例谈分式不等式的证明

第一篇：例谈分式不等式的证明

例谈分式不等式的证明

邓超（福建省福州市第十八中学350001）

不等式的证明是高中数学教学的一个难点，我们遇到的大多数不等式都是以分式不等式的形式出现的，这就更令人头疼。事实上，分式不等式的证明还是有一定规律可寻的，下文将做一简单介绍。

一、利用证明不等式的常用方法

对于一些不太复杂的分式不等式，直接采用分析法、综合法、比较法等常用的不等式证明方法即可。

1111。12a12b12c

111证明：要证原式只要证()(12a)(12b)(12c)(12a)(12b)(12c)，12a12b12c例

1、设a,b,cR，且abc1，求证：

即证：(12b)(12c)(12a)(12c)(12a)(12b)(12a)(12b)(12c)，即证（展开整理）：abc3（其中使用了abc1），而由均值不等式得abc3，故原不等式成立。

例

2、（数学教学问题788）已知a,b,cR，且abc1，求证： 

abc9 abcbcacab

4证明：注意到：abc1bcbc(1b)(1c)，bca1acac(1c)(1a)cab1abab(1，故原不等式可化为： )a(1b)

a(1b)(1c)b(1c)(a1c9)a(1b)(1)4

aa2bb2cc29，要证此式只要证（通分即可）：(1a)(1b)(1c)4

1a2b2c29（其中使用了abc1）即证：，(1a)(1b)(1c)4

只要证：4(1abc)9(1a)(1b)(1c)，（(1a)(1b)(1c)0）

即证（展开整理）：acbcca9abc0

（此处用到(abc)ab+c2ab2bc2ca和abc1），只要证

2222222111，9（上式同除abc）abc

事实上，由柯西不等式得：

11111

1()(abc)9，故原不等式成立。abcabc

注：此不等式的证明采用了分析法，没用太多的技巧，关键的一步是能够看出原不等式可化为（1）

式，这将大大简化计算；否则要证明一个6次的不等式，这将大大增加计算。

二、利用重要不等式

1、利用排序不等式

分式不等式中有不少是对称的（即各个未知元的地位平等），因此我们往往可以利用“不妨设”创造出排序不等式所需的条件，然后利用这一重要不等式给出证明，如例3。当然并不是说排序不等式只能证明对称不等式，这在例4中将会看到。

例

3、（数学通报问题1651）设x、y、z是正数，nN，求证：



xyz

3。

nxyzxnyzxynzn

2证明：因为此不等式是对称的，故不妨设xyz，则nxyzxnyzxynz，所以

1。至此条件创造完毕，可以利用排序不等式了。

xynzxnyznxyz

xyzyzx

（反序和小等于乱序

nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz

因为

和）（1）

xyzzxy

（反序和小等于乱序和）

nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz

（2）所以(n2）（xyz

）

nxyzxnyzxynz

=（n

xyzxyz

）+2（）

nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz

nxnynzyzx

）+（）

nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz

zxynxyznyzxnzxy+()=3nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz（故原不等式成立。

注：此题供题者所给的证明采用了换元的方法，有兴趣的读者可参见数学通报2007年第2期。当n0时，不等号应反向，即有同的特例。

xyz3

，请读者自证。另外，当n取不同值时可得到不yzxzxy2

222

anana12a21

a1a2an。例

4、设ai（1in）是正数，求证：

a2a3ana

1证明：将ai（1in）重小到大排列，设

aj1aj2aj3ajn1ajn

成立

11111（1jin,jiN，ji各不相同），则

ajnajn1aj3aj2aj1

可以利用排序不等式了。

222222

2aaaaanaa12a2jjnjj1nn112

所以

a2a3ana1aj1aj2ajn1ajn

。至此条件创造完毕，（乱序和大等于反序和），又因为

a2j1aj1



a2j2aj2



a2jn1ajn1



a2jnajn

aj1aj2ajn1ajna1a2an，故原不等式成立。

注：此题亦可用柯西不等式和均值不等式证明，请读者参考下面的例子。

2、利用柯西不等式 对于分式不等式

x

i1n

n

i

A，可在不等式左边乘上一个因式xi'2，这里要保证xixi'为整式，i

12n

'

2n

然后利用柯西不等式

xx

ii1

i1

i

(xixi')2给出证明。

i1

n

例

5、（24届全苏数学奥林匹克试题）设ai（1in）是正数，且有

a

i

1n

i

1，求证：

an2a12a221

。

a1a2a2a3ana1

2证明：利用柯西不等式得：

an2a12a22()[(2(a1a2an)] a1a2a2a3ana1

an2a12a22()[(a1a2)(a2a3)(ana1)]

a1a2a2a3ana1

222

22

2] =2

(a1a2an)21

an2a12a221

。所以

a1a2a2a3ana12

例

6、（2009年全国高中数学联赛福建赛区预赛）设a、b、c是三个正数，满足abc3，求证：

a1b1c

12。

a(a2)b(b2)c(c2)

证明：由柯西不等式得[

a1b1c1a(a2)b(b2)c(c2)

][]9，a(a2)b(b2)c(c2)a1b1c1

即[

a1b1c1111][abc3]9，a(a2)b(b2)c(c2)a1b1c1

a1b1c19，

a(a2)b(b2)c(c2)abc3111

a1b1c1

1119

故要证原不等式只要证明上式右边2，即证abc3，a1b1c1

21113即证abc。

a1b1c12

3因为abc3，故要证上式只要证：

a1b1c12

而事实上，由柯西不等式得：()(a1b1c1)9，a1b1c1

111993故()（abc3）

a1b1c1a1b1c1332

亦即

故原不等式成立。

注：原赛题由题（1）和题（2）两小题构成，此题是题（2）。在参考答案的证明中，题（2）的证明要用到题（1）的结论。本例要求直接证明题（2），从而增加了难度。本例的证明同时使用了分析法和柯西不等式，且用了两次柯西不等式，具有一定难度。

3、利用均值不等式 对于分式不等式

x

i

1n

i

A，可考虑添加xi'和xi配成一对，然后利用均值不等式xixi''

得到n

个不等式（一般来说要保证，然后将这n个不等式相加，消去添加的各项xi，最后得到证明。

a2b2c2abc

例

7、（第二届友谊杯国际数学邀请赛）已知a、b、c为正数。

bccaab2a2bca，证明：由均值不等式可得：

bc

4b2cac2ab

b，c，同理有：

ca4ab4a2bcb2cac2ab

将以上三式相加即可得：abc，bc4ca4ab4

整理后即可得结论。

注：此不等式的证明简洁，其中所用的添项技巧也是运用均值不等式的常见技巧之一。另外，用此法证明例5就要用到该技巧。

三、利用某些技巧

1、构造对偶式

例

8、利用构造对偶式这一技巧给出例5的另一个证明。

an2a12a2

2证明：设M，a1a2a2a3ana

1a32an2a22

N（对偶式），a1a2a2a3ana1

a32an2a12a22a22a12

)()()因为MN（a1a2a1a2a2a3a2a3ana1ana1

(ana1)0，所以MN。=(a1a2)(a2a3)

an2a12a12a22a22a32

所以2MMN

a1a2a2a3ana1

(a1a2)(a2a3)(ana1)a1a2an1（这里利用了不等式 222a2b21

(ab)），ab2

所以M，原不等式成立。2

注：利用对偶式这一技巧可以简洁的证明许多形式上很复杂的不等式，这里列举一例供读者思考：如

a3b3c3abc

果a、b、c是正数，证明：2。更多的构造对偶

aabb2b2bcc2c2caa2

3式证明不等式的例子请参见文[1]。

2、引入参数

例

9、设x、y、z0，且xyz

11。4z15

分析：此不等式是对称不等式，可考虑构造一个和为的表达式，故引入参数，尝试证明：5

1x，且。5

证明：引入参数

x。当x0时，有

x(0,1]都

成立。故要求的值，(0,1]上的最小值即可。

在(0,1]上的最小值为（此时x1），故当

时，有5x(0,1]），此时

同时有

11x（x[0,1]）x。

。取

y和z，将以上三式相加即可得结论。

54z15

注：本例引入的参数是作为项的系数引入的。另外，参数还可作为幂指数引入，作为直线斜率引入等，具体的例子可参见文[2]。

本文考虑了分式不等式的证明，对不太复杂的分式不等式的证明不应忘记采用最常用的分析法和综合法等方法进行；其次可考虑利用高中数学教科书中出现的三个重要不等式证明；在上述方法证明无效的情况下，可考虑采用一些技巧进行证明。由于分式不等式的证明方法灵活多样，故对其证明不应拘泥于上述思路和方法，但对于常见的分式不等式，上述方法是够用的。

参考文献：

[1]杨华.构造配对式，证明不等式[J].中等数学，2005（3），10～13 [2]程东军.巧引参数，证明不等式[J].中等数学，2007（9），5～8

第二篇：分式不等式放缩、裂项、证明

放缩法的常见技巧

（1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。使用放缩法的注意事项

（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

先介绍工具

柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）

均值不等式

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

绝对值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 常用放缩思想

这几个务必牢记

不常见不常用的不等式

这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂项部分

二项平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩

解析：

步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令t=1/（x+2）

第一步意义--开不了方的，开方，并且可取等号 第二步意义--开不了方的，开方，裂项，并且可取等号 个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简单，看似简单实则难

2.构造+三角形 ★★★★

平面内三点A、B、C，连接三点，令AB=c，AC=b，BC=a，求 解析：

构造，主要就是构造，b/c就是很明显的提示。三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

构造 ★★★★

为了方便观察，没有采用换元，直接写更清楚，这题应该是一直在向目标上凑得题目了

3.反证法典例 ★★

解析：

4.柯西不等式典例 ★★★

有些方法就是那么气人，神奇的气人

或者用三角函数也可以不过要用到三角恒等式： 令x+2y+3z=t则(t-3z)^2／√5≤√(5-z^2)即14z^2-6tz+t^2-25≤0△=-20t^2+1400≤0 所以tmax=√70

5.

第三篇：不等式和分式应用题

1、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。

2、有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入

0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则应该如何安排人员？

3、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km

后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租 汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?

4、在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个

人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:

那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载)

5、(2001安徽)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为

600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

7、某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg

以上（含3000kg）的顾客采用两种销售方案。

甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元。

（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y（元）与所购买的水果量x（kg）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由

8、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、•乙两种机器

供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．

（1）按该公司要求可以有几种购买方案？

（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应

选择哪种方案？

9、水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了

尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？

10、“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有

6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？

11、阳光中学校长准备在暑假带领该校的“市级三好生”去青岛旅游，甲旅行社说“如果

校长买全票一张，则其余学生享受半价优惠.”乙旅行社说“包括校长在内，全体人员均按全票的6折优惠”.若到青岛的全票为1000元.（1）设学生人数为x人，甲旅行社收费为y 甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出

两家旅行社的收费表达式.（2）就学生人数x，讨论哪家旅行社更优惠？

12、某用煤单位有煤m吨，每天烧煤n吨，现已知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后

余煤72吨.(1)求该单位余煤量y吨与烧煤天数x之间的函数解析式；(2)当烧煤12天后，还余煤多少吨？(3)预计多少天后会把煤烧完？

13、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。

14、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

15、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

16、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

17、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。

18、某甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？

19、某甲有钱400元，某乙有钱150元，若乙将一部分钱给甲，此时乙的钱是甲的钱的10%，问乙应把多少钱给甲？

20、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。

21、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

22、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？

23、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。

24、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

25、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。

26、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有

多少人？

27、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，如果设乙单独x小时可以完成后一半任务，那么x应满足的方程是什么？

28、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？

29、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？

30、某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格。

31、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？

32、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。

33、某商品每件售价15元，可获利25%，求这种商品的成本价。

34、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？

35、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度

36、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？

第四篇：分式不等式教案

2.3分式不等式的解法

上海市虹口高级中学

韩玺

一、教学内容分析

简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握.二、教学目标设计

1、掌握简单的分式不等式的解法.2、体会化归、等价转换的数学思想方法.三、教学重点及难点

重点 简单的分式不等式的解法.难点 不等式的同解变形.四、教学过程设计

一、分式不等式的解法

1、引入

某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍.设楼梯的长度为s，甲的速度为v，自动扶梯的运行速度为v0.于是甲上楼所需时间为

s，乙上楼所需时间为vsvv02.由题意，得ss.vvv02整理的12.v2v0v

由于此处速度为正值，因此上式可化为2v0v2v，即v2v0.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍.2、分式不等式的解法 例1 解不等式：x12.3x2 1

解：（化分式不等式为一元一次不等式组）

5x1x1x1x12200 03x23x23x23x2x1x1x10x102x1或x不或或2233x203x20xx33存在.所以，原不等式的解集为22,1，即解集为,1.33注意到

x103x2x103x20或x103x2x10，可以简化上述解法.3x20另解：（利用两数的商与积同号（为一元二次不等式）

aa0ab0，0ab0）化bb5x1x1x1x12200 03x23x23x23x23x2x1022x1，所以，原不等式的解集为,1.33由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：

（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分为两类：

fx（1）； 0（0）fxgx0（0）gx（2）

fxfxgx00.0（0）gxgx0 2

[说明]

解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要.例2 解下列不等式

x10.x523.（2）35xx82.（3）2x2x3x10x1x501x5，解（1）原不等式x5（1）所以，原不等式的解集为1,5.（2）原不等式215x715x73000 35x35x5x315x75x305x3037x155x3573x，155所以，原不等式的解集为73,1552.2（3）分母：x2x3x1110，则

原不2等式x822xxx23x4x 2x226x2或x1,2,.21，所以，原不等式的解集为2 3

例3 当m为何值时，关于x的不等式mx13x2的解是（1）正数？

（2）是负数？

解：mx13x2 m3xm6（*）当m3时，（*）0x9x不存在.当m3时，（*）x（1）原

m6.m3方

程的解

为

正

数x（m60(mm3）原

方

m6程

)m6或m3.的解

为

负

数2xm60(mm3m6)6m3.所以，当m,63,时，原方程的解为正数.当m6,3时，原方程的解为负数.四、作业布置

选用练习2.3（1）（2）、习题2.3中的部分练习.五、课后反思

解分式不等式关键在于同解变形.通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决，这种通过等价变形变“未知”为“已知”的解决问题的方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调.整个教学内容需让学生共同参与，特别是在“同解变形”这一点上，应在学生思考、讨论的基础上教师、学生共同进行归纳小结.

第五篇：例谈运用构造法证明不等式

例谈运用构造法证明不等式

湖北省天门中学薛德斌

在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到

切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数

学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。下面通过举例加以说明。

一、构造向量证明不等式

例1：证明7x2(9x2)9，并指出等号成立的条件。简析与证明：不等式左边可看成7与 x 和2与9x2两两乘积的和，从而联想

到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(,2)与b=(x,又a·b ≤|a|·|b|，所以7x9x2)的数量积，2(9x2)(7)2(2)2x2(9x2)9当且仅当b=λa(λ>0)时等号成立，故由

时，等号成立。x79x22x=,λ=1，即 x =70得：（1－y)(xy3)(2xy6)例2：求证：2221 6

简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看

成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,为使 a·b为常数，根据待定系数

法又可构造b=(1 , 2，-1)

222于是|a|·|b|=(1y)(xy3)(2xy6)6

（1－y)·1＋(xy3)·2(2xy6（）·1）－1 a·b＝

222所以(1y)(xy3)(2xy6)61（1－y)(xy3)(2xy6)即

二、构造复数证明不等式

22例

3、xy2221 6x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)22

2简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1=

x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x +y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到

Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1z2z3z4可得

x2y2x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)2222222

此题也可构造向量来证明。

三、构造几何图形证明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：a2abb2b2bcc2

且仅当a2acc2当111时取等号。bac

简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形：

作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如图（1）

则∠AOC＝120°，AB=a2abb2，BC=b

2bcc2,AC=a2acc2由几何知识可知：AB＋BC≥AC

∴a2abb2+b2bcc2≥a2acc2

当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有

111absin60bcsin60acsin120，即22

2ab+bc=ac

故当且仅当111时取等号。bac图（1）

四、构造椭圆证明不等式

例5：求证：42 49x22x3

3简析与证明：49x2的结构特点，使我们联

想到椭圆方程及数形结合思想。

于是令 y49x2(y0)，则其图象是椭

x2y

21圆4的上半部分，设y-2x=m，于是只需

49证42m, 因 m为直线y=2x＋m在y轴上33图（2）的截距，由图（2）可知：当直线 y = 2 x＋m 过点（直线y =2x＋m与椭圆上半部分相切时，m有最大值。

由 24，0）时，m有最小值为m=；当33y2xm

229xy4 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0

令△= 4（52－9m2）=0 得：m22或m－（33

即m的最大值为424222，故m，即49x2x 33333

五、构造方程证明不等式

例6：设 a1、a2、…an 为任意正数，证明对任意正整数n

不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立

简析与证明：原不等式即为 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）

因方程左边＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

当a1、a2、…an不全相等时，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。

当a1＝a2＝…＝an 时，方程（＊）有唯一解 x＝1 a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)对任意正整数n均成立

六、构造数列证明不等式

2例7：求证：Cn1+Cn2+…+Cnn >n·

n n-1212n

简析与证明：不等式左边即为 2－1=从而联想到等比数列的求和公式，于是左1

2边=1+2+2+…+ 2 2n－1112=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n1=n·22n-12

例8：设任意实数a、b均满足| a | < 1，| b | < 1 求证：112 221ab1a1b

简析与证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（| q | < 1）各项和公式S＝a1112424，则：=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221a1b1q1ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

七、构造函数证明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求证：ab＋bc＋ca＞－

1简析与证明：原不等式即为：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

将a看作自变量，于是问题转化为只须证：当－1＜a＜1时，（b＋c）a＋bc＋1恒为正数。因而可构造函数 f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)

若b + c = 0原不等式显然成立。

若b + c ≠0，则f(a)是a的一次函数，f(a)在（－1,1）上为单调函数

而 f(-1)=－ b －c+ bc +1＝（1－b）（1－c）＞0

f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1

此题还可由题设构造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0

两式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、构造对偶式证明不等式

例10：对任意自然数n，求证：(1+1)(1+

简析与证明：设an =(1+1)(1+

构造对偶式：bn = 11)…(1+)> 43n23n1 112583n43n1)…(1+)= ··…·43n21473n53n23693n33n47103n23n1··…，cn = ·… 2583n43n13693n33n1111111，1 3n23n13n23n

即an > bn，an > cn

3∴an> an bn cn

∴an> 11)> n1 3n1，即：(1+1)(1+)…(1+43n2

小结：从以上几例还可以看出：（1）构造法不仅是证明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函数值域或最值的重要思想方法。（2）运用构造法解题，必须对基础知识掌握的非常熟练，必须有丰富的联想和敢于创新的精神。（3）不时机地运用构造法，定能激发和培养学生的探索精神与创新能力。

（本文于2004年在《高中数学教与学》第10期上发表）