不等式证明的方法与技巧

第一篇：不等式证明的方法与技巧

不等式证明的方法与技巧

陈怡

不等式证明是不等式中的基本内容之一，也是其重难点所在。许多学生遇到不等式证明题不知所措，无从下手。因此，有必要从解题思路入手，总结一些不等式证明的方法、技巧以及在某些方法技巧中所体现的数学思想，使学生们在解题时有的放矢。除常见的综合法、分析法、反证法、放缩法及利用公式证明不等式外，本文另总结、归纳常见不等式证明方法技巧如下：

一、利用数列的单调性证不等式法：

我们常常用数学归纳证明含自然数n的不等式（这里不举例说明），然而，换一种角度，用数列的单调证性证此类不等式，更是简单明晰。例1．求证明：1＋证明：令：an ＝1＋则an－1＝11＋∴an－an－1＝＝

∴an＞an－

1即数列｛an｝递增

∴ 1＋例2．求证：1＋证明：令an＝1＋＋＋＋＋„＋＋„＋＋„＋

＋„＋＋－＞（n＞1）＋＋＋＋＋„＋＋„＋＋„＋－ ＞０ ＞－（n＞1）－ ＜2－（n≥2）－2＋ ＋ ＜0 －2＋(n≥)则an－1＝1＋＋∴an－an－1 ＝

＝－

∴an＜an－１＋＜„＜a2＝－＜0

∴1＋＋＋„＋＜2－

仔细分析上面两个例题，我们发现这里运用了转化的思想，其实是把难解的关 1

于自然数n的不等式证明问题，转化成了熟悉易解的求某数列的单调性问题。将未知归为已知，从而最终求得原问题的解决。下再举一例说明不等式证明中的转化思想。

例3．a、b、c∈R+，求证：＋＋≥（a＋b＋c）(分析：由左边的形式联想到复数的模，引入复数，不等式证明问题转化为复数问题。)

证明：令Z1=a＋bi，Z2=b＋ci，Z3=c＋ai

则 Z1＋Z2＋Z3=（a＋b＋c）＋(a＋b＋c)I

｜Z1｜＋｜Z2｜＋｜Z3｜≥｜Z1＋Z2＋Z3=｜ ∴＋＋≥（a＋b＋c）

二、不等量代换法

此法虽是“代换”，但不同于换元法。一般用于证明条件不等式，如能先求出一个适当的不等式进行代换，往往能简化证明过程。但在代换时，必须注意保持非严格不等式等号成立的条件的一致性。下面举例说明：

例12.若x＞0，y＞0，x+y =xy，试证：x4+y4≥

32证明：由x+y = xy，可得：

1=

+ ≥2

∴xy≥

4∴x4+y4≥2(xy)2≥2×42=32

当且仅当x=y=2时，等号成立。

例13.证明：

+

+≥2(+1)，其中0＜x＜ 证明：∵2sinxcosx≤sin22x+cos22x =

1∴sinxcosx≤

由0＜x＜

∴

≥

+

+ 知：

+

=2 + 2≥

+

当且仅当sinx=cosx时，即

x =时，等号成立。

三、函数法

比法主要利用函数的性质来证明不等式。解题关键就是构造出函数式，有些证明题中的函数式就是不等式中的一部分，有些则需根据待证不等式的特征，构造一个相应的函数。下面分别举例说明：

例14.设x为实数，求证： ≤

证明：选取不等式中

= y≤

整理得：（1-y）x2 +3x+5-y = 0

∵ x 为实数

∴△= 9-4(1-y)(5-y)≥0

解之得：

即：≤

≤ y ≤

≤

+≥

例15.设a∈R+，求证：

a +

证：由不等式左边特征得

a+

构造函数：

f(x)= x +≥2（a∈R+）（x≥2）(1)

易证：f(x)在区间[2，+∝]上单调递增，故当x = 2时，f(x)有最小值

2+

即

a ++≥

=。

四、配对法

在证明不等式时，我们根据其中某个式子的特征，给它配上一个合适的式子，使得由它们之间的某种运算，能产生一此特殊的结论，从而使证明问题得以解决。

例16.试下面不等基成立，··„„

证明：设

x = ··„„

y = ··„„

＜

则

xy = 又∵ 0＜x＜y∴x＜

xy =

∴x ＜

＜ 即：··„„

例17.设a1,a2 „，an∈R+，且a1+a2+„+an= 1 求证：令

F=

证明：

F = +++„+ +„

++ ≥ 构造它的配对式：

F'-F' =

++ „

+

+

=(a1－a2)+(a2－a3)+„+(an-1－an)+(an－a1)=0

故F = F'

又F+F' = 2F

=

≥

+

++ „

+ +„

+

+= a1 + a2 + „ + an-1 + an =1 ∴2F≥1

即F≥

木∴原不等式成立。

第二篇：证明不等式的常用方法和技巧

证明不等式的常用方法和技巧

一、比较法

例

1、求证：对任何非负数a和b，不等式

二、分析法11(a+b)2+(a+b)≥a+ba成立 24

1ab2ab1ab2

ab例

2、设0ba,求证: 8a28b

三、综合法

例

3、对任意实数x,y,z，有sinxcosy+sinycosz+sinzcosx≤

例

4、若m、n∈N*，求证：

例

5、求证：对任意正整数n，有(1+3 2mnmnmmn 21n+11n+2)＞(1+)＞2 nn

1例

6、已知a1,a2,…,an都是正数，且a1+a2+…+an=1，求证：

121212(n21)2

(a1+)+(a2+)+…+(an+)≥ na2ana

1例

7、设3x2+2y2≤6，求p=2x+y的最大值。

例

8、在△ABC中，A、B、C是三内角，a、b、c为其对应边。

a2b2b2c2c2a2a3b3c3

例

9、a,b,c＞0，求证：a+b+c≤++≤++

2c2a2bbccaab

aAbBcC



abc

3几个古典不等式

1、(切比雪夫不等式)若a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn为实数，且a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn(或a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn)，则(当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时取等号。

2、(琴生不等式)设f(x)为区间[a，b]上的严格下凸函数，即对x1,x2∈[a,b], x1≠x2，总有f（x1x21)＜[f(x1)+f(x2)]，则对于[a，b]中任意一组不全相同的值x1,x2,…,xn，22

1n1n1n

aibiai)(bi)≤

ni1ni1ni1

必有f（x1x2xn1)＜[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]

nn

11xpyq



3、(Young不等式)设p,q＞1,1，则对任何x,y≥0，有xy≤。当且仅

pqpq

当xp=yq时等号成立。

4、(赫德勒不等式)若ak≥0，bk≥0，k=1，2，…，n，且p＞1，n

akbkk

1npp≤(ak)

k1

nqq(bk)k1

1，则 pq

四、判别式法

例

10、已知A、B、C是△ABC的内角，x,y,z∈R，求证：

x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB

例

11、若x+y+z=0，且a,b,c为三角形的三条边长。求证：a2yz+b2zx+c2xy≤0

五、放缩法

1171

例

12、求证：1++2+…+2＜

4n22

3例

13、已知a,b,c∈[0,1]，求证：

例

14、设x0=5，xn+1=xn+

六、代换法

例

15、设a＞1,n∈N,n≥2，求证：a1＜

例

16、设x1,x2,…,xn＞0,求证：1x1)(1x2)(1xn)－x1x2xn≥

1abc

+++(1－a)(1－b)(1－c)≤1

bc1ca1ab1,求证：45＜x1000＜45.1 xn

a1

n

例17、设a≥4，求证：

lgalg3lg(a2)



lg4lg3lg

2七、构造法

例

18、设a,b,c为绝对值小于1的实数，求证：ab+bc+ca+1＞0

例

19、已知v＞0,u∈[－,2]，求证：(u－v)2+(2u2－

92)≥8 v

八、反证法

例20、已知a1，a2，…，a8＞0且a1+a2+…+a8=20，a1a2…a8＜13。求证：a1，a2，…，a8中至少有一个小于1。

例

21、设f(x)，g(x)是[0，1]上的增函数。证明：存在x0,y0∈[0，1]，使得|x0y0－f(x0)－g(y 0)|≥

4九、数学归纳法 例

22、当0＜α＜

，n≥2，n∈N时，求证：tan nα＞ntanα

4(n1)

练习题：

2222x3x1x2x41、设x1,x2,x3,x4＞0，求证：+++≥x1+x2+x3+x4

x2x3x4x12、设a,b,c＞0，求证：

bc2ca2ab2x+y+z≥2(xy+yz+xz)abc3、设a,b,c为正数，试证：abc≥(b+c－a)(c+a－b)(a+b－c)

4、设x,y,x,w是四个不全为零为实数，求证：

xy2yzzwx2y2z2w2

≤

2

15、求证：(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)

6、有一个矩形铁片，尺寸是80×50，现要在四角各裁去一个同样大小的正方形，做成无盖盒子。求证上：不管如何裁法，所成盒子的容积不超过18000。

7、若x+y+z=1，求22x2+33y2+11z2的最小值

8、若n是不小于2的正整数，试证：

a12b12c129、已知a,b,c＞0，求证：++≥a10+b10+c10

bccaab

1112411

＜1－+－+…+－＜

23472n12n210、设x＞0,求证：1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn11、求证：

y2y2212、证明：对任意正数x,y,z有xxy+z＞z2zxx2

3n111

＜1+++…+＜n(n≥2)

n2232

113、若a,b,c＞0，方程ax2+bx+c=0有实根，求证：a,b,c至少有一个数不小于

14、任给7个实数，证明其中必存在两个实数x,y，满足0≤

xy 1xy

3(a+b+c).915、已知u+u2+u3+…+u8+10u9=v+v2+v3+…+v10+10v11=8，求证：u＜v

提示：

2、作差，配方

3、讨论a≥b+c；a＜b+c，则设a≥b≥c,作差≥0或当三项都大于0时，由(b+c－a)+(c+a－b)+(a+b－c)= a+b+c证

6、V=x(80－2x)(50－2x)=αx·β(50

－2x)·(80－2x)≤[(αx+β(50－2x)+ 80－2x)]3。取α=2β+2且等号成立必

3须αx=β(50－2x)=80－2x，得x=10。

7、用柯西不等式得最小值为68、等价于＜

2111

++…+＜由柯西不等式

9、排序不等式

10、排序不等式

11、n1n22n2

放缩法

12、构造法

14、三角代换15、0＜u,v＜1。记f(x)=x+x2+x3+…+x8+10x9

－8，g(x)= x+x2+x3+…+x10+10x11－8 均为增函数，f(0)＜0，f(1)＞0，g(0)＜0，g(1)＞0，u,v为f(x)=0，g(x)=0在(0,1)上唯一的根。又10u10－9u9－9u+8=0，10v12－9v11－9v+8=0。可推得g(x)=0的唯一根v∈(u，1)

第三篇：证明不等式方法

不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。1比较法

比较法是证明不等式的最基本方法，具体有“作差”比较和“作商”比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较）

例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由题目观察知用“作差”比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

证明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb＞abba

分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a＞b＞0的前提下用作商比较法，作商后同“1”比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小

证明：由a、b的对称性，不妨解a＞b＞0则

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

练习1 已知a、b∈R+，n∈N，求证（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及变形有：

（1）若a、b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取等号）

（2）若a、b∈R+，则a+b≥ 2ab（当且仅当a=b时，取等号）

（3）若a、b同号，则 ba+ab≥2（当且仅当a=b时，取等号）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1则a1-b2+b1-a2≤

1分析：通过观察可直接套用： xy≤x2+y2

2证明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，当且仅当a1+b2=1时，等号成立

练习2：若 ab0，证明a+1(a-b)b≥

33综合法

综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。

例4，设a0，b0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

证明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f(n)=1gan+bn+cn

3求证：2f（n）≤f（2n）

4分析法

从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求证：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 ｜a-c｜＜c2-ab也不适用基本不等式法，用分析法较合适。

要证c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需证-c2-ab＜a-c＜c2-ab

证明：即证 ｜a-c｜＜c2-ab

即证(a-c)2＜c2-ab

即证 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要证 a-2c＜-b 即需证2+b＜2c，即为已知

∴ 不等式成立

练习4：已知a∈R且a≠1，求证：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放缩法

放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：（1）舍去一些正项（或负项），（2）在和或积中换大（或换小）某些项，（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等。

例6：已知a、b、c、d都是正数

求证： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。

证明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

综上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

练习5：已知：a＜2，求证：loga(a+1)＜1

6换元法

换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。

(1)三角换元：

是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求证0＜A＜

1证明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

复习6：已知1≤x2+y2≤2，求证：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值换元：

对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求证：x2+y2+z2≥431

4证明：设x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反证法

有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题，适宜用反证法。

例9：已知p3+q3=2，求证：p+q≤

2分析：本题已知为p、q的三次，而结论中只有一次，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。

证明：解设p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3将p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2练习7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求证：a＞0，b＞0，c＞0

8数学归纳法

与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。

例10：设n∈N，且n＞1,求证：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法

证明：（1）当n=2时，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假设n=k(k≥2，k∈n)时不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么当n=k+1时，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要证①式左边＞2k+32，只要证2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

对于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即当n=k+1时，原不等式成立

由（1）（2）证明可知，对一切n≥2（n∈N），原不等式成立

练习8：已知n∈N，且n＞1，求证： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49构造法

根据求证不等式的具体结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达到证明的目的，这种方法则叫构造法。

1构造函数法

例11：证明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

证明：设f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的图像表示y轴对称

∵当x＞0时，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴当x＜0时，据图像的对称性知f（x）＜0

∴当x≠0时，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

练习9：已知a＞b，2b＞a+c，求证：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2构造图形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，则|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1，x)，0(0，0)的距离即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下图，设A(1，a)，B(1，b)则0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

练习10：设a≥c，b≥c，c≥0，求证 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添项法

某些不等式的证明若能优先考虑“添项”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍数添项

若不等式中含有奇数项的和，可通过对不等式乘以2变成偶数项的和，然后分组利用已知不等式进行放缩。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时等号成立）证明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

当且仅当a=b，b=c，c=a即a=b=c时，等号成立。

2平方添项

运用此法必须注意原不等号的方向

例14 ：对于一切大于1的自然数n，求证：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

证明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0时ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添项

例15：在△ABC中，求证sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算术平均值添项sin π

3证明：先证命题：若x＞0，y＜π，则sinx+siny≤2sin x+y2（当且仅当x=y时等号成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反复运用这个命题，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

练习11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等号成立的条件添项

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求证a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制则a=b= 12时，等号成立

证明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等号不成立∴③中等号不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常数c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立？ 错解：证明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故说明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要证不等式xx+2y+xx+2y≤23，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即证3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求证：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

错解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

错因：根据不等式的性质：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,则ac bd，但 ac＞bd却不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化简得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，两边同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 设x+y>0，n为偶数，求证yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

错证：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n为偶数，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同号，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

错因：在x+y>0的条件下，n为偶数时，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同号，应分x、y同号和异号两种情况讨论。

正解：应用比较法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 当x>0,y>0时，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 当x,y有一个是负值时，不妨设x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n为偶数时,所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

综合①②知原不等式成立

第四篇：不等式证明若干方法

安康学院 数统系数学与应用数学 专业 11 级本科生

论文（设计）选题实习报告

11级数学与应用数学专业《科研训练2》评分表

注：综合评分60的为“及格”； <60分的为“不及格”。

第五篇：浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

分类：学法指导

放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证

做“放”，由B到C叫做“缩”。

常用的放缩技巧还有：（1）若（2），欲寻找一个（或多个）中间变量C，使，由A到C叫

（3）若则（4）

（5）（6）

或

（7）

等。

用放缩法证明下列各题。

例1 求证： 等

证明：因为所以左边因为99＜100（放大）＜

所以

例2（2000年海南理11）若

证明：因为 求证：因为 所以

［因为

大），所以又所以是增函数］，所以（放，所以

例3（2001年云南理1）求证：

证明：（因为）

［又因为

例4 已知证明：因为

求证：

（放大）］，所以所以

例5 求证：

证明：因为（因为）（放大）

所以

例6（2000年湖南省会考）求证：当时，函数的最小值是当

时，函数的最大值是

证明：因为原函数配方得又因为

所以（缩小），所以函数

y的最小值是。当所以

（放大），所以函数y的最大值是

例7 求证：

证明：因为立。

例8（2002年贵州省理21）若证明：因为

所以

证

（当且仅当

（分母有理化）所以原不等式成求证：

而

所以

同理可

时，取等号）。

例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：

证明：不妨设据三角形三边关系定理有：便得

所以原不等式成立。

例10（1999年湖南省理16）求证：

证明：因为又

所以原不等式成立。

例11 求证：

证明：因为左边

证毕。

例12 求证

证明：因为

注：

1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若

所以左边

则。

2、使用放

缩法时，“放”、“缩”都不要过头。

3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。