数列----利用函数证明数列不等式

第一篇：数列----利用函数证明数列不等式

数列已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2anS2Sn对一切正整数n都成立。（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a10，数列{lg大值。

2已知数列{an}的前n项和Sn

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列{

3在等差数列an中，a3a4a584,a973.（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）对任意mN*，将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm，求数列m2m10a1的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最an12nkn，kN*,且Sn的最大值为8.292an的前n项和Tn。n2bm的前m项和Sm.

第二篇：构造函数证明数列不等式

构造函数证明数列不等式 ln2ln3ln4ln3n5n6n3n(nN*).例1.求证：23436

ln2ln3lnn2n2n1例2.求证:(1)2,(n2)2(n1)23n

例3.求证:

例4.求证:(1

练习：

1求证:(112)(123)[1n(n1)]e

2.证明:

3.已知a11,an1(1

4.已知函数f(x)是在(0,)上处处可导的函数,若x2n311111ln(n1)1 23n12n111111)(1)(1)e和(1)(1)(12n)98132!3!n!e.ln2ln3ln4lnnn(n1)(nN*,n1)345n14112)a.ae证明.nnn2n2nf'(x)f(x)在x0上恒成立.(I)求证：函数g(x)

(II)当x1f(x)在(0,)上是增函数； x0,x20时,证明:f(x1)f(x2)f(x1x2)；(III)已知不等式ln(1x)x在x1且x0时恒成立。

5.已知函数f(x)xlnx.若a0,b0,证明:f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).

第三篇：构造函数证明数列不等式答案

构造函数证明数列不等式答案

例1.求证：

ln22ln33ln44

ln33

nn

3

n

5n66

(nN).*

解析:先构造函数有lnxx1lnx11,从而

x

x

ln22ln33ln44

ln33

nn

31（n





n)

因为





n

1123111111111

nnn

2134567892

n1

3n139933

23n13n

6691827

5n



6

n

所以

ln22



ln33



ln44



ln33

n

n

31

n

5n6

3

5n66

例2.求证:(1)2,ln22







ln33







lnnn







2n

n1

2(n1)

(n2)

解析:构造函数f(x)

lnxx,得到

lnnn







lnnn

2,再进行裂项

lnnn

1

1n

1

1n(n1),所以有

ln2,13

ln3ln2,…,13

n

1n

lnnln(n1),1n1

ln(n1)lnn,相

加后可以得到:



1n1

ln(n1)

另一方面SABDE

1n1



ni

1x,从而有

1ni

n

i



ni

1x

n

lnx|nilnnln(ni)取i1

有,lnnln(n1),12

1n

所以有ln(n1)1

,所以综上有





1n1

12!

ln(n1)1



1n

例11.求证:(1)(1

13!)(1

1n!)e和(1

19)(1

181)(1

2n)e.解析:构造函数后即可证明

例12.求证:(112)(123)[1n(n1)]e解析:ln[n(n1)1]2

3n(n1)1

2n3,叠加之后就可以得到答案

例13.证明:

ln23ln34ln45

lnnn1





n(n1)

(nN*,n1)

解析:构造函数f(x)ln(x1)(x1)1(x1),求导,可以得到:f'(x)

1x1

1

2xx1

'',令f(x)0有1x2,令f(x)0有x2,所以f(x)f(2)0,所以ln(x1)x2,令xn1有,lnn

lnnn1

n12

n1

所以

,所以

ln23



ln34



ln45



lnnn1



n(n1)

(nN*,n1)

例14.已知a11,an1(1

1n(n1)

1nn

n)an

n

.证明ane.12

n

解析: an1(1)an

(1

1n(n1)

)an,然后两边取自然对数,可以得

到lnan1ln(1

1n(n1)



n)lnan

然后运用ln(1x)x和裂项可以得到答案)放缩思路：

an1(1

1n

n



2n)anlnan1ln(1

1nn



n)lnanlnan

1nn



n

。于

是lnan1lnan

1nn



n，n1n1



i1

(lnai1lnai)



i1

1n1

1()

11111 2(2i)lnanlna112n2.1nn2ii2

1

即lnanlna12ane.注：题目所给条件ln(1x)x（x0）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论2

an1(1

1n(n1))an

1n(n1)

n

n(n1)(n2)来放缩：

an11(1

1n(n1))(an1)

ln(an11)ln(an1)ln(1

n1

n1

1n(n1)

1i(i1))

1n(n1)

.1n1，

[ln(ai11)ln(ai1)]

i2



i2

ln(an1)ln(a21)1

即ln(an1)1ln3an3e1e.例15.(2008年厦门市质检)已知函数f(x)是在(0,)上处处可导的函数,若xf'(x)f(x)

f(x)x

在x0上恒成立.(I)求证：函数g(x)在(0,)上是增函数；

(II)当x10,x20时,证明:f(x1)f(x2)f(x1x2)；(III)已知不等式ln(1x)x在x1且x0时恒成立，求证：

ln2

ln3

ln4

1(n1)

ln(n1)

n

2(n1)(n2)

(nN).*

解析:(I)g'(x)

f'(x)xf(x)

xf(x)x

0,所以函数g(x)

f(x)x

在(0,)上是增函数

(II)因为g(x)在(0,)上是增函数,所以

f(x1)x1



f(x1x2)x1x2

f(x1)

x1x1x2

f(x1x2)

f(x2)x2



f(x1x2)x1x2

f(x2)

x2x1x2

f(x1x2)

两式相加后可以得到f(x1)f(x2)f(x1x2)(3)

f(x1)x1



f(x1x2xn)x1x2xn

f(x1)

x1

x1x2xn

x2

x1x2xn

xn

x1x2xn

f(x1x2xn)

f(x2)x2f(xn)xn



f(x1x2xn)x1x2xnf(x1x2xn)x1x2xn

f(x2)

f(x1x2xn)……



f(xn)

f(x1x2xn)

相加后可以得到:

f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)所以

x1lnx1x2lnx2x3lnx3xnlnxn(x1x2xn)ln(x1x2xn)

令xn

11112222ln2ln3ln4ln(n1),有 222222

34(n1)(1n)

111

ln222

3(n1)2





11112222

34(n1)2

111

2232(n1)2



111ln(n1)n2132



111n



n12n22(n1)(n2)

所以

ln2

ln3

ln4

1(n1)

ln(n1)

n

2(n1)(n2)

(nN).*

(方法二)

ln(n1)(n1)



ln(n1)

(n1)(n2)



11

ln4

(n1)(n2)n1n2

1nln412

ln(n1)ln42

(n1)2n22(n2)1

ln4

所以

ln2

ln3

ln4

又ln41

1n1,所以1ln221ln321ln42

222

1(n1)

ln(n1)

n

2(n1)(n2)

(nN).*

例16.(2008年福州市质检)已知函数f(x)xlnx.若a0,b0,证明:f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).解析:设函数g(x)f(x)f(kx),f(x)xlnx,(k0)

g(x)xlnx(kx)ln(kx),0xk.g(x)lnx1ln(kx)1ln令g(x)0,则有

xkx

1

xkx,k2

xk.2xkkx

0

∴函数g(x)在[,k）上单调递增，在(0,k

k2

]上单调递减.kk

∴g(x)的最小值为g()，即总有g(x)g().22

而g()f()f(k

k

k

k2)kln

k2

k(lnkln2)f(k)kln2,g(x)f(k)kln2, 即f(x)f(kx)f(k)kln2.令xa,kxb,则kab.f(a)f(b)f(ab)(ab)ln2.f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).

第四篇：数列不等式的证明

数列和式不等式的证明策略

罗红波洪湖二中高三

（九）班周二第三节（11月13日）

数列和式不等式的证明经常在试卷压轴题中出现，在思维能力和方法上要求很高，难度很大，往往让人束手无策，其实，这类不等式的证明，是有一定的规律的，利用S1

n

a1q

来证明也能事半功倍，下面用几个例子来简述数列和式不等式的证明

S1

n

a1q

常用策略。

一、基础演练：

1、等比数列{an}，公比为q，则{an}的前n项和Sn为（）

na1(q1A．)

an

a1(1q)1(1qn)a

1q(q1)B.na1C.1qD.11q2、正项等比数列{an}，公比为q，0q1，{an}的前n项和Sn，以下说法正确的是（）A．S1n

a11qB.Sa11qC.Saa

nn1qD.Sn11q3、正项数列{a}，{a的前n项和Sa

nn}n，要证明S1n1q，其中0q1，可以去证明（）A．

an1qB.an1aqC.an1qD.a

n1aq nnanan

二、典例精讲：

例

1、等比数列{a1

n}，a11,q2，{an}的前n项和Sn，求证：Sn2

变式

1、正项等比数列{an}，{a1n}的前n项和Sn，a11,Sn2恒成立，求证：0q

2例

2、已知数列{an}，an1

2n

1，{an}的前n项和S5n，求证：Sn2(Sn3?)

aann变式

2、数列{n1n}，a3232n1，a11，{a3

n1n}的前n项和Sn，求证：Sn n

2例

3、（09四川理22）数列{an}的前n项和Sn，对任意正整数n，都有a4an

n5Sn1成立，记bn1a(nN).n

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)记c

nb2nb2n1(nN)，{c3

n}的前n项和Tn，求证：Tn

2变式

3、已知a1n

2，求证Sn(1)a1(1)2a2(1)nan1

(2)n

3三、小结

四、课后作业：

1、等比数列{a1

n}，a12,q

3，{an}的前n项和Sn，求证：Sn3

2、已知数列{an}，an

14n2，{an}的前n项和Sn，求证：S2

n

3

第五篇：利用定积分证明数列和型不等式

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数)

或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)

已知正整数，求证

.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造函数

数图象可知，在区间并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

1即，因为，所以.所以

.例2求证

.证明构造函数而函数

在，又，上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和

小于曲边梯形的面积，图

2即，所以

.例3证明。

证明构造函数知，在区间

上，因，又其函数是凹函数，由图3可

个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

3即

.所以

.二、型

例4若，求证:.证明不等式链的左边是通项为前

项之和，中间的的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前

列的通项不等式

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间

上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两

个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.图

4例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数

处的切线方程为的图象在点

.（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若；

在内恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（Ⅲ）不等式

列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和，则当的数时，此式适合，故只要证当

时，即，也就是要证

.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面

积，即

.图5

而

故原不等式成立.，所以，