高考理科练习(选修4-5第2节证明不等式的基本方法)

第一篇：高考理科练习(选修4-5第2节证明不等式的基本方法)

课时提升作业(七十九)

一、选择题

221.a+b与2a+2b-2的大小关系是()

2222(A)a+b>2a+2b-2(B)a+b<2a+2b-2 2222(C)a+b≤2a+2b-2(D)a+b≥2a+2b-

22.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,则a,b,c的取值范围是()

(A)a>0,b>0,c<0(B)a>0,b<0,c<0

(C)a<0,b<0,c<0(D)a>0,b>0,c>0

3.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()(A)a+b>2

(B)(a-b)+

222 ≥2(C)a+b+c>ab+bc+ca

(D)|a-b|≤|a-c|+|c-b|

二、填空题

4.若x+y+z=1,且x,y,z∈R,则x+y+z与的大小关系为.5.(2013·西安模拟)已知a>b>0,c>d>0,m=

为.6.若x≥4,则

三、解答题

7.(2013·南昌检测)(1)求证:a+b+3≥ab+22222-,n=,则m与n的大小关系-

-.(a+b).(2)a,b分别取何值时,上面不等式取等号.33228.(2013·苏州模拟)设a≥b>0,求证:3a+2b≥3ab+2ab.9.已知a>b>0,求证:<-<.10.(2013·无锡模拟)设a,b,c是不全相等的正实数.求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.++>3.11.(2013·济宁模拟)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:12.证明不等式:a+b+c≥ab+bc+ca≥abc(a+b+c).答案解析 444222222

1.【解析】选D.∵a+b-2a-2b+2=(a-1)+(b-1)≥0,∴a+b≥2a+2b-2.2.【解析】选D.由abc>0,知a,b,c要么同时大于零,要么有两个负,一个正,下面利用反证法说明.不妨假222222

设a>0,b<0,c<0.由a+b+c>0知a>-(b+c),又b+c<0,22∴a(b+c)<-(b+c),从而-a(b+c)>(b+c),又由ab+bc+ca>0,知bc>-a(b+c),222∴bc>(b+c),即b+bc+c<0,即(b+)+2<0,与平方和不小于0矛盾,故假设错误,故a>0,b>0,c>0.≥(当且仅当a=b时取等号),而a,b是互不相等的正3.【解析】选B.选项A,如果a,b是正数,则数,故正确;

选项B,a-b不一定是正数,故不正确;

选项C,a+b+c=(a+b+c+a+b+c)≥(2ab+2ca+2bc)=ab+bc+ca,而a,b,c是互不相等的正数,故正确;选项D,|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|,当且仅当a-c与c-b同号时取等号,故正确.4.【解析】x+y+z-=(3x+3y+3z-1)=[3x+3y+3z-(x+y+z)] =[(x-y)+(y-z)+(z-x)]≥0

即x+y+z≥.答案:x+y+z≥

5.【解析】∵a>b>0,c>d>0,∴m=ac+bd-2

n=ac+bd-bc-ad,∴m-n=bc+ad-2∴m≥n,又∵m>0,n>0,∴m≥n.答案:m≥n

6.【解析】要比较可比较令M=N=M=2x-5+2

=2x-5+2

N=2x-5+2

=2x-5+2.******222222, =(-)≥0, 2-与>0, >0.,与+-的大小., +++

∵x-5x+4

7.【解析】(1)a+b+3=≥ab++≥ab+2222+-<<+-,.+a++b=ab+(a+b).(2)当且仅当时等号成立,即a=b=时不等式取等号.332222228.【证明】3a+2b-(3ab+2ab)=3a(a-b)+2b(b-a)=(3a-2b)(a-b).2222因为a≥b>0,故a-b≥0,3a-2b>2a-2b=2(a+b)(a-b)≥0,223322所以(3a-2b)(a-b)≥0,即3a+2b≥3ab+2ab.9.【证明】要证原不等式组成立, 只需证即证（只需证即证)<(<<1<-2b>0,∴<1<成立.∴原不等式组成立.10.【证明】方法一:要证:lg只需证:lg(只需证:∵∴≥··>0,···≥·+lg+lg>lga+lgb+lgc,)>lg(abc), >abc.>0,≥>0, ≥abc>0成立.∵a,b,c为不全相等的正数,∴上式中等号不成立.∴原不等式成立.方法二:∵a,b,c∈{正实数}, ∴≥>0,≥>0,≥>0, 又∵a,b,c为不全相等的实数, ∴∴lg(即lg··+lg··+lg>abc,)>lg(abc), >lga+lgb+lgc.++>3, 11.【证明】方法一:要证只需证明+-1++-1++-1>3,即证:+++++>6.由a,b,c为全不相等的正实数得

+>2,+>2,+>2, ∴+++

++>6, ∴++>3成立.方法二:∵a,b,c全不相等, ∴与,与,与全不相等, ∴+>2,+>2,+>2, 三式相加得+++

++>6,∴(+-1)+（+-1)+(+-1)>3, 即+4+4>3.224422442212.【证明】∵a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac,444222222∴2(a+b+c)≥2(ab+bc+ac),444222222即a+b+c≥ab+bc+ac.22222又ab+bc≥2abc,22222bc+ac≥2abc,22222ab+ac≥2abc,222222222∴2(ab+bc+ac)≥2(abc+abc+abc),222222即ab+bc+ac≥abc(a+b+c).所以原不等式成立.

第二篇：证明不等式的基本方法

证明不等式的基本方法

一、比较法

(1)作差比较法

3322【例1】已知a,b都是正数，且ab，求证：ababab

【1-1】 已知ab，求证：a3b3ab(ab)

【1-2】已知ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)

(2)作商比较法

abba【例2】已知a,b都是正数，求证：abab，当且仅当ab时，等号成立.【2-1】已知a,b,c都是正数，求证：abc

二、综合法与分析法

(1)综合法

【例3】已知a,b,c0,且不全相等，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc

【3-1】已知a1,a2,...,anR，且a1a2...an1, 求证：(1a1)(1a2)...(1an)21 n2222222a2b2cabcbaccab.【3-2】已知a,b,cR，用综合法证明：

(1)(abab1)(abacbcc2)16abc；(2)2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)

(2)分析法

【例4】设x0,y0，且xy1.求证：

【4-1】已知a,b,c是不全相等的正数.求证：

三、反证法与放缩法(1)反证法

【例5】已知x,y0,，且xy2,，试证：

【5-1】设0a,b,c1，证明：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于

18 xyxy

bcacababc abc

1x1y,中至少有一个小于2.yx

(2)放缩法

【例6】用放缩法证明不等式 ：

【6-1】用放缩法证明不等式 ：

【6-2】用放缩法证明不等式 ：

1)1

1111...1(m1,mN*)2m1m22m

11111n122...2(n2,3,4,...)2n123nn

...nN*(n1)

2(nN*)【6-3】用放缩法证明不等式 ：

...2

四、数学归纳法

11S(a).【例7】在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足nn

2an

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。

【7-1】.已知数列{an}前n项和为Snan()

n1

2(nN*).(1)令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求{an}的通项公式；(2)设cn

【7-1】已知各项为正数的数列{an}满足an12ananan1，a2a42a34.n15n

an，且{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明.n2n1

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bnan2，设数列{bn}的前n项和为Tn，试比较并予以证明.Tn1122log2bn12

与的大小，2log2bn14Tn

第三篇：证明基本不等式的方法

2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法

●教学目标：

1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点.2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤.●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理

●教学过程：

一、复习引入：

1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？

2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法

二、讲授新课：

1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法。

用综合法证明不等式的逻辑关系是：例

1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：.分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）

解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③

因为a,b,c为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.点评：（1）综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。

（2）在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.变式训练：已知a,b,c是不全相等的正数，求证： 例

2、已知 且，求证： 分析：观察要证明的结论，左边是 个因式的乘积，右边是2的 次方，再结合，发现如果能将左边转化为 的乘积，问题就能得到解决。

2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法。

①用分析法证明不等式的逻辑关系是： ②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故B必真。

例3． 求证： 分析：观察结构特点，可以利用分析法。

点评：①分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通!

②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难，常用分析法.③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综

合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法.例

4、已知，求证： 分析：要证的不等式可以化为 即 观察上式，左边各项是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑用

三、课堂练习：

1、已知a,b,c,d∈R,求证：ac+bd≤ 分析一：用分析法

证法一：(1)当ac+bd≤0时,显然成立(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证0≤(bc-ad)

2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用综合法 证法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)

2∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd故命题得证 分析三：用比较法

证法三：∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤ 点评：用分析法证明不等式的关键是,寻求不等式成立的充分条件.因此,经常要对原不等式进行化简,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做这些变形是否可以逆推,若不能逆推,则不可使用.2、已知 且 求证：（分析法）

四、课堂小结：

综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

五、课后作业：

课本P25—26习题2.2—2,3,4,5,6,7,8,9

第四篇：选修4-5不等式的证明方法及习题

不等式的证明方法

一、比较法

1.求证：x2 + 3 > 3x

2.已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

ambm

ab

变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？ 3.已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b

24.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m  n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

变式：若m = n，结果会怎样？

二：作商法

ab

1.设a, b  R，求证：aabb(ab)

+

2ba

ab

三、综合法

1.已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

a(bc)b(ca)c(ab)6abc

2.已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2 练习：

1求证：ab



(ab),a, b, c  R

2求证：a2b2

bc

ca

1a



1b

2(abc),a, b, c  R

1c)9

1)

3．a , b, cR,求证：1(abc)(2(abc)（1

abbcca

abc

33

bccaab2

3由上题：(abc)(∴1

cab

1

abc

1ab

b

1bc92



1ca)

92

bca



cab

32

1

ca

即

abc

四、分析法

例1求证372

5例2证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水练习：

1.已知a,b,c,d ∈R,求证:ac + bd ≤(a2b2)(c2d2)选择题

(1)若logab为整数,且loga>logablogba,那么下列四个结论中正确的个

b

数是（1b

>b>a2②logab+logba=0③0

答案:A

(2)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则（）x1|>2且|x2|>2 x1+x2x1+x2x1|=4且|x2|=1 答案:B

(3)若x,y∈R+,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（）

1)xy1

答案:D

(4)若x>0,y>0,且x

y≤axy成立,则a的最小值是（）

答案:B

(5)已知a,b∈R+,则下列各式中成立的是（）

2θ·lga+sin2θ·lgb

2θ·lgb>lg(a+b)

cos2θ·bsin2θ=a+bcos2θ·bsin2θ>a+b

答案:A

+

(6)设a,b∈R,且ab-a-b≥1,则有（）

+b≥2(2+b ≤+b(2+1)

+b ≤2(2+1)

答案:A

用分析法证明:3(1+a

+a4)≥(1+a+a2)2用分析法证明:ab+cd ≤

a2c2 2

用分析法证明下列不等式:

(1)571(2)x1

x2

x3ab2



x

4(x≥4)

abc



(3)当a,b,c∈R+2（ab)3(abc)

若a,b>0,2c>a+b,求证:

(1)c2>ab

（2）c-c2ab

五、换元法

三角换元：

若0≤x≤1，则可令x = sin(0



2)或x = sin2(

2



2

若x2y21，则可令x = cos , y = sin(02若x2y21，则可令x = sec, y = tan(02若x≥1，则可令x = sec(0若xR，则可令x = tan( 代数换元：

2

2



2

“整体换元”,“均值换元”,例1求证：

xx



证一：（综合法）证二：（换元法）例2 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：

1x1y

322

例3 若xy1，求证：|x2xyy|

例4证明：若a > 0，则a

1a

2a

1a

2

证：设xa

1a,y

a

1a,(a0,x2,y

2)

则xy

1

a

a12

a22

a

xya

1a

a

1a

22（当a = 1时取“=”）

∴xy

xyxy



22

22

即y2x2∴原式成立

六、放缩法与反证法

例1若a, b, c, dR，求证：

2

cdbdac

bcd

证明：（用放缩法）记m =

abdbcacdbdac

1

abd



bca

a





a

b

c

d

+

∵a, b, c, dR+∴m

a

abcdabcacdababcd

2m

ababcddc



b



c



ddabc

1

∴1 < m < 2即原式成立

例2当 n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)1 证明：（用放缩法）∵n > 2∴logn(n1)0,logn(n1)0

lognn2logn(n21)logn(n1)logn(n1)

∴logn(n1)logn(n1)1 222

∴n > 2时,logn(n1)logn(n1)1 例3求证：







1n

2

证明：（用放缩法）

1n

1n



1n(n1)

12



1n1

13



1n

1n1

1n

1n

∴



1122

例4设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大于 证明：（用反证法）设(1  a)b >

14,(1  b)c >

164

14,(1  c)a >

14,则三式相乘：(1  a)b•(1  b)c•(1  c)a >①

(1a)a

又∵0 < a, b, c < 1∴0(1a)a

2



同理(1b)b

14,(1c)c

164

将以上三式相乘(1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤∴(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大于

此与①矛盾

例4已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0证明：（用反证法）设a < 0,∵abc > 0,∴bc < 0 又由a + b + c > 0,则b + c >a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c)+ bc < 0此与题设矛盾 又 若a = 0，则与abc > 0矛盾，∴必有a > 0 同理可证 b > 0,c > 0 练习

1．设x > 0, y > 0,a

xy1xy

x1xy, b

x1xy



y1yx1x，求证：a < b

放缩法：

xy1xy



1xy



y1y

2．lg9•lg11 < 1

lg9lg11lg992

放缩法：lg9lg111

222

3．logn(n1)logn(n1)1

lognn2logn(n21)

放缩法：logn(n1)logn(n1)

22

1

4．若a > b > c,则

1ab1n1



1ab



1bc



4ca

0

放缩法：

1n



1bc1

2

2

2(ab)(bc)(ab)(bc)

11n



4ac

5．

n2

1(nR,n2)



放缩法：左边

1n1

1n



1n



1n



12n

1n



1n



nnn

1

6．

n2

1

放缩法：

12n

n中式

1n1

n1

7．已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn(n≥3, nR*)aaab

放缩法： ∵1，又a, b, c > 0, ∴,ccccabab

∴1 an + bn < cn

cccc

n

n

n

bb

 cc

n2

8．设0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c,(2  b)a,(2  c)b,不可能同时大于1 反证法：(2  a)c>1,(2  b)a>1,(2  c)b>1,则(2  a)c(2  b)a(2  c)b>1„① 又因为设0 < a, b, c < 2，(2  a)a

(2a)a

1,同理(2  b)b≤1,(2  c)c≤1,所以(2  a)c(2  b)a(2  c)b≤19．若x, y > 0，且x + y >2，则

1yx

和

1xy

中至少有一个小于2

反证法：设

1yx

≥2，1xy

≥2∵x, y > 0，可得x + y ≤2与x + y >2矛盾

第五篇：高中数学选修4-5：2.1.5证明不等式的基本方法——反证法

2.1.5证明不等式的基本方法——反证法

【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.设a,b∈R,给出下列条件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能给出“a,b中至少有一个大于1”的条件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明下列三个方程：

0中至少有一个方程有两

个相异实根.3.已知

（1）证明：函数f(x)在（－1,+∞）上为增函数;

（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.【典型例题】

例1.若x,y都是正实数,且x+y＞2,求证：

例2.已知

为－.求证 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值为2,最小值中至少有一个成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤

2例4.设a,b,c都是奇数,求证：方程

没有整数根.【课堂检测】

1.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

假设______________．设全体质数为p1、p2、„、pn，令p＝p1p2„pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、„、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、„、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．

2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反证法证明：a+b+c≥

3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求证：a,b至少有一个能被5整除.4.已知数列{bn}的通项公式为bn＝

4能成等差数列．

【总结提升】

1.当要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰时的不等式的证明常用反证法.2.如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情况的不等式证明常用反证法...求证：数列{bn}中的任意三项不可

§2.1.6证明不等式的基本方法——放缩法

（一）【学习目标】

3.理解放缩法证明不等式的原理.4.掌握放缩法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

4.什么是放缩法,放缩法证明不等式的理论依据是什么？ 5.放缩法证明不等式时,如何把握放大和缩小？ 【自主检测】 1.求证: 

k1n

15*

（n∈N）k23

2.求证：

111*

2（n∈N）2n2n12n1

6n11

1

(n1)(2n1)49



15*

.(n∈N）

n23

3.求证:

【典型例题】

例1.已知n∈

N*求证：（1



;.（2）21

an1aa

例2.已知an2n1(nN*).求证：12...n(nN*).23a2a3an1

例3．函数f（x）=

例4．已知an=n，求证：∑

k=1

【课堂检测】 1.求证:1

n

4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n1

(nN*)2

k ak

＜3．

11171(n2)222

62(2n1)35(2n1)

2n3

2.已知an42,Tn,求证:T1T2T3Tn

2a1a2an

n

n

6.求证:（1）(11)(1)(1)(1)

352n1

2n1.（2）(1

1111)(1)(1)(1)2462n

12n1

4.已知函数f

x

x0,.对任意正数a,证明：1fx2．

【总结提升】

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。