第 29 讲 不等式的证明(第1课时-比较法与综合法)

第一篇：第 29 讲 不等式的证明(第1课时-比较法与综合法)

第 29 讲 不等式的证明-比较法与综合法

（第1课时）

差比法比较法商比法综合法方法

分析法

反证法数学归纳法

放缩三角换元换元不等式的证明整体代换配方

拆项技巧利用函数的值域和单调性一式的平方不小于零

利用基本不等式均值不等式倒数的和不小于2

 利用不等式的性质

重点：1．差作法和商比法；2．综合法和分析法；3．其它方法的简单应用。

难点：1．分析法的灵活运用；2．放缩技巧的使用。

3．了解证明不等式的其它方法。

⑵ 证明不等式常用的主要技巧：放缩，换元，配方，拆项，利用基本不等式，利用不等式的性质，利用函数值域和函数的增减性。

⑶ 证明不等式常用的基本不等式：

① 一式的平方不小于零。

2222即 a0（aR）或(ab)0（a,bR）。后者的变式为：ab2ab 或

a2b22ab。

② 两个大于零的式子的算术平均值不小于它们的几何平均值。即

ab

ab（a,b0），可推广至多个式子。

2③ 倒数的和不小于2。

ba

2（a,b同号）。ab

上述基本不等式中，当且仅当 ab 时取等号。

2222

前三个基本不等式的内在联系为：a0 (ab)0  ab2ab 

即

aab

ab2ab 

ab

ab。2

1．比较法 ⑴ 差比法

要证AB，只要证AB0。例．求证：3(a2b)8ab。证明：∵ 3(a22b2)8ab3(a

4b222)b0，3

3∴ 3(a2b)8ab。

点评：本题使用差比法。证明不等式时，要判断一式是否大于零，有时需要使用配方法以及基本不等式。本题使用了配方法以及基本不等式“一式的平方不小于零”。

⑵ 商比法

要证AB，当A，B0 时，只要证法。

例．已知 ab0，求证：aabbabba。

A

1。当不等式两边是积或幂的形式时，可用此B

aabbaabba

()ab 证明：baab

bab

aa

∵ ab0，∴ 1，又 ab0，∴()ab1，bb

abba

又 ab0，ab0，∴ aabbabba。

点评：本题使用商比法。

2．综合法

所谓综合法就是从已知或以证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果），综合法的特点是表述简单、条理清楚，所以在实际证题时，往往先用分析法来寻求证明途径，而后用综合法来书写证明过程。

例．求证：log2log52。

证明：∵ 底数大于1的对数函数是增函数，∴ log2log5log23log53log

2log2log5log527 32

252

3点评：本题使用综合法，利用了缩放技巧。所谓“缩放”，就是在待证不等式两边的值的中间找一个或多个中间量，再根据不等式的传递性来间接证得结论成立。缩放时可以舍去或加上一些项；也可以加大或减小一些项；还可以把分子或分母放大缩小。证对数不等式的关键在于利用对数函数的性质。

1。1（n为正整数）

2n1n22n111

证明：∵  ⑴

2nn1n111

 ⑵

2nn2n

例．求证：„„„„

111（n）2nnnn

11111

把上述各式相加得 nn，2nn1n22nn

1111即 1。

2n1n22n

点评：本题使用综合法，利用了放缩技巧。这里是把各式相加，有时需要把各式项乘，例如

习题中的第7题。

例．若 p0，k为大于1的整数，求证：(1p)1pk。

证明：∵ k为大于1的整数，故利用二项式定理得(1p)1CkpCkpp，∵ p0，∴ 1CkpCkpp 的所有项都是正的，∴ 1CkpCkpp1Ckp1kp，∴(1p)1pk。点评：本题使用综合法，利用了二项式定理以及缩放技巧。例．求证：11。!22!33!nn!(n1)!（nN）证明：∵ kk!(k1)!k!（kN），∴ 原不等式左边(2!1!)(3!2!)(4!3!)[(n1)!n!]

k

k

k

k

k

k

(n1)!1(n1)!右边

点评：本题使用综合法，利用了拆项技巧。

1x23x4例．求证不论x为何实数，都有 27。

7x3x

4x23x4

证明：设 2y，即(y1)x2(3y3)x4y40，x3x4

∵ x为实数，∴ 9(y1)16(y1)0，即(7y1)(y7)0，1x23x41

∴ y7，即 27。

7x3x47

点评：本题使用综合法，利用函数的值域证不等式。即要证ya（或ya），可先找出

一个关于y的不等式，再解出y。

例．已知 2x4y1，求证：xy

。20

(14y)，2

1111

则 x2y2(14y)2y2(5y1)20，204205111

∴ x2y2，当 x，y 时等号成立。

2010

5证明：由 2x4y1 可得 x

点评：本题是条件不等式证明，证条件不等式与证一般的不等式并没有什么不同，关键在于

条件的转化应用。可以利用条件消元，再运用比较法证明。要证最后一式的大于零或小于零，往往需要配方。

DS

02,03

不等式证明 差比法 商比法 综合法 放缩 换元 配方 拆项

利用基本

不等式 2 利用不等式的性质 利用函数值域 技巧利用函数的增减性2 3 4 5 6 7 8

√ √√√ √ √√√√√√ √√

1．a、b为互不相等的正数，求证：ababab。证明：∵ ababab(ab)(ab)0，∴ ababab。

点评：本题使用差比法，使用技巧“一式的平方不小于零”。2．已知a2，求证：loga1alogaa1

1loga(a1)loga(a1)1，loga(a1)

loga(a1)loga(a1)

∵ a2，∴ loga(a1)0，loga(a1)0，解法一： loga1aloga(a1)

loga(a1)loga(a1)2[loga(a21)]2[logaa2]2

∴ loga(a1)loga(a1)[]1

244

∴ loga1aloga(a1)0。

解法二：∵ a2，∴ loga(a1)0，loga(a1)0，loga(a1)loga(a1)2[loga(a21)]2[logaa2]2

而 loga(a1)loga(a1)[]1

244

loga1aloga(a1)1∴ 1，loga(a1)loga(a1)loga(a1)loga(a1)∴ loga1aloga(a1)0。

点评：解法一使用差比法，解法二使用商比法。

2463

3．若 a0，求证 1aaa4a。

证明：∵ a0，∴ 1a2a2a ⑴，aa2aa2a ⑵，⑴+⑵得 1aaa4a。

ab

ab。2

1111

4．求证：22222（nN）。

123n1111

证明：∵ 2（k=2，3，„，n）

k(k1)k1kk

1111111

∴ 原不等式左边2()()()

1223n1n1

1(1)22右边

nn

点评：本题利用基本不等式

点评：本题使用综合法。利用了拆项技巧。改用

111111

()也可。22nn1(n1)(n1)2n1n1

1222

5．若 xyz1，试证：xyz。

证明：令 xt，y2t，z3t（t为实数），333111

x2y2z2(t)2(2t)2(3t)2

33312141

tt2t4t22t9t2 9393911

14t2（∵ t为实数，∴ t20）33

当 t0，即 xyz 时，上式取等号。

点评：本题使用综合法，利用了换元技巧。题设为线性方程形式的不等式证明，根据线性方程的特点适当引入参数可使问题简化。

6．已知 0x1，a0，a1，求证：loga(1x)loga(1x)。证明：∵ 0x1，∴ 01x1，1x1，01x1，当 a1时，loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0

当0a1时，loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0

∴ loga(1x)loga(1x)。

点评：本题使用综合法，利用了函数增减性。

135991。24610010

99100123456

证明：∵ ，，，„„，

100101234567

***

把上述各式两边项乘得 ，

246100357101

13599

两边同时乘以  得

246100***013599()()()，***1001359921即(，)

***1∴ ，24610010110

7．试证：

∴ 原不等式成立。

点评：本题使用综合法，利用了放缩技巧。

第二篇：不等式的证明——比较法、综合法、分析法

不等式的证明—比较法，综合法，分析法 典型问题:

（一）比较法证明不等式

amamam1,求证:1.已知a,b,m,nR,且bnbn bn

2.a,b,m,nR

3.ab,求证：abmnbmn1a2abab1b2mnnm 21a20,求证:()21b2()a

3322ab0ababab4.已知，求证：

（二）综合法证明不等式

a,b,cR1.设,3332222222(abc)abacbabccacb6abc.求证:

a,b,cR2.已知,且abc1,求证: 1119(1)abc

12418(2)abc

1b)(1c)(3)(1a)(8abc111(1)(1)(1)8(4)abc

（三）分析法证明不等式

1.证明：3222722x3y3已知x0，y0xy2.ab0abab 3.设,求证:

4.若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证:logaclogbc4lgc

41ab.5.已知a0,b0,ab,且abab，求证：33322

6.实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,求证:

a,bR,2cab,求证: 7.已知bac3a.2

(1)cab cabaccab.2(2)c2222（ab）ab（ab）ab8.已知a0，b0，ab 8a28b9.已知a,b,cR,且ab+bc+ca=1,abc3(abc)求证:bcacab

第三篇：比较法、分析法、综合法、换元法证明不等式

2a b 11ab

2a2 b22ab a2 b1(ab)2

22 2ab整式形

式 ab2 22ab ab2  a bab2 根式形式22 ba2(ab) b a分式形2(a,b同号） ab1 0a2aa 倒数形式1 a0a2a

1.比较法、分析法、换元法

一.比较法（作差比较或作商比较）

1）作差比较法：要证不等式abab，只需证ab0ab0即可。其步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论。

2）作商比较法：若b0，要证不等式ab，只需证

作商、变形、判断与1的大小、得出结论。

222222例1.设abc，求证：bccaabbccaab aa1，欲证ab，需证1。其步骤为：bb

22例2（1）证明不等式ababab

1abba（2）若a>b>0，求证：abab

ba

2abb（3）若a>b>0，求证：a

二.分析法

a3b3ab3()22例2已知a>0，b>0，求证：

2222证法二由(ab)0，得a2abb0，aabbab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(ab)(aabb)ab(ab)，33223322∴ababab，3a3b3ab3ab 22

∴4a4ba3ab3abb(ab)，333223

3a3b3(ab)3

28∴，a3b3ab3()22∴。

2ab练习．1.已知ab0，求证：8aab abab28b2

2.求证

a2b2aa

均值不等式

例3已知a、b、cR，且a+b+c=1。

111(1)(1)(1)8bc求证：（1）a

（2）abc

例4设a、b、c、dR，令sabcdadbbcacdbdac，求证：1

114例5已知a>b>c，求证：abbcac

2.均值换元法：

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。例2.已知a，bR且ab1，求证：a2b2

2225 2

例3.设a，b，c为三角形三边，求证：

4.增量换元法： abc3 bcaacbabc

例4.已知a2，b2，求证：abab

第四篇：不等式 第17课时

第十七教时

教材：含绝对值的不等式

目的：要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证

明有关含绝对值的不等式。

过程：

一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法当a>0时，|x|aaxa|x|axa或xa

二、定理：|a||b||ab||a||b|证明：∵

|a|a|a|

|b|b|b|

(|a||b|)ab|a||b|

|ab||a||b|①

又∵a=a+b-b|-b|=|b|

由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b|② 综合①②: |a||b||ab||a||b| 注意：1 左边可以“加强”同样成立，即

|a||b||ab||a||b|

2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”

推论1：|a1a2an|≤|a1||a2||an| 推论2：|a||b||ab||a||b|

证明：在定理中以-b代b得：|a||b||a(b)||a||b|

即：|a||b||ab||a||b|

三、应用举例

例一 至 例三见课本P26-27略 例四 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2

证明：当a+b与a-b同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2

当a+b与a-b异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2 ∴|a+b|+|a-b|<2

例五 已知f(x)x2当ab时 求证：|f(a)f(b)||ab|证一：|f(a)f(b)||a2

1b2

1|

a21b21a2

1b2



1|a2b2|a21|(ab)(ab)|

b21

a2b2



|ab||(ab)|

|a||b|



(|a||b|)|ab|

|a||b|

|ab|

证二：（构造法）

如图：OAf(a)a

2A

B

OBf(b)b2

|AB||ab|

O

a

b

由三角形两边之差小于第三边得：|f(a)f(b)||ab|

四、小结：“三角不等式”

五、作业：P28 练习和习题6.5

第五篇：2.4：不等式证明综合法与分析法

2.4不等式的证明（2）综合法与分析法。

【知识要点】

综合法：从已知出发，通过一系列正确的推理，得出结论的证明方法。（由因导果）分析法：从要证明的结论出发，寻找使命题成立的充分条件。（执果素因）分析法书写格式：

题目：已知A，求证B。

证明：要证B成立，只要证B1成立；要证B1成立，只要证B2成立；只要证A成立。而A是成立的，所以B成立。

注意：

1．在具体处理问题时，常常是先用分析法分析，再用综合法证明，二种方法结合使用。

2．如果采用分析法证明时，要注意书写的要求。

【基础训练】

1．判断下列推理是否正确：

（1）若a¹b，要证明a2+b2<1+a2b2，由于2ab

（2）要证|a+b|?|a||b|，只要证(|a+b|)?(|a|2|b|)。（）

2（3）要证a

2．某工厂第二年增长率为a，第三年增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）

a+ba+ba+ba+b（A）x³（B）x>（C）x£（D）x< 2222

1a+b

3．若a>b>1,P=Q，则（）(lga+lgb),R=lg22

（A）R

骣骣骣111 4．设a,b,c为正数，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，则（）c 桫桫桫ab

（A）0?M

【精选例题】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M³8

例1．设x?R,0a<1，求证：logaax+a-(x2)

解法指导：用综合法证明，也可采用分析法证之，要证logaa+a

只要证logaa+a(x-x2)

18(x-x2)骣1

8÷

2a<1，所以只要证a+a2-x2>2a。证明：因为a>0,所以ax>0,a-x>

0，所以ax+a-x匙，骣1÷11又因为x-x2=-çx-÷+，0

4ì1ïïx=2a，由于ï2不成立，所以上式等号不能成立，íï2ïïîx=-x18

22所以所以logaax+a-x

1例2．设a,bR,c0，求证：|ab|2(1c)|a|2(1)|b|2。c

解法指导：可以采用先分析后综合的方法处理。11方法一：原不等式a2b22aba2ca2b2b2ca2b22ab cc

12ab。因为c

0，所以ca2b2)2)2c方法二：用分析法写（略）。

1125例3．设x,y是正数，且xy1，求证：(x)2(y)2。xy2

11解法指导：如果用基本不等式x2,y2，则只能得出左边大于4的结论，而xy

得不出要证明的结论。这时可以考虑用分析法处理。证明：原不等式x2

(12xy)(11117117222y(xy)1x2y22 x2y22117)。22xy2

(xy)21117，所以(12xy)(122)成因为设x,y是正数，且xy1，所以xy44xy2

立。故要不得证不等式成立。

思考：还有其它方法吗？ 11111因为2(x)2(y)2(x)(y)125。xyxyxy22

变题1：设x,y是正数，且xy1，求证：（证明：（略）111)(1)9。22xy

1125变题2：设x,y是正数，且xy1，求证：(x)(y)。xy4

1125xy125证明：要证(x)(y)成立，只要证：xy，xy4yxxy4

因为 x,y是正数，所以只要证4(x2y2x2y21)25xy，又因为xy1，所以只要

33332332

证4(xy12xy1)25xyxyxy20(xy)220 488

(xy)2***332

，所以(xy)22()220。又因为xy8848844

【能力训练】

一、填空题 222

21．已知a,bÎR+，则下列不等式：

(1)a+b+（a骣1b)ç+çç桫a1÷2+2

÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。

bb+m2．设a,b,mÎR+，若<成立，则a,b的大小关系为____________。aa+m

二、选择题

3．(2004年辽宁)对于0

11+111+a ①loga(1+a)loga(1+)③a

④a1+a>a1+

1a其中成立的是________.4.（2005年山东）0a1，下列不等式一定成立的是（）

（A）log(1a)(1a)log(1a)(1a)2（B）log(1a)(1a)log(1a)(1a)

（C）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)

（D）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)

三、解答题

5.设g(x)=a b),求证|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.设n>0,求证

:

7.若a,b,c均为大于1的数,且ab=10,求证:logac+logbc 4lgc.118.已知命题:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab

（1）证明这个命题为真命题；

（2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推广上述命题，并加以证明；

（3）将上述命题推广为关于n个正数的命题（不必证明）。