比较法证明不等式 高中数学选修2-3

第一篇：比较法证明不等式 高中数学选修2-3

1.1&1.2比较法证明不等式

陈娇

【教学目标】

1.知识与技能

掌握两个实数的大小与它们的差值的等价关系以及理解并掌握比较法的一般步骤。

2.过程与方法

掌握运用比较法证明一些简单的不等式的方法；理解、掌握不等式基本性质的导出过程，并能运用性质证明一些简单的不等式。

3.情感态度与价值观

通过数轴比较两个实数的大小关系，体会数形结合的思想；掌握数学研究的基本方法。

【教材分析】

教学重点：理解并掌握作差比较法证明不等式；

教学难点：求差后对“差式”进行适当变形，并判断其符号。

【教学过程】

第二篇：比较法证明不等式

比较法证明不等式

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-

4下面这个方法算不算“比较法”啊?

作差M=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

构造函数M=f(c)=(a+b)c+ab+4

这是关于c的一次函数(或常函数)，在cOM坐标系内，其图象是直线，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因为a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因为a>-2,b>-2)

所以函数f(c)在c∈(-2,2)上总有f(c)>0

即M>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)²≥0

(2y-1)²≥0

x²-2x+1≥0

4y²-4x+1≥0

x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

x²+4y²+2≥2x+4x

除了比较法还有：

求出中间函数的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x为R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原题得到证明

比较法：

①作差比较，要点是：作差——变形——判断。

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

根据a-b>0a>b，欲证a>b只需证a-b>0;

②作商比较，要点是：作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

当b>0时，a>b>1。

比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)

综合法是从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法。

第三篇：4.1 比较法证明不等式

§4 不等式的证明

4．1 比较法证明不等式

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：选D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小关系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：选D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝2

411P＝>0，a＋a＋123a＋1＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，则()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：选B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，则＝<0，a＋1b＋1a＋1b＋1

11∴a＋1b＋1

an4．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．与n的取值有关

an＋1an解析：选B.an＋1－an＝－ bn＋1＋1bn＋1

a＝，bn＋b＋1bn＋1

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．设x2，y73，z＝6－2，则x，y，z的大小关系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：选D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不确定

解析：选B.∵{an}为等比数列设公比为q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}为等差数列，设公差为d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．设a，b，m均为正数，且，则a与b的大小关系是________． aa＋m

b＋mbma－b解析：>0，a＋maaa＋m

又a，b，m为正数．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，则________1.Bxx－3

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.xx－3

又因为B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．设n∈N，n>1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系是________．

logn＋1n＋2解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n lognn＋1

logn＋1n＋2＋logn＋1n2≤2

logn＋1n2＋2n2＝2

logn＋1n＋122<2＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正数，x、y∈R，且a＋b＝1.求证：ax2＋by2≥(ax＋by)2.证明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，证明：aabbcc≥(abc.3解析：因为f(x)＝

证明：＋＋＝abc3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在题中的地位相当(全对称性)，a－ba不妨设a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c从而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得证．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.abc3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋证明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

当a>b时，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

当a0；

当a＝b时，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.综上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

第四篇：§2.5.1不等式的证明 比较法

高一数学【学案】第二章《不等式—*不等式的证明》

§*2.5.1不等式的证明（1）—比较法

掌握用比较法证明简单不等式

.问1什么是比较法？如何运用比较法证明不等式？

例1（P47例1）比较x2与2x2的大小.例2（人教B版选修4-5P19例2）

已知：b，m1，m2都是正数，ab，m1m2，求证：

am1am2.bm1bm

2例3已知：f(x)x3，若x1,x2R，且x1x2，求证：f(x1)f(x2).8-

高一数学【学案】第二章《不等式—*不等式的证明》 例4设a、bR

例5设a、bR，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)（nN*）.x21n例6设函数f(x)2，求证：对任意不小于3的自然数都有f(n).x1n1

1.比较3x和2x1的大小.2.比较(acbd)和(ab)(cd)的大小.3.用比较法证明：abcabbcac.222222222

a2b2

ab.4.已知a，b为正数，用比较证明：ba

5.设a，b，c为不全相等的正数，用比较法证明：

2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).6.已知xyz1，用比较证明：xyz

2221.3-89-

第五篇：g3.1038 不等式的证明—比较法

g3.1038 不等式的证明—比较法

一、基本知识

1、求差法：a＞b a－b＞0

a2、求商法：a＞b＞01并且b0 b3、用到的一些特殊结论：同向不等式可以相加（正数可以相乘）；异向不等式可以相减；

4、分析法——执果索因；模式：“欲证„，只需证„”；

5、综合法——由因导果；模式：根据不等式性质等，演绎推理

6、分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.二、基本训练

1、已知下列不等式:

(1)x232x(xR)(2)a5b5a3b2a2b3(a,bR)(3)a2b22(ab1)其中正确的个数为 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„()

(A)0(B)1(C)2(D)32、1＞a＞b＞0，那么„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

abab(A)a＞＞ab＞b(B)b＞＞ab＞a2

2abab(C)a＞＞b＞ab(D)＞ab＞a＞b 22



3、如果－＜b＜a＜，则b－a的取值范围是„„„„„„„„„（）2

2(A)－＜b－a＜0(B)－＜b－a＜(C)－＜b－a＜0(D)－＜b－a＜222

4a4、已知a2,那么（填“>”或者“<”）4a

2a5、若a1，0b1，则logb

alogb的范围是_____________

6、若abc1，则a2b2c2的最小值为_____________

三、例题分析：

例

1、求证：若a、b>0,n>1,则anbnan1babn

1例

2、已知：a、b



例

3、a、b、c、d、m、n全是正数，比较p=abcdq=manc

例

4、比较aabb与baab(0ab)的大小。变题：求证：ab(ab)

例

5、a∈R，函数f(x)a2 x21abab2bd的大小.mn(a0,b0)

(1)判断此函数的单调性。

n2(2)F(n)=,当函数f(x)ax为奇函数时，比较f(n),F(n)的大小.n12

1例

6、设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x0的两个根x1、x2满足0x1x21。a

（1）当x(0,x1)时，证明：xf(x)x

1（2）设函数f(x)的图象关于直线xx0对称，证明：x0

四、同步练习：g3.1038 不等式的证明—比较法

1、不等式：⑴x3＋3>2x；⑵a5＋b5

(A)⑴、⑵(B)⑴、⑶(C)⑶、⑷(D)⑴、⑵、⑶、⑷

2、对xR都成立的不等式是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„()

(A)lg(x21)lg2x(B)x212x(C)

3、0＜a＜1，F=2a，G=1a，H=12(D)x44x12x11，那么F、G、H中最小的是„„„（）1a

(A)F(B)G(C)H(D)不能确定

4、a>b>0，则下列不等式恒成立的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

b21b22abb11(A)2(C)ab(D)aa>bb (B)2a2baaba1a5、x>100，那么lg2x,lgx2,lglgx从大到小的顺序为.7(2x2y)

6、若x、y满足yx2，则式log2的符号是________。8227、a＞0，b＞0，a＋b=1，比较M=x＋y与N=(ax＋by)2＋(bx＋ay)2的大小.8、比较xn1yn1与xnyxyn(nN,x,yR)大小

9、已知△ABC的外接圆半径R=1，SABC

t111。求证：ts abc1，令sac，b、a、c是三角形的三边，4a2b2ab2()

10、设a、b为实数，求证：

4211、已知正数a、b、c满足ab2c，求证：

（1）c2ab

（2）cc2abacc2ab

答案：DDAD5、lg2x>lgx2>lglgx6、“+”、MN.8、xn1yn1xnyxyn