数学所有不等式放缩技巧及证明方法

第一篇：数学所有不等式放缩技巧及证明方法

高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法

一、裂项放缩

例1.(1)求

例2.(1)求证:1(2)求证:

/ 7 4kk1n221的值;(2)求证:

k1n153k2.11171(n2)22262(2n1)35(2n1)1111112 4163624n4n(3)求证: 113135135(2n1)2n11 2242462462n(4)求证：2(n11)11112(2n11)

23n

例3.求证:

例4.(2008年全国一卷)设函数6n111512

(n1)(2n1)49n3abf(x)xxlnx.数列a满足0a11.an1f(an).设b(a1，1)，整数k≥1.证

na1lnb明:ak1

b.mmmmm1m1n,mN,x1,S123nn(m1)S(n1)1.例5.已知,求证: mn

例6.已知n

例7.已知x11,x

na42nn32nTTTT,Tn,求证:1.23n2a1a2an111n(n2k1,kZ)2(n11)(nN*),求证:

4xx4xx4xxn1(n2k,kZ)23452n2n1ln2ln3ln4ln3n5n6

二、函数放缩 例8.求证：n3n(nN*).23436ln2ln3lnn2n2n1(n2)

例9.求证:(1)2,2(n1)23n 例10.求证:

例11.求证:(1

2n3(112)(123)[1n(n1)]e例12.求证:

/ 7 11111ln(n1)1 23n12n111111)(1)(1)e和(1)(1)(12n)e.2!3!n!9813

例14.已知a11,an1(1

例16.(2008年福州市质检)已知函数

三、分式放缩

例19.姐妹不等式:(11)(1)(1)(111an)a.n2n证明nn2e2.f(x)xlnx.若a0,b0,证明:f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).13151)2n1和(11)(11)(11)(11)1也可以表示成为2n12462n2n112n1 135(2n1)2462n2n1和2462n135(2n1)

例20.证明:(11)(1)(1)(1

四、分类放缩 例21.求证:1

例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数1，0].若数列{bn}满足bn14171)33n1.3n2111nn 23212f(x)x2bxc(b1,cR)，若f(x)的定义域为[－1，0]，值域也为[－f(n)*(nN)，记数列{bn}的前n项和为Tn，问是否存在正常数A，使得对于任意正3n整数n都有TnA？并证明你的结论。

例24.(2008年中学教学参考)设不等式组x0,y0,ynx3n表示的平面区域为D,设D内整数坐标点的个数为an.设

nnSn11111117n11.,当n2时,求证:an1an2a2na1a2a3a2n36

五、迭代放缩

例25.已知xn1

nxn4,x11,求证:当n2时,|xi2|221n xn1i1 3 / 7

例26.设Snsin11!sin22!sinnn!,求证:对任意的正整数222

1k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<

n

六、借助数列递推关系

例27.求证:

例28.求证:

例29.若a1

七、分类讨论

例30.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn2an(1),n1.证明：对任意的整数m4，有

n1213135135(2n1)2n21 242462462n113135135(2n1)2n11

2242462462n1,an1ann1,求证:

1112(n11)a1a2an1117 a4a5am8

八、线性规划型放缩

例31.设函数f(x)

九、均值不等式放缩 2x1.若对一切xR，3af2x2(x)b3，求ab的最大值。

n(n1)(n1)2 例32.设Sn1223n(n1).求证Sn.221，若f(1)4，且f(x)在[0，1]上的最小值为1，求证：bx1a25211f(1)f(2)f(n)nn1.22例33.已知函数f(x)

例35.求证Cn

例36.已知

/ 7 13Cn2CnCnnn2(n1,nN)

n12f(x)eexx,求证:f(1)f(2)f(3)f(n)(en11)

n2 例37.已知f(x)x1,求证:x

例38.若k7,求证:Sn f(1)f(2)f(3)f(2n)2n(n1)n

11113.nn1n2nk12a2例39.已知f(x)a(xx1)(xx2),求证:f(0)f(1).例40.已知函数f(x)=x－(－1)·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,求证: [f’(x)]－21

2knn－·f’(xn)≥2n(2n－2).例41.（2007年东北三校）已知函数f(x)ax(a1)

x（1）求函数f(x)的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围；

n'nS(n)(22)f()（2）令S(n)Cf(1)Cf(2)Cf(n1)求证：

21n'2n'n1'n

例43.求证:1 十、二项放缩

例44.已知a11,an1(1

n例45.设an(1)，求证：数列{an}单调递增且an1112 n1n23n111)a.证明ann2nnn2e2

1n4.例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：a

例47.设n

例49.已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件：① 对于任意x[0,1]，总有fx3，且f14；

② 若x10,x20,x1x21,则有

nbn21n.1,nN，求证(2)n38.(n1)(n2)fx1x2fx1f(x2)3.（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：fx≤4；（Ⅲ）当x(11,n1](n1,2,3,)时，试证明：f(x)3x3.n33 5 / 7

222anana12a211例50.已知：a1a2an1,ai0(i1,2n)求证：

a1a2a2a3an1anana12

十二、部分放缩(尾式放缩)1114例55.求证: 3132132n117

例56.设an1

例57.设数列an满足an1111,a2.求证：an2.2a3anaan2nan1nN，当a13时证明对所有n1, 有(i)ann2；(ii)1111 1a11a21an2

1、添加或舍弃一些正项（或负项）例

1、已知an2n1(nN*).求证：

an1a1a2...n(nN*).23a2a3an1

2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例

2、函数f（x）=4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n11(nN*).23、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

例

3、已知an=n，求证：∑ k=1

4、放大或缩小“因式”； nk

2ak

＜3．

1aa,0a,求证：例

4、已知数列{an}满足n1122n(akak1)ak2k1n1.32

5、逐项放大或缩小

/ 7

n(n1)(n1)2an例

5、设an122334n(n1)求证： 22

6、固定一部分项，放缩另外的项； 例

6、求证：

7、利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n4，证明：不等式5amnaman1对任何正整数m，n都成立.构造函数法证明不等式的方法

一、移项法构造函数

【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1

2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)方；

3、换元法构造函数证明

【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln（4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)

11117 2222123n41ln(x1)x x1122xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下231111)23 都成立.nnn 7 / 7

第二篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

在学习不等式时，放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在。现例析如下，供大家讨论。例1：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc≥3 bcacababc证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则bca≤cab≤abc

且2cab≤0，2abc≥0

∴

 ∴abcabc3111

bcacababcbcacababc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥0

bcacababccabcabcababc≥3 bcacababc2bac无法放缩。所以在运用放

cab[评析]：本题中为什么要将bca与abc都放缩为cab呢？这是因为2cab≤0，2abc≥0，而2bac无法判断符号，因此缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。

例2：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc(bc)2(ca)2(ab)2≥ bccaab1 [(ab)2(bc)2(ca)2]

3证明：由不等式的对称性，不防设a≥b≥c，则3abc0,3bca≥bccca

bca0

左式－右式3abc3bca3cab(bc)2(ca)2(ab)2 bcacab3bca3cab(ca)2(ab)2 abab2(bca)3bca3cab(ab)2(ab)2(ab)2≥0 ababab ≥ ≥[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例

1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。

例3：设a、b、cR且abc1求证

111≤1 1ab1bc1ca证明：设ax3,by3,cz3.且 x、y、zR.由题意得：xyz1。

∴1abxyzx3y3

∴x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)≥0 ∴x3y3≥x2yxy2

∴1abxyzx3y3≥xyzxy(xy)xy(xyz)

∴

1z1≤

xy(xyz)xyz1abyx11≤，≤ ∴命题得证.xyzxyz1bc1ca同理：由对称性可得[评析]：本题运用了排序不等式进行放缩，后用对称性。

39例4：设a、b、c≥0，且abc3，求证a2b2c2abc≥

22证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1又∵(44。∴a0。33ab23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。2223833∴左边(abc)22(abbcca)abc

23434 92a(bc)bc(a)≥92a(3a)(3a)2(a)

2383

3416339(3a)[(3a)(a)a]9(3a)[a2a4]9(a32a2a12)8338899393a(a22a1)a(a1)2≥

2282893 ∴a2b2c2abc≥

22[评析]：本题运用对称性确定符号，在使用基本不等式可以避开讨论。

例5：设a、b、cR，pR，求证：

abc(apbpcp)≥ap2(abc)bp2(abc)cp2(abc)

证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是

左边－右边ap1(bca2abca)bp1(cab2bcab)cp1(abc2cabc)

ap1(ab)[(ab)(bc)]bp1(ab)(bc)cp1[(ab)(bc)](bc)ap1(ab)2(ab)(bc)(ap1bp1cp1(bc)2

≥(ab)(bc)(ap1bp1cp1)如果p1≥0，那么ap1bp1≥0；如果p1＜0，那么cp1bp1≥0，故有(ab)(bc)(ap1bp1cp1)≥0，从而原不等式得证.例6：设0≤a≤b≤c≤1，求证：

abc(1a)(1b)(1c)≤1

bc1ca1ab1abcabc≤，再证明以 bc1ca1ab1ab1证明：设0≤a≤b≤c≤1，于是有下简单不等式

abcab1c1(1a)(1b)(1c)≤1，因为左边(1a)(1b)(1c)

ab1ab1ab1

11c[1(1ab)(1a)(1b)]，再注意(1ab)(1a)(1b)≤(1abab)

ab1(1a)(1b)(1a)(1b)(1a)(1b)(1a2)(1b2)≤1得证.在用放缩法证明不等式A≤B，我们找一个(或多个)中间量C作比较，即若能断定A ≤C与C≤B同时成立，那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。

第三篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

第四篇：放缩法证明不等式

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：

放缩法证明不等式

【教学目标】

1.了解放缩法的概念；理解用放缩法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用放缩法证明简单的不等式。

【重点、难点】

重点：放缩法证明不等式。

难点：放缩法证明不等式。

【学法指导】

1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；

2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

3.预习p18—p19,【自主探究】

1，放缩法：证明命题时，有时可以通过缩小（或）分式的分母（或），或通过放大（或缩小）被减式（或）来证明不等式，这种证明不

等式的方法称为放缩法。

2，放缩时常使用的方法：①舍去或加上一些项，即多项式加上一些正的值，多项式的值变大，或多项式减上一些正的值，多项式的值变小。如t22t2,t22t2等。

②将分子或分母放大（或缩小）：分母变大，分式值减小，分母变小，分

式值增大。

如当(kN,k1)1111，22kkk(k1)k(k1)，③利用平均值不等式，④利用函数单调性放缩。

【合作探究】

证明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放缩法证明不等式:loga

(a1)1111...2(nN)2222123nloga(a1)1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求证

xyz

（4）已知n

N，求证：1

【巩固提高】

已知a,b,c,d都是正数，s

【能力提升】

求证: ...abcd求证:1

1aba

1ab

1b

本节小结：

第五篇：浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

分类：学法指导

放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证

做“放”，由B到C叫做“缩”。

常用的放缩技巧还有：（1）若（2），欲寻找一个（或多个）中间变量C，使，由A到C叫

（3）若则（4）

（5）（6）

或

（7）

等。

用放缩法证明下列各题。

例1 求证： 等

证明：因为所以左边因为99＜100（放大）＜

所以

例2（2000年海南理11）若

证明：因为 求证：因为 所以

［因为

大），所以又所以是增函数］，所以（放，所以

例3（2001年云南理1）求证：

证明：（因为）

［又因为

例4 已知证明：因为

求证：

（放大）］，所以所以

例5 求证：

证明：因为（因为）（放大）

所以

例6（2000年湖南省会考）求证：当时，函数的最小值是当

时，函数的最大值是

证明：因为原函数配方得又因为

所以（缩小），所以函数

y的最小值是。当所以

（放大），所以函数y的最大值是

例7 求证：

证明：因为立。

例8（2002年贵州省理21）若证明：因为

所以

证

（当且仅当

（分母有理化）所以原不等式成求证：

而

所以

同理可

时，取等号）。

例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：

证明：不妨设据三角形三边关系定理有：便得

所以原不等式成立。

例10（1999年湖南省理16）求证：

证明：因为又

所以原不等式成立。

例11 求证：

证明：因为左边

证毕。

例12 求证

证明：因为

注：

1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若

所以左边

则。

2、使用放

缩法时，“放”、“缩”都不要过头。

3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。