高中数学推理与证明(第7讲)

第一篇：高中数学推理与证明(第7讲)

第 7 讲 推理与证明

2，>>，„若a>b>0且m>0，则()10811102521a＋ma

A．相等B．前者大

推理与证明是数学的基本思维过程，它有机地渗透到高中数学的各个章节，是高考必考的内容之一．新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求．因此在学习过程重视合情推理与演绎推理．高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主．

【知识梳理】

1、归纳推理：是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤 

通过观察个别情况发现某些相同的性质

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题猜想证明

2、类比推理：是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤 

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征从而得出一个猜想 检验猜想。

3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理

4、演绎推理 从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论演绎推理的一般模式———“三段论”包括

⑴大前提-----已知的一般原理

⑵小前提-----所研究的特殊情况

⑶结论-----据一般原理对特殊情况做出的判断

5、直接证明与间接证明

⑴综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立.要点顺推证法由因导果.⑵分析法从要证明的结论出发逐步寻找使它成立的充分条件直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止.要点逆推证法执果索因.⑶反证法一般地假设原命题不成立经过正确的推理最后得出矛盾因此说明假设错误从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤

①反设假设命题的结论不成立

②推理根据假设进行推理,直到导出矛盾为止

(3)归谬断言假设不成立(4)结论肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;

(1)归纳奠基证明当n取第一个值时命题成立

(2归纳递推假设k=n 时命题成立推证当k=n+1时命题成立.【金题精讲】

【例1】ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：113 abbcabc

【例2】4．设f(x)sin(2x)(0),f(x)图像的一条对称轴是x

（1）求的值；

（2）求yf(x)的增区间；

（3）证明直线5x2yc0与函数yf(x)的图象不相切。8.【例3】．（2102福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

【例4】用数学归纳法证明123n2222n(n1)(2n1)，(nN)6

变式：数学归纳法证明： 11111nn 23421

【达标训练】

1用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

2.（2012陕西）察下列不等式

113 222

115123，233

11151222 2343

„„

照此规律，第五个不等式为.．．．

3.（2012湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

4已知n为正偶数，用数学归纳法证明

111111112()时，若已假设nk(k2为偶 234n1n2n42n

（）

B．nk2时等式成立

D．n2(k2)时等式成立数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证A．nk1时等式成立 C．n2k2时等式成立

5一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）

A．12B.13C.14D.15

6数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）

2n1 A．n1 22n1B．n1 2C．n(n1)2nD．1－12n1

8设a，b，x，y∈R，且

1119已知正数a,b,c成等差数列，且公差d0，求证：，不可能是等差数列。abc；

10知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论。

第二篇：高中数学推理与证明测试题

高中数学推理与证明测试题

山东淄博五中孙爱梅

一 选择题（5×12=60分）

1.如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什

么颜色的（）

A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大

2．“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）

是3的倍数（P）.”上述推理是（）

A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错

3．F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N＋）真，则F（k＋1）真，现已知F

（7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不

真；⑥F（5）真.其中真命题是（）

A．③⑤B．①②C．④⑥D．③④

4.下面叙述正确的是（）

A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法

C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）

① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；

② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；

③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

A．①B．①②C．①②③D．③

6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对x∈R，有ax

2＋bx＋c＞0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．不充分不必要条件

17．（04·全国Ⅳ，理12）设f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f2

（2），f（5）＝（）

5A．0B．1C．D．5 2

111118．设S（n）＝ ＋ ＋ ＋＋„＋，则（）nn＋1n＋2n＋3n11A．S（n）共有n项，当n＝2时，S（2＋

311

1B．S（n）共有n＋1项，当n＝2时，S（2）＝＋ ＋

234111

C．S（n）共有n2－n项，当n＝2时，S（2 ＋＋

234111

D．S（n）共有n2－n＋1项，当n＝2时，S（2 ＋＋

4x

9．在R上定义运算⊙：x⊙y＝，若关于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集

2－y是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，则实数a的取值范围是（）A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2

10．已知f（x）为偶函数，且f（2＋x）＝f（2－x），当－2≤x≤0时，f（x）＝2，若n∈N，an＝f（n），则a2006＝（）

A．2006B．4C．D．－4

11．函数f（x）在［－1，1］上满足f（－x）＝－f（x）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B． f（cosα）＞f（sinβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）

12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁

二 填空题（4×4=16分）13．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给1131

5出一组数：,-，-，它的第8个数可以是。

228

43214．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC边上的射影，则AB2=BDBC.拓展到空间,在四面体A—BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为。

15．（05·天津）在数列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.16．（05黄冈市一模题）当a0，a1，a2成等差数时，有a0－2a1＋a2＝0，当a0，a1，a2，a3成等差数列时，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0－4a

1012

＋6a2－4a3＋a4＝0，由此归纳：当a0，a1，a2，„，an成等差数列时有Cna0－Cna1＋Cna2－„＋Cnnan＝0.如果a0，a1，a2，„，an成等差数列，类比上述方法归纳出的等式为＿＿＿。三 解答题（74分）已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：18．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2x＋

*

x

.11

3+=（12分）a+bb+ca+b+c

πππ

b＝y2－2y＋c＝z2－2z＋，求证：a、b、236

c中至少有一个大于0.（12分）

19．数列｛an｝的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1n＋

2n（n＝1，2，3，„）.n

Sn

证明：⑴数列｛Sn＋1＝4an.（12分）

n

20．用分析法证明：若a＞0，则

a22≥a＋－2.(12分)

aa

121．设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生概率为P′，则由A产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、„、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0＝1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第到第n站时的概率为Pn.（1）求P1，P2，P3；

（2）设an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求证：数列｛an｝是等比数列(12分)

ACAE22．(14分)在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB ＝.其证明过程：

BCBE作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F

∵CE是∠ACB的平分线，∴EG＝EH.又∵

ACAC·EGSΔAEC

＝，BCBC·EHSΔBEC

AEAE·CFSΔAEC＝＝，BEBE·CFSΔBEC∴

ACAE＝.BCBE

（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）证明你所得到的结论.B HC

图

1A

A G

B

图

2h11C

答案：

一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C

πππ分析：因为锐角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜，222

π

sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函数f（x）在［－1，1］上满足是减函数

所以f（cosα）＞f（sinβ）。12分析：先猜测甲、乙对，则丙丁错，甲、乙可看出乙获奖则丁不错，所以丙丁中必有一个是对的，设丙对，则甲对，乙错，丁错.∴答案为C.1.二 13-14（S△ABC）2= S△BOC S△BDC15.3

3216a

00n

C

·a

1－C

1n

·a2 n·„·an（－1）nn＝1.2C

C

n

［解析］解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解，类比去探求等比数列相应的性质.实际上，等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比，即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.三 解答题

317(分析法)要证+=

a+bb+ca+b+c

a+b+ca+b+c需证:+ =3

a+bb+c

即证:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)即证:c2+a2=ac+b

2因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b= c+a-ca 所以c+a=ac+b

3因此 + =

a+bb+ca+b+c(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ

而a＋b＋c＝（x2－2y）＋（y2－2z＋z2－2x＋

236

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.19(综合法)．证明：⑴由an＋1

2222222

n＋2

n，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 n

Sn＋

1n＋12（n＋1）n＋1Sn∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1Sn＝2，∴数列｛｝为等比数列.nnSnn

n

SnSn＋1Sn－14an（n－1）⑵由⑴知｛2，∴＝4·，∴Sn＋1＝4an.nn＋1n－1n－1n＋120(分析法).证明：要证

a2＋2－≥a＋2，只需证

aa

a22＋2≥a＋aa

∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（a2＋22）2≥（a＋）2，aa

只需证a2＋24＋

4a

a2＋2≥a2＋22＋2（a＋，aaa

a2＋2≥（a＋，只需证a2＋2≥（a2＋2＋2），a2aa2aa

即证a2＋2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.111131131

521.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2× ＋＝，P3＝ ×＋× ＝.2222422428

（2）证明:棋子跳到第n站，必是从第n－1站或第n－2站跳来的（2≤n≤100），所以Pn

Pn－1Pn－2

∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1 Pn－2=（Pn－1－Pn－2），22211

∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0.22

故｛an｝是公比为－，首项为－的等比数列（1≤n≤100）.2222．结论:

SΔACDSΔAECSΔACDSΔAEDAESΔACD＝ 或 ＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.又∵

SΔACDh1SΔACDVA－CDE

＝ SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

VA－CDEAESΔAEDVC－AED ＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDESΔACDAE∴ ＝SΔBCDBE

A G

B

C

2图2 A hB HC

图1

第三篇：高中数学推理与证明练习题

克拉玛依市启航教育培训中心0990-6888887

高中数学推理与证明练习题

一.选择题

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）

Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件

2．下面叙述正确的是（）

A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法、分析法是间接证法

C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定

3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）

Ａ．假设a，b，c都是偶数

Ｂ．假设a，b，c都不是偶数

Ｃ．假设a，b，c至多有一个是偶数

Ｄ．假设a，b，c至多有两个是偶数

4．在△ABC中，sinAsinCcosAcosC，则△ABC一定是（）

Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定

5．在证明命题“对于任意角，cos4sin4cos2”的过程：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”中应用了 Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法

二.证明题

6．设a,b,c都是正数，求证

12a12b12c1ab1bc1ca

克拉玛依市启航教育培训中心0990-6888887

7．已知：sin230sin290sin2150

sin2323

25sin265sin1252

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明

8．ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：1

ab1

bc3

abc

第四篇：【高中数学】推理与证明

【高中数学】推理与证明

归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）归纳推理的一般步骤：

(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；

(3)证明（视题目要求，可有可无）。

类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.类比推理的一般步骤：

(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

(3)检验猜想。

合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。“合乎情理”的推理.2.演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

演绎推理的一般模式

(1)大前提----已知的一般原理；

(2)小前提----所研究的特殊情况；

(3)结论----据一般原理，对特殊情况做出的判断.3.直接证明与间接证明

立。

要点：顺推证法，由因导果。

成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法，执果索因。

(3)：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法，它是一种间接的证明方法。

第 1 页

①（反设）假设命题的结论不成立；

②（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；③（归谬）断言假设不成立； ④（结论）肯定原命题的结论成立.反证法法证明一个命题的一般步骤：

4.数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤：

(1)（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；

(2)（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，推证当nk1时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.1．下列推理是归纳推理的是()

A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y2222

2C．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab

ab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

111357

2．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋„＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测

23n222出一般结论()

2n＋

1A．f(2n)>

2n＋2

C．f(2n)≥

n＋2

B．f(n2)≥

2D．以上都不对

3．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为()

A．大前提错误 h，则()

A．h>h1＋h2＋h3C．h

3B．h＝h1＋h2＋h3

D．h1，h2，h3与h的关系不定

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误

4．若点P是正四面体A－BCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A－BCD的高为

5．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图

2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是()

A．25B．66C．9

1D．120

6．已知等差数列{an}中，a10＝0，则有等式a1＋a2＋„＋an＝a1＋a2＋„＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，那么等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式_成立。

第 2 页

7．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，„，根据上述规律，第四个等式为_.8．观察下列等式：

①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝

43②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝

由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想.111

9．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝ABCD中，类比上述结论，你能得到

ADABAC怎样的猜想，并说明理由.10．下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图．

(1)数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？分别围成了多少个区域？将结果填入下表(按填好的例子做)

(2)观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？

(3)现已知某个平面图有2008个顶点，且围成了2008个区域，试根据以上关系确定这个平面图的边数.第 3 页

311．用数学归纳法证明：n5n能被6整除；

12．若a,b,c均为实数，且

求证：a，b，c中至少有一个大于0.13．用数学归纳法证明： 1

14．观察（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101;

（2）tan5tan10tan10tan75tan75tan51 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论 并加以证明。，,1111nn；2342

1000000

000000

第 4 页

1、下列表述正确的是（）

①归纳推理是由部分到整体的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③

B．②③④

C．②④⑤

D．①③⑤.②归纳推理是由一般到一般的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理；

2、下面使用类比推理正确的是（）

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab” B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab

（c≠0）” ccc

nnnn

（ab）anbn” 类推出（D.““ab）ab”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“

(A)假设三内角都不大于60度；(C)假设三内角至多有一个大于60度；A.29

B.2543、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）

(B)假设三内角都大于60度；

(D)假设三内角至多有两个大于60度。C.60

2D.200

401234、在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）

n＋

15、利用数学归纳法证明“1＋a＋a＋…＋a

(A)

11an2=，(a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）1a

(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a

3(B)1＋a6、某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立.现已知当n7时该命题不成立，那么可推得（）

A．当n=6时该命题不成立C．当n=8时该命题不成立

n

B．当n=6时该命题成立 D．当n=8时该命题成立

7、当n1，2，3，4，5，6时，比较2和n的大小并猜想（）

n

2A.n1时，2n

n2

B.n3时，2n n2

D.n5时，2n

n2

C.n4时，2n

x8、定义运算:xy

y

(xy)的是（）例如344,则下列等式不能成立．．．．

(xy),B．(xy)zx(yz)

D．c(xy)(cx)(cy)（其中c0）

A．xyyxC．(xy)xy

第 5 页

cos2Acos2B1

1。a2b2a2b29、在△ABC中，证明：

10、设a,b,x,yR，且ab1,x2y21,试证：ax1。

11、用反证法证明：如果x

12、已知数列a1,a2,,a30，其中a1,a2,,a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10,a11,,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,,a30是公差为d2的等差数列（d0）.（1）若a2040，求d；

（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；

（3）续写已知数列，使得a30,a31,,a40是公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

12，那么x2x10。2

第 6 页

第五篇：第三十八讲 推理与证明

第三十八讲 推理与证明

（二）【学习目标】

1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法

和综合法的思考过程、特点。

2、结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考

过程、特点。

【知识要点】阅读教材（必修1）P42～P45，P80～P83，P111～P113完成下列填空

1、直接证明

2、间接证明

反证法：假设原命题（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。

【基础检测】完成教材（必修1）P42～P45，P80～P83，P111～P113完成习题

1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的（）A.充分条件B.C.充要条件D.2.若a＞b＞0,则下列不等式中总成立的是（）

A.a+＞b+C.a+

1b

1a

B.D.bb1＞aa12aba

a2bb

11＞b+

ba

3.要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是

（）

A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法

24.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）

A.假设a、b、c都是偶数B.假设a、b、c都不是偶数

C.假设a、b、c至多有一个偶数D.假设a、b、c至多有两个偶数 5.设a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的()

A.充分而不必要条件B.C.充D.【例题分析】

a2b2c

2例

1、设a,b,c＞0,证明：≥a+b+c.bca

例

2、已知a＞0,求证： a2

1a

2-2≥a+

-2.a

例

3、已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.2511例

4、已知a＞0,b＞0,且a+b=1,试用分析法证明不等式.ab≥



ab

【方法总结】 【基础训练】

1.用反证法证明“如果a＞b,那么a＞b”假设内容应是

（）A.3a3b

C.3a3且3a



31a2b

2，则p,q的大小关系2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc,q=logc

2ab

B.

D.3a3b 或3a3

是（）

A.p＞q

B.p＜q

C.p=qD.p≥

q

3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对(a,b),在S中

有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A.（a*b）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=a C.b*(b*b)=bD.(a*b)*［b*(a*b)］=b

4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A.△A1B1C1和△A2B2C

B.△A1B1C1和△A2B2CC.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2CD.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C

5.已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中命题正确的是（填序号）

.6.对于任意实数a,b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②对于任意实数a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.(写出你认为正确的结论的所有序号)

7、已知a,b,c为正实数,a+b+c=1.求证：（1）a+b+c≥;(2)3a2+ 3b2+c2≤6.8、已知函数y=a+

x

2x2

(a＞1).x

1（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.9、已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，„），a1=1.（1）设bn=an+1-2an(n=1,2,„)，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设cn=

an2

n

(n=1,2,„),求证：数列{cn}是等差数列；

（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.