第一篇:09.04.25高二理科数学《2.2 证明不等式的基本方法-综合法与分析法》
2.1 证明不等式的基本方法-综合法与分析法
目的与要求:
要求学生理解掌握用综合法与分析法证明有关不等式
(第一课时)
教学过程:
一、综合法:
例1.已知a、b、c0,且不全相等,求证:a(bc)b(ca)b(ab)6abc.22222
2归纳:
一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.例2.已知a,b,c,dR,求证:(abcd)(acbd)4abcd.
练习:教材P25面1、2题.例3.已知a1,a2,,anR,且a1a2an1,求证(1a1)(1a2)(1an)2.n
二、分析法:
例4.求证2736.2a
1b
a1b254例5.求证:若a,bR,则ab.例6.已知a,bR,且ab1,求证:(a)(b).练习:教材P26面3、4题.(第二课时)
例1.已知a、b、c0,求证:abbcca
abc
mnm222222abc.例2.已知m,nR,求证:mn
2mn.例3.已知f(x)1x,ab,求证|f(a)f(b)||ab|..2例4.已知0x1,a0,a1,试比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小,并说明理由
4n2例5.已知n0,求证n3.例6.已知|a|1,|b|1,求证|1ab||ab|.课后作业:
《学案》P76面1、2、3、4、10(1).2
第二篇:证明不等式的基本方法—综合法与分析法
§4.2.2证明不等式的基本方法—综合法与分析法
【学习目标】
能熟练运用综合法与分析法来证明不等式。
【新知探究】
1.用综合法证明不等式:从已知条件出发,利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法,又称为顺推证法或由因导果法。
2.用分析法证明不等式:从待证不等式出发,分析并寻求使这个不等式成立的充分条件或充要条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立的方法叫分析法,又称为逆推证法或执果索因法。
3.不等式证明方法多,证法灵活,其中比较法、分析法、综合法是基本方法,要熟练掌握,其他方法作为辅助,这些方法之间不能截然分开,要综合运用各种方法。我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达
【自我检测】
1.分析法是从要证的不等式出发,寻求使它成立的A.充分条件 B.必要条件C.充要条件
2.若a>b>c,则D.既不充分又不必要条件 113+_______.(填“>”“=”“<”)abbcac
222222【典型例题】 例1.已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(bc)b(ca)c(ab)6abc.
变式训练:课本P25页习题2.2第2题
例2.已知x1x2x3xn1且x1,x2,,xn都是正数,求证:(1x1)(1x2)(1xn)2.例3.求证2736
变式训练:课本P26页习题2.2第3题
–“学海无涯苦作舟,书山有路勤为径” n
a2b2b2c2c2a
2abc.例4.若a,b,c>0,求证:abc
变式训练:已知:abc0,求证:abbcca0.例5.设a、b∈R,关于x的方程x2+ax+b=0的实根为α、β.若|a|+|b|<1,求证:|α|<1,|β|<1.变式训练:课本P26页习题2.2第6题
yyxx例6.是否存在常数C,使得不等式+≤C≤+对任意正数x、y恒成2xyx2yx2y2xy
立?试证明你的结论.【课堂练习】课本P26页习题2.2第4,5,7,8,9题
–“天下事,必作于细”
第三篇:2.4:不等式证明综合法与分析法
2.4不等式的证明(2)综合法与分析法。
【知识要点】
综合法:从已知出发,通过一系列正确的推理,得出结论的证明方法。(由因导果)分析法:从要证明的结论出发,寻找使命题成立的充分条件。(执果素因)分析法书写格式:
题目:已知A,求证B。
证明:要证B成立,只要证B1成立;要证B1成立,只要证B2成立;只要证A成立。而A是成立的,所以B成立。
注意:
1.在具体处理问题时,常常是先用分析法分析,再用综合法证明,二种方法结合使用。
2.如果采用分析法证明时,要注意书写的要求。
【基础训练】
1.判断下列推理是否正确:
(1)若a¹b,要证明a2+b2<1+a2b2,由于2ab (2)要证|a+b|?|a||b|,只要证(|a+b|)?(|a|2|b|)。() 2(3)要证a 2.某工厂第二年增长率为a,第三年增长率为b,这两年的平均增长率为x,则() a+ba+ba+ba+b(A)x³(B)x>(C)x£(D)x< 2222 1a+b 3.若a>b>1,P=Q,则()(lga+lgb),R=lg22 (A)R 骣骣骣111 4.设a,b,c为正数,且a+b+c=1,若M=-1-1-1,则()c 桫桫桫ab (A)0?M 【精选例题】 11(B)#M881(C)1?M8(D)M³8 例1.设x?R,0a<1,求证:logaax+a-(x2) 解法指导:用综合法证明,也可采用分析法证之,要证logaa+a 只要证logaa+a(x-x2) 18(x-x2)骣1 8÷ 2a<1,所以只要证a+a2-x2>2a。证明:因为a>0,所以ax>0,a-x> 0,所以ax+a-x匙,骣1÷11又因为x-x2=-çx-÷+,0 4ì1ïïx=2a,由于ï2不成立,所以上式等号不能成立,íï2ïïîx=-x18 22所以所以logaax+a-x 1例2.设a,bR,c0,求证:|ab|2(1c)|a|2(1)|b|2。c 解法指导:可以采用先分析后综合的方法处理。11方法一:原不等式a2b22aba2ca2b2b2ca2b22ab cc 12ab。因为c 0,所以ca2b2)2)2c方法二:用分析法写(略)。 1125例3.设x,y是正数,且xy1,求证:(x)2(y)2。xy2 11解法指导:如果用基本不等式x2,y2,则只能得出左边大于4的结论,而xy 得不出要证明的结论。这时可以考虑用分析法处理。证明:原不等式x2 (12xy)(11117117222y(xy)1x2y22 x2y22117)。22xy2 (xy)21117,所以(12xy)(122)成因为设x,y是正数,且xy1,所以xy44xy2 立。故要不得证不等式成立。 思考:还有其它方法吗? 11111因为2(x)2(y)2(x)(y)125。xyxyxy22 变题1:设x,y是正数,且xy1,求证:(证明:(略)111)(1)9。22xy 1125变题2:设x,y是正数,且xy1,求证:(x)(y)。xy4 1125xy125证明:要证(x)(y)成立,只要证:xy,xy4yxxy4 因为 x,y是正数,所以只要证4(x2y2x2y21)25xy,又因为xy1,所以只要 33332332 证4(xy12xy1)25xyxyxy20(xy)220 488 (xy)2***332 ,所以(xy)22()220。又因为xy8848844 【能力训练】 一、填空题 222 21.已知a,bÎR+,则下列不等式: (1)a+b+(a骣1b)ç+çç桫a1÷2+2 ÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。 bb+m2.设a,b,mÎR+,若<成立,则a,b的大小关系为____________。aa+m 二、选择题 3.(2004年辽宁)对于0 11+111+a ①loga(1+a) ④a1+a>a1+ 1a其中成立的是________.4.(2005年山东)0a1,下列不等式一定成立的是() (A)log(1a)(1a)log(1a)(1a)2(B)log(1a)(1a)log(1a)(1a) (C)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a) (D)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a) 三、解答题 5.设g(x)=a b),求证|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.设n>0,求证 : 7.若a,b,c均为大于1的数,且ab=10,求证:logac+logbc 4lgc.118.已知命题:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab (1)证明这个命题为真命题; (2)如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,推广上述命题,并加以证明; (3)将上述命题推广为关于n个正数的命题(不必证明)。 不等式的证明(分析法与综合法)B 一、选择题 1、若a、bR,cQ,则使acbc成立的充分条件是()A.a>b>0,c<0B.a>b,a>0,c>0C.b>a>0,c<0D.b>a>0,c>0 2、若a>b,m>0,则下列不等式恒成立的是()A.(am)2(bm)2B. bmb C.(am)3(bm)3D. ama 3已知0 a (xy)<0B.0 a (xy)<1C.1 a (xy)< 2D.loga(xy)>24、设x,y,z∈(-,0),则三数x+,y+,z+中()A.都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一个不大于-2D.只少有一个不大于-2 △ 5、设函数f(x x1,在f(x)的定义域内任取x1 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0 xx2f(x)f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正确的是()0④f(122x2x1 A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△ 6、已知a,b∈R,则下列个式中成立的是() A.cos2lgasin2lg(ab) lg(ab)C.a cos2 b sin2 abD.a cos2 b sin2 ab 二、填空题 7、若a>0且a≠1,则loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空) a8、设x,y∈R,且x+y=3,则3x3y的最小值___________。△ 9、已知x,y∈R,且 xy≥x+y+1,则 x+y的最小值______________。△ 10、设x,y∈R,0<θ<π,则 三、解答题 11、a、b、c、d∈R,求证:a2b2c2d2(ac)2(bd) 2△ 12、设a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ 1、λ2,∈R+,求证:(1a12a2)(☆ 13、设a>0,b>0,c>0, 求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc a1xyxsiny(用不等式填空)xyxsiny1a22)≤(12)41 2不等式的证明(分析法与综合法)B答案; 一、C C D C C A 二、7.>8.69.2+2210.≥ 三、略 2011—2012学第二学期高二数学教案选修4-5不等式第5课时江苏省郑梁梅高级中学高二数学教案(理) 主备人:冯龙云做题人: 顾华章审核人: 曾庆亚 不等式的证明—综合法和分析法(1) 一、教学目的: 1、理解综合法和分析法证明不等式的原理与思维特点; 2、掌握由学过的基本不等式来证明一些新的不等式。 二、教学重难点: 重难点:综合法和分析法证明不等式 三、教学方法:通过对比,体会两种方法的异同,感受不等式证明中思路、方法的多样性。 四、教学过程: 新课讲授: 综合法证题的思维过程:条件结论 分析法证题的思维过程:结论条件 例题讲解: 例 1、已知a、b是正数,求证: 例 2例 3、已知a、b、m均是正数,且a< b,求证: ab≥2 baama> b+mb 例 4、已知a、b、cR,求证:abc≥abbcca 例 5、已知a、b、c、dR,求证: ab 例 6、已知a、b、c是正数,求证:abc≥3abc并指出等号成立的条件 例 7、已知a、b、c是不全相等的正数,且abc1。求证:abc 五、课堂练习: (1)xy0,求证:xy33322222c2d2≥acbd 2111 abc1xy4xyyx 28江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业(理) 班级姓名学号_______ 1、设xR下列式子正确的有 (1)、xg(l1)2xg)(l (3)、2(2)、x212x11(4)、1x2 x21x a2b2abab22、若a,bR,且ab0,则在①ab②2③ab 2ba 2ab2a2b2 ④这四个式子中,恒成立的个数是223、已知a,b,c均大于1,且logaclogbc4,则下列式子正确的是 (1)、acb(2)、abc(3)、bca(4)、abc4、设mxcosysinnxsinycos,比较大小:mn____xy5、若x3y-10,则28的最小值为___________ 6、比较大小:lg9lg11______ 1三、简答题: 7、已知a,b,cR。求证: 8、已知a,bR且ab。求证: 2222xybccaababc abcabbaab9、已知a、b、c是互不相等的实数。求证: a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc) 10、已知a,b,cR,且abc1。求证:(1a)(1b)(1c)811、已知a,b,cR。求证: 12、已知a、b、c均是正数,且abc1。求证:(1a)(1-b)(1-c)8abc13、已知a、b、c是不全相等的正数。 求证: a(bc)b(ca)c(ba)6abc 222222bc-aca-bab-c3 abc第四篇:不等式的证明(分析法与综合法)B
第五篇:综合法与分析法证明不等式(一)5