选修1-2第二章推理与证明讲义

第一篇：选修1-2第二章推理与证明讲义

第二章推理与证明讲义

2.1合情推理与演绎推理

学习目标：

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；

2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.重点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题.难点：用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。

学习策略：

①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法.只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的.知识要点梳理

知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。

1.归纳推理

（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。（2）一般模式：部分整体，个体一般

（3）一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；

③检验猜想.（4）归纳推理的结论可真可假

归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.2.类比推理

（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.（2）一般模式：特殊特殊

（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.（4）一般步骤：

①找出两类对象之间的相似性或一致性；

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；

③检验猜想.（5）类比推理的结论可真可假

类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。

知识点三：演绎推理

（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推

理，叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式

① 大前提——已知的一般原理；

② 小前提——所研究的特殊情况；

③ 结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.（3）用集合的观点理解“三段论”若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质

（4）演绎推理的结论一定正确

演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是

正确的，它是完全可靠的推理。

规律方法指导

合情推理与演绎推理的区别与联系

（1）从推理模式看：

①归纳推理是由特殊到一般的推理．

②类比推理是由特殊到特殊的推理．

③演绎推理是由一般到特殊的推理．

（2）从推理的结论看：

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过

程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎

推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.经典例题透析

类型一：归纳推理

1．用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.举一反三：【变式1】用推理的形式表示等差数列1，3，5，„，（2－1），„的前项和的归纳过程.，计算

验证猜想的结论是否正确.的值，同时【变式2】设归纳结果所具有的性质，并用

2．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交

但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部

分？

举一反三：【变式1】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形

（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？

（2）推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间的关系.类型二：类比推理

3．在三角形中有下面的性质：

(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；

(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；

(4)三角形的面积半径)．

请类比写出四面体的有关性质．，（为三角形的三边长，为三角形的内切圆

类型三：演绎推理

4．已知：在空间四边形∥平面中，、分别为、的中点，用三段论证明：

例4变式

2举一反三：【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：

证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，„„„„大前提

而菱形是所有边长都相等的凸多边形，„„„„„„„„„„小前提

所以菱形是正多边形.„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论

（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？

【变式2】如图2-1-8所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求

证：ED=AF.2.2直接证明与间接证明

目标认知

学习目标：

1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，了解间接证明的一种基本方法：反证法；

2．了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.重点：

根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题的重要思想方法。当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.它适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.知识要点梳理

知识点一：直接证明

1、综合法

（1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.（3）综合法的思维框图：用公理等，表示已知条件，为定义、定理、表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）

2、分析法

（1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.（2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.（3）分析法的思维框图：用

理等，表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：

（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）

（4）分析法的格式：要证„„，只需证„„，只需证„„，因为„„成立，所以原不等式得证。

知识点二：间接证明

反证法

（1）定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.（3）反证法的基本思路：“假设——矛盾——肯定”

①分清命题的条件和结论．

②做出与命题结论相矛盾的假设．

③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．

④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．

（4）用反证法证明命题“

若

则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：

（5）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.规律方法指导

1.用反证法证明数学命题的一般步骤：

①反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；

②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；

③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.2.适合使用反证法的数学问题：

①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；

②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.经典例题透析类型一：综合法

1．如图，设在四面体求证：垂直于中，，是的中点.所在的平面.举一反三：

【变式1在锐角三角形ABC中，求证：类型二：分析法

2．求证：

举一反三：

【变式1】求证：

类型三：反证法

3。设函数对任意举一反三：

【变式1】已知：，求证 都有在.内都有，且恒成立，求证：

第二篇：高二 数学 选修 推理与证明(文)（模版）

高中数学（文）推理与证明

知识要点：

1、合情推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理；

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。

类比推理的一般步骤：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；

（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

2、演绎推理

分析上述推理过程，可以看出，推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题（如“全等三角形”）推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。

3、证明方法

（1）反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

（2）分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

分析法的思维特点是：执果索因；

分析法的书写格式： 要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有„„，这只需要证明命题为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。

（3）综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

典例分析：

例1：例5．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？

（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：

1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。

2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。

例2：（06年天津）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱

1EF//BC。

2（1）证明FO//平面CDE；

（2）设BC，证明EO平

面CDF。

例3：（1）用反证法证明：如果a>b>0，那么

（2）用综合法证明：如果a>b>0，那么

； ；

例4：用分析法证明：如果ΔABC的三条边分别为a，b，c，那么：

abc 1ab1c

巩固练习：

1.如果数列an是等差数列，则

A.a1a8a4a5 B.a1a8a4a5 C.a1a8a4a5 D.a1a8a4a

52.下面使用类比推理正确的是

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab（c≠0）” ccc

nn（ab）anbn” 类推出“（ab）anbn” D.“

3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误C.“若(ab)cacbc” 类推出“

4.设f0(x)sinx,f1(x)f0(x)，f2(x)f1'(x),,fn1(x)fn'(x)，n∈N，则'

f2007(x)

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx

5.在十进制中20044100010101022103，那么在5进制中数码200

4折合成十进制为

A.29B.254C.602D.2004

6.函数yax21的图像与直线yx相切，则a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四个不等式：①a2b2c2abbcca；②a1a

ab2 ；④a2b2c2d2acbd2.其中不成立的有ba

A.1个B.2个C.3个D.4个

2f(x)（xN*）,f(1)1 8.已知f(x1)，猜想f(x）的表达式为f(x)2

4212A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x) 22x1x12x1

9.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2AC2BC2。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.23432，3+4+5+6+7=52中，可得到一般规律为10.从112，(用数学表达式表示)

11.函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是.12.设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则f(4)

当ｎ＞４时，f(n)＝（用含n的数学表达式表示）

第三篇：选修2-2第一章推理与证明练习题

推理与证明过关检测试题

1.考察下列一组不等式： 252525,252525,2

555

2525,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等

3223

式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是.2．已知数列an满足a12，an1的值为．3.已知f(x1)A.f(x)

422

x

1an1an

（nN*），则a3的值为 a1a2a3a2007

2f(x)f(x)2

（xN*），猜想f(x）的表达式为（）,f(1)

12x1

；B.f(x)；C.f(x)



1x1

；D.f(x)

22x1

.

4.某纺织厂的一个车间有技术工人m名（mN），编号分别为1、2、3、„„、m，有n台（nN）织布机，编号分别为1、2、3、„„、n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij1，否则aij0，则等式a41a42a43a4n3的实际意义是（）A、第4名工人操作了3台织布机；B、第4名工人操作了n台织布机； C、第3名工人操作了4台织布机；D、第3名工人操作了n台织布机.5.已知f(n)1

f(32)

212



3

1n

(nN)，计算得f(2)

*

32，f(4)2，f(8)

52，f(16)3，由此推测：当n2时，有6.观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是Sn，按此规律推出：当n2时，Sn与n的关系式

n2S4n3S8n4S12

„„

7.观察下式：1=1，2+3+4=3，3+4+5+6+7=5，4+5+6+7+8+9+10=7，„，则可得出一般结论：.8.函数f(x)由下表定义：

若a05，an1f(an)，n0,1,2,，则a2007．

9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用n表示)

图1 图2

10.图3

那么2003应该在第行，第列。

11．如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，...，一直数到2008时，对应的指头是(填指头的名称).12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，„„中，第25项为_____．

13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形.14．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）

15.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为aii1,2,3,4，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hii1,2,3,4，若

a1

1

a2

2

a3

3

a4

4k，则.ihi

i1

2Sk

类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为

Sii1,2,3,4, 此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H

ii1,2,3,4,若S11

S22

S33

S44

4VK



K,则iHi(B)

i1

A.B.3VK

C.2VK

D.VK

16.设O是ABC内一点，ABC三边上的高分别为hA,hB,hC，O

到三边的距离依次为la,lb,l

c，则

lahA



lbhB



lchC

，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为

hA,hB,hC,hD，O到这四个面的距离依次为la,lb,lc,ld，则有b，17．在RtABC中，两直角边分别为a、设h为斜边上的高，则

1h



1a



1b，由此类比：三棱锥SABC

中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．

18、若数列an是等差数列，对于bn

1n

(a1a2an)，则数列bn也是等差数列。类比上述性质，若数列cn是各项都为正数的等比数列，对于dn0，则dndn也是等比数列。19．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有个（用m表示）．

20．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是________（用n表示）.123456

16

57

4254

711

16

621．在△ABC中，sinA

sinBsinCcosBcosC，判断△ABC的形状并证明.22．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax+2bx+c=0，bx+2cx+a=0，cx+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设

23.ABC中，已知3b23asinB，且cosAcosC，求证：ABC为等边三角形。

24．如图，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、„、Pn(xn,yn)(0y1y2yn)是曲线C：y3x(y0)

上的n个点，点Ai(ai,0)（i1,2,3n）在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．（1）写出a1、a2、a3；

（2）求出点An(an,0)（nN）的横坐标an关于n的表达式并证明.推理与证明章节测试题答案

1.ababab(a,b0,mkn,m,n,kN)3．

2,33.B.4.A5.f(2)

*

n

nnmkkm*

2n12

(nN)6.n(n2)

*22

7.n(n1)(3n2)(2n1),nN8.4 9.n(n1)(4n1)

6nN10.251,311、食指

*

12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，„„中，第25项为__7____． 13．

n3n

214． 4n815、B提示:平面面积法类比到空间体积法

16． 1.提示：平面面积法类比到空间体积法 17．．

1h

1222abc

*

1n

(a1a2an)类比到几何平

nN提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数bn均数dnnN

m(m1)

*

19．20．

nn

221．解:sinA

sinBsinCcosBcosC,ABC

sinAcosBsinAcosCsin(AC)sin(BC)sinCcosAsinBcosA(sinCsinB)cosA0sinCsinB0,cosA0A

2

所以三角形ABC是直角三角形

22． 三个方程中都没有两个相异实根

证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，222

则Δ1=4b－4ac≤0，Δ2=4c－4ab≤0，Δ3=4a－4bc≤0.222222

相加有a－2ab+b+b－2bc+c+c－2ac+a≤0，222

（a－b）+（b－c）+（c－a）≤0.由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.方法总结：反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立.凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.23.解: 分析：由3b23asinB3sinB23sinAsinBsinA

32①

A

3,23

由cosAcosCACAC

3

B所以ABC为等边三角形

24.如图，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、„、Pn(xn,yn)(0y1y2yn)是曲线C：y23x(y0)上的n个点，点Ai(ai,0)（i1,2,3n）在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．（1）写出a1、a2、a3；

（2）求出点An(an,0)（nN）的 横坐标an关于n的表达式并证明.解:（Ⅰ）a12,a26,a312;„„„„„„.6分

an1an

anan

1，由此及yn3xn得

（2）依题意，得xn

anan1

32,yn

3

(3)



(anan1)，即(anan1)2(an1an)．

由（Ⅰ）可猜想：ann(n1),(nN)． 下面用数学归纳法予以证明：（1）当n1时，命题显然成立；

（2）假定当nk时命题成立，即有ank(k1)，则当nk1时，由归纳假设及



(ak1ak)2(akak1)

得[ak1k(k1)]22[k(k1)ak1]，即

(ak1)2(kk1)ak1[k(k1)][(k1)(k2)]0，解之得

ak1(k1)(k2)

（ak1k(k1)ak不合题意，舍去），即当nk1时，命题成立．

由（1）、（2）知：命题成立．„„„„„„.10分

第四篇：选修2-2第二章推理与证明检测专题

选修2-2第二章推理与证明姓名评价

1、下列表述正确的是

①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤.2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件

3.证明命题"f(x)exx在(0,)上是增函数”，一个同学的证法如下：

e

11xf'(x)eexex

x0ex1,0x1

e

exx0,即f'(x)0

ef(x)ex

8.观察式子:1

A.1

13115111711，则可归纳出式子为 ，***

11111111(n≥2)1(n≥2)B.2232n22n12232n22n11112n11112n

(n≥2)(n≥2)D.1222C.1222

23n2n123nn

9.根据给出的数塔猜测12345697

19211129311112394111112349511111 1234596111111......f(x)ex

在(0,)上是增函数,他使用的证法是（）ex

A.综合法B.分析法C.反证法D.以上皆非

4.要证明a ＋a＋7 a＋3 ＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是

A.综合法B.分析法C.反证法D.类比法 5.有一段演绎推理是这样的:

因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)

而y＝(2)x是指数函数(小前提)

所以y＝(2)x是 增函数(结论)

推理的结论显然是错误的,这是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 6．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°”时。反设正确的是

A.三个内角都小于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角中至多有一个大于60°D.三个内角中至多有两个大于60° 7.分析法又称“执果索因法”，若用分析法证明：“设a＞b＞c,且a＋b＋c＝0，求证b－ac ＜3 a”索的因应是 A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0

A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113

10.观察(x2)′＝2x,(x4)′＝4x3,(cosx)′＝－sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x),记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝

A.f(x)B.－f(x)C.g(x)D.－g(x)

11.三角形的面积S＝2(a＋b＋c)·r,(a,b,c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径)，利用类比推理，可以得到四面体的体积为

A.V ＝3abcB.V ＝3Sh

C.V ＝3(S1＋S2＋S3＋S4)·r ,S1,S2,S3 ,S4为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)

D.V ＝3(ab＋bc＋ac)·h

12.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；

②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A．①；B．①②；C．①②③；D．③ 13.观察下式，从中归纳出一般性的结论

1＝122＋3＋4＝323＋4＋5＋6＋7＝52

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72

5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92

………….由上式推测第n个等式为

选修2-2第二章推理与证明姓名评价

14.观察①sin2100cos2400sin100cos400;

②sin260cos2360sin60cos360.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为15.[n ]表示不超过n 的最大整数.S1＝[1 ]＋[2 ]＋[3 ]＝3,S2＝[4 ]＋[5 ]＋[6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10,S2＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋12 ]＋13 ]＋14 ]＋15 ]＝21, ………….那么Sn＝

16.半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)2r,若将r看作(0,)上的变量，则(r2)'2r①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0,)上的变量，请你写出类似于①式的式子：，你所写的式子可用语言叙述为：

17.用分析法证明：2 －6 ＜3 －7

a＋blga＋lgb

18.用综合法证明：如果a,b＞0,则lg2≥

19.用三段论的形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数.ab

20.已知a,b是正实数，求证：b ＋ a≥a ＋b

21.在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.22.观察①tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1

②tan5°·tan10°＋tan10°·tan75°＋tan75°·tan5°＝1

两式的结构特点可提出一个一般规律的等式，并证明你的结论.选修2-2第二章 数学归纳的法姓名评价

1.用框图表示数学归纳法的步骤

2.用数学归纳法证明1111

23...2n

1

n(nN*,n1)时，第一步应验证不等式 A.1122B.112132C.111111233D.1234

3

3.用数学归纳法证明 “

112123134...1n(n1)nn1

(nN*)”的过程中,由nk递推到nk1时,等式的左边需要增添的项是()

A.1k(k1)B.1k(k1)1

(k1)(k2)

C.11k(k2)

D.(k1)(k2)

4.用数学归纳法证明不等式“

1n11n212n13

(n2)”时的过程中,由nk递推到nk1时,不等式的左边()

A.增加了一项

12(k1)B.增加了两项11

2k1

2(k1)C.增加了两项11

2k1

2(k1),又减少了一项1

k1 D.增加了一项12(k1),又减少了一项1

k1

5.用数学归纳法证明1113

35...1(2n1)(2n1)n

2n1

(nN*)

6.在数列{a2an

n}中，a11,an1

2a(nN*)，n

（1）计算a2，a3，a4，a5猜想数列{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想

7.在数列{an}中, a1＝1且Sn＝n2·an,n∈N*

(1)计算a2，a3，a4，a5猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.8.用数学归纳法证明:

对一切大于1的自然数,不等式(1＋11)(1＋5)·····(1＋1

2k＋2n－1)＞12 均成立

第五篇：选修1-2第二章推理与证明复习题

选修1-2第二章推理与证明复习题

一、选择题

1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

2、由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）

(A)正方形的对角线相等(B)平行四边形的对角线相等

(C)正方形是平行四边形(D)其它

3、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是()

(A)12(B)13(C)14(D)154、观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,„中x,y,z的值依次是()

(A)42,41,123;(B)13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123.5,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值是()

(A)1(B)2(C)3(D)

46、设a,b,c大于0，则3个数：a111，b，c的值()bca

A、都大于2B、至少有一个不大于2C、都小于2D、至少有一个不小于

27、已知f1(x)cosx,f2(x)f1'(x),f3(x)f2'(x),f4(x)f3'(x)。。fn(x)fn1'(x),则f2005(x)（）A、sinxB、sinxC、cosxD、cosx8、函数yx2

5x42的最小值为()

A、1B、二、填空题 5C、2D、3

2353,1 , ，„„归纳出通项公式an =____。28812、数列{an}中，a1，an13an0，则an的通项公式为

21、由数列的前四项:

3、对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “”,这个类比命题的真假性是。

4、平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成_______部分。

5、若数列{an}，(n∈N)是等差数列,则有数列bn=*a1a2an*(n∈N)也是等差数列，类比上述n

**性质，相应地：若数列{Cn}是等比数列,且Cn＞0(n∈N),则有dn=____________(n∈N)也是等比数列。

三、解答题

1、求证：

(1)a2b23abab);(2)6+>22+。

2、已知ab0,cd0,e0，比较ee与的大小。acbd3、如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。

A4、已知：f(x)xpxq，求证：

（1）f(1)f(3)2f(2)2；（2）f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于

2C B 1。

25、已知(0,

2),求ysincos2的最大值。

6、观察以下各等式：

43sin2200cos2500sin200cos500 4

3sin2150cos2450sin150cos450，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，4sin2300cos2600sin300cos600并对等式的正确性作出证明。

参考答案：

一、1、B2、A3、C4、A5、A6、D7、C8、B

二、1、3nn22、3、如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补。2n6

n2n2（答案不唯一）假命题。

4、5、c1·c2cn

2三、1、（1）∵a2b2

2ab,a23,b23;将此三式相加得

2(a2b23)2ab,∴a2b23abab).（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）>（22+），即证242240。∵上式显然成立, ∴原不等式成立.2、解：∵ab0,cd0,∴cd0

∴acbd0则

又∵e0，∴2211 acbdee acbdS

E

AC3、证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，（4分）∴AE⊥BC.（6分）

又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，（8分）

∵SAAE=A，SA平面SAB，AE平面SAB，∴BC⊥平面SAB，（10分）

∴AB⊥BC.（12分）B24、（1）证明：∵f(x)xpxq∴f(1)1pqf(2)42pqf(3)93pq

所以

f(1)f(3)2f(2)

(1pq)(93pq)2(42pq)



21111，则f(1),f(2),f(3)，2222

111111即有f(1)f(2)f(3) 222222（2）假设f(1),f(2),f(3)都小于

∴2f(1)f(3)2f(2)2

由（1）可知f(1)f(3)2f(2)2，与2f(1)f(3)2f(2)2矛盾，∴假设不成立，即原命题成立。

5、解：∵(0,

2)∴sin0,cos0则

112sin2cos2cos23222ysincos2sincoscos()223 124()3232722

4即y23 9

222当且仅当2sincoscos，即tan2时，等号成立。

23。（6分）422006、猜想：sincos(30)sincos(30)

1cos21cos(6002)sin(3002)sin300

证明：sincos(30)sincos(30) 2222200

cos(6002)cos2112sin(3002)sin3001101[sin(302)]1[sin(3002)] 2222223113sin(3002)sin(3002)4224