第一篇:第3个有趣不等式的证明
第3个有趣不等式的证明
张家界市永定区永定小学覃文周QQ65785898
2安振平老师提出的 “三十个有趣的不等式”的第3个是:
有趣不等式3:设实数x、y满足x+y=2,求证:x+y≤2.证明: 由x+y=2>0,得x>-y.∴x >-y,即x+y>0.由32(x+y)-2(x+y)=5(x-y)(x+y)[3(x+y)+3(x+y)]≥0得(x+y)≤32,∴ x+y>≤2.等号当x = y = 1 时成立555 2222555555
第二篇:几个有趣不等式的证明(本站推荐)
几个有趣不等式的“函数法”证明
江苏省常熟市中学 査正开 215500
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安振平老师在“二十六个优美不等式”(文[1])的基础上又给出了“三十个有趣的不等式”(文[2]),这些不等式既具有较强的趣味性又富有相当的挑战性,很有研究价值。本文将对其中的三个三元条件不等式给出统一“函数法”这一初等的证明,供参考。
有趣不等式12设x,y,z0 , xyz1求证: xy8z4 证明:记Axyz,由对称性不妨设0xyz1,设f(x)x38yz , 将y作为常数,z1xy则
113f'(x)(8x)(8z)3 3322
08x8z,(8x)2
3(8z),f'(x)0
1时 323f(x)递增,)当且仅当x取最大值,即xyz
f(x)max381225即Amax225,当且仅当x0时取f(x)取最小值3
同理当y0时取最小值,当且仅当xy0,z1时Amin49
(当且仅当三个数中49A225,49xy8z225
有两个为零一个为1时取最小值,三个数相等时取最大值)
说明: 这里要注意三个变量有条件约束,因而只有两个独立变量。并且由证明过程还可知
有趣不等式20已知正数x,y,z满足xyyzzx1,求证:
11133 2xyzx2yzxy2z4
222证明:x,y,zR且xyyzzx1,xyzxyyzzx1
(xyz)2x2y2z22xy2xz2zy3(xyyzzx)3
xyz3 1
111111
2xyzx2yzxy2zxyz记A
1x3
1y3
1z,由对称性不妨设xyz
设f(x)
x31
y
z,将y视为常数,z
1xy
xy
f'(x)
1(z)
(x)
y(xy)(1xy)
(xy)2
(x)2(y21)(z3)2(xy)2y21
222222
(z3)(xy)(x)(x3)(23)(xy)
1
(x3)2(y2xyyzzx)(z)2(xy)2
(x)(23)(xy)
(x)2(xy)(yz)(z3)2(xy)2
(x3)2(2)2(xy)2
(xy)[(x)2(yz)(z3)2(xy)]
(x)2(2)2(xy)2
(xy)(xz)(xyyzxz2y33)
(x)(23)(xy)23(xy)(zx2
(xy)(xz)(23y2)(x3)(23)(xy)
y)
222
(x)(23)(xy)
当y
时,z,则
111,
2xyzx2yzxy2z不等式成立,而当
y
时 f'(x)0,f(x)在(0,z)上递增,当且仅当xz,3
此时xyz
34时,Amax,故原不等式成立。33
说明:这类三元条件不等式问题,可将一个作为变量,一个视为常量,另一个代掉处理,但不直接代掉往往使解题更简便。
有趣不等式13已知0abc求证:
abc
a2bb2cc2a
1b12
a
1c12
b
1a12
c
证明:A
abc
a2bb2cc2a
设
bca
m,n,t,0abcm1,n1,0t1,且mnt1 abc
设A
f(m),不妨设mn1,将t视为常数,12m12n12t
n,则 mt
1122
12mt
f'(m)
22m(12m)22n(12n)
1(12m)
设g(x)
n(12n)m
n(12m)m(12n)(12m)(12n)m
3232
(1x)
(x1),则 x
(12x)22(12x)2
g(x) 2
x
(1x)(312x)2(12x)(1x)
0
x2x2
(12m)(12n)
mn
3212
g(x)在1,递减,当mn1时,32
m(12n)n(12n)即f'(m)0f(m)递减,当且仅当mn时f(m)最大,此时t
1m2
A2
12m
1m2
22
112mm2122
m1
1m2
设h(m)2(m1),则 2
12mm2h'(m)
2(12m)
1m
22m2
2m(m22)2m3
24
(m2)
2(12m)
2(m4)
3222(m4)(12m)
0 37
(12m)2(m24)2
h(m)在(1,)上递减,h(m)h(1),A,当且仅当mnt1时取等号,原不等式成立
说明:通过换元就问题转化为三元条件不等式,解决本题的关键是构造函数g(x),这是处
理这类问题的有效途径。当然,这一问题可进一步推广
参考文献:
1安振平二十六个优美不等式[J]中学数学参考(上旬)2010.1~22安振平三十个有趣的不等式 [J]中学数学参考(上旬)2011.11 3査正开几个优美不等式的统一证明[J]高中数学教与学2012.4
第三篇:不等式证明
不等式证明
不等式是数学的基本内容之一,它是研究许多数学分支的重要工具,在数学中有重要的地位,也是高中数学的重要组成部分,在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大,技巧性强,它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度,而且是衡量学生数学水平的一个重要标志,本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。
一、不等式的初等证明方法
1.综合法:由因导果。
2.分析法:执果索因。基本步骤:要证..只需证..,只需证..(1)“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。
(2)“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达。
3.反证法:正难则反。
4.放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有:
(1)添加或舍去一些项,如:
2)利用基本不等式,如:
(3)将分子或分母放大(或缩小):
5.换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题
化难为易、化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。
6.构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。
证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。
7.数学归纳法:数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。
8.几何法:用数形结合来研究问题是数学中常用的方法,若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时,可以考虑构造相关几何图形来完成,若运用得好,有时则有神奇的功效。
9.函数法:引入一个适当的函数,利用函数的性质达到证明不等式的目的。
10.判别式法:利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时,f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时,f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。
二、部分方法的例题
1.换元法
换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构,便于进行比较、分析,从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。
注意:在不等式的证明中运用换元法,能把高次变为低次,分式变为整式,无理式变为有理式,能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式,通过换元变换形式以揭示内容的实质,可收到事半功倍之效。
2.放缩法
欲证A≥B,可将B适当放大,即B1≥B,只需证明A≥B1。相反,将A适当缩小,即A≥A1,只需证明A1≥B即可。
注意:用放缩法证明数列不等式,关键是要把握一个度,如果放得过大或缩得过小,就会导致解决失败。放缩方法灵活多样,要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式,需要积累一定的不等式知识,同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。
3.几何法
数形结合来研究问题是数学中常用的方法,若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时,可以考虑构造相关几何图形来完成,若运用得好,有时则有神奇的功效。
第四篇:不等式证明
不等式的证明
比较法证明不等式
a2b2ab1.设ab0,求证:2.ab2ab
2.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
(1)已知x、y都是正实数,求证:x3y3x2yxy2;
(2对满足xyz1的一切正实数 x,y,z恒成立,求实数a的取值范围
.,1综合法证明不等式(利用均值不等式)3.已知abc, 求证:1 114.abbcac
4.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
1(Ⅰ)ab+bc+ac3;
a2b2c2
1ca(Ⅱ)b
5.(1)求不等式x32x1的解集;
121225(a)(b)a,bR,ab1ab2.(2)已知,求证:
6.若a、b、c是不全相等的正数,求证:
分析法证明不等式
7.某同学在证明命题“7要证明732”时作了如下分析,请你补充完整.62,只需证明________________,只需证明___________,+292,展开得9即,只需证明1418,________________,所以原不等式:62成立.22263,(72)(63),因为1418成立。
abc8.已知a,b,cR。3
9.(本题满分10分)已知函数f(x)|x1|。
(Ⅰ)解不等式f(x)f(x4)8;{x|x≤-5,或x≥3}(Ⅱ)若|a|1,|b|1,且a0,求证:f(ab)|a|f().10.(本小题满分10分)当a,bMx|2x2时,证明:2|a+b|<|4+ab|.反证法证明不等式
11.已知a,b,c均为实数,且a=x2y+2baπππ22,b=y2z+,c=z2x+,236
求证:a,b,c中至少有一个大于0.12.(12分)若x,yR,x0,y0,且xy2。求证:1x和1y中至少有一个小于2.yx
放缩法证明不等式
13.证明不等式:1111121231
123n2
214.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4SnannN,且
14n1,a2,a5,a14构成等比数列.
(1)证明:a2
(2)求数列an的通项公式;an2n1
(3)证明:对一切正整数n,有11a1a2a2a311. anan12
15.设数列an的前n项和为Sn.已知a11,2Sn12an1n2n,nN*.n33
(Ⅰ)求a2的值;a24(Ⅱ)求数列an的通项公式;ann2(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有数学归纳法证明不等式
16.(本小题满分12分)若不等式11
n1n21a对一切正整数n都成立,求正3n12411a1a217.an4
整数a的最大值,并证明结论.25
17.用数学归纳法证明不等式:
.
第五篇:不等式证明经典
金牌师资,笑傲高考
2013年数学VIP讲义
【例1】 设a,b∈R,求证:a2+b2≥ab+a+b-1。