2014高考数学复习选修2--3推理与证明(理科版)(3.21)

第一篇：2014高考数学复习选修2--3推理与证明(理科版)(3.21)

2014高考数学复习(4)选修2-3推理与证明专题讲义

（理科班）

知识点：

1、归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质；

； 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）



2、类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。

3、合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括

⑴大前提-----已知的一般原理；

⑵小前提-----所研究的特殊情况；

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

5、直接证明与间接证明 ⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；

(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；

(4)（结论）肯定原命题的结论成立.考题荟萃

1.下面使用类比推理正确的是A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab” B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab

” （c≠0）

ccc

nn

D.“（ab）anbn” 类推出“（ab）anbn”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“

2.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程axbxc0(a0)有有理数根，那么

a,b,c中至少有一个是偶数时”下列条件假设中正确的是（）

A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数

C.假设a,b,c中至多有一个偶数D.假设a,b,c中至多有两个偶数

3．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行 则正确的结论是（）A．①②C．③④

B．②③D．①④

n4、当n1，2，3，4，5，6时，比较2和n的大小并猜想（）A.n1时，2nB.n3时，2n C.n4时，2nD.n5时，2n

5、已知x,yR,则“xy1”是“xy1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6 对“a,b,c是不全相等的正数”，给出两个判断：

n2n

2n2n2

①(ab)(bc)(ca)0；②ab,bc,ca不能同时成立，下列说法正确的是（）

A．①对②错 C．①对②对

B．①错②对

222

D．①错②错

7.下面几种推理是类比推理的是（）

同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+A.两条直线平行，∠B=1800

B.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

C.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.D.一切偶数都能被2整除，2100是偶数，所以2100能被2整除.8．如果f(ab)f(a)f(b)且f(1)2,则

A．

5f(2)f(4)f(6)

()． f(1)f(3)f(5)

B．

5

C．6 D．8

2f(x)，猜想f(x）的表达式为,f(1)1（xN*）

f(x)24212

A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x)

22x1x12x

19.已知f(x1)

10．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是()

11bb＋1A．a＋b．

baaa＋1112a＋baC．a＋b．aba＋2bb11．要证：a＋b－1－ab≤0，只要证明()

A．2ab－1－ab≤0a＋bC.22

B．a＋b－1－

a4＋b

4≤0

1－ab≤0D．(a－1)(b－1)≥0

12.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖了。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

13、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是。

14.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：ABACBC。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.15 已知a,b是不相等的正数，x

a

2,yab，则x,y的大小关系是_____

16，►在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，1则三角形面积为S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面

2体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”． 17在数列an中，a11,an1是．

18．将全体正整数排成一个三角形数阵：23 456 78910 ． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n3）从左向右的第3个数为． 19．(东北三省四市教研联合体模拟诊断)设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△

ABC

2an

nN*,猜想这个数列的通项公式an

2→→

表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则|OB|·OA

→→→→＋|OA|·OB＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋

S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有

___________________________ _________．

→

20，设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，______，T16

成等比数列． T12

21已知命题：若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b(m≠n,m,n∈N*)，则am+n=

bnam

．现

nm

已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列，且bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm+n．

22（四川省高考考试题）非空集合G关于运算满足：⑴对任意a、bG，都有abG；⑵存在cG，使得对一切aG，都有accaa，则称G关于运算为“融恰集”．现给出下列集合和运算：

①G{非负整数}，为整数的加法． ②G{偶数}，为整数的乘法．

③G{平面向量}，为平面向量的加法． ④G{二次三项式}，为多项式的加法． ⑤G{虚数}，为复数的乘法．

其中G关于运算为“融恰集”的是________．（写出所有“融恰集”的序号）

a12a2

a1a2”推广到一般情形，并证明23．请你把不等式“若a1,a2是正实数，则有

a2a1

你的结论．

24．已知：sin30sin90sin150





2

sin25sin265sin21252

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.25．已知a,b,c均为实数，且ax22y求证：a,b,c中至少有一个大于0.,by22z

,cz22x



6，26列三角形数表

1-----------第一行22-----------第二行343-----------第三行4774-----------第四行51114115

„„„„

„„„„„ 假设第n行的第二个数为an(n2,nN)（1）依次写出第六行的所有数字；

（2）归纳出an1与an的关系式并求出an的通项公式；（3）设anbn1求证：b2b3„bn2

*

第二篇：高考数学推理与证明

高考数学推理与证明

1．（08江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：35 68 9 10

。。。

按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为▲.n2n6【答案】 2

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n

n2nn2n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为22

n2n6． 2

2.（09江苏8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲.【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8

3.（09福建15）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.【答案】：5

解析：由题意可设第n次报数，第n1次报数，第n2次报数分别为an，an1，an2，所以有anan1an2，又a11,a21,由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。

4.（09上海）8.已知三个球的半径R1，R2，R3满足R12R23R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是___________.

【解析】S14R1S122

S22R2S32R3，即R1＝R1，S1

2，R2＝S2

2，R3＝S3

2，由R1

2R23R3

5.（09浙江）15．观察下列等式：

1C5C55232，159C9C9C92723，15913C13C13C13C1321125，1593C1C17C17C171C71727125，1

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

1594n1对于nN，C4n1C4n1C4n1C4n1*

答案：24n1122n1。【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，n

第二项前有1n，二项指数分别为24n1,22n1，因此对于nN

n*，1594n124n1122n1 C4n1C4n1C4n1C4n1

第三篇：高二 数学 选修 推理与证明(文)（模版）

高中数学（文）推理与证明

知识要点：

1、合情推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理；

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。

类比推理的一般步骤：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；

（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

2、演绎推理

分析上述推理过程，可以看出，推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题（如“全等三角形”）推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。

3、证明方法

（1）反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

（2）分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

分析法的思维特点是：执果索因；

分析法的书写格式： 要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有„„，这只需要证明命题为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。

（3）综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

典例分析：

例1：例5．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？

（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：

1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。

2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。

例2：（06年天津）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱

1EF//BC。

2（1）证明FO//平面CDE；

（2）设BC，证明EO平

面CDF。

例3：（1）用反证法证明：如果a>b>0，那么

（2）用综合法证明：如果a>b>0，那么

； ；

例4：用分析法证明：如果ΔABC的三条边分别为a，b，c，那么：

abc 1ab1c

巩固练习：

1.如果数列an是等差数列，则

A.a1a8a4a5 B.a1a8a4a5 C.a1a8a4a5 D.a1a8a4a

52.下面使用类比推理正确的是

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab（c≠0）” ccc

nn（ab）anbn” 类推出“（ab）anbn” D.“

3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误C.“若(ab)cacbc” 类推出“

4.设f0(x)sinx,f1(x)f0(x)，f2(x)f1'(x),,fn1(x)fn'(x)，n∈N，则'

f2007(x)

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx

5.在十进制中20044100010101022103，那么在5进制中数码200

4折合成十进制为

A.29B.254C.602D.2004

6.函数yax21的图像与直线yx相切，则a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四个不等式：①a2b2c2abbcca；②a1a

ab2 ；④a2b2c2d2acbd2.其中不成立的有ba

A.1个B.2个C.3个D.4个

2f(x)（xN*）,f(1)1 8.已知f(x1)，猜想f(x）的表达式为f(x)2

4212A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x) 22x1x12x1

9.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2AC2BC2。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.23432，3+4+5+6+7=52中，可得到一般规律为10.从112，(用数学表达式表示)

11.函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是.12.设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则f(4)

当ｎ＞４时，f(n)＝（用含n的数学表达式表示）

第四篇：2013版高考数学二轮复习专题训练 推理与证明

安徽财经大学附中2013版高考数学二轮复习专题训练：推理与证明

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．则假设的内容是()

A．a，b都能被5整除 C．a不能被5整除【答案】B

2．设n为正整数,f(n)1

f(16)3,f(32)

21213...

1n

B．a，b都不能被5整除

D．a，b有1个不能被5整除

52,经计算得f(2),f(4)2,f(8)，观察上述结果,可推测出一般结论()

A． f(2n)【答案】B

2n12

n

B．f(2)

n22

2C． f(n)

n22

D．以上都不对

3．用反证法证明命题“若a2b20，则a,b全为0”其反设正确的是()

A．a,b至少有一个不为0 C． a,b全不为0【答案】A

4．给出下面四个类比结论：

①实数a,b,若ab0则a0或b0；类比向量a,b,若ab0，则a0或b0 ②实数a,b,有(ab)a2abb;类比向量a,b,有(ab)a2abb

B． a,b至少有一个为0

D． a,b中只有一个为0

③向量a

a；类比复数z，有z

z

2222

④实数a,b有ab0，则ab0；类比复数z，z2有z1z20，则z1z20

其中类比结论正确的命题个数为()A．0 【答案】B

B．

1C．2

D．

35．若定义在正整数有序对集合上的二元函数f(x,y)满足：①f(x,x)x，②f(x,y)f(y,x)③

(xy)f(x,y)yf(x,xy)，则f(12,16)的值是()

A．12 B． 16 C．24 D．48 【答案】D

6．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么 a,b,c中至少有一个是偶数”时，应假设()

A．a,b,c中至多一个是偶数 C． a,b,c中全是奇数 【答案】C 7．由

710

5811,981025,13

921

B． a,b,c中至少一个是奇数

D． a,b,c中恰有一个偶数,„若a>b>0,m>0,则

bmam

与

ba

之间大小关系为()D．不确定

A．相等 B．前者大 C．后者大

【答案】B

8．下面几种推理过程是演绎推理的是()

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则AB180． B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．

C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人． D．在数列an中，a11,an【答案】A

9．在求证“数列2，3，,5 不可能为等比数列”时最好采用()

A．分析法

B．综合法

C．反证法

D．直接法

11

an1n2，由此归纳出an的通项公式． 2an1

【答案】C

10．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适()

A．三角形

C．平行四边形

B．梯形 D．矩形

【答案】C

11．给出下列四个推导过程：

①∵a，b∈Ｒ＋，∴（b／a）+（a／b）≥2②∵x，y∈Ｒ＋，∴lgx+lgy≥2

;

=2;

③∵a∈R，a≠0， ∴（4／a）+a≥2 ④∵x，y∈R，xy＜0，=4;

∴（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2其中正确的是()A．①② 【答案】D

B．②③

C．③④

D．①④

=-2.12．在证明命题“对于任意角，cos4sin4cos2”的过程：

“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”中应用了()A．分析法

B．综合法 D．间接证法

C．分析法和综合法综合使用 【答案】Ｂ

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．观察下列式子：1

2

32，1+



3

54，1







，由此可归纳出的一般结

论是．

【答案】

14．三段论推理的规则为____________ ①如果pq,p真，则q真;②如果bc,ab则ac;③如果a//b,b//c, 则a//c④如果ab,bc,则ac 【答案】②

a2b2ab

15．若a、b是正常数，a≠b，x、y∈(0，＋∞)＝xyxy49

1论，可以得到函数f(x)＝x∈0，的最小值为____________．

x1－2x2【答案】3

516．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖

块

.【答案】100

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点． 求证：（1）MN∥平面PAD；（2）MNCD．

【答案】（1）取PD的中点E，连结AE，NE． 分别为PC，PD的中点． ∴EN为△PCD的中位线，∵N，E

∥∴EN

CD，AM

AB，而ABCD为矩形，∴CD∥AB∴EN∥AM∴AENM，且CDAB．，且ENAM．

．

为平行四边形，MN∥AE，而MN平面PAC，AE平面PAD，∴MN∥平面PAD∴CDPA

(2）∵PA矩形ABCD所在平面，而CDAD，PA与AD是平面PAD内的两条直交直线，∴CD平面PAD，而AE平面PAD，．

又∵MN∥AE，∴MNCD．

∴AECD

18．若x,y都是正实数，且xy2, 求证：

1xy

1xy

2

与

1yx

2中至少有一个成立.【答案】假设

2

和

1yx

2都不成立，则有

1xy

2和

1yx

2同时成立，因为x0且y0，所以1x2y且1y2x 两式相加，得2xy2x2y.所以xy2，这与已知条件xy2矛盾.因此

1xy

2

和

1yx

2中至少有一个成立.19．有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,„,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,„,26这26个自然数,见如下表格

:

给出如下变换公式:

x1

(xN,1x26,x不能被2整除)2'

X

x13(xN,1x26,x能被2整除)2

85+1

将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q；如5→=3，即e变成c.22①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？

②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？ 【答案】①g→7→

7+115+1

=4→d;o→15→=8→h;d→o;22

则明文good的密文为dhho ②逆变换公式为

'''

2x1(xN,1x13)

x

'''

2x26(xN,14x26)

则有s→19→2×19-26=12→l；h→8→2×8-1=15→o； x→24→2×24-26=22→v；c→3→2×3-1=5→e 故密文shxc的明文为love

20．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数． 【答案】（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．

设a2n1(nZ)，则a24n24n1．

∵4(nn)是偶数，22

∴4n4n1是奇数，这与已知a是偶数矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶数．

abc)．

【答案】因为a2b2≥2ab，所以2(a2b2)≥a2b22ab（此处省略了大前提），b≥2，ab)（两次省略了大前提，小前提）

同理，bc)2

ca)，abc)．

(省略了大前提，小前提）

n

22．设 f(x)＝x＋a.记f(x)＝f(x)，f(x)＝f(f

n－1

(x))，n＝1，2，3，„，1n

M＝{a∈R|对所有正整数n，|f(0)|≤2}．证明，M＝[－2，]．

4【答案】⑴ 如果a＜－2，则|f(0)|＝|a|＞2，a∈/M．

11nn－12

⑵ 如果－2≤a≤f(0)＝a，f(0)＝(f(0))＋a，n＝2，3，„„．则

411n

① 当0≤a≤|f(0)|≤，(n≥1).42

事实上，当n＝1时，|f(0)|＝|a|≤，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数），21112

则对n＝k，|fk(0)|≤|fk－1(0)|＋a≤(2＋．

242

② 当－2≤a＜0时，|f(0)|≤|a|，(n≥1)．

事实上，当n＝1时，|f1(0)|≤|a|，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数)，则对n＝k，有

n

－|a|＝a≤(fk－1(0))＋a≤a2＋a

注意到当－2≤a＜0时，总有a2≤－2a，即a2＋a≤－a＝|a|．从而有|fk(0)|≤|a|．由归纳法，推出[－2，1

M． 4

⑶ 当a＞时，记an＝fn(0)，21n＋1n

则对于任意n≥1，an＞aan＋1＝f(0)＝f(f(0))＝f(an)＝an＋a．

21111

对于任意n≥1，an＋1－an＝an－an＋a＝(an)2＋a－a－．则an＋1－an≥a－．

2444

12－a1

所以，an＋1－a＝an＋1－a1≥n(a)．当n＞时，an＋1＞n(a－)＋a＞2－a＋a＝2，414

a－

即fn＋1(0)＞2．因此a∈/M．综合⑴，⑵，⑶，我们有M＝[－2，4

第五篇：推理与证明 复习

山东省xx一中20xx级

高二数学课时学案（文）

班级小组姓名________使用时间______年______月______日编号05

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