高中数学选修4-5：证明不等式的基本方法——放缩法(二) 学案（优秀范文5篇）

第一篇：高中数学选修4-5：证明不等式的基本方法——放缩法(二) 学案

2.1.7证明不等式的基本方法——放缩法

（二）【学习目标】

1.掌握放缩法证明不等式的方法.2.掌握放缩法证明不等式的方法步骤.3.理解放缩法证明不等式的常用技巧.【自主学习】

1.放缩法证明不等式的理论依据是什么？

2.放缩法证明不等式的步骤有哪些？

3.放缩法证明不等式时,放缩技巧有哪些？

【自主检测】

111171．求证：2222123n

4ln2ln3ln4ln3n5n6n2.求证：3(nN*)n23436

3.求证:1111n n2322

1【典型例题】

n11例1.已知数列{an}满足an1a,0a1,求证：(akak1)ak2.232k12n

n(n1)(n1)

2an例2.设an22334n(n1)求证： 22

例3.已知an

5n41对任何正整数m，n都成立.n(n2k1,kZ)例4．已知x11,xn, n1(n2k,kZ)

求证:41x2x341x4x541x2nx2n12(n11)(nN*)

【课堂检测】

1.若a11,an1ann1,求证:1112(n11).a1a2an

2.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niAi

m＜miAi

n；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m

3.设函数f(x)xxlnx.数列an满足0a11.an1f(an).1)，整数k≥设b(a1，4.已知函数f(x)a1b.证明:ak1a1lnbb.141f(x)，若，且在[0，1]上的最小值为，f(1)521a2bx

求证：f(1)f(2)f(n)n

12n11.2【总结提升】

用“放缩法”证明不等式的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

第二篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

第三篇：放缩法证明不等式

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：

放缩法证明不等式

【教学目标】

1.了解放缩法的概念；理解用放缩法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用放缩法证明简单的不等式。

【重点、难点】

重点：放缩法证明不等式。

难点：放缩法证明不等式。

【学法指导】

1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；

2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

3.预习p18—p19,【自主探究】

1，放缩法：证明命题时，有时可以通过缩小（或）分式的分母（或），或通过放大（或缩小）被减式（或）来证明不等式，这种证明不

等式的方法称为放缩法。

2，放缩时常使用的方法：①舍去或加上一些项，即多项式加上一些正的值，多项式的值变大，或多项式减上一些正的值，多项式的值变小。如t22t2,t22t2等。

②将分子或分母放大（或缩小）：分母变大，分式值减小，分母变小，分

式值增大。

如当(kN,k1)1111，22kkk(k1)k(k1)，③利用平均值不等式，④利用函数单调性放缩。

【合作探究】

证明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放缩法证明不等式:loga

(a1)1111...2(nN)2222123nloga(a1)1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求证

xyz

（4）已知n

N，求证：1

【巩固提高】

已知a,b,c,d都是正数，s

【能力提升】

求证: ...abcd求证:1

1aba

1ab

1b

本节小结：

第四篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

在学习不等式时，放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在。现例析如下，供大家讨论。例1：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc≥3 bcacababc证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则bca≤cab≤abc

且2cab≤0，2abc≥0

∴

 ∴abcabc3111

bcacababcbcacababc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥0

bcacababccabcabcababc≥3 bcacababc2bac无法放缩。所以在运用放

cab[评析]：本题中为什么要将bca与abc都放缩为cab呢？这是因为2cab≤0，2abc≥0，而2bac无法判断符号，因此缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。

例2：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc(bc)2(ca)2(ab)2≥ bccaab1 [(ab)2(bc)2(ca)2]

3证明：由不等式的对称性，不防设a≥b≥c，则3abc0,3bca≥bccca

bca0

左式－右式3abc3bca3cab(bc)2(ca)2(ab)2 bcacab3bca3cab(ca)2(ab)2 abab2(bca)3bca3cab(ab)2(ab)2(ab)2≥0 ababab ≥ ≥[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例

1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。

例3：设a、b、cR且abc1求证

111≤1 1ab1bc1ca证明：设ax3,by3,cz3.且 x、y、zR.由题意得：xyz1。

∴1abxyzx3y3

∴x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)≥0 ∴x3y3≥x2yxy2

∴1abxyzx3y3≥xyzxy(xy)xy(xyz)

∴

1z1≤

xy(xyz)xyz1abyx11≤，≤ ∴命题得证.xyzxyz1bc1ca同理：由对称性可得[评析]：本题运用了排序不等式进行放缩，后用对称性。

39例4：设a、b、c≥0，且abc3，求证a2b2c2abc≥

22证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1又∵(44。∴a0。33ab23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。2223833∴左边(abc)22(abbcca)abc

23434 92a(bc)bc(a)≥92a(3a)(3a)2(a)

2383

3416339(3a)[(3a)(a)a]9(3a)[a2a4]9(a32a2a12)8338899393a(a22a1)a(a1)2≥

2282893 ∴a2b2c2abc≥

22[评析]：本题运用对称性确定符号，在使用基本不等式可以避开讨论。

例5：设a、b、cR，pR，求证：

abc(apbpcp)≥ap2(abc)bp2(abc)cp2(abc)

证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是

左边－右边ap1(bca2abca)bp1(cab2bcab)cp1(abc2cabc)

ap1(ab)[(ab)(bc)]bp1(ab)(bc)cp1[(ab)(bc)](bc)ap1(ab)2(ab)(bc)(ap1bp1cp1(bc)2

≥(ab)(bc)(ap1bp1cp1)如果p1≥0，那么ap1bp1≥0；如果p1＜0，那么cp1bp1≥0，故有(ab)(bc)(ap1bp1cp1)≥0，从而原不等式得证.例6：设0≤a≤b≤c≤1，求证：

abc(1a)(1b)(1c)≤1

bc1ca1ab1abcabc≤，再证明以 bc1ca1ab1ab1证明：设0≤a≤b≤c≤1，于是有下简单不等式

abcab1c1(1a)(1b)(1c)≤1，因为左边(1a)(1b)(1c)

ab1ab1ab1

11c[1(1ab)(1a)(1b)]，再注意(1ab)(1a)(1b)≤(1abab)

ab1(1a)(1b)(1a)(1b)(1a)(1b)(1a2)(1b2)≤1得证.在用放缩法证明不等式A≤B，我们找一个(或多个)中间量C作比较，即若能断定A ≤C与C≤B同时成立，那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。

第五篇：证明不等式的基本方法—反证法与放缩法

§4.2.3证明不等式的基本方法—反证法与放缩法

【学习目标】

能熟练运用反证法与放缩法来证明不等式。

【新知探究】

1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；

2．放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得，要注意放缩的适度，BB1,B1B2...A（或AA1,A1A2...B）

常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）．





1n21n(n1);1

n21n(n1)

【自我检测】

1．设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.2．A1

nN)的大小关系是．

【典型例题】

例1.已知x,y0,且xy2,求证：

变式训练：若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

–“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” 1x1y中至少一个小于2。,yx1

4例2.已知实数a,b,c，abc0,abbcca0,abc0,求证：a0,b0,c0.变式训练：课本P29页，习题2.3第4题 例3.已知a,b,cR,求证1aabdb

bcac

cbdd

dac2.变式训练：

xy

1xy

32设x0、y0，A例4．求证：1

122,B1n2x1xy1y，则A、B大小关系为________。2(nN)

例5．已知f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于 12。

–“天下事，必作于细”