数列前n项和构成不等式证明方法与技巧（范文）

第一篇：数列前n项和构成不等式证明方法与技巧（范文）

数列前n项和构成不等式证明方法与技巧

安徽五河一中邢文举、杨梅玲

由数列前n项和构成的不等式是一种非常重要的题型，常在高考题中出现，由于不等式证明本身就是一个难点，再加数列的各种变形应用，不少学生对该题型束手无策，不知从何处去分析寻求解题思路，该题型一般有三种解题思路：第一，若数列an是可求和数列，应先求和Sn，再证明不等式；第二，若数列an是不可求和数列，一般先将数列的通项放缩成可求和数列，再求和证明不等式；第三，若数列是不可求和数列，对通项的放缩又有一定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式，当然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明，下面以例说明。

例

1、各项均为正数的等差数列an，a1=3前n项和为Sn，等比数列bn中，b1=1，且b2S2=64，ban是公比为64的等比数列。

（1）求an、bn；

（2）证明1113 S1S2Sn4

解：（1）设an的公差为d，bn的分比为q（d>0,q>0）

则an=3+(n-1)dbn=q n-1

ban1qan11

an1qan1anqd64 banq

又b2S2=q(6+d)=64

可求得：d=2，q=8

∴an=2n+1，bn=8n-1

（2）由（1）知Sn=n(n+2)11111()Snn(n2)2nn2

1显然是可求和数列，先求和，再证明不等式

Sn

∴11111111111(1)()()() S1S2Sn232435nn2

1111113=(1)(1) 22n1n2224

∴原不等式对nN成立

例

2、等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上。

（1）求r的值；

（2）当b=2时设bnn11(nN)，数列bn的前n项和为Tn，证明Tn 4an2解：（1）由已知有Sn=bn+r，当n≥2时，Sn-1=bn-1+r

∴an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn-1

又a1=b+ra2=(b-1)b ∴a2(b1)bb∴r=-1 a1br

（2）由b=2，故（1）有：an=2n-1bn=n1 n12

由于bn是可求和数列，先求和后证明不等式

Tn=b1+b2+b3+…+bn 234n1∴Tn234n1① 2222

123nn1Tn34n1n2② 22222

12111n1①-②得：Tn234n1n2 222222

3n3∴Tnn1 22

∵Tn为递增数列 ∴TnT1

∴Tn311 221对nN成立

221

31

n2(n11)（nN）例

3、证明不等式：1

1证明

（一）∵数列是不可求和数列，应先放缩再证明不等式。n

∵

∴

11

21n2nn2n1n2(n1n)1

1

n2(21)(32)(4)(n1n)

=2（n11）∴11

21

1

n2(n11)对nN成立

（二）数学归纳法证明

（1）当n=1时，12(21)，即n=1不等式成立。

（2）假设当n=k(nN)时不等式成立 即：11

21

1

k2(k11)

当n=k+1时

11

21



k111k12(k11)1k11k1 =2k12(2k1)22 =4(k1)4124(k1)42 k1

=2((k1)11)

即n=k+1时，不等式成立。

由（1）（2）知，原不等式对nN均成立

例

4、已知数列an前n项和为Sn，点(n,Sn)在函数y=3x-1的图象上，bn=n(n1)an，bn前n项和为Bn，证明：Bn

解：由已知：Sn=3n-1

当n=1时，a1=3-1=2

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2×3n-1

∴an=2×3n-1（nN）∴bnn(n1)23n1

法

（一），显然bn是不可求和数列，先放缩，再证明不等式。∵bnn(n1)23n1=4n24n3n1(2n1)23n1

=(2n+1)×3n-1

∴Bn=b1+b2+b3+…+bn

<3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1

令Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1

由错位相减法可求得Tn=n×3n

∴Bn< n×3n n(n1)2n1对bn进行放缩。22n法

（二）用数学归纳法证明：Bn< n·3 注：也可用均值不等式：n(n1)

①当n=1时，B1=b1=2222<1×31=3

即n=1时，不等式成立

②假设当n=k+1时，不等式成立，即Bk

当n=k+1时）(k2)23k Bk+1=Bk+bk+1

(k1)(k2)23k 2k=(3k+3)×3=(k+1)×3k+1

即n=k+1时不等式成立< k·3k+

由①②知：Bn< n·3n对nN均成立

由以上例题可知，对于由数列an的前n项和Sn构成的不等式证明，首先考查an是否可求和，若能求和，先求出Sn再证明不等式，若不可求和，要么先将an进行放缩成可求和数列，再求和证明不等式；要么利用数学归纳法进行证明，当然还可构造函数来证明，在这就不说了，希望通过本文，对同学们解答这类题有一定的启发。

2011.4.26

第二篇：关于自然数数列前n项和公式证明

自然数平方与立方数列前n项和公式证明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。

一、证明：Sn=k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2证：(略)

二、证明：Sn=k2=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

k1k1nn

证：(n＋1)³－n³=(n³＋3n²＋3n＋1)－n³=3n²＋3n＋1，则：

2³－1³=3×1²＋3×1＋1（n从1开始）

3³－2³=3×2²＋3×2＋1

4³－3³=3×3²＋3×3＋1

5³－4³=3×4²＋3×4＋1

6³－5³=3×5²＋3×5＋1

…

(n＋1)³－n³=3×n²＋3×n＋1（至n结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n＋1)³－1³=3×[1²＋2²＋3²＋…＋n²]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n (n＋1)³－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n

Sn=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

三、证明：Sn=k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

k1n

证：(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1则：

24-14=4*13+6*12+4*1+1（n从1开始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(1²＋2²＋3²＋…＋n²)+4*(1+2+3+...+n)+n4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2

Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2

第三篇：证明数列前n项和 不等式的定积分 放缩法

证明数列前n项和 不等式的定积分 放缩法

摘要：本文深入分析数列与函数之间的联系，结合高等数学中数项级数[4]的观点研究高考证明数列前n项和不等式的相关问题。本着“数形结合”的重要数学思想，抓住数列的本质是数值函数这一特点，另辟蹊径，利用分析学“定积分”这一工具，探究对数列前n项和不等式进行放缩的方法。关键词：数列；不等式；定积分；数形结合。

数列，高考的重中之重。而对于数列前n项和不等式的证明更是天津高考的难点。这类问题大致可以分为两种：如果这样简单分类的话，那么显然第二种题型会比第一种更复杂[2]。对于第一种题型，题目中已然给出了我们要证明的“对象”，即便我们对原数列“无从下手”，也可以根据“式”的偶性，将不等号右边的式子也看作是某一数列的“和”，再通过“和转项”的方式找到其对应的“项”，从而我们不妨逐项比较，最后累加达到目的。此外，山穷水复之时，数学归纳法也是个不错的选择。所以，对于第一种题型来说，有多种比较成熟的应对方法，这里就不逐一列举。然而，对于第二种题型，“和转项”与归纳法则不再适用。题目中要求寻找的，类似于这个数列前n项和的“极限”，而这个“极限”则是一个常数。在处理这一类问题时，我们通常要将原数列的通项进行一定程度的放缩与变形，处理成为一个能够求和的数列，并且由变形后数列的“和”可以进一步证明我们想要的结论（如果将变形后数列的前n项和看作一个函数，那么待证明的常数C通常是这个函数的极限）。显然，这执行起来十分困难，要求学生有足够的“数学远见”，并且要记一些常用的方法和结论，无疑是“雾里看花”。因为，即使在这些结论上下了很大功夫，题目稍加变化后，学生们仍是感到“无从下手”。况且，即便命题人不改变题目的结构，仅仅是将不等式的强度加大，学生在解题时，还是会陷入漫无目的“尝试”。所以，数列前n项和不等式的证明一直以来都是高考的难点，而那些尽可能巧妙地解决这类问题的方法大多都指向“构造”的思想。而“构造”需要“数学远见”，要求学生具备极好的“数学素养”，非一日之功。况且，想要通过做题、总结的方式培养这种“素养”，绝非易事。为解决这一瓶颈，笔者尝试从高中数学内部寻找一种容易为高中生理解，又不会涉及“知识超纲”问题，且尽可能普遍适用的方法和视角来解决这一类问题，并试图探究其内在“本原”。于是，笔者发现了——定积分。对照以上两种方法，不难发现利用定积分放缩的方法十分优美、简洁，并且在很大意义上揭示了级数不等式的本质。下面以天津市近两年高考与模拟的压轴题为例深刻体会定积分放缩法的优越性。由例1.及其变式不难看出，利用定积分放缩法往往并不是直接放缩至待证“对象”本身，而是构造了一个比待证不等式强度更大的不等式，然后再次放缩到需要的“对象”。综述：定积分放缩法作为一种简洁、优美的解题方法，在解决由“数项级数”所引申出的“证明数列前n项和不等式”的问题中有相当广泛的应用，具有一定程度的普适性。无疑为学生遇到问题“无从下手”时，提供了一套系统的构思程序。定积分放缩法中处处渗透了“数形结合”的数学思想，并将数列与函数联系起来，使学生深刻地认识到数列是离散的数值函数这一本质，有机地反映了将“代数-几何-分析”综合起来的“数学美”，有助于提高学生对数学的学习兴趣。定积分放缩法是建立在常规放缩法基础之上的拓展，二者地位等同，相互依存。和一切的数学模型一样，我们希望但永远不能将所有问题都用一个“统一的方法”来解决。数学的灵魂，在于各分支间的融会贯通，“统一的方法”和“永动机”一样是不存在的。数学本身的“包罗万象”，足以从其自身内部酝酿出千变万化的解题方法。由此可见，数学的精神在于各个数学分支的互相穿插与多种解法间内在紧密联系的数学逻辑。这就是“数学素养”。参考文献[1].《浅谈高等数学在中学数学中的应用》[M].广东石油化工学院，22-24[2].李广修.证明不等式的定积分放缩法[J].数学通报，2008,47（7）：55-57[3].意琦行，数海拾贝.证明级数不等式的积分放缩法[J].光量子，2015；10；29[4].《高等数学》[M].同济大学数学系，2014第7版：251-327致谢感谢天津市第一〇二中学数学组：马萍，严虹，纪洪伟，张倩老师对我研究的帮助与支持。感谢“高中数学解题研究会”杜巍老师给予的帮助。感谢“高中数学解题研究会”提供优良的研究平台及学术氛围。感谢周围对我研究的支持和认可。

第四篇：等比数列前n项和的证明方法

等比数列前n项和的证明方法

若公比q=1,则Sn=a1+a2+...+an=a1+a1+...+a1=na1 等比数列前n项和Sn=a1+a2+...+an=a1(1-q^n)/(1-q)(公比q≠1)

证:Sn=a1+a1q+a1q^2...+a1q^(n-1)...........(1)qSn=a1q+a1q^2+....a1q^(n-1)+a1q^n.......(2)

(1)-(2):

(1-q)Sn=a1-a1q^n

∴Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

第五篇：裂项放缩证明数列不等式

策略

一、裂项放缩证明数列不等式

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例1-

1、（全国I理-22压轴题）设数列an的前n项的和Sn项an；（Ⅱ）设Tn

2n

43an



2n

1

23，n1,2,3,（Ⅰ）求首项a1与通

n

Sn，n1,2,3,，证明：Ti

i1

例1-

2、（湖北理-17）已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)6x2，数列{an}的前n项



和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn

3anan

1，Tn是

数列{bn}的前n项和，求使得Tn

m20

对所有nN都成立的最小正整数m；

例1-

3、（重庆理-22压轴题）设数列{a}满足a12,an1an

n

1an

(n1,2,).（Ⅰ）证明a

n

2n1对一切正整数n

成立；（Ⅱ）令bn

ann

(n1,2,)，判定b与b

n

n

1的大小，并说明理由

例1-

4、已知nN*，求1

例1-

5、设an1

2a



3„

1n

＜2n



a



1n

a,a2.求证：an2.策略

二、均值不等式放缩证明不等式 例2-

1、设Sn

例3-

2、已知函数f(x)

例3-

3、已知a,b为正数，且ab

1

1223n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)

.4x

x

1

4求证：f(1)f(2)f(n)n

n1



.，试证：对每一个nN，(ab)n

ab2

nn2n

2

n1

.策略

三、调整分式值放缩证明数列不等式（尾式或局部放缩）

一个分式若分母不变分子变大则分式值变大，若分子不变分母变大则分式值变小；一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:

babmam

(ba0,m0)和

babmam

(ab0,m0)

例3-

1、（福建理-22压轴题）已知数列｛an｝满足a1=1,an1=2an+1(n∈N)（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足4b1明:

例3-

2、证明：(11)(13)(15)(12n1)

即证：135(2n1)

例3-

3、证明:(11)(1)(1)(1

713n

2)

－1 b2－2

4„

4bn－

1=(a

n

+1)bn(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;（Ⅲ）证

n2



3＜

a1a2



a2a3



anan1

＜

n2

(n∈N).*

2n1和(1



12)(11

14)(1

16)(1

12n)

12n1

2462n

2n1

和

135(2n1)2462n

2n1

3n1.例3-

4、已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜

例3-

5、求证:

13

1

1321



13

2n1

abc

＋＋＜2。bcacab

1



策略

四、单调性放缩证明不等式

例4-

1、（湖南理-19）已知函数f(x)xsinx,数列{an}满足:0a11,an1f(an),n1,2,3,.证明:（I）．0an1an1;（II）．an1

例4-2（辽宁理-21）已知函数f(x)ax

0a1

2,an1f(an),nN



an.32

x的最大值不大于

.16，又当x[

11,]42

时

f(x)

.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设，证明an

1n

1x1例4-

3、（北京理-19）数列xn由下列条件确定：

xn1a0，1a

xn,nN．（I）证明：对n2总有xn2xn

a；

(II)证明：对n2总有xnxn

1例4-

4、设Sn2

例4-

5、求证：(11)(1)(1)(1

12n

1)

2n1.23n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)2

.策略五：二项式放缩证明不等式

nn01nn01

2(11)CnCnCn,2CnCnn1,2CCC例5-

1、已知a11,an1(1

例5-

2、证明2(1

n

例5-

3、设n1,nN，求证(3)

n

0n1n2n

n

n2

212

n

.证明a

n

n(n1)(n2)

e

1nn)an

n

1n)3.n



8(n1)(n2)

策略六：递推放缩证明数列不等式

例6-

1、（全国高考）设数列a满足an1annan1nN，当a13时证明对所有n1, 有(i)ann2；

n

(ii)

11a

1

11a

2

11an



例6-

2、(重庆理-22压轴题)数列{an}满足a11且an1(1

1nn)an

2n

(n1).（Ⅰ）用数学归纳法证明：

an2(n2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1x)x对x0成立,证明:ane(n1)，其中无理数e2.71828

例6-

3、（湖北理-22压轴题）已知不等式

1213

1n12[log

n],nN,n2.[log



2n]表示不超过log2b,n3.n 的最大

整数。设正项数列{an}满足：a1b(b0),an

nan1nan

1,n2,nN，证明：an

2b[log

n]

例6-

4、（浙江理-20压轴题）已知函数f（x）=x3+x2，数列{xn}（xn＞0）的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：

*

曲线y=f（x）在（xn+！，f（xn+！））处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点直线平行（如图）。求证：当n∈N时

2（Ⅰ）xnxn3xn12xn1（Ⅱ）()

n

11n2

xn()

策略七：分项讨论放缩证明数列不等式

例

7、（2004年全国3理-22压轴题）（14分）已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n,n1.（1）写出数列an的前三项a1,a2,a3；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对任意的整数m4，有

策略八： 数学归纳法证明数列不等式

例8-

1、（江西理-21倒二题）（12分）已知数列{an}的各项都是正数（1）证明anan12,nN;（2）求数列{an}的通项公式an.例8-

2、（江西理-22压轴题）已知数列｛an｝满足：a1＝

1a4



1a5



1am



.,且满足:a01,an1

an,(4an),nN.，且an＝

n2，nN）（1）求数列｛an｝

2an－1＋n－1

3nan－1

的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2„„an2n！