推理与证明练习

第一篇：推理与证明练习

推理与证明课后练习

一、选择题

1．观察下列各式：11，2343，345675，456789107，以得出的一般结论是()

A．n(n1)(n2)

B．n(n1)(n2)

C．n(n1)(n2)

D．n(n1)(n2)(3n2)n2(3n2)(2n1)2 (3n1)n2 2222，可(3n1)(2n1)

22．求证：3725，下述证明过程应用了()

A．综合法 B．综合法、分析法配合使用 C．分析法 D．间接证法 证明过程：因为37和2都是正数，所以为了证明372 只需证明725，展开得102222120,215，只需证明2125.因为2125，所以不等式37

2ab”假设的内容应是()ab3．用反证法证明“如果，那么

A．abB．ab

3333333abababbC． 且D． 或

4．用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的。其假设应是()

A．至少有5个球是同色的 B．至少有5个球不是同色的C． 至多有4个球是同色的 D．至少有4个球不是同色的5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

3按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()

A．6n2 B．8n2 C．6n2 D．8n2

234749,7343,72401，„则72011的末两位数字为()6．观察下列各式

A．01 B．43 C．07 D．49

7.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个

叠放的图形中，小正方体木块总数就是()

A．25 B．66 C．91 D．120

二、解答题

1b1aa0,b0且ab2,求证:,ab中至少有一个小于2.8．已知

9．求证： 5 > 227

10.若a、b、c是不全相等的正数．

求证：lg（a＋b）/2＋lg(b＋c)/2＋lg(c＋a)/2>lga＋lgb＋lgc.11.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则|FP1|、|FP2|、|FP3|之间有什么关系（梯形中位线）。

12.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an,并证明。

第二篇：推理与证明随堂练习

第二章 推理与证明随堂练习

例

1、.对于任意正实数a,b

成立的一个条件可以是____.例

2、已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为．

例

3、定义[x]为不超过x的最大整数，则[-2.1]=

例

4、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。sin2150sin2750sin2135033202020；sin30sin90sin150；2

233202020；sin60sin120sin18022sin2450sin21050sin21650

例

5、(2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式： 221332135421357

23353379114313151719根据上述分解规律，则5213579, 若m3(mN*)的分解中最小的数是73，则m值为.例

6、(2008惠州调研二理)函数f(x)由下表定义：

x5321

4f(x)1 2 3 4 5若a05，an1f(an)，n0,1,2,...，则a2007

例

7、(2008深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，则f(5)；f(n)f(n1)．（答案用数字或n的解析式表示）

例

8、现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其a

2中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，4有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．

例

9、在平面直角坐标系中，直线一般方程为AxByC0，圆心在(x0,y0)的圆的一般方程为(xx0)(yy0)r；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为 1 22

2________________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程为_______________________.例

10、（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．

类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；

（2）已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为____________．这个数列的前n项和Sn的计算公式为_____________________________________．

例

11、已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M；

（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.例

12、定义a*b是向量a和b的“向量积”，它的长度|a*b||a||b|sin,其中为向量a和b的夹角，若u(2,0),uv(1,则|u*(uv)|=.例

13、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）．

A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7

例

14、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)(c,d)，当且仅当ac,bd；运算“”为：(a,b)(c,d)(acbd,bcad)；运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd)，设p,qR，若(1,2)(p,q)(5,0)，则(1,2)(p,q)„„„（）

A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0,4)

例

15、对于集合A,B,定义运算AB{x|xA且xB}，则A(AB)=（）

A.BB.AC.ABD.AB

例

16、给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①“若a、bR，则ab0ab”类比推出“a、cC,则ab0ab”②“若a、b、c、dR，则复数abicdiac,bd”类比推出 “a、b、c、dQ，则ab2cd2ac,bd”

③“若a、b、R，则ab0ab”类比推出“若a、bC,则ab0ab”

④“若xR，则|x|11x1”类比推出“若zC，则|z|11z1”其中类比结论正确的个数有 ．．．．

A．1 B．2C．3D．4（）

例

17、如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，„，xn，f(x1)f(x2)f(xn)xx2xnf(1).若ysinx在区间(0,)上是nn

凸函数，那么在ABC中，sinAsinBsinC的最大值是________________.1x例

18、设 fx，又记f1xfx,fk1xffkx,k1,2,, 则1x

f2008x（）

1xx11A．；B．；C．x；D．； 1xx1x

aa2an例

19、（1）已知等差数列an，bn1（nN），求证：bn仍为等差n都有

数列；

（2）已知等比数列cn，cn0（nN），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．

例20、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数yf(x)(xD)，对任意

xyxy1D均满足f()[f(x)f(y)]，当且仅当xy时等号成立。22

2（1）若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)f(5)与2f(4)大小.x,y,（2）设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.例21、对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x0,1，)(1；总有f(x)0；②f1③若x10,x20,x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)

成立，则称函数f(x)为理想函数．

(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

(2)判断函数g(x)21（x[0,1]）是否为理想函数，并予以证明；例

22、证明:若a,b0,则lgxablgalgb 2

2例23.在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC 例24.已知ab0,求证aab

例25.若abcd0且adbc，求证：dac

例26.已知a,bR,ab1，求证：(a2)(b2)

例27.已知f(x)ax2225 2x2(a1)，证明方程f(x)0没有负数根 x

1*例28.某个命题与正整数n有关，若nk(kN)时该命题成立，那么可推得nk1时

该命题也成立，现在已知当n5时该命题不成立，那么可推得

A.当n6时，该命题不成立B.当n6时，该命题成立

C.当n4时，该命题不成立D.当n4时，该命题成立

例29．已知a、b、c成等差数列且公差d0，求证：111、、不可能成等差数列 abc

a2xa2例30.设函数f(x)为奇函数.2x1

（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）用定义法判断f(x)在其定义域上为增函数

例31.设,为非零向量，且,不平行，求证，不平行

例32.已知为锐角，且tan

221，函数f(x)xtan2xsin(2

4)，数列{an}的首项a11,an1f(an).2

⑴ 求函数f(x)的表达式； ⑵ 求证：an1an；

1112(n2,nN*)⑶ 求证：11a11a21an

例33．（1）已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k2且为偶数）时命题为真，则还需证明（）

A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立

C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立

（2）用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（）

2k12k3D.k1k1

111n,(nN,n1)时，（3）用数学归纳法证明：1+++n在第二步证明从n=k2321A.2k+1B.2(2k1)C.到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）

A.2B.21C.2kkk1D.21 k

1(n1)2 2

11111111...例35.用数学归纳法证明等式：1... 2342n12nn1n22n例34．用数学归纳法证明不等式223n(n1)

5an例36.数列{an}中，a1,an1用数学归纳法证明：an2(nN)(nN)，22(an1)

例37.在数列{an}中，a1tanx,an121an，1an

（1）写出a1,a2,a3；（2）求数列{an}的通项公式

n(n1)(2n1)6

例39.证明：1(x3)n,(nN)能被x2整除 例38.求证：12n222例40.数列an满足a11且an1(111)a(n1).，用数学归纳法证明：n2nnn2an2(n2)；

第三篇：推理与证明

第3讲 推理与证明

【知识要点】

1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理

2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3．类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）【典型例题】

1、（2011•江西）观察下列各式：7=49，7=343，7=2401，„，则7

34201

1的末两位数字为（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011•江西）观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，„，则5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010•临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（）A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行

4、（2007•广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007•广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006•陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006•山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位数字为（）

8、（2006•辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）A、自然数集 B、整数集 C、有理数集 D、无理数集

9、（2006•广东）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005•湖南）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），„，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004•安徽）已知数列{an}满足a0=1，an=a0+a1+„+an-1，n≥

1、，则当n≥1时，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若数列{an}满足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），则a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，有，则运用归纳推理得到第11 行第2个数（从左往右数）为（）A、B、C、D、14、根据给出的数塔猜测1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、将n个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2008到2010，箭头方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理过程利用的推理方法分别是（）（1）通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5；（2）函数f（x）=x2-|x|为偶函数；

（3）科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼． A、演绎推理，归纳推理，类比推理 B、类比推理，演绎推理，类比推理 C、归纳推理，合情推理，类比推理 D、归纳推理，演绎推理，类比推理

17、下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，„这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第n个三角形数为（）A、n B、1、（2011•陕西）观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011•陕西）观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 „

照此规律，第n个等式为 n+（n+1）+（n+2）+„+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第四篇：推理与证明

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。推理与证明贯穿于数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。

学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

《新标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现---猜想---证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，发展学生的探究和创新精神。

第五篇：推理与证明

浅谈我对推理与证明的几点认识

初中数学中，推理与证明是非常重要的，主要是培养学生的逻辑思维能力，推理与证明是人类认识世界的重要手段。中学数学教育的一个重要职能是培养学生的推理与证明能力，这也是数学中几何教学的优势所在。

传统数学教学中，就是以几何教学为主来培养学生的逻辑推理能力，以及学习数学证明方法的。但在新课程的教学中由于计算机和多媒体的广泛应用，使得几何代数学化，加大实验几何的内容，用学生日常生活中每天都可以看到和使用着的“形”的知识，借助直观，扩大公理体系，同时采用几何变换的语言对欧氏几何予以重新组织，让学生体会空间逻辑化的方法。

首先，要使学生掌握现代生活学习中应该具有的数学知识和技能，要培养人的能力。其次，要培养人，要为未来服务的。数学培养人的抽象思维和推理能力。再次，要培养人的应用意识、创新意识。课程标准很突出的一个变化，除了知识技能能力方面，特别提出了培养学生的情感、态度、价值观这方面的要求。推理最基本的作用都是基础性的、奠基的思维训练，是与学生未来的生活、工作、职业密切相关的。有条理地思考，言之有据，而且不是一句言之有据，而是步步言之有据，这个训练是数学的独特性。从思维发展的角度考虑，思维一般分成几个过程：一个是形成概念的过程；一个是做出判断的过程；再一个是进行推理的过程。就是这概念、判断、推理，它是一个逐步上升的。如果把这个思维过程表达出来，就是数学当中经常说的定义（对应概念的），命题（对应判断的），证明（对应推理的）。

课标对推理比较强调合情推理和演绎推理。在注重演绎推理的同时还注重合情推理，尽管有时合情推理不严谨，但是对人发现新的东西，导致你产生一些新的猜想，是非常重要的，也离不开的。

我发现初中学生基于学生年龄的特点，学生在空间想象能力和抽象思维能力方面还不够成熟，缺乏解决几何问题的经验，学习几何的困难的较大。大部分学生不知道什么是推理，部分学生不明白为什么要推理。学生不会建立知识与题目之间的关系，遇到证明问题，不会分析，不会运用定理去证明；学生不会运用几何的语言去书写，逆向思维能力差，步骤没有条理。难于根据几何语言画出正确的图形。识图能力较差.不能将已知条件和图有机结合起来。学生不会添加辅助线，不会总结规律；学生觉得证明题太难、对枯燥的数学知识没有兴趣。

在教学中，我们要站在学生的角度去思考问题。可从总体的上去换位思考，充分估计学生们可能出现的各种情况。主要是在全班学生的认知水平上去考虑，灵活运用各种方法让大部分学生都能理解、接受的方式去指引、讲解，以达到教学目标。另外，也可以有针对性地从个别学生位置去换位思考，主要是对个别提出的不理解的特别问题，我们要站在他（她）的角度、认识水平、知识点、思路上去思考，寻求适合他（她）方法去指引、讲解。这样往往能够起到“药到病除”的功效，达到事半功倍的效果。

推理与证明的认识

发布者:林志刚发布日期:2011-11-28 12:40:10.0

数学中的推理与证明的学习主要是培养学生的逻辑思维能力，即推理与证明的能力。推理与证明是人类认识世界的重要手段，也是数学学习的重要组成部分。中学数学教育的一个重要职能是培养学生的推理与证明能力，这也是数学中几何教学的优势所在。

一、推理与证明能力的培养在传统数学教学和新课程数学教学中的区别。

传统数学教学中，就是以几何教学为主来培养学生的逻辑推理能力，以及学习数学证明方法的。但在新课程的教学中由于计算机和多媒体的广泛应用，使得几何代数学化，加大实验几何的内容，用学生日常生活中每天都可以看到和使用着的“形”的知识，借助直观，扩大公理体系，同时采用几何变换的语言对欧氏几何予以重新组织，让学生体会空间逻辑化的方法。

二、数学课程标准对学生推理能力的要求。

首先，要使学生掌握现代生活学习中应该具有的数学知识和技能，要培养人的能力。其次，要培养人，要为未来服务的。数学培养人的抽象思维和推理能力。再次，要培养人的应用意识、创新意识。课程标准很突出的一个变化，除了知识技能能力方面，特别提出了培养学生的情感、态度、价值观这方面的要求。

三、增强培养学生的推理能力的意识。

推理最基本的作用都是基础性的、奠基的思维训练，是与学生未来的生活、工作、职业密切相关的。有条理地思考，言之有据，而且不是一句言之有据，而是步步言之有据，这个训练是数学的独特性。

从思维发展的角度考虑，思维一般分成几个过程：一个是形成概念的过程；一个是做出判断的过程；再一个是进行推理的过程。就是这概念、判断、推理，它是一个逐步上升的。如果把这个思维过程表达出来，就是数学当中经常说的定义（对应概念的），命题（对应判断的），证明（对应推理的）。

课标对推理比较强调合情推理和演绎推理。在注重演绎推理的同时还注重合情推理，尽管有时合情推理不严谨，但是对人发现新的东西，导致你产生一些新的猜想，是非常重要的，也离不开的。

四、留意观察，准确把握学生现状。

我发现初中学生基于学生年龄的特点，学生在空间想象能力和抽象思维能力方面还不够成熟，缺乏解决几何问题的经验，学习几何的困难的较大。大部分学生不知道什么是推理，部分学生不明白为什么要推理。学生不会建立知识与题目之间的关系，遇到证明问题，不会分析，不会运用定理去证明；学生不会运用几何的语言去书写，逆向思维能力差，步骤没有条理。难于根据几何语言画出正确的图形。识图能力较差.不能将已知条件和图有机结合起来。学生不会添加辅助线，不会总结规律；学生觉得证明题太难、对枯燥的数学知识没有兴趣。

五、换位思考，以人为本，充分估计学生们可能出现的各种情况。

在教学中，我们要站在学生的角度去思考问题。可从总体的上去换位思考，充分估计学生们可能出现的各种情况。主要是在全班学生的认知水平上去考虑，灵活运用各种方法让大部分学生都能理解、接受的方式去指引、讲解，以达到教学目标。另外，也可以有针对性地从个别学生位置去换位思考，主要是对个别提

出的不理解的特别问题，我们要站在他（她）的角度、认识水平、知识点、思路上去思考，寻求适合他（她）方法去指引、讲解。这样往往能够起到“药到病除”的功效，达到事半功倍的效果。