(x1)f(x2)]f（x1x2

【能力训练】

一、选择题： 1．已知a>0,a?1,P（）

（A）P>Q（B）Pa+b”的（）

（A）充分条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既不充分又不必要条件

3．现给出下列三个不等式：

(1)a+1>2a;(2)a+b>2(a-b-

2loga(a-a+1),Q=loga(a-a+1)，则

P与Q的大小关系为

32);(3)(a+b)(c+d)>(ac+bd)，其中恒成立的不等式共有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

4.设复数z1,z2且M=z1z2+z1z2,N=z1z1+z2z2,则M、N的大小关系为（）（A）M³N（B）M>N（C）M£N（D）不能比较大小

二、填空题： 5．若a>0,a刮1,m,n

骣

N

*，则1+am+n_________am+an（比较大小）。

p÷

6．当xÎç。0,÷时，1-cosx________sinx（比较大小）çç桫2÷

7．设x?R+,P

2+

2x-x,Q=(sinx+cosx)，则P、Q之间的大小关系为________。

8．设xÎR，则1+2x4______2x3+x2（比较大小）。

三、解答题： 9．设a,b,c?R+,ab

bc+ac=

1，证明：a+b+c。

10．设a>0,b>0,证明下列不等式。（1）a2+b2+2?2a2b

（2

11．设an是由正数组成的等比数列，log0.5Snlog0.5Sn2

log0.5Sn1。

Sn是其前n项的和。证明：