不等式·用分析法证明不等式

第一篇：不等式·用分析法证明不等式

不等式·用分析法证明不等式·教案

教学目标

通过教学，学生掌握和应用分析法证明不等式． 教学重点和难点

理解分析法的证题格式并能熟练应用． 教学过程设计

师：我们已经学习了综合法证明不等式．综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，看已知，逐步推向未知”． 综合法的思路如下：（从上往下看）（用投影片）

师：其中，A表示已知条件，由A可以得到它的许多性质，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1还可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，„，而到达结D的只有C，于是我们便找到了A→B→C→D这条通路．当然，有时也可以有其他的途径达到D，比如A→B1→C1→D等．

但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，使用综合法证明有一定困难．

这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手，今天我们介绍用分析法证明不等式，来解决这个问题．

（复习了旧知识，并指出单一用综合法证明的不足之处，说明了学习分析法的必要性）分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，从而找出解题途径．概括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”． 分析法的思路如下：（从下往上看）（用投影片）

师：欲使结论D成立，可能有C，C1，C2三条途径，而欲使C成立，又有B这条途径，欲使C1成立，又有B1这条途径，欲使C2成立，又有B2，B3两条途径，在B，B1，B2，B3中，只有B可以从A得到，于是便找到了A→B→C→D这条解题途径．（对比综合法叙述分析法及其思路，便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系）

师：用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是：（用投影片）欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，„„

只需证命题A为真，今已知A真，故B必真．

师：在运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途径． 下面举例说明如何用分析法证明不等式．首先解决刚才提出的问题．（板书）

师：这个题目我们曾经用比较法进行过证明，请同学们考虑用分析法如何证明？（学生讨论，请一学生回答）

生：因为b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化为a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，这个式子就是已知条件，所以求证的不等式成立．

（学生理解了分析法的原理，应予以肯定，但这个回答不能作为证明过程，学生往往忽略分析法证明的格式，要及时纠正）

师：这位同学“执果索因”，逐步逆找结论成立的充分条件，直至找到明显成立的不等式为止．很明显，逆找的过程正是把“欲证”由繁化简的过程，因而分析法对于形式复杂的证明题是一种行之有效的方法．

但是作为证明过程，这位同学的回答不符合要求．应该如何证明呢？（请一位同学板书）

=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）

=（a＋b）（a2-2ab＋b2）

=（a＋b）（a-b）2．

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0，进而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．

生乙：我是用分析法证明的．

证法2：

欲证a3＋b3＞a2b＋ab2，即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因为a＋b＞0，课堂教学设计说明

教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．因此，教师应及时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题的解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．

本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己解答，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断提出问题让学生解答和练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包办代替的做法．

在安排本节课教学内容时，我注意按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．

第二篇：分析法证明不等式专题

分析法证明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|<=√

2【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由题设条件可知，a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.具体的，即是|a+b|>0

【2】

显然，由|a+b|>0可知

原不等式等价于不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

该不等式等价于不等式：

(|a|+|b|)²≤².整理即是：

a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)

【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²

又ab=0,故接下来就有】】

a²+b²≤2a²+2b²

0≤a²+b²

∵a，b是非零向量，∴|a|≠0,且|b|≠0.∴a²+b²>0.推上去，可知原不等式成立。

作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。

注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以pDF格式阅读原文。”

就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。

下面我给你介绍一些解不等式的方法

首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)

然后要学会用一些函数的方法，这是解不等式最常见的方法。分析法，综合法，做减法，假设法等等这些事容易的。

在考试的时候方法最多的是用函数的方法做，关键是找到函数的定义域，还有求出它的导函数。找到他的最小值，最大值。

在结合要求的等等

一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。

还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法

这种方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。

若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?

解：ab-3=a+b>=2根号ab

令T=根号ab,T^2-2T-3>=0

T>=3orT<=-1(舍)

即，根号ab>=3，故，ab>=9(当且仅当a=b=3是取等号)。

第三篇：不等式证明三(分析法)

Xupeisen110高中数学

教材：不等式证明三（分析法）

目的：要求学生学会用分析法证明不等式。

过程：

一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

二、例

一、求证：372

5证：

5)

22xy

32∵x2y22xyxy成立 3只需证：x2y2

∴(xy)(xy)22312133

证二：（综合法）∵(x2y2)3x6y63x2y2(x2y2)x6y66x3y3

1x6y62x3y3(x3y3)2

∵x > 0，y > 0，∴(xy)(xy)22312133

例

三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0

证一：（综合法）∵a + b + c = 0∴(a + b + c)2 = 0

a2b2c2展开得：abbcca

2例

四、l，2

l周长为l的正方形边长为，截面积为 442

2ll问题只需证：>  24

l2l2

即证：2>16422

两边同乘

411，得：24l2

因此只需证：4 > （显然成立）

ll∴ > 也可用比较法（取商）证，也不困难。24

三、作业： 22P18练习1—3及习题6.3余下部分

补充作业：

1．已知0 <  < ，证明：2sin2cot 2

1cos∵0 <  < ∴sin > 0

略证：只需证：4sincossin

2． 已知a >0（成立）3． 设a, b, c4ab4S 即证：2cosC23sinC

即：3sinCcosC2

即证：sin(C)1（成立）6

第四篇：分析法证明不等式08

分析法证明不等式

教学目标:

1．掌握分析法证明不等式；

2．理解分析法实质——执果索因；

3．提高证明不等式证法灵活性.教学重点:

分析法

教学难点:

分析法实质的理解

教学过程:

一．分析法：

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.例1求证3725 证明：因为和2都是正数，所以为了证明2 只需证明(37)2(2)2

展开得1022120

即22110,2125

因为2125成立，所以

(37)2(2)2成立 即证明了2

注意：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与

综合法是对立统一的两种方法.综合法是“由因导果”

②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故B必真

例2证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，LL设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为T1()2；周22

LL长为L的正方形边长为，截面积为()2.所以本题只需证明44

LL()2()2.24

说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。

二．课堂练习：

课本P16练习1，2，3

三．课堂小结

师：通过本节学习，要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综合运用证明不等式的各种方法.四．课后作业

P17习题6.34，5，9

五．板书设计

第五篇：分析法证明不等式

主备人：审核： 包科领导：年级组长：使用时间：

5【教学目标】

1.掌握分析法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用分析法证明不等式。

【重点、难点】

重点：分析法证明不等式。

难点：分析法证明不等式。

【学法指导】

1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；

2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

1，预习p17-p18,【自主探究】

i.分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为

止，这种证明方

法称为。即“执果索因”的证明方法，即从“未知” 看

“”它

也是证明不等式的一种重要的基本方法。证明时一定要注意书写格式。

ii.分析法的本质是从需证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证

明的关键是推理每一步都

必须可逆，简言之，步步可逆。

证明的模式(步骤)以论证“若A则B”为例；欲证明B成立，只需证明B1成立，从而又„„

只需证明B2成立，从而又„„

„„„„

只需证明A为真，今已知A真,故B必真

可见分析法就是寻求上一步成立的充分条件，可以简单写成BB1B2......A

【合作探究】

证明下列不等式

（1）求证 ：

分析法证明不等式 2

（2）已知ａ＞0, b>0且a>b



【巩固提高】

（1），已知a,b,x,yR,且a2b21,x2y21,求证: axby1

（2），已知a,b R,ab1,求证:(a)(b)1

a1b25 4

【能力提升】

已知 a,b R,2cab,求证:

cac

本节小结：

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