证明不等式的基本方法—综合法与分析法

第一篇：证明不等式的基本方法—综合法与分析法

§4.2.2证明不等式的基本方法—综合法与分析法

【学习目标】

能熟练运用综合法与分析法来证明不等式。

【新知探究】

1．用综合法证明不等式：从已知条件出发，利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，又称为顺推证法或由因导果法。

2．用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件或充要条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立的方法叫分析法，又称为逆推证法或执果索因法。

3．不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法。我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达

【自我检测】

1．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的A.充分条件 B.必要条件C.充要条件

2．若a＞b＞c，则D.既不充分又不必要条件 113+_______.（填“＞”“=”“＜”）abbcac

222222【典型例题】 例1．已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc．

变式训练：课本P25页习题2.2第2题

例2．已知x1x2x3xn1且x1,x2,,xn都是正数，求证：(1x1)(1x2)(1xn)2.例3．求证2736

变式训练：课本P26页习题2.2第3题

–“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” n

a2b2b2c2c2a

2abc.例4．若a,b,c>0，求证：abc

变式训练：已知：abc0，求证：abbcca0.例5．设a、b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的实根为α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求证：｜α｜＜1，｜β｜＜1.变式训练：课本P26页习题2.2第6题

yyxx例6．是否存在常数C，使得不等式+≤C≤+对任意正数x、y恒成2xyx2yx2y2xy

立?试证明你的结论.【课堂练习】课本P26页习题2.2第4，5，7，8，9题

–“天下事，必作于细”

第二篇：2.4：不等式证明综合法与分析法

2.4不等式的证明（2）综合法与分析法。

【知识要点】

综合法：从已知出发，通过一系列正确的推理，得出结论的证明方法。（由因导果）分析法：从要证明的结论出发，寻找使命题成立的充分条件。（执果素因）分析法书写格式：

题目：已知A，求证B。

证明：要证B成立，只要证B1成立；要证B1成立，只要证B2成立；只要证A成立。而A是成立的，所以B成立。

注意：

1．在具体处理问题时，常常是先用分析法分析，再用综合法证明，二种方法结合使用。

2．如果采用分析法证明时，要注意书写的要求。

【基础训练】

1．判断下列推理是否正确：

（1）若a¹b，要证明a2+b2<1+a2b2，由于2ab

（2）要证|a+b|?|a||b|，只要证(|a+b|)?(|a|2|b|)。（）

2（3）要证a

2．某工厂第二年增长率为a，第三年增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）

a+ba+ba+ba+b（A）x³（B）x>（C）x£（D）x< 2222

1a+b

3．若a>b>1,P=Q，则（）(lga+lgb),R=lg22

（A）R

骣骣骣111 4．设a,b,c为正数，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，则（）c 桫桫桫ab

（A）0?M

【精选例题】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M³8

例1．设x?R,0a<1，求证：logaax+a-(x2)

解法指导：用综合法证明，也可采用分析法证之，要证logaa+a

只要证logaa+a(x-x2)

18(x-x2)骣1

8÷

2a<1，所以只要证a+a2-x2>2a。证明：因为a>0,所以ax>0,a-x>

0，所以ax+a-x匙，骣1÷11又因为x-x2=-çx-÷+，0

4ì1ïïx=2a，由于ï2不成立，所以上式等号不能成立，íï2ïïîx=-x18

22所以所以logaax+a-x

1例2．设a,bR,c0，求证：|ab|2(1c)|a|2(1)|b|2。c

解法指导：可以采用先分析后综合的方法处理。11方法一：原不等式a2b22aba2ca2b2b2ca2b22ab cc

12ab。因为c

0，所以ca2b2)2)2c方法二：用分析法写（略）。

1125例3．设x,y是正数，且xy1，求证：(x)2(y)2。xy2

11解法指导：如果用基本不等式x2,y2，则只能得出左边大于4的结论，而xy

得不出要证明的结论。这时可以考虑用分析法处理。证明：原不等式x2

(12xy)(11117117222y(xy)1x2y22 x2y22117)。22xy2

(xy)21117，所以(12xy)(122)成因为设x,y是正数，且xy1，所以xy44xy2

立。故要不得证不等式成立。

思考：还有其它方法吗？ 11111因为2(x)2(y)2(x)(y)125。xyxyxy22

变题1：设x,y是正数，且xy1，求证：（证明：（略）111)(1)9。22xy

1125变题2：设x,y是正数，且xy1，求证：(x)(y)。xy4

1125xy125证明：要证(x)(y)成立，只要证：xy，xy4yxxy4

因为 x,y是正数，所以只要证4(x2y2x2y21)25xy，又因为xy1，所以只要

33332332

证4(xy12xy1)25xyxyxy20(xy)220 488

(xy)2***332

，所以(xy)22()220。又因为xy8848844

【能力训练】

一、填空题 222

21．已知a,bÎR+，则下列不等式：

(1)a+b+（a骣1b)ç+çç桫a1÷2+2

÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。

bb+m2．设a,b,mÎR+，若<成立，则a,b的大小关系为____________。aa+m

二、选择题

3．(2004年辽宁)对于0

11+111+a ①loga(1+a)loga(1+)③a

④a1+a>a1+

1a其中成立的是________.4.（2005年山东）0a1，下列不等式一定成立的是（）

（A）log(1a)(1a)log(1a)(1a)2（B）log(1a)(1a)log(1a)(1a)

（C）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)

（D）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)

三、解答题

5.设g(x)=a b),求证|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.设n>0,求证

:

7.若a,b,c均为大于1的数,且ab=10,求证:logac+logbc 4lgc.118.已知命题:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab

（1）证明这个命题为真命题；

（2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推广上述命题，并加以证明；

（3）将上述命题推广为关于n个正数的命题（不必证明）。

第三篇：不等式的证明(分析法与综合法)B

不等式的证明（分析法与综合法）B

一、选择题

1、若a、bR，cQ,则使acbc成立的充分条件是（）A．a>b>0,c<0B．a>b,a>0,c>0C．b>a>0,c<0D．b>a>0,c>0

2、若a>b,m>0,则下列不等式恒成立的是（）A．(am)2(bm)2B．

bmb

C．(am)3(bm)3D． ama

3已知0

a

(xy)<0B．0

a

(xy)<1C．1

a

(xy)<

2D．loga(xy)>24、设x,y,z∈(-,0),则三数x+,y+,z+中（）A．都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一个不大于-2D.只少有一个不大于-2 △

5、设函数f(x

x1，在f(x)的定义域内任取x1

①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0

xx2f(x)f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正确的是（）0④f（122x2x1

A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△

6、已知a,b∈R，则下列个式中成立的是（）

A.cos2lgasin2lg(ab)

lg(ab)C.a

cos2

b

sin2

abD.a

cos2

b

sin2

ab

二、填空题

7、若a>0且a≠1,则loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空)

a8、设x,y∈R,且x+y=3,则3x3y的最小值___________。△

9、已知x,y∈R,且 xy≥x+y+1,则 x+y的最小值______________。△

10、设x,y∈R,0<θ<π,则

三、解答题

11、a、b、c、d∈R,求证：a2b2c2d2(ac)2(bd)

2△

12、设a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ

1、λ2,∈R+，求证：（1a12a2）（☆

13、设a>0,b>0,c>0, 求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc

a1xyxsiny(用不等式填空)xyxsiny1a22）≤(12)41

2不等式的证明（分析法与综合法）B答案；

一、C C D C C A

二、7.>8.69.2+2210.≥

三、略

第四篇：综合法与分析法证明不等式(一)5

2011—2012学第二学期高二数学教案选修4-5不等式第5课时江苏省郑梁梅高级中学高二数学教案（理）

主备人：冯龙云做题人: 顾华章审核人: 曾庆亚

不等式的证明—综合法和分析法(1)

一、教学目的：

1、理解综合法和分析法证明不等式的原理与思维特点；

2、掌握由学过的基本不等式来证明一些新的不等式。

二、教学重难点：

重难点：综合法和分析法证明不等式

三、教学方法：通过对比，体会两种方法的异同，感受不等式证明中思路、方法的多样性。

四、教学过程：

新课讲授：

综合法证题的思维过程：条件结论

分析法证题的思维过程：结论条件

例题讲解：

例

1、已知a、b是正数，求证：

例

2例

3、已知a、b、m均是正数，且a< b，求证：

ab≥2 baama> b+mb

例

4、已知a、b、cR，求证：abc≥abbcca

例

5、已知a、b、c、dR，求证： ab

例

6、已知a、b、c是正数，求证：abc≥3abc并指出等号成立的条件

例

7、已知a、b、c是不全相等的正数，且abc1。求证：abc

五、课堂练习：

（1）xy0，求证：xy33322222c2d2≥acbd 2111 abc1xy4xyyx

28江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业（理）

班级姓名学号_______

1、设xR下列式子正确的有

（1）、xg(l1)2xg)(l

（3）、2（2）、x212x11（4）、1x2 x21x

a2b2abab22、若a,bR，且ab0，则在①ab②2③ab 2ba

2ab2a2b2

④这四个式子中，恒成立的个数是223、已知a,b,c均大于1，且logaclogbc4，则下列式子正确的是

（1）、acb（2）、abc（3）、bca（4）、abc4、设mxcosysinnxsinycos，比较大小：mn____xy5、若x3y-10，则28的最小值为___________

6、比较大小：lg9lg11______

1三、简答题：

7、已知a,b,cR。求证：

8、已知a,bR且ab。求证：

2222xybccaababc abcabbaab9、已知a、b、c是互不相等的实数。求证：

a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc)

10、已知a,b,cR，且abc1。求证：(1a)(1b)(1c)811、已知a,b,cR。求证：

12、已知a、b、c均是正数，且abc1。求证：（1a)(1-b)(1-c）8abc13、已知a、b、c是不全相等的正数。

求证： a(bc)b(ca)c(ba)6abc

222222bc-aca-bab-c3 abc

第五篇：5.4不等式证明——综合法与分析法

【§5.4不等式证明——综合法与分析法】班级姓名学号

例1．设a,b,c∈R+，求证：2（ababc

3ab)3().23

例2．求证：a2b2b2c2c2a2(abc).例3．若a,b,c均为大于1的数，且ab=10，求证：logac+logbc≥4lgc.111100

例4．若正数a,b,c满足a+b+c=1，求证：(a)2(b)2(c)2.abc3

【基础训练】

1．若实数x,y满足xy>0且x2y=2，则xy+x2的最小值是（）A．3B．2C．1D．不存在 2．若0

（A．

12B．a2+b2C．2abD．a

3．已知a、b∈R+，则下列不等式不一定成立的是

（A．a+b+122B．(ab)(11ab)

42C．

a2bab

ab

D．

2ab

ab

ab 4．下列四个命题中，不正确的是

（A．若0

2则cos(1+a)

B．若0

1a

1a2a

C．若实数x,y满足y=x2则log2(2x+2y)的最小值是7

8D．若a、b∈R则a2+b

2+ab+1>a+b

5．ab+bc+ac=3则a+b+c的最小值是___________________.6．+7与1的大小关系是____________________.【备用题】 n

2SaR,i1,2,...n)，求证：SSSnk1k(akSa....1Sa2San

n1【拓展练习】

1．a

（A．a

b

1B．|a|>－b

C．11ab

D．b2>a2

2．a,b∈R+，M=a2b22,Aab2,Gab,H

111，则M、A、G、H间的大小关系是（ab2

A．M≥A≥G≥HB．M≥H≥A≥GC．A≥G≥M≥HD．A≥G≥H≥M 3．0

B．a+b

C．2ab

D．2ab

4．622与的大小关系是________________.））））））

5．a+b+c=1,a,b,c∈R+，则abc与1的大小关系是______________.27

6．a>b>0，求证：a2b22abb2a

7．x>0，求证：2x1

3x12(x1)

3x4

8．a,b,c∈R+，求证：(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3≥256a2b2c3.9．x,y,z,a均大于1，且logaxyz=9，求证：logxa+logya+logza≥1.10．已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：a12b122.11n1111111．n∈N，求证：（1)n(1).（提示：(1)n1(1)(1)...(1))nn1nnnn