如何灵活利用放缩法等方法证明不等式

第一篇：如何灵活利用放缩法等方法证明不等式

如何灵活利用放缩法等方法证明不等式

储曙晓

不等式的证明有多种方法，如放缩法、数学归纳法等，但是在运用这些方法时，往往又有一定的困难.下面举一例说明.证明：11117.(nN*)222423n

思路1采用放缩法

当n=1时，原不等式成立；

当n>1时，有两种途径：

(1)根据1111(k2,3,,n)，有 k2(k1)kk1k

111 1223(n1)n左边<1+

111111112，n223n1n

而217，当n>4时不成立，所以放缩过大!n4

(2)根据11111(k2,3,,n)，有 22kk12k1k1

111 2222131n1左边<1

1111111111111 23224235246

11111171117)，恰到好处!(2n2n2n1n142nn14

思路2能用数学归纳法证明吗?

第一步当n=1时原不等式成立，容易验证；

第二步假设当n=k(k∈N*)时命题成立，即1

则当n=k+1时,原不等式的左边=11117.222423k111171.222224(k1)23k(k1)

而11117717，从而不能证明.12222244(k1)423k(k1)

思路受阻！如何摆脱困境？ 这说明111117，放缩过大，需要调整.略小于2222423k(k1)

因为当n=1或2时，原不等式都成立，所以只要证：

11117*.(n3,nN)222423n

1***，右边=，而，22364312361223下面用数学归纳法证明一个预备命题：

证明： ① 当n=3时，命题的左边=1从而命题成立；

② 假设当nk(k3,kN*)时命题成立，即

111171； 2232k24k

那么，当n=k+1时，有

命题的左边=11111711，2232k2(k1)24k(k1)2而命题的右边=

271，4k12因为k2kk2k1，即k21111，,(k1)2kk1(k1)2k

从而71711，24k14k(k1)

即当n=k+1时命题也成立.由①②得证，预备命题成立，即

1

11171(n3,nN*).2224n23n

而7171117，所以1222.(n3,nN*)4n4423n

1117*又因为当n=1或2，上式也成立，所以1222.(nN)，从而原423n

不等式成立也得到证明.

第二篇：利用放缩法证明不等式举例

利用放缩法证明不等式举例

高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。

一、放缩后转化为等比数列。

例1.{bn}满足：b11,bn1bn(n2)bn

3（1）用数学归纳法证明：bnn

（2）Tn

解：(1)略

(2)bn13bn(bnn)2(bn3)

又bnn

bn132(bn3)，nN

迭乘得：bn3

2n1211111...，求证：Tn 3b13b23b33bn2*(b13)2n1 11n1,nN* bn32

Tn1111111 ...234n1n12222222

2点评：把握“bn3”这一特征对“bn1bn(n2)bn3”进行变形，然后去

掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！

二、放缩后裂项迭加

例2．数列{an}，an(1)

求证：s2nn11，其前n项和为sn

n

2解：s2n1

令bn11111 ...2342n12n1，{bn}的前n项和为Tn 2n(2n1)

1111()2n(2n2)4n1n当n2时，bn

s2nTn

111111111111()()...()

212304344564n1n71 104n2

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

例3.已知函数f(x)axbc(a0)的图象在(1,f(1))处的切线方程为 x

yx

1（1）用a表示出b,c

（2）若f(x)lnx在[1,)上恒成立，求a的取值范围

（3）证明：1

解：（1）（2）略

（3）由（II）知：当a111n ...ln(n1)23n2(n1)1时,有f(x)lnx(x1)2

111令a,有f(x)(x)lnx(x1).22x

11且当x1时,(x)lnx.2x

k111k1k111令x,有ln[][(1)(1)], kk2kk12kk1

111即ln(k1)lnk(),k1,2,3,,n.2kk1

将上述n个不等式依次相加得

ln(n1)

整理得 11111(), 223n2(n1)

1111nln(n1).23n2(n1)

点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。

三、放缩后迭乘

例4

．a11,an11(14annN*).16

（1）求a2,a3

（2）

令bn{bn}的通项公式

（3）已知f(n)6an13an，求证：f(1)f(2)f(3)...f(n)

解：（1）（2）略 1 2

21n1n1()() 3423

13231f(n)nn2nn11n 42424

111211(1n)(1n1)1nn2n11n11n11141n11n11n1444

11nf(n)1n14

11111121n1n...1f(1)f(2)...f(n)11111122

n144由（2）得an

点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。

第三篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

第四篇：放缩法证明不等式

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：

放缩法证明不等式

【教学目标】

1.了解放缩法的概念；理解用放缩法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用放缩法证明简单的不等式。

【重点、难点】

重点：放缩法证明不等式。

难点：放缩法证明不等式。

【学法指导】

1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；

2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

3.预习p18—p19,【自主探究】

1，放缩法：证明命题时，有时可以通过缩小（或）分式的分母（或），或通过放大（或缩小）被减式（或）来证明不等式，这种证明不

等式的方法称为放缩法。

2，放缩时常使用的方法：①舍去或加上一些项，即多项式加上一些正的值，多项式的值变大，或多项式减上一些正的值，多项式的值变小。如t22t2,t22t2等。

②将分子或分母放大（或缩小）：分母变大，分式值减小，分母变小，分

式值增大。

如当(kN,k1)1111，22kkk(k1)k(k1)，③利用平均值不等式，④利用函数单调性放缩。

【合作探究】

证明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放缩法证明不等式:loga

(a1)1111...2(nN)2222123nloga(a1)1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求证

xyz

（4）已知n

N，求证：1

【巩固提高】

已知a,b,c,d都是正数，s

【能力提升】

求证: ...abcd求证:1

1aba

1ab

1b

本节小结：

第五篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

在学习不等式时，放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在。现例析如下，供大家讨论。例1：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc≥3 bcacababc证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则bca≤cab≤abc

且2cab≤0，2abc≥0

∴

 ∴abcabc3111

bcacababcbcacababc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥0

bcacababccabcabcababc≥3 bcacababc2bac无法放缩。所以在运用放

cab[评析]：本题中为什么要将bca与abc都放缩为cab呢？这是因为2cab≤0，2abc≥0，而2bac无法判断符号，因此缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。

例2：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc(bc)2(ca)2(ab)2≥ bccaab1 [(ab)2(bc)2(ca)2]

3证明：由不等式的对称性，不防设a≥b≥c，则3abc0,3bca≥bccca

bca0

左式－右式3abc3bca3cab(bc)2(ca)2(ab)2 bcacab3bca3cab(ca)2(ab)2 abab2(bca)3bca3cab(ab)2(ab)2(ab)2≥0 ababab ≥ ≥[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例

1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。

例3：设a、b、cR且abc1求证

111≤1 1ab1bc1ca证明：设ax3,by3,cz3.且 x、y、zR.由题意得：xyz1。

∴1abxyzx3y3

∴x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)≥0 ∴x3y3≥x2yxy2

∴1abxyzx3y3≥xyzxy(xy)xy(xyz)

∴

1z1≤

xy(xyz)xyz1abyx11≤，≤ ∴命题得证.xyzxyz1bc1ca同理：由对称性可得[评析]：本题运用了排序不等式进行放缩，后用对称性。

39例4：设a、b、c≥0，且abc3，求证a2b2c2abc≥

22证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1又∵(44。∴a0。33ab23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。2223833∴左边(abc)22(abbcca)abc

23434 92a(bc)bc(a)≥92a(3a)(3a)2(a)

2383

3416339(3a)[(3a)(a)a]9(3a)[a2a4]9(a32a2a12)8338899393a(a22a1)a(a1)2≥

2282893 ∴a2b2c2abc≥

22[评析]：本题运用对称性确定符号，在使用基本不等式可以避开讨论。

例5：设a、b、cR，pR，求证：

abc(apbpcp)≥ap2(abc)bp2(abc)cp2(abc)

证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是

左边－右边ap1(bca2abca)bp1(cab2bcab)cp1(abc2cabc)

ap1(ab)[(ab)(bc)]bp1(ab)(bc)cp1[(ab)(bc)](bc)ap1(ab)2(ab)(bc)(ap1bp1cp1(bc)2

≥(ab)(bc)(ap1bp1cp1)如果p1≥0，那么ap1bp1≥0；如果p1＜0，那么cp1bp1≥0，故有(ab)(bc)(ap1bp1cp1)≥0，从而原不等式得证.例6：设0≤a≤b≤c≤1，求证：

abc(1a)(1b)(1c)≤1

bc1ca1ab1abcabc≤，再证明以 bc1ca1ab1ab1证明：设0≤a≤b≤c≤1，于是有下简单不等式

abcab1c1(1a)(1b)(1c)≤1，因为左边(1a)(1b)(1c)

ab1ab1ab1

11c[1(1ab)(1a)(1b)]，再注意(1ab)(1a)(1b)≤(1abab)

ab1(1a)(1b)(1a)(1b)(1a)(1b)(1a2)(1b2)≤1得证.在用放缩法证明不等式A≤B，我们找一个(或多个)中间量C作比较，即若能断定A ≤C与C≤B同时成立，那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。