分式不等式放缩、裂项、证明

第一篇：分式不等式放缩、裂项、证明

放缩法的常见技巧

（1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。使用放缩法的注意事项

（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

先介绍工具

柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）

均值不等式

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

绝对值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 常用放缩思想

这几个务必牢记

不常见不常用的不等式

这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂项部分

二项平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩

解析：

步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令t=1/（x+2）

第一步意义--开不了方的，开方，并且可取等号 第二步意义--开不了方的，开方，裂项，并且可取等号 个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简单，看似简单实则难

2.构造+三角形 ★★★★

平面内三点A、B、C，连接三点，令AB=c，AC=b，BC=a，求 解析：

构造，主要就是构造，b/c就是很明显的提示。三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

构造 ★★★★

为了方便观察，没有采用换元，直接写更清楚，这题应该是一直在向目标上凑得题目了

3.反证法典例 ★★

解析：

4.柯西不等式典例 ★★★

有些方法就是那么气人，神奇的气人

或者用三角函数也可以不过要用到三角恒等式： 令x+2y+3z=t则(t-3z)^2／√5≤√(5-z^2)即14z^2-6tz+t^2-25≤0△=-20t^2+1400≤0 所以tmax=√70

5.

第二篇：裂项放缩证明数列不等式

策略

一、裂项放缩证明数列不等式

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例1-

1、（全国I理-22压轴题）设数列an的前n项的和Sn项an；（Ⅱ）设Tn

2n

43an



2n

1

23，n1,2,3,（Ⅰ）求首项a1与通

n

Sn，n1,2,3,，证明：Ti

i1

例1-

2、（湖北理-17）已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)6x2，数列{an}的前n项



和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn

3anan

1，Tn是

数列{bn}的前n项和，求使得Tn

m20

对所有nN都成立的最小正整数m；

例1-

3、（重庆理-22压轴题）设数列{a}满足a12,an1an

n

1an

(n1,2,).（Ⅰ）证明a

n

2n1对一切正整数n

成立；（Ⅱ）令bn

ann

(n1,2,)，判定b与b

n

n

1的大小，并说明理由

例1-

4、已知nN*，求1

例1-

5、设an1

2a



3„

1n

＜2n



a



1n

a,a2.求证：an2.策略

二、均值不等式放缩证明不等式 例2-

1、设Sn

例3-

2、已知函数f(x)

例3-

3、已知a,b为正数，且ab

1

1223n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)

.4x

x

1

4求证：f(1)f(2)f(n)n

n1



.，试证：对每一个nN，(ab)n

ab2

nn2n

2

n1

.策略

三、调整分式值放缩证明数列不等式（尾式或局部放缩）

一个分式若分母不变分子变大则分式值变大，若分子不变分母变大则分式值变小；一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:

babmam

(ba0,m0)和

babmam

(ab0,m0)

例3-

1、（福建理-22压轴题）已知数列｛an｝满足a1=1,an1=2an+1(n∈N)（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足4b1明:

例3-

2、证明：(11)(13)(15)(12n1)

即证：135(2n1)

例3-

3、证明:(11)(1)(1)(1

713n

2)

－1 b2－2

4„

4bn－

1=(a

n

+1)bn(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;（Ⅲ）证

n2



3＜

a1a2



a2a3



anan1

＜

n2

(n∈N).*

2n1和(1



12)(11

14)(1

16)(1

12n)

12n1

2462n

2n1

和

135(2n1)2462n

2n1

3n1.例3-

4、已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜

例3-

5、求证:

13

1

1321



13

2n1

abc

＋＋＜2。bcacab

1



策略

四、单调性放缩证明不等式

例4-

1、（湖南理-19）已知函数f(x)xsinx,数列{an}满足:0a11,an1f(an),n1,2,3,.证明:（I）．0an1an1;（II）．an1

例4-2（辽宁理-21）已知函数f(x)ax

0a1

2,an1f(an),nN



an.32

x的最大值不大于

.16，又当x[

11,]42

时

f(x)

.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设，证明an

1n

1x1例4-

3、（北京理-19）数列xn由下列条件确定：

xn1a0，1a

xn,nN．（I）证明：对n2总有xn2xn

a；

(II)证明：对n2总有xnxn

1例4-

4、设Sn2

例4-

5、求证：(11)(1)(1)(1

12n

1)

2n1.23n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)2

.策略五：二项式放缩证明不等式

nn01nn01

2(11)CnCnCn,2CnCnn1,2CCC例5-

1、已知a11,an1(1

例5-

2、证明2(1

n

例5-

3、设n1,nN，求证(3)

n

0n1n2n

n

n2

212

n

.证明a

n

n(n1)(n2)

e

1nn)an

n

1n)3.n



8(n1)(n2)

策略六：递推放缩证明数列不等式

例6-

1、（全国高考）设数列a满足an1annan1nN，当a13时证明对所有n1, 有(i)ann2；

n

(ii)

11a

1

11a

2

11an



例6-

2、(重庆理-22压轴题)数列{an}满足a11且an1(1

1nn)an

2n

(n1).（Ⅰ）用数学归纳法证明：

an2(n2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1x)x对x0成立,证明:ane(n1)，其中无理数e2.71828

例6-

3、（湖北理-22压轴题）已知不等式

1213

1n12[log

n],nN,n2.[log



2n]表示不超过log2b,n3.n 的最大

整数。设正项数列{an}满足：a1b(b0),an

nan1nan

1,n2,nN，证明：an

2b[log

n]

例6-

4、（浙江理-20压轴题）已知函数f（x）=x3+x2，数列{xn}（xn＞0）的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：

*

曲线y=f（x）在（xn+！，f（xn+！））处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点直线平行（如图）。求证：当n∈N时

2（Ⅰ）xnxn3xn12xn1（Ⅱ）()

n

11n2

xn()

策略七：分项讨论放缩证明数列不等式

例

7、（2004年全国3理-22压轴题）（14分）已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n,n1.（1）写出数列an的前三项a1,a2,a3；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对任意的整数m4，有

策略八： 数学归纳法证明数列不等式

例8-

1、（江西理-21倒二题）（12分）已知数列{an}的各项都是正数（1）证明anan12,nN;（2）求数列{an}的通项公式an.例8-

2、（江西理-22压轴题）已知数列｛an｝满足：a1＝

1a4



1a5



1am



.,且满足:a01,an1

an,(4an),nN.，且an＝

n2，nN）（1）求数列｛an｝

2an－1＋n－1

3nan－1

的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2„„an2n！

第三篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

第四篇：放缩法证明不等式

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：

放缩法证明不等式

【教学目标】

1.了解放缩法的概念；理解用放缩法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用放缩法证明简单的不等式。

【重点、难点】

重点：放缩法证明不等式。

难点：放缩法证明不等式。

【学法指导】

1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；

2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

3.预习p18—p19,【自主探究】

1，放缩法：证明命题时，有时可以通过缩小（或）分式的分母（或），或通过放大（或缩小）被减式（或）来证明不等式，这种证明不

等式的方法称为放缩法。

2，放缩时常使用的方法：①舍去或加上一些项，即多项式加上一些正的值，多项式的值变大，或多项式减上一些正的值，多项式的值变小。如t22t2,t22t2等。

②将分子或分母放大（或缩小）：分母变大，分式值减小，分母变小，分

式值增大。

如当(kN,k1)1111，22kkk(k1)k(k1)，③利用平均值不等式，④利用函数单调性放缩。

【合作探究】

证明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放缩法证明不等式:loga

(a1)1111...2(nN)2222123nloga(a1)1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求证

xyz

（4）已知n

N，求证：1

【巩固提高】

已知a,b,c,d都是正数，s

【能力提升】

求证: ...abcd求证:1

1aba

1ab

1b

本节小结：

第五篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

在学习不等式时，放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在。现例析如下，供大家讨论。例1：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc≥3 bcacababc证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则bca≤cab≤abc

且2cab≤0，2abc≥0

∴

 ∴abcabc3111

bcacababcbcacababc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥0

bcacababccabcabcababc≥3 bcacababc2bac无法放缩。所以在运用放

cab[评析]：本题中为什么要将bca与abc都放缩为cab呢？这是因为2cab≤0，2abc≥0，而2bac无法判断符号，因此缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。

例2：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc(bc)2(ca)2(ab)2≥ bccaab1 [(ab)2(bc)2(ca)2]

3证明：由不等式的对称性，不防设a≥b≥c，则3abc0,3bca≥bccca

bca0

左式－右式3abc3bca3cab(bc)2(ca)2(ab)2 bcacab3bca3cab(ca)2(ab)2 abab2(bca)3bca3cab(ab)2(ab)2(ab)2≥0 ababab ≥ ≥[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例

1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。

例3：设a、b、cR且abc1求证

111≤1 1ab1bc1ca证明：设ax3,by3,cz3.且 x、y、zR.由题意得：xyz1。

∴1abxyzx3y3

∴x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)≥0 ∴x3y3≥x2yxy2

∴1abxyzx3y3≥xyzxy(xy)xy(xyz)

∴

1z1≤

xy(xyz)xyz1abyx11≤，≤ ∴命题得证.xyzxyz1bc1ca同理：由对称性可得[评析]：本题运用了排序不等式进行放缩，后用对称性。

39例4：设a、b、c≥0，且abc3，求证a2b2c2abc≥

22证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1又∵(44。∴a0。33ab23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。2223833∴左边(abc)22(abbcca)abc

23434 92a(bc)bc(a)≥92a(3a)(3a)2(a)

2383

3416339(3a)[(3a)(a)a]9(3a)[a2a4]9(a32a2a12)8338899393a(a22a1)a(a1)2≥

2282893 ∴a2b2c2abc≥

22[评析]：本题运用对称性确定符号，在使用基本不等式可以避开讨论。

例5：设a、b、cR，pR，求证：

abc(apbpcp)≥ap2(abc)bp2(abc)cp2(abc)

证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是

左边－右边ap1(bca2abca)bp1(cab2bcab)cp1(abc2cabc)

ap1(ab)[(ab)(bc)]bp1(ab)(bc)cp1[(ab)(bc)](bc)ap1(ab)2(ab)(bc)(ap1bp1cp1(bc)2

≥(ab)(bc)(ap1bp1cp1)如果p1≥0，那么ap1bp1≥0；如果p1＜0，那么cp1bp1≥0，故有(ab)(bc)(ap1bp1cp1)≥0，从而原不等式得证.例6：设0≤a≤b≤c≤1，求证：

abc(1a)(1b)(1c)≤1

bc1ca1ab1abcabc≤，再证明以 bc1ca1ab1ab1证明：设0≤a≤b≤c≤1，于是有下简单不等式

abcab1c1(1a)(1b)(1c)≤1，因为左边(1a)(1b)(1c)

ab1ab1ab1

11c[1(1ab)(1a)(1b)]，再注意(1ab)(1a)(1b)≤(1abab)

ab1(1a)(1b)(1a)(1b)(1a)(1b)(1a2)(1b2)≤1得证.在用放缩法证明不等式A≤B，我们找一个(或多个)中间量C作比较，即若能断定A ≤C与C≤B同时成立，那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。