高中数学高考总复习推理与证明

第一篇：高中数学高考总复习推理与证明

高考总复习推理与证明

一、选择题

0，1这三个整数中取值的数列，若a1a2a509，1．设a1，a2，，a50是从1，且(a11)2(a21)2(a501)2107，则a1，a2，，a0

5A．10B．11C．12D．13 中为0的个数为（）

2．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为（）

A． n1B． 2n

2C

． nn1 3．某人进行了如下的“三段论”推理：如果f'(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值

33点，因为函数f(x)x在x0处的导数值f'(0)0，所以x0是函数f(x)x的极值点。你认为以上推理的A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.结论正确

4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()

A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)

5xN*），猜想f(x）的表达式为（）

6．用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时，应先假设（）

A.没有一个内角是钝角B.有两个内角是钝角

C.有三个内角是钝角D.至少有两个内角是钝角

'''f(x)sinx,f(x)f(x),f(x)f(x),,f(x)f(x),nN，则01021n1n7．设

f200(7x)（）

A.sinxB.sinxC.cosxD.cosx

8．已知整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），„„，则第60个数对是（）

A（10，2）B.（2，10）C.（5，7）D.（7，5）

9．设数列{an}的前n项和为Sn，Taa„„，称n为数列1，2，试卷第1页，总4页

an的“理想数”aaaa，已知数列1，2，„„，500的“理想数”为2004，那么数列2，1，a2，„„，a500的“理想数”为（）

A、2008B、2004C、2002D、2000

10．对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)(c,d)，当且仅当ac,bd；运算“”为：(a,b)(c,d)(acbd,bcad)；运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd)，设p,qR，若(1,2)(p,q)(5,0)，则(1,2)(p,q)„„„（）A

．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0,4)

二、填空题

11．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设是

照此规律，计算1223n(n1)

（nＮ）.13．在平面几何里，已知直角三角形ABC中，角C为90，AC=b,BC=a,运用类比方法探求空间中三棱锥的有关结论：有三角形的勾股定理，给出空间中三棱锥的有关结论：________

*

若三角形ABC________

14．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3

57911 13151719 „„

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为．

15．如图所示,从中间阴影算起，图1表示蜂巢有1层只有一个室,图2表示蜂巢有2层共有7个室,图3表示蜂巢有3层共有19个室,图4表示蜂巢有4层共有37个室.观察蜂巢的室的规律，指出蜂巢有n层时共有_______个室.试卷第2页，总4页

三、解答题

17．a,b,c

至少有一个大于0.18．已

知a,b,c中，求证：关于x的三个方程x4ax34a0，x2a1xa20，x24ax15a40中至少有一个方程有实数根.19．已知a，b，c

试卷第3页，总4页

20．已知a＞0,b＞0,且a+b=1,21．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，„），a1=1.（1）设bn=an+1-2an(n=1,2,„)，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设cn

„),求证：数列{cn}是等差数列；

（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.22.设数列

（1）猜想（2）设的前

项和为，且满足，.的通项公式，并加以证明；，且，证明：

.试卷第4页，总4页

参考答案

1．B2．C3．A4．D5．B6．D7．D8．C9．C10．B 11．三角形的内角都大于60度12

2222

13．在三棱锥O-ABC中，若三个侧面两两垂直，则SOABSOACSOBCSABC；在三棱

锥O-ABC中，若三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为a,b,c,则其外接球的半径为

14．nn515．3n23n1 16．

首先，我们知道

则有，所以，同理，得

则有，．，17．证明略18．见解析19．证明见解析20．证明略 21．（1）证明略（2）证明略（3）{an}的前n项和公式为Sn=（3n-4）·2n-1+2 22.(1)由

即∵∴

∴，得，即，两式作差得，是首项为1，公差为1的等差数列，∴，（2）要证只要证代入，即证

即证

∵，且∴

即得证

答案第1页，总1页

第二篇：推理与证明总复习

推理与证明总复习

编写人：杨素华审核：高二数学组（1）

一、知识结构框图

二、考纲分解解读

1合情推理与演绎推理

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.

（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

2直接证明与间接证明

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.三、基础知识

（一）合情推理与演绎推理

1推理的概念

根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断，这种___________叫做推理.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做___________，一部分是由已知推出的判断，叫做___________.

2合情推理

根据已有的事实，经过___________、___________、___________、___________，再进行___________、___________，然后提出___________的推理称为合情推理.合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类.

(1)归纳推理：由某类事物的___________对象具有某些特征，推出该类事物的___________对象具有这些特征的推理；或者由___________事实概括出___________的推理称为归纳推

1理.简言之，归纳推理是由部分到___________，由___________到___________的推理，归纳推理简称归纳.(2)类比推理：由两类对象具有___________和其中一类对象的某些___________，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理.简言之，类比推理是由___________到___________的推理，类比推理简称类比.

3演绎推理

（1）从___________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由___________到___________的推理.

（2）三段论是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——________________；②小前提——________________；③结论——________________________________.（二）直接证明与间接证明

1．直接证明

（1）综合法：从题设的____________出发，运用一系列有关_______________作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.综合法的推理方向是由____________到____________，表现为____________，综合法的解题步骤用符号表示是：_____________________.

特点:“由因导果”，因此综合法又叫____________法．

（2）分析法：分析法的推理方向是由____________到____________，论证中步步寻求使其成立的____________，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为____________，分析法的证题步骤用符号表示为_____________________________.特点：“执果索因”，因此分析法又叫____________法或____________法.

2．间接证明

假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．

（1）反证法的解题步骤：____________——推演过程中引出矛盾——____________.

（2）反证法的理论依据是：原命题为真，则它的____________为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的____________成立.

（3）反证法证明一个命题常采用以下步骤：

①假定命题的结论不成立.

②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾. ③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的.

④肯定原来命题的结论是正确的.

即“反设——归谬——结论”.

（4）一般情况下，有如下几种情况的求证题目常常采用反证法：

第一，问题共有n种情况，现要证明其中的一种情况成立时，可以想到用反证法把其它的 n-1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；

第二，命题是以否定命题的形式叙述的；

第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；

第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的.（三）数学归纳法

1．数学归纳法

对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当________时命

题也成立，这种证明方法就叫做________．

2．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤

(1)(归纳奠基)当n取第一个值________________________时，证明命题成立；

(2)(归纳递推)假设当_______________________时结论正确，证明当________时结论也正确． 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．

3．特点注意

用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意：________不可少，________要用到，________莫忘掉．

四、题型归纳

（一）归纳推理

例1平面内的１条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分？

分析：可通过画图当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数Sn，从中发现规律，再归纳出结论.

解析：设平面被n条直线分成Sn部分，则

当n=1时，S1 =1+1=2；

当n=2时，S2 =1+1+2=4；

当n=3时，S3 =1+1+2+3=7；

当n=4时，S4 =1+1+2+3+4=11．

据此猜想，得Sn=1+ n(n1)

2nn222=.

点评：本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况．

（二）类比推理

例2（2009年微山模拟）在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB=c,AC=b,BC=a，则

（1）a2+b2=c2；

22（2）cos2A+cos2B=1； ab

（3）Rt△ABC的外接圆半径为r=

2.

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论.分析：我们在空间中选取3个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象，考虑面积，二面角，及外接球的半径即可得.解析：（1）设3个两两垂直的侧面的面积

分别为S1,S2,S3，底面面积为S，则

S12+S22+S32=S2.

(2)设3个两两垂直的侧面与底面所成的角

分别为α,β,γ，则

cosα+cosβ+cosγ=1.

(3)设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分

别为a,b,c，则这个四面体的外接球的半径

为R=a2222b

32c2.

（三）演绎推理

演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.2例3证明：函数f(x)=-x+2x在［1，+∞)上是减函数.（四）用综合法证明数学命题

例4已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A,B的任一点，过A点作AE⊥PC于点E，如右图所示.求证：AE⊥平面PBC.（五）用分析法证明数学命题

例5若a>0，求证： a212a

（六）用反证法证明数学命题

例6已知：a3+b3=2,求证：a+b≤2.分析：本题直接证明命题较困难，宜用反证法.

证明：假设a+b>2,则b>2-a.

于是a+b>a+(2-a)=8-12a+6a

=6(a-1)2+2≥2.与已知相矛盾，所以 a+b≤2.（七）数学归纳法

ⅰ归纳、猜想、证明

例7在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足

(1)求a1，a2，a3.ⅱ用数学归纳法证明恒等式11an.Sn＝ 2 a  n333322a1a2.(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．

22例8用数学归纳法证明：n(n1)2n(n1)(3n1  223 12

211n10)

ⅲ用数学归纳法证明整除问题

例9用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11n＋2＋122n＋1是133的倍数．

ⅳ用数学归纳法证明不等式问题

例10设函数f(x)xxlnx．数列an满足0a11，an1f(an)．（Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

（Ⅱ）证明：anan11；

1)，整数k≥（Ⅲ）设b(a1，a1ba1lnb．证明：ak1b．

解：

（I）当0

f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0

所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数，（II）当0x

又由（I）有f(x)在x=1处连续知，当0

因此，当0

下面用数学归纳法证明： 0

(i)由0

则由①可得0

故当n=k+1时，不等式②也成立

综合(i)(ii)证得：an

(III)由（II）知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k,使得am≥b,则ak+1>am≥b 否则，若am

ak+1=ak-aklnak

=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak

……

k

=a1-amlnam

m1

k

由③知amlnam

m1

于是ak+1>a1+k|a1lnb|

≥a1+(b-a1)=b

第三篇：高中数学推理与证明测试题

高中数学推理与证明测试题

山东淄博五中孙爱梅

一 选择题（5×12=60分）

1.如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什

么颜色的（）

A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大

2．“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）

是3的倍数（P）.”上述推理是（）

A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错

3．F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N＋）真，则F（k＋1）真，现已知F

（7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不

真；⑥F（5）真.其中真命题是（）

A．③⑤B．①②C．④⑥D．③④

4.下面叙述正确的是（）

A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法

C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）

① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；

② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；

③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

A．①B．①②C．①②③D．③

6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对x∈R，有ax

2＋bx＋c＞0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．不充分不必要条件

17．（04·全国Ⅳ，理12）设f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f2

（2），f（5）＝（）

5A．0B．1C．D．5 2

111118．设S（n）＝ ＋ ＋ ＋＋„＋，则（）nn＋1n＋2n＋3n11A．S（n）共有n项，当n＝2时，S（2＋

311

1B．S（n）共有n＋1项，当n＝2时，S（2）＝＋ ＋

234111

C．S（n）共有n2－n项，当n＝2时，S（2 ＋＋

234111

D．S（n）共有n2－n＋1项，当n＝2时，S（2 ＋＋

4x

9．在R上定义运算⊙：x⊙y＝，若关于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集

2－y是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，则实数a的取值范围是（）A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2

10．已知f（x）为偶函数，且f（2＋x）＝f（2－x），当－2≤x≤0时，f（x）＝2，若n∈N，an＝f（n），则a2006＝（）

A．2006B．4C．D．－4

11．函数f（x）在［－1，1］上满足f（－x）＝－f（x）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B． f（cosα）＞f（sinβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）

12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁

二 填空题（4×4=16分）13．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给1131

5出一组数：,-，-，它的第8个数可以是。

228

43214．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC边上的射影，则AB2=BDBC.拓展到空间,在四面体A—BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为。

15．（05·天津）在数列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.16．（05黄冈市一模题）当a0，a1，a2成等差数时，有a0－2a1＋a2＝0，当a0，a1，a2，a3成等差数列时，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0－4a

1012

＋6a2－4a3＋a4＝0，由此归纳：当a0，a1，a2，„，an成等差数列时有Cna0－Cna1＋Cna2－„＋Cnnan＝0.如果a0，a1，a2，„，an成等差数列，类比上述方法归纳出的等式为＿＿＿。三 解答题（74分）已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：18．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2x＋

*

x

.11

3+=（12分）a+bb+ca+b+c

πππ

b＝y2－2y＋c＝z2－2z＋，求证：a、b、236

c中至少有一个大于0.（12分）

19．数列｛an｝的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1n＋

2n（n＝1，2，3，„）.n

Sn

证明：⑴数列｛Sn＋1＝4an.（12分）

n

20．用分析法证明：若a＞0，则

a22≥a＋－2.(12分)

aa

121．设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生概率为P′，则由A产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、„、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0＝1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第到第n站时的概率为Pn.（1）求P1，P2，P3；

（2）设an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求证：数列｛an｝是等比数列(12分)

ACAE22．(14分)在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB ＝.其证明过程：

BCBE作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F

∵CE是∠ACB的平分线，∴EG＝EH.又∵

ACAC·EGSΔAEC

＝，BCBC·EHSΔBEC

AEAE·CFSΔAEC＝＝，BEBE·CFSΔBEC∴

ACAE＝.BCBE

（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）证明你所得到的结论.B HC

图

1A

A G

B

图

2h11C

答案：

一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C

πππ分析：因为锐角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜，222

π

sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函数f（x）在［－1，1］上满足是减函数

所以f（cosα）＞f（sinβ）。12分析：先猜测甲、乙对，则丙丁错，甲、乙可看出乙获奖则丁不错，所以丙丁中必有一个是对的，设丙对，则甲对，乙错，丁错.∴答案为C.1.二 13-14（S△ABC）2= S△BOC S△BDC15.3

3216a

00n

C

·a

1－C

1n

·a2 n·„·an（－1）nn＝1.2C

C

n

［解析］解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解，类比去探求等比数列相应的性质.实际上，等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比，即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.三 解答题

317(分析法)要证+=

a+bb+ca+b+c

a+b+ca+b+c需证:+ =3

a+bb+c

即证:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)即证:c2+a2=ac+b

2因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b= c+a-ca 所以c+a=ac+b

3因此 + =

a+bb+ca+b+c(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ

而a＋b＋c＝（x2－2y）＋（y2－2z＋z2－2x＋

236

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.19(综合法)．证明：⑴由an＋1

2222222

n＋2

n，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 n

Sn＋

1n＋12（n＋1）n＋1Sn∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1Sn＝2，∴数列｛｝为等比数列.nnSnn

n

SnSn＋1Sn－14an（n－1）⑵由⑴知｛2，∴＝4·，∴Sn＋1＝4an.nn＋1n－1n－1n＋120(分析法).证明：要证

a2＋2－≥a＋2，只需证

aa

a22＋2≥a＋aa

∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（a2＋22）2≥（a＋）2，aa

只需证a2＋24＋

4a

a2＋2≥a2＋22＋2（a＋，aaa

a2＋2≥（a＋，只需证a2＋2≥（a2＋2＋2），a2aa2aa

即证a2＋2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.111131131

521.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2× ＋＝，P3＝ ×＋× ＝.2222422428

（2）证明:棋子跳到第n站，必是从第n－1站或第n－2站跳来的（2≤n≤100），所以Pn

Pn－1Pn－2

∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1 Pn－2=（Pn－1－Pn－2），22211

∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0.22

故｛an｝是公比为－，首项为－的等比数列（1≤n≤100）.2222．结论:

SΔACDSΔAECSΔACDSΔAEDAESΔACD＝ 或 ＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.又∵

SΔACDh1SΔACDVA－CDE

＝ SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

VA－CDEAESΔAEDVC－AED ＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDESΔACDAE∴ ＝SΔBCDBE

A G

B

C

2图2 A hB HC

图1

第四篇：高中数学推理与证明练习题

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高中数学推理与证明练习题

一.选择题

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）

Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件

2．下面叙述正确的是（）

A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法、分析法是间接证法

C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定

3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）

Ａ．假设a，b，c都是偶数

Ｂ．假设a，b，c都不是偶数

Ｃ．假设a，b，c至多有一个是偶数

Ｄ．假设a，b，c至多有两个是偶数

4．在△ABC中，sinAsinCcosAcosC，则△ABC一定是（）

Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定

5．在证明命题“对于任意角，cos4sin4cos2”的过程：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”中应用了 Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法

二.证明题

6．设a,b,c都是正数，求证

12a12b12c1ab1bc1ca

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7．已知：sin230sin290sin2150

sin2323

25sin265sin1252

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明

8．ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：1

ab1

bc3

abc

第五篇：【高中数学】推理与证明

【高中数学】推理与证明

归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）归纳推理的一般步骤：

(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；

(3)证明（视题目要求，可有可无）。

类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.类比推理的一般步骤：

(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

(3)检验猜想。

合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。“合乎情理”的推理.2.演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

演绎推理的一般模式

(1)大前提----已知的一般原理；

(2)小前提----所研究的特殊情况；

(3)结论----据一般原理，对特殊情况做出的判断.3.直接证明与间接证明

立。

要点：顺推证法，由因导果。

成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法，执果索因。

(3)：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法，它是一种间接的证明方法。

第 1 页

①（反设）假设命题的结论不成立；

②（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；③（归谬）断言假设不成立； ④（结论）肯定原命题的结论成立.反证法法证明一个命题的一般步骤：

4.数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤：

(1)（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；

(2)（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，推证当nk1时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.1．下列推理是归纳推理的是()

A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y2222

2C．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab

ab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

111357

2．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋„＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测

23n222出一般结论()

2n＋

1A．f(2n)>

2n＋2

C．f(2n)≥

n＋2

B．f(n2)≥

2D．以上都不对

3．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为()

A．大前提错误 h，则()

A．h>h1＋h2＋h3C．h

3B．h＝h1＋h2＋h3

D．h1，h2，h3与h的关系不定

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误

4．若点P是正四面体A－BCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A－BCD的高为

5．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图

2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是()

A．25B．66C．9

1D．120

6．已知等差数列{an}中，a10＝0，则有等式a1＋a2＋„＋an＝a1＋a2＋„＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，那么等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式_成立。

第 2 页

7．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，„，根据上述规律，第四个等式为_.8．观察下列等式：

①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝

43②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝

由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想.111

9．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝ABCD中，类比上述结论，你能得到

ADABAC怎样的猜想，并说明理由.10．下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图．

(1)数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？分别围成了多少个区域？将结果填入下表(按填好的例子做)

(2)观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？

(3)现已知某个平面图有2008个顶点，且围成了2008个区域，试根据以上关系确定这个平面图的边数.第 3 页

311．用数学归纳法证明：n5n能被6整除；

12．若a,b,c均为实数，且

求证：a，b，c中至少有一个大于0.13．用数学归纳法证明： 1

14．观察（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101;

（2）tan5tan10tan10tan75tan75tan51 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论 并加以证明。，,1111nn；2342

1000000

000000

第 4 页

1、下列表述正确的是（）

①归纳推理是由部分到整体的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③

B．②③④

C．②④⑤

D．①③⑤.②归纳推理是由一般到一般的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理；

2、下面使用类比推理正确的是（）

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab” B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab

（c≠0）” ccc

nnnn

（ab）anbn” 类推出（D.““ab）ab”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“

(A)假设三内角都不大于60度；(C)假设三内角至多有一个大于60度；A.29

B.2543、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）

(B)假设三内角都大于60度；

(D)假设三内角至多有两个大于60度。C.60

2D.200

401234、在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）

n＋

15、利用数学归纳法证明“1＋a＋a＋…＋a

(A)

11an2=，(a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）1a

(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a

3(B)1＋a6、某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立.现已知当n7时该命题不成立，那么可推得（）

A．当n=6时该命题不成立C．当n=8时该命题不成立

n

B．当n=6时该命题成立 D．当n=8时该命题成立

7、当n1，2，3，4，5，6时，比较2和n的大小并猜想（）

n

2A.n1时，2n

n2

B.n3时，2n n2

D.n5时，2n

n2

C.n4时，2n

x8、定义运算:xy

y

(xy)的是（）例如344,则下列等式不能成立．．．．

(xy),B．(xy)zx(yz)

D．c(xy)(cx)(cy)（其中c0）

A．xyyxC．(xy)xy

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cos2Acos2B1

1。a2b2a2b29、在△ABC中，证明：

10、设a,b,x,yR，且ab1,x2y21,试证：ax1。

11、用反证法证明：如果x

12、已知数列a1,a2,,a30，其中a1,a2,,a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10,a11,,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,,a30是公差为d2的等差数列（d0）.（1）若a2040，求d；

（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；

（3）续写已知数列，使得a30,a31,,a40是公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

12，那么x2x10。2

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