比较法、分析法、综合法、换元法证明不等式大全

第一篇：比较法、分析法、综合法、换元法证明不等式大全

2a b 11ab

2a2 b22ab a2 b1(ab)2

22 2ab整式形

式 ab2 22ab ab2  a bab2 根式形式22 ba2(ab) b a分式形2(a,b同号） ab1 0a2aa 倒数形式1 a0a2a

1.比较法、分析法、换元法

一.比较法（作差比较或作商比较）

1）作差比较法：要证不等式abab，只需证ab0ab0即可。其步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论。

2）作商比较法：若b0，要证不等式ab，只需证

作商、变形、判断与1的大小、得出结论。

222222例1.设abc，求证：bccaabbccaab aa1，欲证ab，需证1。其步骤为：bb

22例2（1）证明不等式ababab

1abba（2）若a>b>0，求证：abab

ba

2abb（3）若a>b>0，求证：a

二.分析法

a3b3ab3()22例2已知a>0，b>0，求证：

2222证法二由(ab)0，得a2abb0，aabbab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(ab)(aabb)ab(ab)，33223322∴ababab，3a3b3ab3ab 22

∴4a4ba3ab3abb(ab)，333223

3a3b3(ab)3

28∴，a3b3ab3()22∴。

2ab练习．1.已知ab0，求证：8aab abab28b2

2.求证

a2b2aa

均值不等式

例3已知a、b、cR，且a+b+c=1。

111(1)(1)(1)8bc求证：（1）a

（2）abc

例4设a、b、c、dR，令sabcdadbbcacdbdac，求证：1

114例5已知a>b>c，求证：abbcac

2.均值换元法：

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。例2.已知a，bR且ab1，求证：a2b2

2225 2

例3.设a，b，c为三角形三边，求证：

4.增量换元法： abc3 bcaacbabc

例4.已知a2，b2，求证：abab

第二篇：不等式的证明——比较法、综合法、分析法

不等式的证明—比较法，综合法，分析法 典型问题:

（一）比较法证明不等式

amamam1,求证:1.已知a,b,m,nR,且bnbn bn

2.a,b,m,nR

3.ab,求证：abmnbmn1a2abab1b2mnnm 21a20,求证:()21b2()a

3322ab0ababab4.已知，求证：

（二）综合法证明不等式

a,b,cR1.设,3332222222(abc)abacbabccacb6abc.求证:

a,b,cR2.已知,且abc1,求证: 1119(1)abc

12418(2)abc

1b)(1c)(3)(1a)(8abc111(1)(1)(1)8(4)abc

（三）分析法证明不等式

1.证明：3222722x3y3已知x0，y0xy2.ab0abab 3.设,求证:

4.若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证:logaclogbc4lgc

41ab.5.已知a0,b0,ab,且abab，求证：33322

6.实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,求证:

a,bR,2cab,求证: 7.已知bac3a.2

(1)cab cabaccab.2(2)c2222（ab）ab（ab）ab8.已知a0，b0，ab 8a28b9.已知a,b,cR,且ab+bc+ca=1,abc3(abc)求证:bcacab

第三篇：5高三第一轮复习——比较法、分析法、综合法、换元法证明不等式

高三第一轮复习——比较法、分析法、综合法与换元法证明不等式

1.比较法、分析法、综合法证明不等式

“比较法”、“分析法”、“综合法”是不等式的证明最基本的三种方法，是高考考查的重要思维方法，虽然证明不等式的方法灵活多样，但都是围绕这三种基本方法展开。

一.比较法（作差比较或作商比较）

1）作差比较法：要证不等式abab，只需证ab0ab0即可。其步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论。

2）作商比较法：若b0，要证不等式ab，只需证

作商、变形、判断与1的大小、得出结论。

222222例1.设abc，求证：bccaabbccaab aa1，欲证ab，需证1。其步骤为：bb

证：bc2ca2ab2b2cc2aa2bcba2b2c2abc2b2c 

cb[a2bcabc] cbabac

abc,cb0,ab0,ac0，故cbabac0，即bccaabbccaab 22222

2【评注】用比较法证明不等式的关键是变形，变形的目的为了第三步判断服务，作差变形的方向主要是因式分解和配方。作商比较法在证明幂、指数不等式中经常用到，同时应注意作商法时除式的正负。

二.分析法

从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判断这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件已具备，那么就可以断定所证不等式成立。

2ab例2．已知ab0，求证：8aab abab28b

222ab证：要证8aab abab28b

2ab只需证8aab

222ab，8b

ab0，只需证ab

22aa2ab

22b，即ab

2a1a2 欲证ab

2a1，只需证a2a，即a显然成立。

欲证ab

22a1，只需证a2，即ba显然成立。a2ab1成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。

【评注】分析法是“执果索因”，重在对命题成立条件的探索，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件。叙述虽繁锁，但也要注意书写的严谨规范，“要证”、“只需证”这样的连接关键词不可缺少。

三.综合法

它是一种“由因执果”的证明方法，即从一个已知或已证明的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推出欲证的不等式。

例3.若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg

证：要证lgabbccalglglgalgblgc 222abbccalglglgalgblgc成立 22

2即证lgabbccalgabc成立。222

abbccaabc成立。222只需证

abbccaab0,0,ca0，222

abbccaabc0成立（*）222

又a,b,c是不全相等的正数，（*）式等号不成立，原不等式成立。

【评注】综合法实质上是分析法的逆过程，在实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即用分析法分析，用综合法书写。也可证明过程中即使用分析法，又结合综合法来证明不等式成立。

2.换元法证明不等式

换元法是指对结构比较复杂、量与量之间关系不太直观的命题，通过恰当引入新的变量，来代换原命题中的部分式子，通过代换达到减元的目的，以达到简化结构、便于研究的形式。换元法在不等式的证明中应用广泛，常采用的方法有：（1）三角换元法、（2）均值换元法、（3）几何换元法及（4）增量换元法。

一.三角换元法：

把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。

2222例1.已知a，bR，且ab1，求证：a2abb

2证明：设arcos，brsin，其中r1，0，2

2222222则a2abbrcos2rsincosrsin 

r2cos2r2sin2

2rsin2242

a22abb22，原不等式得证。

2.均值换元法：

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。

例2.已知a，bR且ab1，求证：a2b22225 2

证明：因为a，bR且ab1，所以设a

211t，bt(tR)222

则：a2b22211t2t2 22

2255tt22

25252t222

即abb2

3.几何换元法：

在△ABC中，ABc，BCa，CAb，内切圆交AB、BC、CA分别于D、E、F，如图，则可设axy，byz，czx，其中x0，y0，z0。几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。2225，原不等式得证。2

例3.设a，b，c为三角形三边，求证：abc3 bcaacbabc证明：设axy，byz，czx，其中x，y，z0

则abcxyyzzx bcaacbabc2z2x2y

1xzyzyx 2zxxyxy

1xzyzyx2223 2zyxyzx

原不等式得证。

4.增量换元法：

若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。例4.已知a2，b2，求证：abab

证明：设a2m，b2n，显然m0，n0

则abab2m2n2m2n

4mn42m2nmn mnmn0

故abab

第四篇：不等式证明四(换元法)

Xupeisen110高中数学

教材：不等式证明四（换元法）

目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。

过程：

一、提出课题：（换元法）

二、三角换元：

证一：证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设x

则2sin,2ycos2 11212(1cot2)(1tan2)22xysincos

3(2cot2tan2)32

2例三：若x2y21，求证：|x22xyy2|2

证：设xrsin,yrcos,(0r1)，1则|x22xyy2||r2cos22r2cossinr2sin2|

r2|cos2sin2|2r2cos22r22 4

例四：若x > 1，y > 1，求证：xy1(x1)(y1)

证：设xsec2,ysec2,(0,)2)2

小结 若x2y21，则可令x = sec, y = tan(02)。

)。2

若xR，则可令x = tan()。22若x≥1，则可令x = sec(0

三、代数换元：

例六：证明：若a > 0，则a2112a2 2aa

1证：设xa,aya2

21,(a0,x2,y2)2a2121则x2y2aa22 aa

xya11a2222（当a = 1时取“=”）

aa

四、小结：

五、作业：

1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3

第五篇：怎样用换元法证明不等式

怎样用换元法证明不等式

陆世永

我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法,其中有换元法。下面我们探索怎样用换元法证明不等式。

所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征,选择适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证题。其换元的实质是转化,关键是构造和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

一、利用对称性换元,化繁为简

例1设a,b,cR,求证:abcbcacababc.分析:经过观察,我们发现,把a,b,c中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令xbca,ycab,zabc,则原不等式可化为:

xyyzzx8xyz.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。

证明:令xbca,ycab,zabc,则

a

12yz,b12xz,c12xy.a,b,cR,当xyz0时,有

xyyzzx8xyz；

当xyz0时,有x,y,zR(否则x,y,z中必有两个不为正值,不妨设x0, y0,则c0,这与c0矛盾), 因此

yz0,zx2zx0, xy2xy0,yz

2xyyzzx8xyz,综上所述,恒有

xyyzzx8xyz,把x,y,z代入上式得:

abcbcacababc.例2设a,b,cR,求证:

a

bc

a

bc



abbcca



abc2a2

bcabbcca.

分析:类似于例1,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令

xabc,yabc,zabbcca,则原不等式可化为2yzz20.这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。

证明:令xabc,ya2b2c2,zabbcca,则

x

y2z,yz

ab

bcca

0,原不等式可化为:

yyz





x

yz2,将x2y2z,代入上式得:

yyz



y2zyz,yzy2

yzy2zyz0,

2yzz0,又由已知条件可知,2yzz20成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。对于类似于例1与例2的对称不等式，可以结合不等式的具体形式换元，简化不等式的结构，使得不等式容易证明。

二、借助几何图形换元

例3已知a,b,c是ABC三边的长，求证：

abbccaabbcca

.分析:(如图)作ABC的内切圆,设D,E,F为切点,令xBD,yCD,zAE,(其中x,y,zR

则原不等式可转化为:

y2zz

z2

xx

x2



yy2x2y2z.

利用重要不等式:ab2ab可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。

证明:设D,E,F为切点,令xBD,yCD,zAE,则原不等式可转化为:

y2

zz

z2

xx

x2

2x2y2z.1 yy

又因为x,y,zR,则有

y

z

z2y,z

x

x2z,x

y

y2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。

从例3可以看出，在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。

三、借助三角函数的性质换元

例4已知:a1,b0,ab1,求证:0

1a

a

11b1.ab

分析:由于a1,b0,ab1,并且不等式中有a,b,因此我们联想三角函数的平方关系:sec2tan21.经过对比,发现a相当于sec2，b相当于

tan，因而可令：asec2,btan20









.2

证明:令asec2,btan20

1a

1a



, 则 2

ab

1 b

sec1tan

1

2sectansec

sin1，可见原不等式成立。

例5若x2y21,求证:x22xyy2

.分析:由x2y21,知点x,y在圆x2y21的内部或边界上,因此可以考虑变换:xrsin,yrcos 0r1,02.证明:设xrsin,yrcos 0r1,02, 则

x2xyy

rcos2sin2



2

2rcos2

42r



2.从例4，例5可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式。

四、借助均值不等式换元

例6n个正数x1,x2,xn,它们的和是1,求证:

xn1xn1xn

x1

x1x2



x2

x2x3





xn

xnx1



.分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等

式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令x1

x2x3

xnx1

n

x1x2

m1,x2

m2,,xn

mn（其中mi0）.i1

证明:令x1

n

x1x2

m1,x2

x2x3

m2,,xn

xnx1

mn,则

m

i1

i

0.x1

x1x2



x2

x2x3



xn1xn1xn



xn

xnx1

1

xxm1n2n

xnx1



1

xxm2121

x1x2



1

xxm3222

x2x3





x1x2



x2x3

4mn



xnx1

m1m2mn

m1

x1x2



m2

x2x3



xnx1



2x1x2xn

，因而原不等式成立。

例6说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。