不等式的证明——比较法、综合法、分析法

第一篇：不等式的证明——比较法、综合法、分析法

不等式的证明—比较法，综合法，分析法 典型问题:

（一）比较法证明不等式

amamam1,求证:1.已知a,b,m,nR,且bnbn bn

2.a,b,m,nR

3.ab,求证：abmnbmn1a2abab1b2mnnm 21a20,求证:()21b2()a

3322ab0ababab4.已知，求证：

（二）综合法证明不等式

a,b,cR1.设,3332222222(abc)abacbabccacb6abc.求证:

a,b,cR2.已知,且abc1,求证: 1119(1)abc

12418(2)abc

1b)(1c)(3)(1a)(8abc111(1)(1)(1)8(4)abc

（三）分析法证明不等式

1.证明：3222722x3y3已知x0，y0xy2.ab0abab 3.设,求证:

4.若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证:logaclogbc4lgc

41ab.5.已知a0,b0,ab,且abab，求证：33322

6.实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,求证:

a,bR,2cab,求证: 7.已知bac3a.2

(1)cab cabaccab.2(2)c2222（ab）ab（ab）ab8.已知a0，b0，ab 8a28b9.已知a,b,cR,且ab+bc+ca=1,abc3(abc)求证:bcacab

第二篇：比较法、分析法、综合法、换元法证明不等式

2a b 11ab

2a2 b22ab a2 b1(ab)2

22 2ab整式形

式 ab2 22ab ab2  a bab2 根式形式22 ba2(ab) b a分式形2(a,b同号） ab1 0a2aa 倒数形式1 a0a2a

1.比较法、分析法、换元法

一.比较法（作差比较或作商比较）

1）作差比较法：要证不等式abab，只需证ab0ab0即可。其步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论。

2）作商比较法：若b0，要证不等式ab，只需证

作商、变形、判断与1的大小、得出结论。

222222例1.设abc，求证：bccaabbccaab aa1，欲证ab，需证1。其步骤为：bb

22例2（1）证明不等式ababab

1abba（2）若a>b>0，求证：abab

ba

2abb（3）若a>b>0，求证：a

二.分析法

a3b3ab3()22例2已知a>0，b>0，求证：

2222证法二由(ab)0，得a2abb0，aabbab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(ab)(aabb)ab(ab)，33223322∴ababab，3a3b3ab3ab 22

∴4a4ba3ab3abb(ab)，333223

3a3b3(ab)3

28∴，a3b3ab3()22∴。

2ab练习．1.已知ab0，求证：8aab abab28b2

2.求证

a2b2aa

均值不等式

例3已知a、b、cR，且a+b+c=1。

111(1)(1)(1)8bc求证：（1）a

（2）abc

例4设a、b、c、dR，令sabcdadbbcacdbdac，求证：1

114例5已知a>b>c，求证：abbcac

2.均值换元法：

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。例2.已知a，bR且ab1，求证：a2b2

2225 2

例3.设a，b，c为三角形三边，求证：

4.增量换元法： abc3 bcaacbabc

例4.已知a2，b2，求证：abab

第三篇：2.4：不等式证明综合法与分析法

2.4不等式的证明（2）综合法与分析法。

【知识要点】

综合法：从已知出发，通过一系列正确的推理，得出结论的证明方法。（由因导果）分析法：从要证明的结论出发，寻找使命题成立的充分条件。（执果素因）分析法书写格式：

题目：已知A，求证B。

证明：要证B成立，只要证B1成立；要证B1成立，只要证B2成立；只要证A成立。而A是成立的，所以B成立。

注意：

1．在具体处理问题时，常常是先用分析法分析，再用综合法证明，二种方法结合使用。

2．如果采用分析法证明时，要注意书写的要求。

【基础训练】

1．判断下列推理是否正确：

（1）若a¹b，要证明a2+b2<1+a2b2，由于2ab

（2）要证|a+b|?|a||b|，只要证(|a+b|)?(|a|2|b|)。（）

2（3）要证a

2．某工厂第二年增长率为a，第三年增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）

a+ba+ba+ba+b（A）x³（B）x>（C）x£（D）x< 2222

1a+b

3．若a>b>1,P=Q，则（）(lga+lgb),R=lg22

（A）R

骣骣骣111 4．设a,b,c为正数，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，则（）c 桫桫桫ab

（A）0?M

【精选例题】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M³8

例1．设x?R,0a<1，求证：logaax+a-(x2)

解法指导：用综合法证明，也可采用分析法证之，要证logaa+a

只要证logaa+a(x-x2)

18(x-x2)骣1

8÷

2a<1，所以只要证a+a2-x2>2a。证明：因为a>0,所以ax>0,a-x>

0，所以ax+a-x匙，骣1÷11又因为x-x2=-çx-÷+，0

4ì1ïïx=2a，由于ï2不成立，所以上式等号不能成立，íï2ïïîx=-x18

22所以所以logaax+a-x

1例2．设a,bR,c0，求证：|ab|2(1c)|a|2(1)|b|2。c

解法指导：可以采用先分析后综合的方法处理。11方法一：原不等式a2b22aba2ca2b2b2ca2b22ab cc

12ab。因为c

0，所以ca2b2)2)2c方法二：用分析法写（略）。

1125例3．设x,y是正数，且xy1，求证：(x)2(y)2。xy2

11解法指导：如果用基本不等式x2,y2，则只能得出左边大于4的结论，而xy

得不出要证明的结论。这时可以考虑用分析法处理。证明：原不等式x2

(12xy)(11117117222y(xy)1x2y22 x2y22117)。22xy2

(xy)21117，所以(12xy)(122)成因为设x,y是正数，且xy1，所以xy44xy2

立。故要不得证不等式成立。

思考：还有其它方法吗？ 11111因为2(x)2(y)2(x)(y)125。xyxyxy22

变题1：设x,y是正数，且xy1，求证：（证明：（略）111)(1)9。22xy

1125变题2：设x,y是正数，且xy1，求证：(x)(y)。xy4

1125xy125证明：要证(x)(y)成立，只要证：xy，xy4yxxy4

因为 x,y是正数，所以只要证4(x2y2x2y21)25xy，又因为xy1，所以只要

33332332

证4(xy12xy1)25xyxyxy20(xy)220 488

(xy)2***332

，所以(xy)22()220。又因为xy8848844

【能力训练】

一、填空题 222

21．已知a,bÎR+，则下列不等式：

(1)a+b+（a骣1b)ç+çç桫a1÷2+2

÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。

bb+m2．设a,b,mÎR+，若<成立，则a,b的大小关系为____________。aa+m

二、选择题

3．(2004年辽宁)对于0

11+111+a ①loga(1+a)loga(1+)③a

④a1+a>a1+

1a其中成立的是________.4.（2005年山东）0a1，下列不等式一定成立的是（）

（A）log(1a)(1a)log(1a)(1a)2（B）log(1a)(1a)log(1a)(1a)

（C）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)

（D）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)

三、解答题

5.设g(x)=a b),求证|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.设n>0,求证

:

7.若a,b,c均为大于1的数,且ab=10,求证:logac+logbc 4lgc.118.已知命题:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab

（1）证明这个命题为真命题；

（2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推广上述命题，并加以证明；

（3）将上述命题推广为关于n个正数的命题（不必证明）。

第四篇：不等式的证明(分析法与综合法)B

不等式的证明（分析法与综合法）B

一、选择题

1、若a、bR，cQ,则使acbc成立的充分条件是（）A．a>b>0,c<0B．a>b,a>0,c>0C．b>a>0,c<0D．b>a>0,c>0

2、若a>b,m>0,则下列不等式恒成立的是（）A．(am)2(bm)2B．

bmb

C．(am)3(bm)3D． ama

3已知0

a

(xy)<0B．0

a

(xy)<1C．1

a

(xy)<

2D．loga(xy)>24、设x,y,z∈(-,0),则三数x+,y+,z+中（）A．都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一个不大于-2D.只少有一个不大于-2 △

5、设函数f(x

x1，在f(x)的定义域内任取x1

①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0

xx2f(x)f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正确的是（）0④f（122x2x1

A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△

6、已知a,b∈R，则下列个式中成立的是（）

A.cos2lgasin2lg(ab)

lg(ab)C.a

cos2

b

sin2

abD.a

cos2

b

sin2

ab

二、填空题

7、若a>0且a≠1,则loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空)

a8、设x,y∈R,且x+y=3,则3x3y的最小值___________。△

9、已知x,y∈R,且 xy≥x+y+1,则 x+y的最小值______________。△

10、设x,y∈R,0<θ<π,则

三、解答题

11、a、b、c、d∈R,求证：a2b2c2d2(ac)2(bd)

2△

12、设a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ

1、λ2,∈R+，求证：（1a12a2）（☆

13、设a>0,b>0,c>0, 求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc

a1xyxsiny(用不等式填空)xyxsiny1a22）≤(12)41

2不等式的证明（分析法与综合法）B答案；

一、C C D C C A

二、7.>8.69.2+2210.≥

三、略

第五篇：2、综合法和分析法证明不等式

南化一中高三数学第一轮复习讲义55第六章《不等式》

§6.2综合法和分析法证明不等式

【复习目标】

1． 熟悉证明不等式的综合法、分析法，并能应用其证明不等式；

2． 理解分析法的实质是“执果索因”；注意用分析法证明不等式的表述格式；

3． 对于较复杂的不等式，能综合使用各种方法给予证明。

【重点难点】

综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们经常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述。分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。

【课前预习】

1.“a>1”是“11”的（）a

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

2.a3)

3.证明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.4.设a,b,c∈R+,则三个数a1，b1，c1的值，则（）bca

A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于

2【典型例题】

113 xy

abcac.（2）设a,b,c都是正数，求证：ca例1（1）已知x,yR，且2xy

1，求证：

第55课：§6.2综合法和分析法证明不等式《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 例2已知a>0，b>0，2c>a+b.求证：c－c2ab

1.设a32,b5,c76, 则a,b,c大小顺序是

A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a>c>b

2.设0

A．b<2ab

C．2ab

3.a>b>1,P=lgalgb,Q=

12(lgalgb),R=lg(ab

2)

A．R

【本课小结】

【课后作业】

1． 已知：a,b,c为正实数.求证：bc

aacab

bcabc.11

2． 设x>0,y>0,证明：(x2y2)2(x3y3)3.3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2

2=1,求证：ab2≤32

4.4． 若x、y是正实数,x+y=1，求证：（1+11

x）(1+y)≥9.-（）（）（）