关于和式的数列不等式证明方法

第一篇：关于和式的数列不等式证明方法

关于“和式”的数列不等式证明方法

方法：先求和，再放缩

例

1、设数列an满足a10且an

n,2an11an1an，n

N*，记Snbk,证明：Sn1.k1n

（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）设bn

【解析】：（Ⅰ）由

11

11.得为等差数列，1a1an11ann

前项为

1111

1,d1,于是1(n1)1n，1an,an

1

1a11annn

（Ⅱ）bn

n









Snbkk

1

11 练习：数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且

a13,b11，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264.（1）求an,bn；（2）求证

1113.S1S2Sn

4解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1

ban1q3ndd6

q642

q3(n1)d依题意有ban①



S2b2(6d)q64

由(6d)q64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，解①得d2,q8

故an32(n1)2n1,bn8

n1

（2）Sn35(2n1)n(n2)∴

1111111



S1S2Sn132435n(n2)

11111111(1)232435nn211113(1) 22n1n24

方法：先放缩，再求和 例

1、（放缩之后裂项求和）（辽宁卷21）．

在数列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列（nN）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：

*

5…． a1b1a2b2anbn1

2本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由条件得2bnanan1，an1bnbn1 由此可得

a26，b29，a312，b316，a420，b425． ···················································· 2分

猜测ann(n1)，bn(n1)． ······················································································· 4分 用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即

akk(k1)，bk(k1)2，那么当n=k+1时，2ak

ak12bkak2(k1)k(k1)(k1)(k2)，bk12(k2)2．

bk

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知ann(n1)，bn(n1)对一切正整数都成立． ·········································· 7分（Ⅱ）

5．

a1b161

2n≥2时，由（Ⅰ）知anbn(n1)(2n1)2(n1)n． ·············································· 9分 故

11111111

…… a1b1a2b2anbn622334n(n1)



11111111… 622334nn11111115 622n16412



综上，原不等式成立．··································································································· 12分（例

2、（放缩之后等比求和）

（06福建）已知数列an满足a11,an12an1(nN).*

（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）证明：

an1a1a2n

...n(nN*)23a2a3an1

22n

（III）.设bnan(an1)，数列bn的前n项和为sn，令Tn，sn

（i）求证：T1T2T3Tnn；

（ii）求证：T1T2T3Tn；

本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

（I）解：an12an1(nN),*

an112(an1),an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。an12n.即 an21(nN).*

（II）证法一：41

4k1k2

1...4kn1(an1)kn.4(k1k2...kn)n2nkn.2[(b1b2...bn)n]nbn,①

2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.② ②－①，得2(bn11)(n1)bn1nbn, 即(n1)bn1nbn20,nbn2(n1)bn120.③－④，得 nbn22nbn1nbn0,即 bn22bn1bn0,bn2bn1bn1bn(nN*),bn是等差数列。

证法二：同证法一，得(n1)bn1nbn20 令n1,得b12.设b22d(dR),下面用数学归纳法证明 bn2(n1)d.（1）当n1,2时，等式成立。

（2）假设当nk(k2)时，bk2(k1)d,那么

k2k2bk[2(k1)d]2[(k1)1]d.k1k1k1k1这就是说，当nk1时，等式也成立。bk1

根据（1）和（2），可知bn2(n1)d对任何nN都成立。

*

bn1bnd,bn是等差数列。

ak2k12k11

k1,k1,2,...,n,（III）证明：

ak1212(2k1)

2

aa1a2n

...n.a2a3an12

ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232k



aa1a2n1111n11n1

...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322

3an1aan

12...n(nN*).23a2a3an12

方法：先放缩，再化类等差等比

例1（有界性放缩，迭加）、各项为正数的等比数列an中，a1a310，a3a540,nN*；

（1）求数列an的通项公式；（2）设b11，bn1nn

11，求证：bn1bn3n1 bnan

2an2；分析；（1）（2）证明：因为an1(1

所以an0，n

n

所以an1与an同号，又因为a110，)an，2n

n

an0，即an1an．所以数列{an}为递增数列，所以ana11，n2nn12n1

即an1annann，累加得：ana12n1．

22222

12n1112n1

令Sn2n1，所以Sn23n，两式相减得：

2222222

11111n1n1n1Sn23n1n，所以Sn2n1，所以an3n1，22222222

n1

故得an1an3n1．

即an1an

例2（利用有界性化为类等比）、（安徽卷21）．（本小题满分13分）

设数列an满足a00,an1can1c,cN,其中c为实数

*

（Ⅰ）证明：an[0,1]对任意nN成立的充分必要条件是c[0,1]；

*

1n1*，证明：an1(3c),nN;312222

（Ⅲ）设0c，证明：a1a2ann1,nN*

313c

（Ⅱ）设0c

解(1)必要性 ：∵a10,∴a21c，又 ∵a2[0,1],∴01c1，即c[0,1]

充分性 ：设 c[0,1]，对nN用数学归纳法证明an[0,1]当n1时，a10[0,1].假设ak[0,1](k1)

则ak1cak1cc1c1，且ak1cak1c1c0

*

∴ak1[0,1]，由数学归纳法知an[0,1]对所有nN*成立

(2)设 0c，当n1时，a10，结论成立 3

当n2 时，∵ancan11c,∴1anc(1an1)(1an1an1)∵0C

12,由（1）知an1[0,1]，所以 1an1an13 且 1an103

∴1an3c(1an1)

∴1an3c(1an1)(3c)(1an2)(3c)∴an1(3c)

(3)设 0c

n1

n1

(1a1)(3c)n1

(nN*)

122，当n1时，a102，结论成立 313c

n1

当n2时，由（2）知an1(3c)

0

∴an(1(3c)n1)212(3c)n1(3c)2(n1)12(3c)n1 22222n1∴a2]1a2ana2ann12[3c(3c)(3c)

2(1(3c)n)2

n1n1

13c13c

第二篇：《 数列和式不等式的放缩策略》读书笔记

数学通讯（2008年第18期）

数列和式不等式的放缩策略

季强

（江苏省常州高级中学数学组，213003）

数列一直以来也是高考的重点，试卷的压轴题的最后一问出现，在思维能力和方法上要求很高，往往让人束手无策。其实，这类不等式的证明，是有章可循的？遵循什么章呢？

为此，我就收集了一些别人的方法，并把它们摘抄记录了下来。

这类不等式的证明就是要把和求出来，求出后再放缩。更多的情况下是不能直接求和的，这时就需要先把通项放大或缩小，使得每一项按照相同的规律放大或缩小后，把和求出来，求和后再放缩。下面简述几个用来证明数列和式不等式的一般性策略：

策略1：放缩等比求和

当可以直接利用等比数列求和时，求和后放缩。否则，先将通项放缩，从某一项开始放缩后，和式转化为等比数列的和，求和后再放缩。当然，以通项公式为着手点，观察分析，放大或缩小，从而每一项按照相同的规律放大或缩小，求和后再放缩，证得要证的不等式。

策略2：放缩裂相求和

有的数列和式不等式，不能直接求和时，可以先把数列的通项公式分裂成两项之差，求和后在放缩。当通项公式不能分裂成两项之差时，先把通项公式放缩后裂相（即分裂成两项之差），每一项都按照相同的规律放大或缩小后裂相，求和后在放缩。

策略3：单调性求和

有点数列和式不等式的证明，可以利用单调性放缩，当然，也可能是在和式的某一个环节，利用一个相关的数列或函数的单调性进行放缩。

策略4：奇偶相邻相捆绑求和放缩

当要证的和式是正负相间时，仅用通项an是不好放缩的，因为项数为奇数或偶数时，an的符号是变化的，此时可以把奇偶相邻相捆绑求和进行放缩。

策略5：延后放缩求和

和式放得太大或缩得过小，原因是每一项都放得太大或缩得过小，可以用延后放缩法：即不从第一个可以放缩的项开始放缩，而是保留前面若干项的准确值，减小放大的量或减小缩小的量。在不断的调节尝试后，从某一项开始放缩，就能证得要证的结果。

总之，数列和式不等式的证明，关键是要把和求出来。

第三篇：定积分在数列和式不等式证明中的应用

定积分在数列和式不等式证明中的应用

湖北省宜昌市第二中学曹超

邮编：443000电子邮箱：c220032003@yahoo.cn

数列和式不等式aiA(或aiA)的证明通常要用到放缩法，由于放缩法技巧性强，且无固定模式，i

1i1

n

n

在实际解题过程中同学们往往难以掌握。学习了定积分的相关知识后，我们可以利用定积分的定义及几何意义证明此类不等式，下面笔者仅就两例对这种方法加以介绍。

例1

证明：1)1

第2题）

证明：

构造函数f(x)

1

1

1（nN）（高中人教（A）版选修4-5P29，作出函数图象，图（1）中n-1个矩形的面积

和

1

应为直线x1，xn，x轴和曲

线

f(x)

所围成曲边梯形面积的不足近似值，故







n

x



2dx=2x

2n

=2，所以

图（1）

1





1。

图（2）中n

个矩形的面积和1



应为直线

x1，xn1，x轴和曲

线f(x)所围成的曲边梯形

面积的过剩近似值，故1







n1

x



dx=

图（2）

2x2

n1

=2，不等式得证。

评析：

教材对本题证明给出了提示：









①，实际解题过程中，由于不等式①技巧性强，思维量大，学生如不参考提示很难得到。事实

上，如图（3）所示，根据定积分的定义及几何意义，在区间n,n1(nN)上的曲边梯形的面积大于以区间的右端点n1对应的函数值f(n1)为一边的长，以1

为邻边的长的矩形的面积，小于以区间的左端点n对

图（3）

应的函数值f(n)为一边的长，以1为邻边的长的矩形的面积，即





n1n

x



dx2x2

n1n





代数变形技巧得到，更非“空穴来风”，而是有着明确几何意义的代数表示，数形结合思想在这里得以充分地体现。

例 2对于任意正整数n，试证：（1）当nN时，求证：ln(n1)lnn

（2）

1n1



1n2



1nn

ln

3

1n+1

分析：此题的设计意图是利用第（1）问的结论证明第（2）问。但如果没有第一问作铺垫，第（2）问的证明很难用代数方法得到，如果利用例1所述方法，那么证明变得非常简洁。

证明：（1）证明略。

（2）构造函数f(x)

1x

(x0)，作出函数图象，根据yf(x)

在区间n,2n上定积分定义及其几何意义，图（4）中n个矩形的面积和小于由直线xn，x2n，x轴和曲线f(x)围

1x

所，即

成

n的12

曲

边梯形的面积

n1

21n1

ln2nxx

n(n2l

7n)n，l不等式nln

得证。

图（4）

新课标新增的微积分知识有着丰富的数学背景及内涵，所蕴含的数学思想方法为我们问题的解决提供了新的视角，所以我们在平常学习过程中应予以足够的重视。最后提供两道练习题供同学们参考。

1、2、求证：()()（n

n

n

n

n1

nnn)()2nn

1n

1n1



（nN）



1n



证明：对于大于1的正整数n，n2

1

第四篇：数列不等式的证明

数列和式不等式的证明策略

罗红波洪湖二中高三

（九）班周二第三节（11月13日）

数列和式不等式的证明经常在试卷压轴题中出现，在思维能力和方法上要求很高，难度很大，往往让人束手无策，其实，这类不等式的证明，是有一定的规律的，利用S1

n

a1q

来证明也能事半功倍，下面用几个例子来简述数列和式不等式的证明

S1

n

a1q

常用策略。

一、基础演练：

1、等比数列{an}，公比为q，则{an}的前n项和Sn为（）

na1(q1A．)

an

a1(1q)1(1qn)a

1q(q1)B.na1C.1qD.11q2、正项等比数列{an}，公比为q，0q1，{an}的前n项和Sn，以下说法正确的是（）A．S1n

a11qB.Sa11qC.Saa

nn1qD.Sn11q3、正项数列{a}，{a的前n项和Sa

nn}n，要证明S1n1q，其中0q1，可以去证明（）A．

an1qB.an1aqC.an1qD.a

n1aq nnanan

二、典例精讲：

例

1、等比数列{a1

n}，a11,q2，{an}的前n项和Sn，求证：Sn2

变式

1、正项等比数列{an}，{a1n}的前n项和Sn，a11,Sn2恒成立，求证：0q

2例

2、已知数列{an}，an1

2n

1，{an}的前n项和S5n，求证：Sn2(Sn3?)

aann变式

2、数列{n1n}，a3232n1，a11，{a3

n1n}的前n项和Sn，求证：Sn n

2例

3、（09四川理22）数列{an}的前n项和Sn，对任意正整数n，都有a4an

n5Sn1成立，记bn1a(nN).n

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)记c

nb2nb2n1(nN)，{c3

n}的前n项和Tn，求证：Tn

2变式

3、已知a1n

2，求证Sn(1)a1(1)2a2(1)nan1

(2)n

3三、小结

四、课后作业：

1、等比数列{a1

n}，a12,q

3，{an}的前n项和Sn，求证：Sn3

2、已知数列{an}，an

14n2，{an}的前n项和Sn，求证：S2

n

3

第五篇：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）

② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

（4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．

（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。

（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（3）设，求证：.类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。．（1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；（2）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）；（3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）．

例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时，①求数列错误！未找到引用源。的通项；

②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。，① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；

②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

（1）错误！未找到引用源。，（2）错误！未找到引用源。

注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。（3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。（4）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。可推广为：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；

（2）求错误！未找到引用源。；

（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．

⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；

⑵ 设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；

⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。

3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列的前项和为，满足，．数列

满足（1）求数列（2）若和，且． 的通项公式；，数列的前项和为，对任意的，（，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使，请说明理由．）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，若不存在，4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．

（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；

（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为常数．

（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．

（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。．

6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列

分别满足，其中（1）若数列（2）若数列①若数列②若数列，设数列的前项和分别为的通项公式；，使得，称数列

.都为递增数列，求数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

为“坠点数列”.为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；

（2）求证： 错误！未找到引用源。；

（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；

（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；

（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2)cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．

10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．

（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值；（2）若错误！未找到引用源。成等差数列，①求数列错误！未找到引用源。的通项公式；

②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）

② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

（4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．

（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。

（2）由（1）知，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，则有错误！未找到引用源。，而错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，再将错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。

（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（3）设，求证：.【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）详见解析（3）详见解析 【解析】

试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。因此由错误！未找到引用源。，因此错误！未找到引用源。中最大项必在A中，由（2）得错误！未找到引用源。.试题解析：（1）由已知得错误！未找到引用源。.于是当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.又错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.所以数列错误！未找到引用源。的通项公式为错误！未找到引用源。.（2）因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.因此，错误！未找到引用源。.综合①②③得，错误！未找到引用源。.类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。．（1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；（2）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）；（3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

故错误！未找到引用源。，则有：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时，①求数列错误！未找到引用源。的通项；

②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。，① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；

②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.【答案】（1）①错误！未找到引用源。；②不存在；（2）①当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。时，数列错误！未找到引用源。是以错误！未找到引用源。为首项，错误！未找到引用源。为公比的等比数列，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，不是等比数列；②错误！未找到引用源。．

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

（1）错误！未找到引用源。，（2）错误！未找到引用源。

注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。（3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。（4）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。可推广为：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；

（2）求错误！未找到引用源。；

（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。都成立，（3）详见解析

（3）假设存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立，因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以只要错误！未找到引用源。

即只要满足 ①：错误！未找到引用源。，和②：错误！未找到引用源。，对于①只要错误！未找到引用源。就可以； 对于②，当错误！未找到引用源。为奇数时，满足错误！未找到引用源。，不成立，当错误！未找到引用源。为偶数时，满足错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。令错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。为偶数时，②式成立，即当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。成立.2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．

⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；

⑵ 设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；

⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。

要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立，只要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立，即使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。为正偶数恒成立，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，故实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。； ⑶由⑴得错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，因此数列错误！未找到引用源。的最大值为错误！未找到引用源。．

【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）的关键是分析得到错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的关系式．

3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列满足，且

． 的前项和为，满足，．数列（1）求数列（2）若和的通项公式；，数列的前项和为，对任意的，（，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使，请说明理由．

【答案】（1）（2））成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，两式相减得所以由（1）得因为对 即所以恒成立，都有，，恒成立，记所以因为从而数列于是，为递增数列，所以当．

（），使

成等差数列，则，时取最小值，（3）假设存在正整数即，若为偶数，则若为奇数，设于是当时，为奇数，而为偶数，上式不成立.，则，与

矛盾；，即，此时

4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．

（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；

（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

【答案】（1）错误！未找到引用源。；（2）存在，错误！未找到引用源。；（3）错误！未找到引用源。． 【解析】试题分析：

（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．（2）bn=2n．假设存在自然数m，满足条件，先求出错误！未找到引用源。，将问题转化成错误！未找到引用源。可求得错误！未找到引用源。的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。

试题解析：（1）由错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。． 又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，上式成立，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。是首项为2，公比为2的等比数列，故错误！未找到引用源。.（3）当错误！未找到引用源。为奇数时，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。； 当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.因此错误！未找到引用源。．

点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。

5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为常数．

（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．

（2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．

（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，两式相减得错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，综上，错误！未找到引用源。．

6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列的前项和分别为（1）若数列.分别满足，其中，设数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列①若数列②若数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列，使得，称数列为“坠点数列”.为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；

（2）求证： 错误！未找到引用源。；

（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）见解析（3）错误！未找到引用源。.（2）因为集合错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，所以对错误！未找到引用源。而言，存在错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。，又因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.（3）由（2）可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，再将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。即可获证错误！未找到引用源。；证明第三问时，充分借助（2）的结论可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。可得错误！未找到引用源。，因此构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，进而求出错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；

（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；

（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.【答案】（1）见解析（2）错误！未找到引用源。（3）见解析

解：（1）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，从而错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是等差数列.（2）因为的任意的错误！未找到引用源。都是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，所以错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，显然，错误！未找到引用源。满足条件，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。不是整数，综上所述，正整数错误！未找到引用源。的取值集合为错误！未找到引用源。.（3）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是公比大于错误！未找到引用源。，首项大于错误！未找到引用源。的等比数列，记公比为错误！未找到引用源。.以下证明： 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。为正整数，且错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。为减函数，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，综上，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2)cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列． 【答案】（1）cn＝1．（2）见解析.10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．

（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值；（2）若错误！未找到引用源。成等差数列，①求数列错误！未找到引用源。的通项公式； ②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。

（3）错误！未找到引用源。，在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，故有错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，