数列、极限、数学归纳法·等比数列前n项和的公式

第一篇：数列、极限、数学归纳法·等比数列前n项和的公式

数列、极限、数学归纳法·等比数列前n项和的公式·教案

教学目标

1．掌握求等比数列前n项和的公式及其推导过程，培养学生创造性的思维． 2．初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力． 教学重点与难点

等比数列前n项和公式的推导 教学过程设计

课堂教学设计说明

本课知识与前面的知识——等差数列求和公式，教学内容联系紧密，只要学生掌握好旧知识，再经过分析、综合、归纳、推理，就能导出所学内容．采用这种教学方法，学生学习积极性高，因而教学效率高、效果好，同时，对完善学生的认知过程，提高他们分析问题、解决问题的能力大有裨益． 本节课教学过程可概括如下：（1）复习旧知识，引出新课题；（2）推导公式，弄清条件，认识新知识；（3）运用公式，巩固新知识；（4）小结，布置作业．

对全课作了如此设计，主要基于以下几点：

（1）对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法．

（2）本课采用启发引导，讲练结合的教学方法，既发挥了教师的主导作用，又体现了学生的主体地位，学生获取知识必须通过学生自己的一系列思维活动来完成，课堂上教师的作用主要在于给学生设计好符合他们学习心理过程的学习程序，通过设疑、暗示、课堂讨论、自编习题等多种教学形式和方法，启发诱导学生，激发学生的学习兴趣，使他们自始至终处于一种积极进取的兴奋状态，使他们通过在教师引导下的独立活动，自然而有效地获取知识、技能和技巧．同时在数学教学的实践活动中形成、发展学生的数学能力．

第二篇：等比数列前n项和公式教案

课题: §2.5等比数列的前Ⅱ.讲授新课

n项和

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

1、等比数列的前n项和公式：

当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3an由 n1aaq1n2n2n1a1qSna1a1qa1qa1q得

23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qn(1q)Sna1a1q

∴当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，a2a1a3a2anan1q

根据等比的性质，有a2a3ana1a2an1Sna1Snanq

即 Sna1Snanq(1q)Sna1anq（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

课题: §2.5等比数列的前●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式： 当q1时，Sna1(1q)1qnn项和

①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②

课 题：数列复习小结

教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] an2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。[等差数列的通项公式]

如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。[等差数列的前n项和] 1．Snn(a1an)2a1S1(n1)SnSn1(n2)[数列的前n项和] Sna1a2a3an

2.Snna1n(n1)2d

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab2或2Aab

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d

2.对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

3．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。

3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即G2ab。[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列an，若an1anq(q0)，则数列an是等比数列。

22．等比中项：对于数列an，若anan2an，则数列an是等比数列。1[等比数列的通项公式]

n1如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1q。

[等比数列的前n项和] Sna1(1q)1qn(q1)Sna1anq1q(q1)当q1时，Snna1

[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：anamqnm

2． 对于等比数列an，若nmuv，则anamauav

4．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如下图所示：

4、数列前n项和（1）重要公式：

123n123n222n(n1)22；

； n(n1)(2n1)612n333[121n(n1)] 2（2）裂项求和：

n(n1)1n1n1；

第三篇：等比数列前n项和公式教学设计（模版）

等比数列前n项和公式教学设计 1.复习:(1)等比数列的定义

(2)等比数列的通项公式: 2.引例：

一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?（1）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：

S穷人30天借到的钱：

'301230229(130)302465（万元）

穷人需要还的钱：S301222?

29（2）教师紧接着把如何求S学生探究，3012222？的问题让S301222229

①若用公比2乘以上面等式的两边，得到

2S30222229230②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

S3023011073741823(分)≈1073(万元)＞ 465（万元）

由此得出穷人不能向富人借钱

（3）小组合作

仿照公比为2的等比数列求和方法，推倒等比数列前 项和公式：

等式两边应同乘以等比数列的公比，即（板书）

③两端同乘以，得 ④，③－④得

醒学生注意 的取值）当 当 时，由③可得 时，由⑤得

（不必导出④，但当时设想不到）.⑤，（提问学生如何处理，适时提于是

（4）教师：还有没有其他推导方法？

a2a1a3a2anan1q

a2a3ana1a2an1q

即

sna1snanqsna1anq1q(q1)。

学生B：

sna1a1qa1qa1qa1a1qa1qn2a1q1n1

n2aqsn1a1qsnana1qsnanqa1anq1q(q1)snqsna1anqsn

3．练习：

求下列等比数列的各项和：

(1)1，3，9，…，2187

（2）1,1,1,1,,2481512

2、根据下列条件求等比数列a的前n项和S

nn①a12,q2,n8

②a18,q2,an12

4．布置作业：

1、根据下列条件，求等比数列an的前n项和S

n①: a13,q2,n6

②: a18,q12,an12

0,n049 ③：a20.12,a50.0 ④: a1a310,a4a654，2、在等比数列an中，①:已知a12,S326，求q和Sn ②:已知S230,S3115，求Sn

第四篇：关于自然数数列前n项和公式证明

自然数平方与立方数列前n项和公式证明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。

一、证明：Sn=k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2证：(略)

二、证明：Sn=k2=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

k1k1nn

证：(n＋1)³－n³=(n³＋3n²＋3n＋1)－n³=3n²＋3n＋1，则：

2³－1³=3×1²＋3×1＋1（n从1开始）

3³－2³=3×2²＋3×2＋1

4³－3³=3×3²＋3×3＋1

5³－4³=3×4²＋3×4＋1

6³－5³=3×5²＋3×5＋1

…

(n＋1)³－n³=3×n²＋3×n＋1（至n结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n＋1)³－1³=3×[1²＋2²＋3²＋…＋n²]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n (n＋1)³－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n

Sn=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

三、证明：Sn=k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

k1n

证：(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1则：

24-14=4*13+6*12+4*1+1（n从1开始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(1²＋2²＋3²＋…＋n²)+4*(1+2+3+...+n)+n4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2

Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2

第五篇：等比数列的前n项和公式的应用

第2课时等比数列前n项和公式的应用

学习目标

1.掌握等比数列 的 前n项和公式及有关性质，能熟练运用公式解决简单的相关问题。

2.自助学习，合作探究，掌握等比数列前n项和公式的推导与运用。

3.激情投入，全力以赴，享受学习成功的快乐，激励学生创新，勇于探索。重点：等比数列的前n项和公式及有关性质。

难点：等比数列的前n项和公式及有关性质的应用。

预习案

Ⅰ相关知识

等比数列的前n项和公式的推导方法；等比数列的前n项和公式。

Ⅱ教材助读

1.等比数列中的Sn与an具有什么关系？

2.等比数列{an}中，a2a3na(a1a2n表示)a用qnS，即1,Sna1_________q

3.等比数列{an}中，an1an2a2n(a1a2an)__

4.若某数列的前n项和公式为SnAqnA(A0,q0且q1,nN),此数列是等比数列，这个结论对吗？

5.若数列{an}是等比数列，则a1a2,a3a4,a5a6,a7a8,能构成一个等比数列吗？S3,S6S3,S9S6,Ⅲ预习自测 呢？

1.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1a220,a3a480,则a5a6=（）

A120B240C320D480

2.等比数列{an}中，S27,S691,则S4()

A28B32C35D49

探究案

导入新课

一个穷人到一个妇人那里去借钱，原以为妇人会不愿意