推理与证明小结复习

第一篇：推理与证明小结复习

推理与证明复习

一、基础知识

1．推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。推理一般分为合情推理与演绎推理两类。2．合情推理

比，然后提出猜想的推理，把它们通称合情推理。

3．演绎推理

定义：从出发，推出某个下的结论的推理。特点：由到。模式：三段论——演绎推理的一般模式

“三段论”的结构：大前提——已知的；小前提——所研究的；

结论——根据一般原理，对做出的判断。“三段论”的表示：大前提：； 小前提：；结论：S是P。4．直接证明

定义：要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设（即Q的反

面非Q是正确的），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的的证明方法。证明步骤： 6．数学归纳法

证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤：

(1)证明当n取n0时命题成立；（归纳奠基）

(2)假设n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k＋1时命题也成立。（归纳递推）

完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法就是数学归纳法。习题精讲

1．已知函数f(x)=

x

21x。

(1)分别求f(2)＋f()、f(3)＋f()、f(4)＋f()的值；

4(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；

(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2012)＋f()＋f()＋„＋f（2112012)

2．设a、b、c为一个三角形的三边，且s2=2ab，这里s=

3．已知数列{an}满足a1=，an1=

2(a＋b＋c)，试证s<2a。

an＋n－4，其中为实数，n为正整数，求证：对

任意实数，数列{an}不可能是等比数列。

4.证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除

巩固练习

一 选择

1．下列推理是归纳推理的是()

A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆 B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x+y=r的面积πr,猜想出椭圆

xa



yb

1的面积S=πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

2.下面使用类比推理正确的是()

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

ab

acb

c（c≠0）”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“

n

n

n

n

c

（ab）ab” 类推出“（ab）ab” D.“

nn

3.在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为()A.29B.254C.602D.2004 ππ

4．“三角函数是周期函数，y＝sinx，x∈－是三角函数，所以y＝sinx，x∈

22

－π，π是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是()． 22

A推理完全正确；B大前提不正确；C小前提不正确；D推理形式不正确．

5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A．①； B．①②； C．①②③； D．③。

6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数

符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

0123

AB A6EB72C5FDB0

201

17.观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，„，则5的末四位数字为A．3125B．5625C．0625D．812

58．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a，b，c中恰有一个偶数”,正确的假设为()A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

9．已知fx是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若fkk成立，则fk1k1成立，下列命题成立的是（）A、若f39成立，则对于任意k1，均有fkk成立；

B、若f416成立，则对于任意的k4，均有fkk成立；

C、若f749成立，则对于任意的k7，均有fkk成立；

D、若f425成立，则对于任意的k4，均有fkk成立。

二 填空

1．设n2,nN,(2x

12)(3x

n

将ak()a0a1xa2xanx，0kn)的,T40,T5

n2n

最小值记为Tn，则T20,T3其中Tn。





13,,Tn,

x2

2． 我们知道：过圆x＋y＝r上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r，2＋

a

2y

＝1上一点(x0，y0)的切线方程为________． b2

3．观察下列几个三角恒等式：

①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________．

4．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，AG

若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若GD

AO

M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD

OM

则

5．观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，第n个等式为。

6．若三角形内切圆的半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积等于S

r(abc)，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别是S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V

7．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷 比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(选出 所有符合要求的组号)其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.8.问题“求方程345的解”有如下思路：方程345可变为()()1，x

x

x

x

x

x

x

x

考查函数f(x)()x()x,可知，f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减，所以原方程有唯

一的解x=2.类比上述解法，可得到不等式：

x(2x3)(2x3)

x的解集是

三 解答：

1通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假．

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝

23222

sin30°＋sin90°＋sin150°＝

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝

sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝2用数学归纳法证明2n2n1(nN,n3)

第二篇：推理与证明 复习

山东省xx一中20xx级

高二数学课时学案（文）

班级小组姓名________使用时间______年______月______日编号05

第2页

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第三篇：高三推理与证明专题复习

推理与证明专题复习

中心发言人：王 鑫

时间：2013年04月22日

教学目标

推理与证明

重点与难点

合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明

教学过程

知识要点

1．推理

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征(或性质)，推出该类事物的全部对象都具有这些特征(或性质)的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．归纳推理是由特殊到一般、部分到整体的推理．

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理(简称类比)．类比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)演绎推理：根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理．常用模式“三段论”：大前提、小前提、结论．

2．数学证明

(1)直接证明：分析法和综合法是两种思路相反的证明推理方法．

①分析法：从欲证结论出发，对结论进行等价变形，建立未知结论和已知的“条件，结论”因果关系；

②综合法：从已知条件和结论出发，以演绎推理中的“三段论”规则为工具，推出未知结论；

说明：分析法是倒溯，综合法是顺推．分析法侧重于结论提供的信息，综合法则侧重于条件提供的信息，把两者结合起来，全方位地收集、储存、加工和运用题目提供的全部信息，才能找到合理的解题思路．没有分析，就没有综合，分析是综合的基础，它们相辅相成是对立统一的．

(2)间接证明：反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论．证明欲证命题的等价命题—逆否命题.典例解析

f(x)

例

1设，先分别求f(0)f(1),f(1)f(2),f(2)f(3),，然后归纳猜想

一般性结论，并给出证明。

分析：由f(x)计算各和式得出结论归纳猜想证明

f(0)f(1)





，同理可得

：

解

：

f(1)

f(2)

f(2)f(3)

证明：设x1x2

1,f(x1x2)













,1上是增函数；

例2（1）证明函数f(x)x2x在（2）当x[5,2]时，f(x)是增函数还是减函数？

分析：（1）证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值

x1,x

2且

x1x2，f(x1)f(x2)，小前提是函数

f(x)x2x，x∈

,1，结论满足增函数定义。（2）关键是看[5,2]与f(x)的增区间或减区间的关系.证明：（1）

方法一：

任取

x1,x2

∈

,1，x1x2

则

f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12),x1x21,x2x120,f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2)

于是，根据“三段论”可知，方法二：

'

f(x)x2x

在,1上是增函数.'

f(x)2x22(x1),当x(,1)时，x10,2(x1)0,f(x)0在x(,1)上恒成立.故f(x)在(,1]上是增函数。

,1的子区间，∴f(x)在解（2）∵f(x)在(,1]上是增函数，而[5,2]是区间

[5,2]

上是增函数.例3设P为ABC内一点，ABC三边上的高为hA,hB,hC，P到三边的距离为lA,lB,lC，则有

lAhA

lBhB

lChC



类比到空间中，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离

分别为hA,hB,hC,hD，P到四个面的距离为lA,lB,lC,lD，则有：解析：面积法：

lAhA

lBhB

lChC

1；体积法：

lAhA

lBhB

lChC

lDhD

1

ab



例 4（分析法）已知非零向量a,b，且ab，求证：|ab|.22

aa

b0。同意注意，分析：aba，将要证式子变形平方即可获证。

ab



abab||ab|aba

b0证明：∵∴，要证，只需证，只需证 22222222

a2abb2(a2abb),只需证a2abb2a2b，22

只需证ab2ab0，即（ab）0，上式显然成立，故原不等式得证。

13.例5（综合法）已知x+y+z=1，求证

xyz

222

分析：利用a2b22ab，同时变形利用x+y+z=1，从而(xyz)2=1可证。证明：

xy2xy,xz2xz,yz2yz,222222

2x2yz2xy2xz2yz.3x3y3zxyz2xy2xz2yz3(xyz)(xyz)1xyz

31

xR,xax1ax1

.例6（反证法）给定实数a,a0且a1，设函数y

求证：经过该函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴.证明：假设y1

y2(x1x2)，即：

x11ax11

x21ax21

(x11)(ax21)(x21)(ax11)

(a1)(x1x2)0

.因为x1x2，所以x1x20，则a10，即a1这与已知条件相矛盾，故原命题成立.综合训练

1.下列表述正确的是（D）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（A）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b

平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，

这是因为（A）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 4．实数a、b、c不全为0的条件是（A）

A．a、b、c均不为0；B．a、b、c中至少有一个为0； C．a、b、c至多有一个为0； D．a、b、c至少有一个不为0.5．自然数按下表的规律排列

1251017

|||| 4 — 361118||| 9 — 8 — 71219|| 16—15— 14 —1320| 25—24— 23 — 22 — 21

则上起第2 007行，左起第2 008列的数为(D)

A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007D．2 007×2 008 6．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根据上述分解规律，则5＝1＋3＋5＋7＋9；若m(m∈N)的分解中最小的数是21，则m的值为5.7．在ABC中，A,B,C成等差数列，其对边分别为a,b,c.求证：（提示：变形为

cab



aac

1acacb

23*

1ab



1bc



3abc

.；B600，用余弦定理即可）.lg

bc2

lg

ca2

lgalgblgc

8.若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg

ab2

.14

9.若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a三个数不可能同时大于.

第四篇：推理与证明复习(基础)

宁陕中学导学案（数学）

高二级班姓名年月日

《推理与证明》复习

学习目标：

1、能对推理与证明的各种方法进行梳理，建立知识网络，把握整体结构。

2、能比较数学证明的几种基本方法的思维过程和特点，灵活运用各种方法进行一些数

学证明。

3、了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用。

本章知识结构图：

一、数学推理

（一）基础知识填空：

1．合情推理

合情推理是根据__________________的结果，个人的__________________、已有的_________和正确的_________(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的_____________．

①归纳推理的含义

根据一类事物中_______________具有某种属性，推断这类事物____________________，我们将这种推理方式称为归纳推理．归纳推理是由_________到_________，由_________到_________的推理．

②类比推理的含义

两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据_____________的其他特征，推断_____________也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为_____________．

2．演绎推理

（1）从___________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由___________到___________的推理.

（2）三段论是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——________________；②小前

提——________________；③结论——________________________________.

（二）基础训练

1．下列说法中，正确的是（）

A.类比推理是由特殊到一般的推理

B.演绎推理是特殊到一般的推理

C.归纳推理是个别到一般的推理

D.合情推理可以作为证明的步骤

2．下面使用类比推理恰当的是（）

A．“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0,则a=b”

B．“若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a·b)c=ac·bc”

ab

cc（c≠0）C．“若(a+b)c=ac+bc” 类推出 c”

D．“（ab）n=anbn” 类推出“（a+b）n=an+bn”

3．观察一下各式：1=12;2+3+4=32；3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;„，你得到的ab

1一般性结论是____________.4．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()

1×9＋2＝11

12×9＋3＝111

123×9＋4＝1 111234×9＋5＝11 111345×9＋6＝111 111

„„

A．1 111 110B．1 111 111

C．1 111 112D．1 111 11

35.（2011年高考陕西卷文科)观察下列等式

照此规律，第五个等式应为__________________.二、数学证明

（一）基础知识填空：

1.综合法

从命题的_________出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过_________推理，一步一步地接近要证明的_________，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法． 综合法的基本思路是_________．

2.分析法

从求证的_________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的___________，直到归结为这个命题的_________，或者归结为__________________等．这种证明问题的思维方法称为分析法．分析法的基本思路是___________．

3.反证法（间接证明法）

在证明数学命题时，先__________________成立，在这个前提下，若推出的结果与_________、_________、_________ 相矛盾，或与命题中的_________相矛盾，或与

_________ 相矛盾，从而说明_________不可能成立，由此断定_________成立，这种证明方法叫作反证法．

（二）典型例题：

例1.已知a,b为正数，且a+b=1,求证：a11b4.例2.求证3645

例3.若a,b，c均为实数，且ax22y

中至少有一个大于零.（三）基础训练：

1.在△ABC中，ACcosB,证明：B=C.ABcosC2，by22z32，cz2x6，求证:a,b,c

2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边AB的中点，并且PA＝PB＝PC.求证：PO⊥平面ABC.3.设a,b是实数，求证：a2b22

2(ab).4.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.5.已知a,b,c为正实数，且a+b+c=1，求证：111118.abc1

6.设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.（四）巩固练习：

ab1.若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2＋2≥4.2.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列，记A,B,C的对边为a,b,c.求证：

ab1

bc3

abc.3.设x,y为正实数，且

4.用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________．

5.在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.6.已知x,y>0,且x+y>2.求证：1x1y中至少有一个小于2.,yx11119xyx+y=1，求证：

第五篇：推理与证明总复习

推理与证明总复习

编写人：杨素华审核：高二数学组（1）

一、知识结构框图

二、考纲分解解读

1合情推理与演绎推理

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.

（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

2直接证明与间接证明

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.三、基础知识

（一）合情推理与演绎推理

1推理的概念

根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断，这种___________叫做推理.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做___________，一部分是由已知推出的判断，叫做___________.

2合情推理

根据已有的事实，经过___________、___________、___________、___________，再进行___________、___________，然后提出___________的推理称为合情推理.合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类.

(1)归纳推理：由某类事物的___________对象具有某些特征，推出该类事物的___________对象具有这些特征的推理；或者由___________事实概括出___________的推理称为归纳推

1理.简言之，归纳推理是由部分到___________，由___________到___________的推理，归纳推理简称归纳.(2)类比推理：由两类对象具有___________和其中一类对象的某些___________，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理.简言之，类比推理是由___________到___________的推理，类比推理简称类比.

3演绎推理

（1）从___________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由___________到___________的推理.

（2）三段论是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——________________；②小前提——________________；③结论——________________________________.（二）直接证明与间接证明

1．直接证明

（1）综合法：从题设的____________出发，运用一系列有关_______________作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.综合法的推理方向是由____________到____________，表现为____________，综合法的解题步骤用符号表示是：_____________________.

特点:“由因导果”，因此综合法又叫____________法．

（2）分析法：分析法的推理方向是由____________到____________，论证中步步寻求使其成立的____________，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为____________，分析法的证题步骤用符号表示为_____________________________.特点：“执果索因”，因此分析法又叫____________法或____________法.

2．间接证明

假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．

（1）反证法的解题步骤：____________——推演过程中引出矛盾——____________.

（2）反证法的理论依据是：原命题为真，则它的____________为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的____________成立.

（3）反证法证明一个命题常采用以下步骤：

①假定命题的结论不成立.

②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾. ③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的.

④肯定原来命题的结论是正确的.

即“反设——归谬——结论”.

（4）一般情况下，有如下几种情况的求证题目常常采用反证法：

第一，问题共有n种情况，现要证明其中的一种情况成立时，可以想到用反证法把其它的 n-1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；

第二，命题是以否定命题的形式叙述的；

第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；

第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的.（三）数学归纳法

1．数学归纳法

对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当________时命

题也成立，这种证明方法就叫做________．

2．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤

(1)(归纳奠基)当n取第一个值________________________时，证明命题成立；

(2)(归纳递推)假设当_______________________时结论正确，证明当________时结论也正确． 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．

3．特点注意

用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意：________不可少，________要用到，________莫忘掉．

四、题型归纳

（一）归纳推理

例1平面内的１条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分？

分析：可通过画图当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数Sn，从中发现规律，再归纳出结论.

解析：设平面被n条直线分成Sn部分，则

当n=1时，S1 =1+1=2；

当n=2时，S2 =1+1+2=4；

当n=3时，S3 =1+1+2+3=7；

当n=4时，S4 =1+1+2+3+4=11．

据此猜想，得Sn=1+ n(n1)

2nn222=.

点评：本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况．

（二）类比推理

例2（2009年微山模拟）在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB=c,AC=b,BC=a，则

（1）a2+b2=c2；

22（2）cos2A+cos2B=1； ab

（3）Rt△ABC的外接圆半径为r=

2.

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论.分析：我们在空间中选取3个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象，考虑面积，二面角，及外接球的半径即可得.解析：（1）设3个两两垂直的侧面的面积

分别为S1,S2,S3，底面面积为S，则

S12+S22+S32=S2.

(2)设3个两两垂直的侧面与底面所成的角

分别为α,β,γ，则

cosα+cosβ+cosγ=1.

(3)设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分

别为a,b,c，则这个四面体的外接球的半径

为R=a2222b

32c2.

（三）演绎推理

演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.2例3证明：函数f(x)=-x+2x在［1，+∞)上是减函数.（四）用综合法证明数学命题

例4已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A,B的任一点，过A点作AE⊥PC于点E，如右图所示.求证：AE⊥平面PBC.（五）用分析法证明数学命题

例5若a>0，求证： a212a

（六）用反证法证明数学命题

例6已知：a3+b3=2,求证：a+b≤2.分析：本题直接证明命题较困难，宜用反证法.

证明：假设a+b>2,则b>2-a.

于是a+b>a+(2-a)=8-12a+6a

=6(a-1)2+2≥2.与已知相矛盾，所以 a+b≤2.（七）数学归纳法

ⅰ归纳、猜想、证明

例7在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足

(1)求a1，a2，a3.ⅱ用数学归纳法证明恒等式11an.Sn＝ 2 a  n333322a1a2.(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．

22例8用数学归纳法证明：n(n1)2n(n1)(3n1  223 12

211n10)

ⅲ用数学归纳法证明整除问题

例9用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11n＋2＋122n＋1是133的倍数．

ⅳ用数学归纳法证明不等式问题

例10设函数f(x)xxlnx．数列an满足0a11，an1f(an)．（Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

（Ⅱ）证明：anan11；

1)，整数k≥（Ⅲ）设b(a1，a1ba1lnb．证明：ak1b．

解：

（I）当0

f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0

所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数，（II）当0x

又由（I）有f(x)在x=1处连续知，当0

因此，当0

下面用数学归纳法证明： 0

(i)由0

则由①可得0

故当n=k+1时，不等式②也成立

综合(i)(ii)证得：an

(III)由（II）知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k,使得am≥b,则ak+1>am≥b 否则，若am

ak+1=ak-aklnak

=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak

……

k

=a1-amlnam

m1

k

由③知amlnam

m1

于是ak+1>a1+k|a1lnb|

≥a1+(b-a1)=b