数学选修2-2_推理与证明例题1

第一篇：数学选修2-2_推理与证明例题1

知识要点分析：

1.推理

根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫推理.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论.2.合情推理：

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

类比推理的一般步骤：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

3.演绎推理：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。

4.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。综合法的思维特点是：由因导果

5.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。分析法的思维特点是：执果索因

6.假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。可能出现矛盾的四种情况：①与题设矛盾；②与假设矛盾；③与公理、定理矛盾；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

7.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基（或递推基础），第二步是归纳递推（或归纳假设），两步缺一不可

8.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等

【典型例题】

考点一：归纳推理

例

1、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

33sin230sin290sin21502；2；

33sin245sin2105sin2165sin260sin2120sin21802；2 sin215sin275sin2135

【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性，（2）观察角的“共性”

【解析】猜想：sin2(60)sin2sin2(60)

3222证明：左边=(sincos60cossin60)sin(sincos60cossin60)33(sin2cos2)2=右边 =

2【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

考点二：类比推理

例

2、观察下列等式：15C5C5232，159C9C9C92723，15913C13C13C13C1321125，1591317C17C17C17C17C1721527，„„„

由以上等式推测到一个一般性的结论：

*对于nN，C4n1C4n1C4n1C4n1

4n12n1212答案： n1594n

1【解析】这是一种需用类比推理方法破解的问题，结论由二项式构成，第二项前有1n，二项指数分别为

24n14n1,22n1，因此对于nN*，4n14n14n12n1212。nCC

54n1C9

4n1C

反思：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

考点三：演绎推理

例3.证明函数f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函数.证明：满足对于任意x1，x2∈D，若x1

因为x10

因为x1，x2<1所以x1+x2－2<0

因此f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

所以函数f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函数.考点四：综合法

例

4、对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x0,1，)(1；总有f(x)0；②f1③若x10,x20,x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)

成立，则称函数f(x)为理想函数.（1）若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

（2）判断函数g(x)21（x[0,1]）是否为理想函数，并予以证明；

【解析】（1）取x1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0.又由条件①f(0)0，故f(0)0.xg(x)21在[0，1]内满足条件①g(x)0；（2）显然

也满足条件②g(1)1.若x10，x20，x1x21，则 x

g(x1x2)[g(x1)g(x2)]2x1x21[(2x11)(2x21)]

2x1x22x12x21(2x21)(2x11)0，即满足条件③，故g(x)为理想函数.【反思】要证明函数g(x)21（x[0,1]）满足三个条件，得紧扣定义，逐个验证。

考点五：反证法 x

例

5、已知，a,b,c(0,1)，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能同时大于4。

11111ab1bc1ca4，4，4 证法一：假设三式同时大于4，即

11ab1bc1caa,b,c0,1，三式同向相乘得64，又

1aa1111bb1cc1aa24，同理4，4 

11ab1bc1ca64，这与假设矛盾，故原命题得证。

2证法二：假设三式同时大于4，0a11a0，1,22 1bc1,1ca1,3322三式相加得22，这是矛盾的，故假设错误，22同理1a

b

所以原命题得证

点评：“不能同时大于4”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。即正难则

反

（1）当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法。

与公理矛盾与题设矛盾

（2）用反证法的步骤是：①否定结论ABC②而C不合理与假设自相矛盾

③因此结论不能否定，结论成立。

反证法属于“间接证明法”一类，是从反面角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

考点六：数学归纳法

3aa0,aca1c,nN*，其中c为实数。n1n1n例

6、设数列满足

求证：an[0,1]对任意nN成立的充分必要条件是c[0,1]； *

证明：必要性：∵a10,∴a21c，又 ∵a2[0,1],∴01c1，即c[0,1]

充分性：设c[0,1]，对nN用数学归纳法证明an[0,1] *

当n1时，a10[0,1].假设ak[0,1](k1)

则ak1cak1cc1c1，且ak1cak1c1c0 3

3∴ak1[0,1]，由数学归纳法知an[0,1]对所有nN*成立

反思：数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1（或n0）时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标、完成解题。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

【本讲涉及的数学思想、方法】

推理在高考中刻意去考查的虽然很少，但实际上对推理的考查却无处不在，从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明是高考中常考的题型之一，对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断则经常用到，有独到之处。

第二篇：高二 数学 选修 推理与证明(文)（模版）

高中数学（文）推理与证明

知识要点：

1、合情推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理；

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。

类比推理的一般步骤：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；

（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

2、演绎推理

分析上述推理过程，可以看出，推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题（如“全等三角形”）推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。

3、证明方法

（1）反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

（2）分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

分析法的思维特点是：执果索因；

分析法的书写格式： 要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有„„，这只需要证明命题为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。

（3）综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

典例分析：

例1：例5．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？

（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：

1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。

2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。

例2：（06年天津）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱

1EF//BC。

2（1）证明FO//平面CDE；

（2）设BC，证明EO平

面CDF。

例3：（1）用反证法证明：如果a>b>0，那么

（2）用综合法证明：如果a>b>0，那么

； ；

例4：用分析法证明：如果ΔABC的三条边分别为a，b，c，那么：

abc 1ab1c

巩固练习：

1.如果数列an是等差数列，则

A.a1a8a4a5 B.a1a8a4a5 C.a1a8a4a5 D.a1a8a4a

52.下面使用类比推理正确的是

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab（c≠0）” ccc

nn（ab）anbn” 类推出“（ab）anbn” D.“

3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误C.“若(ab)cacbc” 类推出“

4.设f0(x)sinx,f1(x)f0(x)，f2(x)f1'(x),,fn1(x)fn'(x)，n∈N，则'

f2007(x)

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx

5.在十进制中20044100010101022103，那么在5进制中数码200

4折合成十进制为

A.29B.254C.602D.2004

6.函数yax21的图像与直线yx相切，则a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四个不等式：①a2b2c2abbcca；②a1a

ab2 ；④a2b2c2d2acbd2.其中不成立的有ba

A.1个B.2个C.3个D.4个

2f(x)（xN*）,f(1)1 8.已知f(x1)，猜想f(x）的表达式为f(x)2

4212A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x) 22x1x12x1

9.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2AC2BC2。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.23432，3+4+5+6+7=52中，可得到一般规律为10.从112，(用数学表达式表示)

11.函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是.12.设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则f(4)

当ｎ＞４时，f(n)＝（用含n的数学表达式表示）

第三篇：高二数学选修2-2《推理与证明测试题》

-202000

sin30cos60sin30cos60

202000

sin20cos50sin20cos50

3，sin15cos45sin15cos45

17、（10分）已知正数a,b,c成等差数列，且公差d0，求证：，不可能是等差数列。

abc18、（14分）已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。

15、猜想：sin2cos2(30)sincos(30)证明：4

1cos21cos(6002)sin(3002)sin300

sincos(30)sincos(30)

222

cos(6002)cos2112sin(3002)sin30011 00

1[sin(302)]1[sin(302)]

222222

3113 00

sin(302)sin(302)



第四篇：高二数学选修1-2《推理与证明测试题》（范文）

高二数学选修1-2《推理与证明测试题》

班级姓名学号得分

一、选择题：

1、与函数yx为相同函数的是（）A.yx2B.yx

2xC.yelnxD.ylog2x22、下面使用类比推理正确的是（）.A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“ab

ca

cb

c（c≠0）”

nnnnnnD.“（ab）ab” 类推出“（ab）ab”

3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

A.假设三内角都不大于60度；B.假设三内角都大于60度；

C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角至多有两个大于60度。

5、当n1，2，3，4，5，6时，比较2n和n2的大小并猜想（）

A.n1时，2nn2B.n3时，2nn

2n2n2C.n4时，2nD.n5时，2n6、已知x,yR,则“xy1”是“xy1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数

列,每一列成等比数列,则a+b+c的值是()

A.1B.2C.3D.41 228、对“a,b,c是不全相等的正数”，给出两个判断：

①(ab)2(bc)2(ca)20；②ab,bc,ca不能同时成立，下列说法正确的是（）

A．①对②错 C．①对②对

B．①错②对

D．①错②错

axcy

（）

9、设a,b,c三数成等比数列，而x,y分别为a,b和b,c的等差中项，则

A．1B．2C．3D．不确定

10、定义运算:xy

xy

(xy)(xy),的是（）例如344,则下列等式不能成立．．．．

A．xyyxB．(xy)zx(yz)

C．(xy)2x2y2D．c(xy)(cx)(cy)（其中c0）

二、填空题：

11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是。

12、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：ABAC

BC。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两

两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.13、从11，14(12),149123，14916(1234)，„,推广到第n个等式为_________________________.14、已知a13，an1

3anan

3，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，推测出an＝

三、解答题：

15、在△ABC中，证明：

16、设a,b,x,yR，且a2b21,x2y21,试证：axby1。

17、用反证法证明：如果x

cos2Aa



cos2Bb



1a



1b。

2，那么x22x10。

18、已知数列a1,a2,,a30，其中a1,a2,,a10是首项为1，公差为1的等差数列；

（d0）.a10,a11,,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,,a30是公差为d的等差数列

（1）若a2040，求d；

（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；

（3）续写已知数列，使得a30,a31,,a40是公差为d3的等差数列，„„，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

高二数学选修1-2《推理与证明测试题》答案提示

1——

10、DCABDBAABC11、____14__________

12、SBCD

SABC

SACD

SABD13、1223242„(1)n1n2(1)n1(123n)

14、________

3n

______

cos2Bb15、证明：

cos2Aa



12sin

a

A



12sin

b

B



1a



1bB

sin2Asin2B

2a2b2



由正弦定理得：

cos2Aa

sina

2A



sinb





cos2Bb



1b

a16、证明: 1(a2b2)(x2y2)a2x2a2y2b2x2b2y

2a2x22aybxb2y2(axby)2故axby

117、假设x2x10，则x1

2

2容易看出1要证：1

223212

12，下面证明1。，只需证：2只需证：2

4，2

上式显然成立，故有1综上，x1

2

12。

。而这与已知条件x相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立。

18、解：（1）a1010.a201010d40,d3.（2）a30a2010d2101dd2(d0)，a30

1310d，24

当d(,0)(0,)时，a307.5,

.（3）所给数列可推广为无穷数列an，其中a1,a2,,a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n1时，数列a10n,a10n1,,a10(n1)是公差为dn的等差数列.研究的问题可以是：

试写出a10(n1)关于d的关系式，并求a10(n1)的取值范围.研究的结论可以是：由a40a3010d3101dd2d3，依次类推可得

a10(n1)101dd



n



n1

1d10,1d10(n1),d1, d1.当d0时，a10(n1)的取值范围为(10,)等.

第五篇：高二数学选修2-2第二章推理与证明

§2.1.1 合情推理

1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；

.一、课前准备

（预习教材P70~ P77，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：

（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学

探究任务一：考察下列示例中的推理

问题：因为三角形的内角和是180(32)，四边形的内角和是180(42)，五边形的内角和是180(52)„„所以n边形的内角和是

新知1：从以上事例可一发现：叫做合情推理。归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。探究任务二：

问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式的？

新知2 归纳推理就是根据一些事物的,推出该类事物的的推理归纳是的过程 例子:哥德巴赫猜想：

观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,例2设f(n)nn41,nN计算f(1),f(2),f(3,)...f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

练1.观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？

三、总结提升※ 学习小结1．归纳推理的定义.2.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2f(x),f(1)1（xN*）2.已知f(x1)，猜想f(x）的表达式为（）.f(x)2421

2A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x)

22x1x12x1111357

3.f(n)1(nN)，经计算得f(2),f(4)2,f(8),f(16)3,f(32)

23n222

猜测当n2时，有__________________________.50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：归纳推理的一般步骤。2。※ 典型例题

例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7„„2n-1，„„的前n项和Sn的归纳过程。已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,„„1+2+3+„„+n=

n(n1)，观察下列立方和：13，2

13+23，13+23+33，13+23+33+43，„„试归纳出上述求和的一般公式。

2.1.2演绎推理

2.通项公式为

an=cqncq0的数列

an

是等比数列。并分析证明过程中的三段论

【使用说明及学法指导】

1.先预习教材p78„--p81,然后开始做导学案

2．针对预习提纲，深化对演绎推理的一般形式—“三段论”的理解【学习目标】

结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

【学习难点重点】

教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.1.如图。在ABC中，AC>BC,CD是AB

ACDBCD教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.证明：在ABC中【课前预习案 】教材p78„--p81,然后开始做导学案

CDAB,ACBC【自学提纲：(基本概念、公式及方法)】 ADBD

一．基础性知识点,于是ACDBCD.1.演绎推理的定义：_______________________________________________________2．演绎推理是由___________到___________的推理； 指出以上证明过程中的错误 3．“__________________”是演绎推理的一般模式；包括【提醒】：演绎推理错误的主要原因是

⑴____________---____________________；1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。⑵____________---____________________；

2、把下列推理恢复成完全的三段论:

⑶____________---_____________________． 4.三段论的基本格式

（1）因为ABC三边长依次为3，4，5，所以ABC是直角三角形；

M—P（M是P）（_________）S—M（S是M）（________）（2）函数y2x5的图象是一条直线.S—P（S是P）（_________）

用集合的观点来理解:______________________________________________________二．课前检测.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为（）

A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.非以上错误3.用三段论证明：在梯形ABCD中ADBC,ABDC,则BC

例

2、已知lg2m,计算lg0.8

1.把“函数yx2x1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

2.2.1综合法和分析法

【学习目标】

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。【重点难点】

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。【知识梳理】

复习1两类基本的证明方法:和。复习2 直接证明的两中方法:和。知识点一综合法的应用

一般地,利用,经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。

反思框图表示要点顺推证法；由因导果。例1 已知a,b,cR，abc1，求证：9

变式已知a,b,cR，abc1，求证(1)(1)(1)8。

小结用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。知识点二分析法的应用

证明：基本不等式新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示

要点：逆推证法；执果索因 ※ 典型例题

例

2变式：求证

小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 设在四面体PABC中,ABC90,PAPBPC,D是AC的中点.求证：PD垂直于ABC所在的平面。

小结解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。

1.已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

2.在△ABC中，证明

cos2Acos2B1

1。2222

abab

bcaacbabc

3。abc

a1b1c

1a1b1c

ab

(a0,b0)2

2.2.2反证法

学习目标

（1）使学生了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.【概念形成】

反证法的思维方法：正难则反

反证法定义：一般地，由证明p

q与假设矛盾，或与某个真命题矛盾。从而判定为假，推出为真的方法，叫做反证法。

【例题分析例

1、已知a,b,cR,abc0,abc1.求证：a,b,c中至少有一个大于

（4结论为 “唯一”类命题；

课后练习与提高

一、选择题

1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）

Ａ．假设a，b，c都是偶数 Ｂ．假设a，b，c都不是偶数

Ｃ．假设a，b，c至多有一个是偶数 Ｄ．假设a，b，c至多有两个是偶数

2．（1）已知p3q32，求证pq≤2，用反证法证明时，可假设pq≥2，（2）已知a，bR，ab1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设x1≥1，以下结论正确的是（）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确

Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确

3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）Ａ．有两个内角是钝角Ｂ．有三个内角是钝角 Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角

二、填空题

4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______． 5.已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．

三、解答题

6．

3。

2例2．设ab2，求证ab2.反思总结：

1.反证法的基本步骤：

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

2.归缪矛盾：

（1）与已知条件矛盾；

（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。

3.应用反证法的情形：

(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；

（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；

2.3数学归纳法

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.1.教学数学归纳法概念：

给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.2、典例分析

题型

一、用数学归纳法证明恒等式

例

1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋„＋n3=

题型

二、用数学归纳法证明不等式 例

2、归纳法证明

题型

三、用数学归纳法证明几何问题 例3．平面内有n(nN*)个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成nn2个部分.题型

四、用数学归纳法证明整除问题

例

4、用数学归纳法证明32n2－8 n－9nN能被64整除．

＋

用数学归纳法证明(3n1)7n1(nN)能被9整除

2n（n＋1）2

4题型五 归纳、猜想、证明 例5．是否存在常数a，b，c使等式

1·222·323·42„nn1

11119…＞（n＞1，且nN）． n1n2n33n10

并证明你的结论。

nn11

2an

bnc对一切自然数n都成立，

六、强化训练

1.用数学归纳法证明“1＋x＋x2＋„＋xn1=

＋

第二章 推理与证明知识点：

1、归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质；

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； 证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。

3、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括：⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：

(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;

*

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；

*

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN)时命题成立，推证当nk1时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.1x1x

n2

x1，nN”成立时，验证n=1的过

程中左边的式子是()(A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋„＋x2

6.用数学归纳法证明

11111111

(nN),则从k到k＋1时,1－＋－

2342n12nn1n22n左边应添加的项为

111111

(A)(B)(C)－(D)－

2k12k22k12k22k22k4

8.如果命题p(n)对nk成立，那么它对nk2也成立，又若p(n)对n2成立，则下列

结论正确的是（）

A．p(n)对所有自然数n成立B．p(n)对所有正偶数n成立 C．p(n)对所有正奇数n成立D．p(n)对所有大于1的自然数n成立

1222

10.证明

1335

n2n(n1)

,nN*(2n1)(2n1)2(2n1)

15.用数学归纳法证明：(3n1)71(nN)能被9整除

16．是否存在常数a,b,c使等式1(n1)2(n2)n(nn)anbnc 对一切正整数n都成立？证明你的结论。

17.数列

n

an的前n项和Sn2nan，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．